杜春陽 郁殿龍劉江偉 溫激鴻

(國防科學技術大學,裝備綜合保障技術重點實驗室,長沙 410073)

X形超阻尼局域共振聲子晶體梁彎曲振動帶隙特性?

杜春陽 郁殿龍?劉江偉 溫激鴻

(國防科學技術大學,裝備綜合保障技術重點實驗室,長沙 410073)

(2017年3月7日收到;2017年4月19日收到修改稿)

以聲子晶體理論為基礎,設計了一種具有超阻尼特性的X形局域共振結構,分析了周期性附加X形局域共振的梁彎曲振動傳播特性.利用拉格朗日方程分析了X形局域共振結構動力學等效特性,揭示了該結構的阻尼放大的機理,分析了幾何結構參數對于帶隙特性的影響,并利用有限元法驗證了X形局域共振結構的超阻尼特性.研究結果表明,周期性附加X形局域結構能夠有效地抑制低頻彎曲振動在梁中的傳播,產生超阻尼特性,實現低頻、寬帶的減振效果,為結構的低頻減振提供了一個新的設計方案.

聲子晶體,帶隙,超阻尼,幾何非線性

1 引 言

振動是一種普遍的物理現象,由于振動或沖擊而產生的共振、疲勞破壞等危害到國民經濟的各個領域,如航空航天、儀器儀表、機械動力、交通運輸以及軍事國防工業(yè)等[1].而且隨著科學技術和國民經濟的日益發(fā)展,對產品結構抗振性能提出了越來越高的要求[2].

近年來凝聚態(tài)物理領域聲子晶體理論的興起,為振動的控制提供了一種新的思路[3,4].周期性結構的帶隙特性已經有了較為廣泛的發(fā)展：2014年,舒海生等[5]針對工程常用多桿結構,構造一類布拉格聲子晶體T形桿,拓寬了減振頻帶,獲得了良好的振動衰減效果;2017年,Ma等[6]基于三維各向異性局域共振振子,設計了一種內嵌式的超材料,并通過實驗證明該結構可以選擇性的對各類振動進行抑制,開創(chuàng)了彈性波分離控制的新方法;2000年,Liu等[7]首次提出了局域共振型聲子晶體概念,由于局域共振聲子晶體具有“小尺寸控制大波長”的特點,因而局域共振聲子晶體在低頻減振降噪中具有廣泛的應用前景.如何設計局域共振結構目前已經得到高度關注;2013年,吳九匯等[8]設計了一種新型的螺旋局域共振單元聲子晶體板結構,并結合數值計算和試驗驗證了其良好的低頻振動帶隙特性;2016年,張印等[9]針對低頻結構振動控制,設計了一種質量放大局域共振型聲子晶體并通過實驗驗證了對低頻減振的良好效果;2016年,張佳龍等[10]提出了一種雙包覆層局域共振聲子晶體結構;同年,祁鵬山等[11]提出了一種四角連接局域共振聲子晶體;陳琳等[12]設計了一種基于局域共振機理的帶瓣型結構的聲學超材料.隨著超材料概念的發(fā)展,一些新的超常物理特性得到關注,如超阻尼現象.2013年,Hussein和Frazier[13]通過對彈簧質量鏈超材料的研究提出了阻尼產生現象,為設計具有高阻尼、高剛度的結構提出了一種新思路. 2015年,Nouh等[14]通過理論與實驗驗證了添加周期局域共振振子板的超阻尼現象.2015年,Frazier和Hussein[15]通過引入黏彈性阻尼對于彈簧質量鏈結構進行分析,進一步揭示了該系統(tǒng)超阻尼現象的機理.但是這種超阻尼現象主要是局域共振聲子晶體比布拉格聲子晶體阻尼增強,超阻尼局域共振結構設計研究相對較少.

非線性減振理論也得到了深入研究,X形隔振器具有非線性等特點,能夠產生較好的非線性剛度與阻尼,因而得到廣泛關注.在20世紀90年代,汽車工程首次采用了斜支承彈簧幾何非線性減振系統(tǒng),其減振效果優(yōu)于彈簧線性減振系統(tǒng)的減振效果.1997年,吳強等[16]利用有限元法研究了小應變中轉動幾何非線性情況下黏彈性材料梁的振動響應問題.2008年,吳曉和楊立軍[17]分析了懸掛彈簧幾何非線性減振系統(tǒng)的固有振動特性,通過改變彈簧傾斜角,使懸掛彈簧系統(tǒng)處于軟彈簧特性區(qū)域來進行減振.2015年,Liu等[18]設計了一種X形結構的減振器,并從理論上分析了其相對于經典結構的優(yōu)點,指出X形結構存在幾何非線性,相比于經典的彈簧振子結構,具有非線性剛度和阻尼的特點,振動衰減效應更佳.2015年,Sun和Jing[19]從幾何非線性出發(fā),設計具有非線性剛度、阻尼和摩擦力的剪刀型隔振器,從理論層面分析了其良好的隔振性能,并于2016年對剪刀型隔振器進行了進一步改善并進行了實驗驗證[20].

