劉 瀟，張 波，謝 帆，丘東元

（華南理工大學電力學院，廣州 510640）

分數(shù)階互感及變壓器模型的特性分析

劉 瀟，張 波，謝 帆，丘東元

（華南理工大學電力學院，廣州 510640）

目前涉及磁能耦合、電能轉(zhuǎn)換等方面的分數(shù)階特性研究較少，因此針對分數(shù)階互感及變壓器模型的特性進行了分析。首先分析了傳統(tǒng)分數(shù)階LC電路的阻抗特性和相位特性；沿用該分析方法，研究了分數(shù)階互感及變壓器模型的阻抗矩陣特性，分析了阻抗矩陣在不同階數(shù)下的相位特性以及分數(shù)階條件下特有的純實部特性和純虛部特性；最后推出不同阻抗特性下，阻抗頻率、幅值與電感階數(shù)的關(guān)系。從分析中可知，自感和互感的分數(shù)階數(shù)增加了整個模型設計的自由度，更具有一般性。

分數(shù)階；互感；變壓器模型；阻抗特性

分數(shù)階微積分（fractional calculus）是在經(jīng)典微積分理論基礎(chǔ)上產(chǎn)生的用以描述任意階數(shù)微分和積分的數(shù)學分支，并已逐步成為多個科學工程領(lǐng)域的有力工具。文獻[1]將分數(shù)階微積分應用到經(jīng)典電磁場中，提出了分數(shù)階多極子的定義，并計算了其空間電勢分布情況；文獻[2]提出了一種分數(shù)階正弦振蕩器，并給出了設計步驟和實驗模型；文獻[3]提出了一種分數(shù)階永磁同步電機，其控制策略更加簡單靈活；文獻[4]將分數(shù)階微積分運算應用到遺傳算法中，建立了分數(shù)階傳遞函數(shù)模型；文獻[5]應用分數(shù)階微積分相關(guān)知識研究了反向熱傳導問題。文獻[6-7]分析和總結(jié)了分數(shù)階RLC并聯(lián)電路的基本特征和規(guī)律；文獻[8]討論了分數(shù)階RLC串聯(lián)電路在電感、電容階數(shù)相同時的復雜特性；文獻[9]則研究了分數(shù)階LC串聯(lián)電路在電感、電容階數(shù)不同時的幅值響應和相位響應。近幾年來，無線電能傳輸?shù)玫搅碎L足的發(fā)展[10，11]，其系統(tǒng)中蘊含的電感與電容特性也是一個研究的熱點。然而，目前涉及到磁能耦合和電能轉(zhuǎn)換等方面的分數(shù)階特性系統(tǒng)分析還比較少。

本文首先分析了傳統(tǒng)分數(shù)階LC電路 （以串聯(lián)為例）的阻抗特性，得出不同阻抗特性下幅值、頻率與電感、電容階數(shù)的關(guān)系，并分析了電感、電容階數(shù)對相位特性的影響。隨后，沿用這種分析方法，研究了分數(shù)階互感及變壓器模型的阻抗特性，分析了阻抗矩陣的相位特性以及分數(shù)階條件下特有的純實部特性和純虛部特性，最后得出了不同阻抗特性下，阻抗頻率、幅值與電感階數(shù)的關(guān)系。由于分數(shù)階互感電路及變壓器模型的電路參數(shù)增加了自感和互感的階數(shù)，因此該模型的設計自由度更高，應用范圍更廣。

1 分數(shù)階阻抗

零初始條件下，對分數(shù)階Caputo微分定義取拉氏變換，可以定義一種阻抗正比于sα的一般性分數(shù)階電抗元件[12]，即

式中：β為分數(shù)階電容元件的階數(shù)；Lβ為分數(shù)階電感；Cα為分數(shù)階電容。令s=jω，則分數(shù)階電感的阻抗和分數(shù)階電容的導納可變?yōu)?/p>

由式（2）可知，理想分數(shù)階元件的阻抗（導納）既有電阻（電導）分量，又有電抗（電納）分量[13]。通過分數(shù)階電感、分數(shù)階電容的串并聯(lián)，可以得到分數(shù)階LβCα電路的基本拓撲，如圖1所示。根據(jù)電路原理，串聯(lián)電路的阻抗和并聯(lián)電路的導納互為對偶關(guān)系，若不改變對偶元件的值，則二者解的形式一致，只需計算其中一個便可得到另一個的解。因此，本文以分數(shù)階電感Lβ和分數(shù)階電容Cα組成的串聯(lián)電路即分數(shù)階LβCα電路為例來分析其阻抗特性。

