王鵬薛紜 樓智美

1)(濟(jì)南大學(xué)土木建筑學(xué)院,濟(jì)南 250022)2)(上海應(yīng)用技術(shù)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,上海 201418)3)(紹興文理學(xué)院物理系,紹興 312000)

黏性流體中超細(xì)長彈性桿的動(dòng)力學(xué)不穩(wěn)定性?

王鵬1)?薛紜2)樓智美3)

1)(濟(jì)南大學(xué)土木建筑學(xué)院,濟(jì)南 250022)2)(上海應(yīng)用技術(shù)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,上海 201418)3)(紹興文理學(xué)院物理系,紹興 312000)

(2016年11月14日收到;2016年12月18日收到修改稿)

基于坐標(biāo)基矢攝動(dòng)的方法研究了黏性流體中超細(xì)長彈性桿動(dòng)力學(xué)穩(wěn)定性判據(jù)與失穩(wěn)后的模態(tài)選擇,推導(dǎo)出了黏性介質(zhì)中超細(xì)長彈性桿Kircho ff動(dòng)力學(xué)方程的一階攝動(dòng)表示,即線性的二階偏微分方程組.以平面扭轉(zhuǎn)DNA環(huán)為例,說明了以上結(jié)果的應(yīng)用,得到了平面扭轉(zhuǎn)DNA環(huán)的穩(wěn)定性判據(jù)及其穩(wěn)定的臨界區(qū)域,討論了其失穩(wěn)后的模態(tài)選擇及黏性阻力對(duì)其的影響.

超細(xì)長彈性桿,攝動(dòng)方法,黏性流體,不穩(wěn)定性

1 引 言

基于Kirchho ff彈性桿理論,Behanm［1]和Le Bret［2]建立了DNA彈性桿模型,可用于描述DNA鏈的幾何形態(tài)和運(yùn)動(dòng),并能與實(shí)驗(yàn)觀測(cè)的結(jié)果相符合［3,4].關(guān)于DNA彈性桿力學(xué)模型的研究已取得很多重要成果［3?9].特別是隨著單分子操縱技術(shù)的發(fā)展,為DNA力學(xué)的研究提供了更多的實(shí)驗(yàn)依據(jù)［10].

關(guān)于DNA分子模型為背景的超細(xì)長彈性桿穩(wěn)定的研究已有很多工作［9,11?16].通常情況下,把Kirchho ff方程化為歐拉角表示的方程,分析靜力學(xué)方程或動(dòng)力學(xué)方程解的穩(wěn)定性,或者通過引入擾動(dòng)量研究平衡解的李雅普諾夫穩(wěn)定性.但是基于以上方法實(shí)際并不能得出一致的攝動(dòng)格式［17].文獻(xiàn)[18]基于坐標(biāo)基攝動(dòng)給出了細(xì)長桿的一類新振幅方程,克服了周期性邊界條件不連續(xù)的問題,從而無需借助歐拉角或者Lagrange方程,直接對(duì)彈性桿動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行攝動(dòng)展開討論其動(dòng)力學(xué)特性,此方法下保持了桿的弧長不變.并用于研究生物的生長問題［19].

在低雷諾數(shù)下,黏性阻力和阻力矩對(duì)細(xì)胞內(nèi)DNA的運(yùn)動(dòng)的影響將不可忽略.Klapper［20]利用數(shù)值方法討論扭轉(zhuǎn)彈性桿動(dòng)力學(xué)及生物學(xué)應(yīng)用.Goldstein等［21,22]研究了扭轉(zhuǎn)和旋轉(zhuǎn)作用下細(xì)菌纖維的黏性動(dòng)力學(xué)問題,但都未對(duì)穩(wěn)定性進(jìn)行分析.Liu和Sheng［23]討論了黏性介質(zhì)中螺旋桿的振動(dòng)與穩(wěn)定性問題,但不能預(yù)測(cè)彈性桿失穩(wěn)后的動(dòng)力學(xué)行為.文獻(xiàn)[17]雖然分析了纖維的動(dòng)力學(xué)穩(wěn)定性,卻未考慮黏性項(xiàng)的影響.在DNA復(fù)制及轉(zhuǎn)錄或者生物生長過程中,黏性項(xiàng)對(duì)其動(dòng)力學(xué)穩(wěn)定性的影響引起關(guān)注［21,22],然而很少有文獻(xiàn)涉及對(duì)其穩(wěn)定性的分析,故而有必要對(duì)黏性作用下超細(xì)長彈性桿動(dòng)力學(xué)的穩(wěn)定性進(jìn)行分析.