為了實現低頻、寬帶減振效果,提高結構的阻尼特性,本文結合聲子晶體理論和X形結構特點,設計了一種具有超阻尼特性的X形局域共振結構,并分析其彎曲振動帶隙特性及減振特性.

2 X形局域共振結構動力學建模

圖1(a)所示為無限周期結構示意圖,在基體梁上周期性地掛接X形局域共振結構形成聲子晶體梁,單元的尺寸即晶格常數為a.圖1(b)為單個周期結構示意圖,在梁單元上掛接X形局域共振結構,X形局域共振結構的主要框架由四根長度為l0的輕質桿件構成,桿件依次連接.在四個節(jié)點I,II, III,IV處,桿件只能以節(jié)點為中心繞z軸進行旋轉.彈簧的剛度為k2,掛接在I,III兩個節(jié)點上.II,IV兩個節(jié)點處分別掛接兩個質量為m/2的質量塊.θ是初始狀態(tài)下輕質桿與水平方向的夾角.

圖1 周期附加X形結構的局域共振梁結構示意圖 (a)無限周期結構;(b)單元結構Fig.1.The sketch of local resonance beam with periodic X-shape structure：(a)In fi nite period structure;(b)local resonance unit.

2.1 X形局域共振結構動力學等效

簡化模型如圖2所示,其中m/2是振子質量, k2是彈簧的剛度,u1是質量塊的位移,u2是節(jié)點的位移,l0是輕質桿的桿長,θ是初始時刻輕質桿與水平方向的夾角.

由幾何關系可知,X形局域共振結構運動的變形可由角度φ和u1方向位移表示[21]：

其中φ是運動過程中X形局域共振結構輕質桿與水平夾角的變形,假設質量在小位移下只考慮在水平方向上的位移,可以確定振子的能量方程：

利用拉格朗日方程,對系統(tǒng)的動力學方程進行求解,施加力為保守力,方程形式為[22]

圖2 X形局域共振結構單元動力學模型Fig.2.The dynamic model of X-shape structure.

其中L=T-V是拉格朗日函數,q0為廣義坐標.

選擇下節(jié)點的位移u2作為廣義坐標.拉格朗日函數為將(1)式幾何關系代入拉格朗日函數中：

若不考慮整個系統(tǒng)阻尼,令

則系統(tǒng)的振動微分方程

通過對公式結構的線性化處理,取一階泰勒展開,則系統(tǒng)的振動微分方程

在彈簧沒有添加阻尼的情況下,系統(tǒng)出現了等效阻尼,附加的等效阻尼是由幾何非線性引起的,與結構參數以及位移相關.f(u2)是屬于一個非線性變化的函數,在附加結構的運動過程中,結構的動力學微分方程中的等效質量和阻尼項的形式是不斷變化的.但是在整個系統(tǒng)中不存在實際阻尼,不產生能量耗散,附加等效阻尼與兩質量塊的運動相關,本質上屬于質量塊將系統(tǒng)的振動進行了吸收,而在進行結構等效時,產生了類似于阻尼產生的效果.這與Manimala等[23]得出的阻尼產生結果類似,因而說明X形局域共振結構能夠改善系統(tǒng)的阻尼特性.

若考慮彈簧阻尼,即在彈簧中加入相應的阻尼條件,假設阻尼因子為η,則系統(tǒng)在運動過程中的耗能為[24]

其中,v是固有運動速度,u是運動位移.

q0為廣義坐標.將(9)式代入(8)式得

由于在本結構中,廣義坐標為u2,則耗散函數為

將其代入帶耗散函數的拉格朗日方程中,

則振子運動微分方程為

2.2 傳遞矩陣法求解局域共振型周期結構梁

傳統(tǒng)的局域共振型周期梁是在基體梁上直接附加橡膠與質量塊,故可近似看為彈簧質量振子模型,可采用傳遞矩陣法求解其能帶結構.由于本文涉及的梁軸向尺寸遠大于截面形狀尺寸,故采用歐拉-伯努利梁模型[25]：

其中ρ,E分別為密度、彈性模量;A為梁的截面面積;I為截面二次矩;梁的橫向位移為y(x,t).設位移y(x,t)=X(x)exp(iωt),其中ω為角頻率.

利用傳遞矩陣法可以得到[26,27]

其中ψn為狀態(tài)矢量,T為局域共振梁傳遞矩陣,由于結構的周期性,矢量ψn滿足Bloch定理,即得到標準的特征值

其中q為Bloch波矢,a為晶格常數.