圖1 分數(shù)階LβCα電路的基本拓撲Fig.1 Basic topologies of fractional-order LβCαcircuits

2 分數(shù)階LβCα電路的特性分析

如圖 1（a）為分數(shù)階 LβCα串聯(lián)電路的拓撲，根據(jù)式（3）可知，分數(shù)階LβCα串聯(lián)電路的阻抗可寫為

式中：Re[Z（jω）]為阻抗實部；Im[Z（jω）]為阻抗虛部；｜Z（jω）｜為阻抗幅值；φ（ω）為阻抗相位角，則有

由式（4）可知，分數(shù)階 LβCα串聯(lián)阻抗特性不僅與電感L、電容C、頻率ω有關(guān)，還與電感、電容的階數(shù)β、α有關(guān)。在L、C、ω一定的情況下，隨著α、β的改變，分數(shù)階LβCα串聯(lián)電路將會表現(xiàn)出不同的阻抗特性和相位特性。

2.1 阻抗特性

2.1.1 純實部阻抗特性

令 Im[Z（jω）]=0，即

則電路呈現(xiàn)純實部特性，即純阻性，此時電路的角頻率為

將ωr代入式（4），得到此時電路的阻抗為

考慮一個相位周期，則有

不考慮Lβ、Cα同時表現(xiàn)感性或容性的情況 （實際上相當于一個分數(shù)階電感或分數(shù)階電容），可以得到 α、β 的范圍分別為：0＜α＜2、0＜β＜2。

根據(jù)式（8），可以得到 ωr與 α、β 的關(guān)系曲線，如圖2所示。由圖2可知，隨著α、β的增加，ωr有減小的趨勢，且當α趨近于0+時，ωr出現(xiàn)最大值尖峰；當 α 趨近于 2-時，ωr趨近于 0。

圖2 ωr與α、β的三維關(guān)系Fig.2 3-D view of ωrunder different α and β

由式（9）可知，當 α+β＜2 時，阻抗 Z（jωr）＞0，表現(xiàn)出正實部（正電阻）特性；當 α+β＞2時，阻抗 Z（jωr）＜0，表現(xiàn)出負正實部（負電阻）特性；當 α+β=2時，Z（jωr）=0。阻抗幅值|Z（jωr）|與 α、β 的關(guān)系如圖 3所示。

圖3 |Z（jωr）|與 α、β 的三維關(guān)系Fig.3 3-D view of|Z（jωr）|under different α and β

2.1.2 純虛部阻抗特性

令 Re[Z（jω）]=0，即

則電路呈現(xiàn)純虛部特性，即純感性或純?nèi)菪浴Ｓ煽臻g矢量關(guān)系可知，只有當 α＜1＜β 或 β＜1＜α 時，才能同時滿足 0＜α＜2、0＜β＜2。 此時電路角頻率為

將ωi代入式（4），得到此時電路的阻抗為

根據(jù)式（12）可以得到ωi與 α、β的關(guān)系曲線，如圖 4所示。由圖可見，在 α＜1＜β和 β＜1＜α兩種情況下，ωi均隨著β的增大而減小；當β＜1且α趨近于 1+時，ωi出現(xiàn)最大值；當 β＞1 時，ωi隨著 α 的增大而減小。

根據(jù)式（13）可以得到阻抗幅值|Z（jωi）|與 α、β的關(guān)系曲線，如圖5所示。由圖可見，當α+β=2時，|Z（jωi）|=0 為最小值，α、β 越接近 1，|Z（jωi）|值越大；當 α＜ 1＜ β 時， β 對阻抗幅值|Z（jωi）|的影響要比 α大，也就是電感的階數(shù)對阻抗幅值的作用更強；當β＜ 1＜ α 時，α 對阻抗幅值|Z（jωi）|的影響要比 β 大，也就是電容的階數(shù)對阻抗幅值的作用更強。

圖4 ωi與α、β的三維關(guān)系Fig.4 3-D view of ωiunder different α and β

圖5 |Z（jωi）|與α、β的關(guān)系曲線Fig.5 3-D view of|Z（jωi）|under different α and β

2.2 相位特性

由上述分析可知，當ω=ωr即電路表現(xiàn)純實部阻抗特性時，φ（ω）=0；當 ω=ωr即電路表現(xiàn)純虛部阻抗特性時，φ（ω）=±π/2。 一般情況下，根據(jù)方程（6），可以得到分數(shù)階LβCα串聯(lián)電路的相位特性曲線，如圖6所示。

圖6 相位特性曲線Fig.6 Phase characteristic curves

由圖6可知，當α+β＜2時，隨著ω的變化，φ（ω）的變化是連續(xù)的，且由-απ/2變化到βπ/2；當α+β＞2 時，φ（ω）同樣由-απ/2 變化到 βπ/2，但變化是不連續(xù)的，在 ω=ωr時 φ（ω）發(fā)生了跳變。

