史旺旺，嚴建鵬

（揚州大學水利與能源動力工程學院，揚州225009）

一種基于橢圓擬合的三相電壓不平衡條件下的鎖相環(huán)

史旺旺，嚴建鵬

（揚州大學水利與能源動力工程學院，揚州225009）

針對傳統(tǒng)的三相電網相角檢測方法在電網頻率波動及故障情況下存在的不足，提出了一種新型數字鎖相環(huán)設計方法。所提出的鎖相環(huán)通過遞推最小二乘法橢圓擬合辨識出橢圓參數，利用鎖相環(huán)產生不對稱的正弦余弦輸出，消除了電網不平衡狀態(tài)下的鑒相二倍頻分量；在此基礎上對鎖相環(huán)輸出信號進行移相和正序分量的提取，從而實現90°移相與電網頻率無關；推導了不對稱幅值和相位與橢圓參數的關系，設計了遞推最小二乘法，最后給出了仿真和實驗結果。仿真和實驗結果驗證了本方案的有效性。

數字鎖相環(huán)；橢圓擬合；遞推最小二乘法；不平衡電壓

在光伏發(fā)電和風力發(fā)電等新能源并網發(fā)電系統(tǒng)、無功補償裝置 SVG（static var generator）、不間斷電源 UPS（uninterruptible power supply）等場合中需要利用電網正序電壓提供同步信號，數字鎖相環(huán)具有濾波和保持與電網電壓同步的能力，在上述方面得到了廣泛使用。

電網平衡時鎖相環(huán)的常用技術是基于旋轉坐標系法，計算鎖相環(huán)輸入輸出信號相位差的正弦值，經PI調節(jié)后實現相位跟蹤[1-2]。三相系統(tǒng)不平衡時乘法鑒相器除能生成相位差信號外，伴隨二倍頻信號。目前的研究主要表現在調節(jié)參數的設計和二倍頻信號的濾波算法上。三相系統(tǒng)中的鎖相環(huán)在考慮電網不平衡、畸變等不對稱情況下，通常采用其正序分量進行鎖相控制[3-6]。針對提取的正、負序分量，需要設計專門濾除負序分量的濾波器或自適應觀測器[7-8]。

文獻[9]研究了單相信號經過DFT產生正交輸出因頻率變化而使得輸出幅值不相等問題，采用橢圓擬合進行了幅值補償；文獻[10]研究了頻率變化時單相鎖相環(huán)通過延時T/4周期產生正交輸出的相位誤差問題，采用橢圓擬合進行了相位補償。文獻[9-10]的研究工作僅適用于單相鎖相環(huán)，不適合考慮頻率變化的三相不平衡時三相鎖相環(huán)。

在前述工作的基礎上，本文研究了基于橢圓擬合的三相不平衡時考慮頻率變化的三相數字鎖相環(huán)。三相不平衡時經靜止坐標變換后，兩相電壓信號既不正交、幅值也不相等，本文利用橢圓擬合方法同時辨識幅度和相位，利用鎖相環(huán)產生不對稱的正弦、余弦輸出，消除了電網不平衡狀態(tài)下的鑒相二倍頻分量；在提取正序分量時考慮了頻率變化，通過在鎖相環(huán)輸出端進行90°移相，可以實現移相與電網頻率無關。本文推導了不對稱幅值和相位與橢圓參數的關系，設計了遞推最小二乘法，最后給出了仿真和實驗結果。

1 不平衡狀態(tài)下的橢圓方程

三相系統(tǒng)中首先將三相電壓轉換到兩相正交的靜止αβ坐標系下，獲得電網平衡時電壓信號的正弦、余弦分量，其轉換方程為

式中：Ua、Ub、Uc分別為系統(tǒng)三相電壓；Uα、Uβ為 αβ坐標系下的電壓分量；θ0、ω0、φ0分別為 αβ 坐標系下電網電壓相位角、頻率和初相位；U1為電壓幅值。此時Uα、Uβ在平面內的軌跡為圓。當三相系統(tǒng)不平衡時Uα、Uβ在平面中的軌跡為橢圓，其經過αβ變換后的電壓方程為