本文利用新的攝動(dòng)方法,研究黏性流體中超細(xì)長彈性桿模型的動(dòng)力學(xué)不穩(wěn)定性,并以受扭轉(zhuǎn)作用的封閉DNA微環(huán)為例說明結(jié)果的應(yīng)用.本文采用不考慮軸向拉伸的Kirchho ff模型.本文第2部分簡單介紹新的攝動(dòng)格式;第3部分給出黏性流體中超細(xì)長彈性桿動(dòng)力學(xué)方程的建立過程,并給出其無量綱形式;第4部分給出黏性流體中超細(xì)長彈性桿動(dòng)力學(xué)方程的一階攝動(dòng)形式;第5部分將以上結(jié)果應(yīng)用于分析黏性流體中平面扭轉(zhuǎn)DNA環(huán)的穩(wěn)定性與失穩(wěn)模態(tài)選擇;最后是總結(jié).

2 攝動(dòng)格式簡介[18]

坐標(biāo)基攝動(dòng)展開的主要思想是對(duì)主軸坐標(biāo)基進(jìn)行任意階攝動(dòng)后仍滿足正交性,即對(duì)任意階攝動(dòng)εn,滿足ei.ej=δij.以一階攝動(dòng)基矢為例,可表示為

其中Aij為反對(duì)稱矩陣元.將基矢量攝動(dòng)展開,并利用正交條件,很容易證明上式.矩陣A的形式可以表示為

其中α為零階任意矢量.則單位基矢量的一階攝動(dòng)展開又可以表示為

可以證明(1)式與(3)式是等價(jià)的.展開(3)式中的一階攝動(dòng)項(xiàng),得到

證畢.以上形式可以推廣到任意階形式.

3 動(dòng)力學(xué)模型

3.1動(dòng)力學(xué)方程

我們采用彈性桿的Kircho ff動(dòng)力學(xué)模型.以F,M表示彈性桿截面受到的內(nèi)力主矢和內(nèi)力主矩.根據(jù)流體中細(xì)長體的阻力理論［24],只需考慮局域黏性阻尼,此時(shí)與桿的運(yùn)動(dòng)速度有關(guān),以f,m表示黏性阻力和黏性阻力矩,其表達(dá)式為

其中ei(i=1,2,3)表示主軸坐標(biāo)系各軸基矢量,e3e3為并矢;v=?r/?t代表?xiàng)U截面運(yùn)動(dòng)速度;c⊥,c//分別為徑向和切向的介質(zhì)阻力系數(shù),cR為介質(zhì)阻尼力矩系數(shù)［21,24];?為桿截面的角速度.考慮黏性作用后,根據(jù)動(dòng)量與動(dòng)量矩平衡,我們得到

方程(7)描述了桿截面在黏性流體中的運(yùn)動(dòng),其中ρ,A分別為桿的密度和桿截面面積;J是單位長度桿的慣性張量,其在截面主軸坐標(biāo)系(P-xyz)中的投影矩陣以繞x,y,z軸的單位長度轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Ji(i=1,2,3)為元素.