3 分數(shù)階互感及變壓器模型的特性分析

3.1 電路模型

從上述分析可知，在分數(shù)階情況下，電感電容分別增加了階次α、β，其阻抗與α、β有關(guān)，因此相比于整數(shù)階情況來說，分數(shù)階LβCα電路呈現(xiàn)出更加豐富的阻抗特性。運用第2節(jié)阻抗分析方法來研究分數(shù)階互感及變壓器模型的阻抗特性。

分數(shù)階互感及變壓器模型的基本拓撲如圖7所示，其中原邊電感和副邊電感的階數(shù)分別為α和β，互感階數(shù)為γ。其等效電路模型如圖8所示。

圖7 分數(shù)階互感及變壓器模型Fig.7 Model of fractional-order mutual inductance and transformer

圖8 等效電路模型Fig.8 Model of equivalent circuit

由圖8可得分數(shù)階互感電路阻抗矩陣方程為

令 s=jω，則可得

3.2 阻抗特性和相位特性

由式（6）由可知，分數(shù)階互感及變壓器模型的阻抗矩陣與 α、β、γ 有關(guān)，為簡化分析，令 α=β，討論α、β、γ不同取值下的分數(shù)階互感及變壓器模型的阻抗特性和相位特性。

當 α=β=γ時，阻抗矩陣可轉(zhuǎn)化為

由式（16）可知，阻抗矩陣是對稱矩陣，因此分數(shù)階互感電路也是對稱的。此時所有阻抗矩陣元素的相角均為απ/2，只與階數(shù)α有關(guān)。特別地，當α=β=γ=1時，阻抗矩陣的所有元素實部均為0，相角均為π/2，表現(xiàn)出純感性。

當α=β≠γ時， 易知Z12和Z21的相角為 γπ/2，Z11和 Z22的相角 φ11,22（ω）可根據(jù)方程（6）計算。 圖 9所示為 ω=1 rad/s和 ω=10 krad/s時，φ11,22（ω）與 α（β）、γ之間的關(guān)系。

由圖 9 可知，當 ω 一定時，在 0＜α（β）＜2 且 0＜γ＜2 的范圍內(nèi)，隨著 α（β）、γ 的增大，φ11,22（ω）也增大。由圖像的對稱性可以看出，自感階數(shù)α（β）和互感階數(shù)γ對φ11,22（ω）的影響是一致的。對比圖9可知，而當 α（β）、γ、一定時，隨著 ω 的增大，φ11,22（ω）也增大。

令方程（15）中 Z11、Z22的虛部為 0，即

可得頻率和阻抗分別為

圖9 Z11、Z22的相位特性三維關(guān)系Fig.9 3-D view of phase characteristics of Z11and Z22

此時自阻抗Z11、Z22表現(xiàn)出純實部特性。ω=1 rad/s和 ω=10 krad/s兩種條件下，γ與 α（β）之間的關(guān)系曲線如圖10所示。由圖中可以看出，當Z12、Z21表現(xiàn)出純實部特性，0＜α（β）＜2、 0＜γ＜2 無法同時滿足，因此實際情況是無解的。

令式（15）中 Z12、Z21的實部為 0，即

圖10 純實部特性下的γ-α（β）關(guān)系曲線Fig.10 γ-α（β） curves under the pure real impedance characteristic

可得頻率和阻抗分別為

此時自阻抗Z11、Z22表現(xiàn)出純虛部特性。給定α（β）與ω，便可以確定 γ。 如圖11、圖 12所示分別為 ω=1 rad/s和 ω=10 krad/s情況下， γ、Z11，22（jω）與α（β）的關(guān)系曲線。 特別地，當 α=β=γ=1 時，阻抗幅值取得最大值。

圖11 純虛部特性下的γ-α（β）關(guān)系曲線Fig.11 γ-α（β） curves under the imaginary impedance characteristic

圖12 Z11,22與α（β）的關(guān)系曲線Fig.12 Z11,22-α（β） curves under different ω

4 結(jié)語

本文在分析傳統(tǒng)分數(shù)階LβCα電路 （以串聯(lián)為例）阻抗特性的基礎(chǔ)上，研究了分數(shù)階互感電路及變壓器模型的阻抗特性，分析了阻抗矩陣在不同階數(shù)下的相位特性，以及分數(shù)階條件下特有的純實部特性和純虛部特性。研究表明，自感階數(shù)和互感階數(shù)對阻抗相位的影響是一致的。當自感階數(shù)和互感階數(shù)在0～2之間取值時，自阻抗只可能表現(xiàn)出純虛部特性而不能表現(xiàn)出純實部特性。給定自感階數(shù)和角頻率，便可以確定互感階數(shù)。最后給出了純虛部阻抗特性下，阻抗頻率、幅值與電感階數(shù)的關(guān)系曲線。由于分數(shù)階互感電路及變壓器模型的電路參數(shù)增加了自感和互感的階數(shù)，因此設計自由度更高，應用范圍更廣。本方法將對分數(shù)階無線電能傳輸系統(tǒng)具有一定的指導作用。

[1]Engheta N.On the role of fractional calcus in electro-magnetic theory[J].IEEE Antennas and Propagation Ma-gazine,1997,39（4）：35-46.