通過求解矩陣T的特征值,即可求得無限周期結構中的角頻率ω和波矢q,也即色散關系曲線.當頻率位于某些范圍時,將無法求得與之對應的實數q值,也即周期結構中這些頻率范圍內的彈性波將不存在穩(wěn)定的傳播模式.

2.3 多體動力學的有限元建模

有限元法目前被廣泛應用于工程領域,是一種強有力的數值計算方法.有限元法分析的實質是最小勢能原理的應用,其核心在于把無限個自由度的連續(xù)系統(tǒng)理想化為有限個自由度的單元集合體,進而使用離散的方式組合表達全幾何場上的形函數而不是直接尋找全場上的形函數.

梁有限元動力方程為

其中,M為單元質量矩陣,C為單元阻尼矩陣,K為單元剛度矩陣.

不考慮阻尼的影響,(17)式可以寫作[28]

則元胞邊界處左端和右端的方程可寫成

式中,D=K-ω2M為動剛度矩陣.由Bloch定理可得到周期邊界條件：

χ為傳播常數,其包含信息有Bloch波矢q及晶格常數a.

可以轉化為標準特征值問題：

進一步,通過求解矩陣T的特征值,即可得到Bloch波矢與頻率的關系,

通過求解,可以獲得相應的固有頻率和振型.

ComsolMultiphysics是Comsol集團開發(fā)的有限元仿真軟件,可通過附加力載荷等激勵信號來計算分析模型的特性.利用Comsol對X形局域共振結構進行建模仿真,由于需要保證節(jié)點處的旋轉要求,簡單的彈性體建模只是兩種材料的連接,并不能達到要求.故采用多體動力學進行建模,圖3所示為X形局域共振結構在Comsol中的單元仿真模型,利用橡膠條模擬彈簧.為了滿足旋轉的自由度,桿件之間的連接采用剛體鉸鏈,除去四個剛性鉸鏈,結構的其余部分仍采用彈性體材料進行建模.不僅保證了結構所要求的旋轉自由度,更極大程度地模擬了現實的結構的材料屬性.

圖3 X形局域共振結構單元仿真模型圖Fig.3.The simulation model of X-shape structure.

由于是周期結構,故其中場的本征頻率和本征模式具有一定的對稱性,所以在研究其本征場時可以將問題進行相應的簡化.利用Bloch定理,元胞的邊界位移和力向量關系滿足[4]

計算無限周期結構能帶曲線時,通過線性拉伸與Bloch定理設置結構周期性邊界條件.進而可以求解無限周期的結構能帶曲線[29-31].同時,將結構周期拓展為6個,如圖1(a)所示.分別定義每個周期單元的鉸鏈,在有限周期結構的基體梁一端施加位移或者力激勵,在另一端拾取相應的信號數據,可以計算有限周期結構的頻率響應.

3 無阻尼聲子晶體梁帶隙特性

3.1 帶隙計算

首先,不考慮彈簧阻尼特性,利用Comsol建立圖3所示的模型,計算中基體梁材料為鋁,彈簧材料為橡膠,質量為銅,其結構參數與材料參數列于表1和表2.

表1 X形局域共振梁結構參數Table 1.Structural parameters of beam with periodic X-shape structure.

計算X形局域共振梁的能帶結構與彎曲振動傳輸特性曲線,選擇6個結構單元,在基體梁的一端添加彎曲的點激勵,在梁的另一段拾取信號,通過對兩個信號的處理,獲得彎曲振動傳輸特性曲線(frequency response function,FRF),如圖4所示.

其中60—100 Hz,167—194 Hz位置出現彎曲振動帶隙,分別為布拉格帶隙與局域共振帶隙.而本文主要研究局域共振帶隙,且60—100 Hz的布拉格帶隙振動衰減較小,故后文中將不再對其進行描述.

表2 X形局域共振梁材料參數Table 2.Material parameters of beam with periodic X-shape structure.

由于結構涉及多體動力學范疇,所以結構的波動模式較多.為了驗證彎曲振動帶隙,我們分析局域共振結構單元的振型.起始與截止頻率的振型如圖5所示,起始頻率處主要是振子進行振動,基體梁幾乎不發(fā)生任何變形;截止頻率處,基體梁和振子振動且方向相反.可以判斷該帶隙是典型的局域共振帶隙.

圖4 X形局域共振梁彎曲振動帶隙特性 (a)能帶結構曲線;(b)彎曲振動傳輸曲線Fig.4.The fl exural vibration band gap characteristics of beam with periodic X-shape structure：(a)Band structure of in fi nitely periodic beam;(b)FRF of fi nitely periodic beam.