3.2坐標(biāo)基表示

其中,.表示對(duì)時(shí)間求一階偏導(dǎo)數(shù),.表示對(duì)時(shí)間求二階偏導(dǎo)數(shù);ω為桿截面的彎扭度.將(9)式代入方程(7),并將方程(7a)兩邊同時(shí)求關(guān)于弧坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù),我們得到方程(7)用主軸坐標(biāo)基矢表示的形式:

以上方程還不能完全確定超細(xì)長彈性桿的運(yùn)動(dòng),為此需補(bǔ)充線彈性本構(gòu)方程

3.3無量綱式

我們將所有的量按以下關(guān)系進(jìn)行重新標(biāo)度,

其中σ為彈性桿的泊松比.

4 一階攝動(dòng)方程

對(duì)方程(13a)的坐標(biāo)基矢做一階攝動(dòng)展開,令相同階冪次的項(xiàng)系數(shù)為零,忽略二階以上項(xiàng),得到零階運(yùn)動(dòng)方程為

其中′′表示對(duì)弧坐標(biāo)求二階偏導(dǎo).若彈性桿處于平衡態(tài),則(16)式化為

一階攝動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程為

將(18)式用零階坐標(biāo)基表示為

在(19)式推導(dǎo)中我們利用了?(1)=,?(0)=0.將(19)式寫為分量形式,得到

將方程(13b)按坐標(biāo)基攝動(dòng)展開為一階攝動(dòng)形式,得到

將本構(gòu)方程(14)做攝動(dòng)展開,得到一階攝動(dòng)形式為

彎扭度按坐標(biāo)基攝動(dòng)展開的一階形式為

把(26)式代入(25)式得

把(27)式代入(24)式,直接計(jì)算得到動(dòng)量矩平衡方程的一階攝動(dòng)項(xiàng)在零階各坐標(biāo)軸的分量形式

方程(20)—(22),(28)—(30)構(gòu)成了黏性流體中超細(xì)長Kircho ff彈性桿的動(dòng)力學(xué)變分方程.方程的解決定了彈性桿的穩(wěn)定性.為了更明顯地看出其線性性質(zhì),我們可以將以上方程寫為以矩陣表示的二階偏微分方程組:

5 應(yīng) 用

5.1穩(wěn)定性

閉合的超細(xì)長彈性桿受到扭轉(zhuǎn)作用可形成DNA超螺旋結(jié)構(gòu)［3].我們將DNA微環(huán)［25]看作受到扭轉(zhuǎn)作用的超細(xì)長彈性桿,其彈性模量等力學(xué)參數(shù)可由實(shí)驗(yàn)獲得［26,27],實(shí)驗(yàn)中測(cè)得的DNA環(huán)抗扭剛度系數(shù)和抗彎剛度系數(shù)之比在0.5≤?！?.5范圍內(nèi)［28],研究在此典型比值下彈性環(huán)的穩(wěn)定性判據(jù).其靜態(tài)解為

其中k為平面DNA環(huán)半徑的倒數(shù),γ為DNA環(huán)的彈性桿模型的截面的扭率,若桿的扭率為常量,則扭轉(zhuǎn)數(shù)TW=γ/k.我們引入變量gi=Rγ.Xi,其中

為主軸坐標(biāo)向Frenet坐標(biāo)投影的方向矩陣,是正交對(duì)稱矩陣.此時(shí)方程(31)進(jìn)一步寫為

則線性方程組(36)有解.式中

為方程(36)的系數(shù)矩陣,其中σ,n為未定參數(shù).由封閉桿的周期性條件,n的取值為整數(shù).平面扭轉(zhuǎn)DNA環(huán)解的穩(wěn)定性可根據(jù)特征值σ實(shí)部的正負(fù)確定,如果Re(σ)＜ 0,則解穩(wěn)定,如果Re(σ)＞ 0,則解不穩(wěn)定,而σ=0則對(duì)應(yīng)平面扭轉(zhuǎn)DNA環(huán)的臨界狀態(tài).將系數(shù)矩陣展開得到

可以看由于存在黏性阻力和阻力矩,Δ中σ的次冪包含了0—6,而真空中［8]Δ中只包含σ的偶數(shù)次冪.