式中：x為α軸分量；y為β軸分量；Uc和Us分別為α、β軸分量的幅值，一般情況下不相等，它們反映了電壓幅值的不對稱程度；φ為相位不對稱程度。

將式（2）中的時間t消除后得到的橢圓方程為

令

則得到中心點位于坐標原點的標準橢圓方程為

當通過辨識得到橢圓參數 a1、b1、c1后，由式（4）得

由式（6）求得 φ 后，可由式（4）求得 Uc和 Us。

2 遞推最小二乘法橢圓擬合

最小二乘法是曲線擬合中的常用方法，本文中橢圓方程有3個未知數，因此測量點數n應大于等于 3。設 n 個測量點分別為 xi、yi，i=1，2，...，n,應滿足式（5），用矩陣表示為

其中：Zn=[1，1，…，1]T；λ=[a1,b1,c1]T；

由經典最小二乘法公式可求出λ為

為動態(tài)跟蹤時變的橢圓參數并減少實時計算工作量，本文采用帶遺忘因子的遞推最小二乘法。定義：

λn的初始值對收斂速度的影響較大，為提高λn的收斂速度，本文在初始的1/4周期內，將該時間內的采樣值利用式（8）求出λ，作為式（10）的初始值。遺忘因子γ對響應速度和濾波性能影響較大，當γ數值大時響應速度慢，對電網電壓的諧波不敏感；當γ數值小時，則響應速度快，諧波對參數的影響較大[11]，具體計算時應折中選擇。

3 非對稱輸出鎖相環(huán)

電網不平衡狀態(tài)下鎖相環(huán)鑒相輸出中存在的二倍頻分量對鎖相環(huán)性能影響大[1]，但如果能準確辨識出靜止坐標系下的不平衡電壓的幅值和相位差，則采用非對稱輸出鎖相環(huán)，可以消除二倍頻分量。設鎖相環(huán)α軸輸出分量為x1，β軸輸出分量為y1，即

鑒相器輸出定義為

式中，θ為鎖相環(huán)輸入信號相位，θ＝ω0t+φ0。由式（12）看出在橢圓擬合準確時鑒相器無二倍頻分量，不平衡輸出僅影響鑒相器的幅值，此值可由PI調節(jié)補償。因此如果使鎖相環(huán)輸出的信號幅值和輸入信號相同，則由式（12）得到的鑒相器輸出為純粹的相位差信號，這樣應將辨識參數加入到經典的鎖相環(huán)中，形成所謂的不對稱輸出鎖相環(huán)。鎖相環(huán)框圖見圖1，圖中RLS為遞推最小二乘法橢圓擬合模塊，為初始角頻率，100 π。

這樣電網電壓不平衡，鎖相環(huán)輸出α、β軸分量與電網電壓的α、β軸分量相同。電網電壓可由正序分量、負序分量、零序分量3部分合成。三相不平衡電壓經過αβ坐標變換后，零序分量經過αβ坐標變換后為0，變換后將正序分量和負序分量分離，將分離出的正序分量輸入到常規(guī)平衡狀態(tài)下的鎖相環(huán)中，達到鎖相環(huán)輸出正序分量的目的。正、負序分量的數學表達式為

圖1 基于橢圓擬合的鎖相環(huán)框圖Fig.1 Block diagram of DPLL based on ellipse fitting

式中：Up、Un為正、負序分量的幅值；θp、θn為正負序分量初相位。利用正、負序分量的相位特征，可得到正序分量的表達式為

其中：xp、yp為正序分量在αβ軸上的幅值。

T／4延時方法是一種比較簡單且常用的方法，但該方法只能在頻率不變時才能得到精確的結果，考慮電網頻率變化時該方法存在誤差。正序分量提取的T/4延時方法的本質是900移相，由于采樣時間序列中沒有明顯的相位信息，只能通過延時方法實現，延時移相與頻率有關。為此本文提出了改進算法，不對稱輸出鎖相環(huán)的輸出信號與輸入信號相比除濾出諧波外，還與輸入的不對稱信號同相位，且鎖相環(huán)容易實現直接移相，這樣將式（14）的延時轉換為真正的900移相，實現了與頻率無關的任意相位的移相。式（14）將變?yōu)?/p>