[2]Radwan A G,Elwakil A S，Soliman A M.Fractional-order sinusoidal oscillators：design procedure and practical examples[J].IEEE Transactions on Circuit and Systems,2008,55（7）：2051-2063.

[3]Li Chunlai,Yu Simin,Luo Xiaoshu.Fractional-order permanent magnet synchronous motor and its adaptive chaotic control[J].Chin.Phys.B,2012,21（10）：15-21.

[4]Pires E J,Machado J A,Oliveira P B.Fractional order dynamics in a GA planner[J].Signal Processing,2003,83（11）2377-2386.

[5]Battaglia J,Cois O,Puigsegur L,et al.Solving an inverse heat conduction problem using a non-integer identified model[J].International Journal of Heat and Mass Transfer,2001,44（14）：2671-2680.

[6]El-Sayed A M A,Nour H M,Raslan W M,et al.Fractional parallel RLC circuit[J].Alexandria Journal of Mathematics,2012,3（1）：11-23.

[7]Diao Lijie,Zhang Xiaofei,Chen Diyi.Fractioanl-order multiple RLαCβcircuit[J].Acta Phys.Sin.,2014,63（3）：1-13.

[8]Radwan A G.Resonance and quality factor of the RLαCαfractional circuit[J].IEEE Journal on Emerging and Selected Topics in Circuits and Systems,2013,3（3）：377-384.

[9]Radwan A G,Salama K N.Passive and active elements using fractional passive and active elements using LβCαcircuit[J].IEEE Transactions on Circuits and Systems,2011,58（10）：2388-2397.

[10]王國東，原璐璐，王允建.磁耦合諧振式無線電能傳輸系統(tǒng)的四線圈模型研究[J]. 電源學報，2015，13（1）：101-106.

Wang Guodong,Yuan Lulu,Wang Yunjian.Research on the four coil model of magnetically-coupled resonant wireless power transmission systems[J].Journal of Power Supply,2015,13（1）：101-106（in Chinese）.

[11]王振亞，王學梅，張波，等.電動汽車無線充電技術(shù)的研究進展[J]， 電源學報， 2014,12（3）：27-32.

Wang Zhenya,Wang Xuemei,Zhang Bo,et al.Advances of wireless charging technology in electric vehicle[J].Journal of Power Supply,2014,12（3）：27-32（in Chinese）.

[12]Ma Long,Liang Guishu,Dong Huaying.Sensitivity analysis of the networks with fractional order reactance[J].Journal of North China Electric Power University,2013,40（3）：6-10.

[13]Soltan A,Radwan A G,Soliman A M.Fractional-order mutual inductance：analysis and design[J].Int.J.Circ.Theor.Appl.,2016,44（1）：85-97.

Analysis of Fractional-order Mutual Inductance and Transformer Model

LIU Xiao,ZHANG Bo,XIE Fan,QIU Dongyuan
（School of Electrical Power,South China University of Technology,Guangzhou 510640,China）

Fractional characteristic analysis of magnetic coupling or electrical energy conversion has been involved in few researches.In this paper,the fractional-order mutual inductance and transformer model is analyzed.First,impedance analysis of a fractional LC circuit is introduced as an example.Then,the same method is applied to analyze the impedance matrix characteristics of the fractional-order mutual inductance and transformer model.The impedance frequencies that satisfy the pure real impedance and the pure imaginary impedance under fractional conditions are obtained.As a result,phase characteristics as well as relationships among impedance frequencies,amplitudes and inductor orders under different impedance characteristics are illustrated.The fractional orders of self-inductance and mutual-inductance increase the degree of freedom for model design which means more generality.

fractional order;mutual inductance;transformer model;impedance characteristics

劉瀟

劉瀟（1990-），男，碩士研究生，研究方向：電力電子系統(tǒng)分析與控制，E-mail：rayshawn1220@163.com。

張波（1962-），男，通信作者，教授，博士生導師，研究方向：電力電子與電力傳動，E-mail：epbzhang@scut.edu.cn。

謝帆（1985-），男，博士，研究方向：電力電子與電力傳動，E-mail：epfxie@scut.edu.cn。

丘東元（1972-），女，博士，教授，研究方向：電力電子與電力傳動，E-mail：epd yqiu@scut.edu.cn。

10.13234/j.issn.2095-2805.2017.4.143

TM40

A

2015-12-08

國家自然科學基金重點項目資助（51437005）

Project Supported by the Key Program of the National Natural Science of China（51437005）