特征值σ=0對(duì)應(yīng)平面扭轉(zhuǎn)DNA環(huán)平衡的臨界狀態(tài),我們得到扭轉(zhuǎn)數(shù)

為平面扭轉(zhuǎn)DNA環(huán)平衡穩(wěn)定的臨界判據(jù).由臨界判據(jù)(38)式,我們可得到對(duì)應(yīng)于0和1兩個(gè)模態(tài)時(shí)平面扭轉(zhuǎn)DNA環(huán)是穩(wěn)定的;對(duì)應(yīng)于n=2的模態(tài),我們得到扭轉(zhuǎn)數(shù)的臨界值為不穩(wěn)定的模態(tài)取值范圍為n≥2.與真空中結(jié)果［17,29]對(duì)比,我們發(fā)現(xiàn)DNA環(huán)平衡穩(wěn)定性不受黏性阻尼影響.

對(duì)應(yīng)Γ的典型比值范圍［28],由臨界判據(jù)(38)式我們可以得出為平面扭轉(zhuǎn)DNA環(huán)的臨界區(qū)域.

5.2不穩(wěn)定性

若Re(σ)＞0,則解是不穩(wěn)定的.對(duì)應(yīng)于扭率和曲率值γ=15,k=2,如令Γ=1,得出扭轉(zhuǎn)數(shù)則此時(shí)平面扭轉(zhuǎn)DNA處于不穩(wěn)定態(tài).黏性阻力系數(shù)取c=1,cR=4.給出σ2-n變化關(guān)系圖,如圖1所示.令c=cR=0,我們得到真空中σ2-n關(guān)系,見圖2.對(duì)比可見黏性阻尼較小時(shí),對(duì)于不穩(wěn)定模態(tài)在2＜n≤7范圍內(nèi),黏性阻力的作用基本可以忽略.但是在n＜2區(qū)域振幅出現(xiàn)分叉.黏性阻尼作用下平面扭轉(zhuǎn)DNA環(huán)失穩(wěn)后選擇的模態(tài)為n=4.

增大黏性阻尼系數(shù),例如取c=40,cR=160,σ與n的關(guān)系如圖3所示,此時(shí)平面扭轉(zhuǎn)DNA環(huán)失穩(wěn)后選擇的跳出平面的模態(tài)增大為n=7.說明黏性阻尼較大時(shí),對(duì)平面扭轉(zhuǎn)DNA環(huán)的不穩(wěn)定影響較大.

圖1 (網(wǎng)刊彩色)σ2與n的關(guān)系,Tw=30,c=1,cR=4Fig.1.(color online)Relationship between of σ2and n,Tw=30,c=1,cR=4.

圖2 (網(wǎng)刊彩色)σ2與n的關(guān)系,Tw=30,c=cR=0Fig.2.(color online)Relationship between of σ2and n,Tw=30,c=cR=0.

圖3 σ與n的關(guān)系Tw=30,c=40,cR=160Fig.3.Relationship between of σ and n,Tw=30,c=40,cR=160.

6 總 結(jié)

本文基于坐標(biāo)基矢的攝動(dòng),分析了黏性流體中超細(xì)長Kircho ff彈性桿動(dòng)力學(xué)的穩(wěn)定性,并應(yīng)用于平面扭轉(zhuǎn)DNA環(huán).

1)得到黏性流體中超細(xì)長Kircho ff彈性桿動(dòng)力學(xué)方程的一階攝動(dòng)表示,即方程(20)—(22)和(28)—(30)或者(31),該方程的解確定了黏性流體中超細(xì)長彈性桿的動(dòng)力學(xué)穩(wěn)定性判據(jù)和失穩(wěn)后的模態(tài)選擇.