4 仿真和實驗結果

本文使用Matlab對三相鎖相環(huán)進行了仿真。為驗證對諧波的濾波性能，在電網電壓中加入了50%的4次諧波，圖2為αβ坐標系的輸入電壓軌跡，圖3為鎖相環(huán)輸入輸出波形，其中y為輸入電壓波形，y1為鎖相環(huán)輸出波形。由圖3可見在一個周期內鎖相環(huán)即可實現對輸入的跟蹤鎖定，同時也可使得輸出圖形中的諧波被濾除。

圖2 不平衡時輸入電壓軌跡Fig.2 Path of input voltage under unbalance condition

圖3 輸入電壓包含諧波時的仿真波形Fig.3 Simulation waveforms of input voltage under the condition of voltage harmonics

為驗證頻率變化時的相位跟蹤能力，在0.05 s時輸入信號的頻率從40 Hz突變到60 Hz，得到頻率突變時的鎖相環(huán)輸出曲線，如圖4所示。由圖可以看出40～60 Hz的頻率變化，鎖相環(huán)可以實現鎖定相位。

圖4 頻率突變時的電壓波形Fig.4 Voltage waveforms with frequency mutation

當三相電網電壓相位突變時刻，電壓相位提前了π/2，該鎖相環(huán)輸出電壓如圖5所示，由圖可見，鎖相環(huán)可以在0.5個周期內鎖定相位。

為驗證不平衡下的控制效果，進行了實驗測試，實驗系統(tǒng)采用TI公司F28335DSP芯片，當輸入電壓不平衡時 （AB相線電壓是BC相線電壓的2倍），實測的電壓波形見圖6，可見實測波形不光滑且存在干擾脈沖。鎖相環(huán)輸出電壓波形見圖7。鎖相環(huán)能輸出三相對稱信號，同時消除了實際采樣時產生的干擾。

圖5 相位突變時的電壓波形Fig.5 Voltage woreforms with phase mutation

圖6 三相不平衡時的輸入電壓曲線Fig.6 Input curves under unbalance condition

圖7 三相不平衡時的鎖相環(huán)輸出電壓曲線Fig.7 Output Voltage curves under unbalance condition

5 結語

針對三相電網電壓尤其是畸變電壓條件下鎖相精確難度增加的問題，本文提出了基于橢圓擬合的非對稱輸出鎖相環(huán)，在電網不平衡狀態(tài)下表現出較好的性能，尤其是在電網頻率變化大的場合。本文采用鎖相環(huán)的不對稱輸出，消除了不平衡時的鑒相器輸出中含有的二倍頻分量，因而對低通濾波的要求較低；實現正、負序分量分離時用相位延時取代T／4延時，頻率變化大實現無誤差的正、負序分量分離；采用遞推最小二乘法雖減少了部分工作量，但該方法仍然具有較大的工作量。

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A Novel Digital Phase-locked Loop Under Three-phase Unbalance Voltages Based on Ellipse Fitting Method

SHI Wangwang,YAN Jianpeng
（School of Hydraulic Energy and Power Engineering,Yangzhou University,Yangzhou 225009,China）

Considering when the grid voltage is distorted and unbalanced,the dynamic behavior of classical phaselocked loop system becomes dissatisfactory,a novel digital phase-locked loop（DPLL） is put forward.In the new DPLL presented,the ellipse parameters are identified by recursive least square method and asymmetric output of DPLL produced by identified parameters,which makes the second harmonic eliminated in unbalanced voltage condition,and then 90 degree phase shift and positive sequence are produced from DPLL output signals and are not influenced by grid frequency variation.The relationship between ellipse parameters and unbalanced voltage is derived and RLS method is designed in the paper,simulation and experiment results validate the theoretical analysis.

digital phase-locked loop;ellipse fitting;recursive least square method;unbalanced voltage

史旺旺

史旺旺 （1969-），男，通信作者，博士，副教授，研究方向：光伏發(fā)電與直驅風力發(fā)電系統(tǒng)，E-mail：yzdxsww@163.com。

10.13234/j.issn.2095-2805.2017.4.60

TM933

A

2015-11-16

江蘇省高校自然科學研究資助項目（14KJB4700 10）

Project Supported by Natural Science in Colleges and Universities in Jiangsu Province（14KJB470010）

嚴建鵬（1992-），男，碩士，研究方向：電力電子與電力傳動，E-mail：1541787 151@qq.com。