2)給出了黏性流體中平面扭轉(zhuǎn)DNA環(huán)的穩(wěn)定性判據(jù),得到平面扭轉(zhuǎn)DNA環(huán)的穩(wěn)定性典型臨界值的區(qū)間.黏性阻尼項(xiàng)對(duì)超細(xì)長彈性桿的平衡穩(wěn)定性無影響.

3)失穩(wěn)狀態(tài)下,黏性阻尼使得彈性環(huán)的振幅變小,并有分岔現(xiàn)象出現(xiàn).黏性阻尼增大,DNA環(huán)失穩(wěn)的模態(tài)數(shù)變大,并出現(xiàn)了多模態(tài)選擇的動(dòng)力學(xué)不穩(wěn)定現(xiàn)象.并可預(yù)測(cè)不同黏性阻尼系數(shù)下優(yōu)先選擇的變形模態(tài),從而可為控制其變形行為提供參考.

我們的研究目前還限于理論分析,尚未有實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證.然而我們希望本文對(duì)模型的處理方法和得到的結(jié)果能夠?qū)σ院蟮膶?shí)驗(yàn)起到啟發(fā)或者參考作用.

文獻(xiàn)[9]指出在雷諾數(shù)為零時(shí)慣性項(xiàng)可忽略,此情形下超細(xì)長彈性桿的動(dòng)力學(xué)行為尚待研究.在以后的工作中我們將考慮雷諾數(shù)為零的情況是否可以忽略慣性項(xiàng)?考慮流固耦合作用、生長等因素對(duì)黏性流體中超細(xì)長彈性桿動(dòng)力學(xué)穩(wěn)定性的影響.

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PACS:45.10.Hj,45.40.–fDOI:10.7498/aps.66.094501

Dynamic instability of super-long elastic rod in viscous fl uid?

Wang Peng1)?Xue Yun2)Lou Zhi-Mei3)

1)(School of Civil Engineering and Architecture,University of Jinan,Jinan 250022,China)2)(School of Mechanical Engineering,Shanghai Institute of Technology,Shanghai 201418,China)3)(Department of Physics,Shaoxing University,Shaoxing 312000,China)

14 November 2016;revised manuscript

18 December 2016)

The external environment a ff ects the structural form of biological system.Many biological systems are surrounded by cell solutions,such as DNA and bacteria.The solution will o ff er a viscous resistance as the biological system moves in the viscous fl uid.How does the viscous resistance a ff ect the stability of biological system and what mode will be selected after instability?In this paper,we establish a super-long elastic rod model which contains the viscous resistance to model this phenomenon.The stability and instability of the super-long elastic rod in the viscous fl uid are studied.The dynamic equations of motion of the super-long elastic rod in viscous fl uid are given based on the Kirchho ffdynamic analogy.Then a coordinate basis vector perturbation scheme is reviewed.According to the new perturbation method,we obtain the fi rst order perturbation representation of super-long elastic rod dynamic equation in the viscous fl uid,which is a group of the second order linear partial di ff erential equations.The stability of the super-long elastic rod can be determined by analyzing the solutions of the second order linear partial di ff erential equations.The results are applied to a twisted planar DNA ring.The stability criterion of the twisted planar DNA ring and its critical region are obtained.The results show that the viscous resistance has no e ff ect on the stability of super-long elastic rod dynamics,but a ff ects its instability.The mode selection and the in fl uence of the viscous resistance on the instability of DNA ring are discussed.The amplitude of the elastic loop becomes smaller under the in fl uence of the viscous resistance,and a bifurcation occurs.The mode number of instability of DNA loop becomes bigger with the increase of viscous resistance.

super-long elastic rod,perturbation method,viscous fl uid,instability

10.7498/aps.66.094501

?國家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號(hào):11262019,11372195,11472177)資助的課題.

?通信作者.E-mail:sdpengwang@163.com

*Project supported by the National Nature Science Foundation of China(Grant Nos.11262019,11372195,11472177).

?Corresponding author.E-mail:sdpengwang@163.com