圖5 周期附加X形結構局域共振梁振型 (a)169 Hz;(b)194 HzFig.5.Model shapes of beam with periodic X-shape structure：(a)169 Hz;(b)194 Hz.

圖6 等效局域共振梁帶隙特性 (a)能帶結構曲線;(b)彎曲振動傳輸曲線Fig.6.The fl exural vibration band gap characteristics of classic local resonance beam with equivalent mass and sti ff ness：(a)Band structure of in fi nitely periodic beam;(b)FRF of fi nitely periodic beam.

根據上文分析,獲得了X形局域共振結構的振動運動方程,通過結構等效,可以將其看作為一個質量彈簧局域共振梁結構.由于計算是在固體力學范疇,所以假設均為小變形,結構不加阻尼,對(7)式進行簡化,將公式前兩項進行處理,等效后結構振子運動方程為

相關結構與材料參數與表1和表2一致,利用傳遞矩陣法進行計算,振子等效質量為彈簧的剛度為k2.求解相應的能帶結構與彎曲振動傳輸特性曲線,如圖6所示.

由圖6可知,在150 Hz的位置存在一個局域共振帶隙,但是,在參數一致的情況下,與含X形結構的局域共振梁相比,雖然帶隙存在的位置一致,但是帶隙的寬度卻出現了較為明顯的縮減,由于X形局域共振結構中幾何非線性的存在,使得系統(tǒng)出現了附加阻尼,帶隙寬度出現了較大程度的拓寬.

3.2 X形局域共振結構參數對帶隙特性的影響規(guī)律

由(7)式可知,振子的運動方程與結構的夾角和桿長相關,所以X形局域共振結構的帶隙特性與夾角和桿長相關.改變X形局域共振結構的結構參數,計算相應的彎曲振動傳輸特性曲線,討論其對系統(tǒng)帶隙特性的影響.

1)夾角θ的影響

這里,僅改變結構輕質桿與水平角度的夾角,但保持剛度不變.改變X形局域共振結構的桿件之間的夾角分別為θ=40°,θ=45°,對三種夾角的X形局域共振結構進行彎曲振動傳輸特性曲線計算,如圖7所示.

圖7 不同角度下彎曲振動頻率響應特性比較Fig.7.FRF of fi nitely beam with periodic X-shape structure of three di ff erent θ.

隨著角度的增加,結構的等效附加質量增加,帶隙頻率向低頻偏移.而(7)式中第二項的阻尼因素與角度和桿長相關,隨角度的變化,阻尼影響結構帶隙特性,使得帶隙的寬度出現明顯的變化.

2)輕質桿長l0的影響

取為l0=0.35 m,l0=0.5 m,保持等效剛度不變.對三種桿長的X形局域共振結構進行彎曲振動傳輸特性曲線計算,如圖8所示.

改變X形局域共振結構輕質桿長,帶隙特性基本不發(fā)生變化,可知輕質桿長對于結構的影響較小,故可以在保持結構帶隙特性條件下將結構小型化.

圖8 不同桿長彎曲振動頻率響應特性比較Fig.8.FRF of fi nitely beam with periodic X-shape structure of three di ff erent l0.

4 阻尼聲子晶體梁帶隙特性

進一步,考慮X形局域共振結構中的彈簧具有阻尼因子的情況.此時,通過計算彎曲振動頻率響應來描述帶隙特性.通過Comsol有限元建模,在多體動力學物理場下,僅對模擬彈簧的橡膠條添加各向同性損耗因子,與不添加各向同性損耗因子的X形局域共振結構彎曲振動曲線進行比較,令X形結構中橡膠條各向同性損耗因子為η1,如圖9所示.

圖9(a)和圖9(b)分別是添加0.1,0.2各向同性損耗因子的彎曲傳輸特性曲線與不添加各向同性損耗因子X形局域共振結構梁的比較,當添加阻尼因素后,結構的帶隙特性出現較大的改善,帶隙拓寬比較明顯.當同性損耗因子增加至0.5時,如圖9(c)所示,其帶隙寬度幾乎拓寬了一倍,大幅增強了結構的低頻減振效果.

為了比較分析,建立彈簧質量等效結構的物理模型,其中,彈簧利用橡膠代替,建模時保持質量與剛度大小一致.同樣向等效結構的橡膠中添加各向同性損耗因子,計算其彎曲振動傳輸特性曲線,令等效結構中各向同性損耗因子為η2,如圖10所示.

圖9 含阻尼X形局域結構彎曲振動傳輸特性曲線 (a)η1=0.1;(b)η1=0.2;(c)η1=0.5Fig.9.FRF of fi nitely beam with periodic X-shape structure of di ff erent Isotropic loss factor：(a)η1=0.1; (b)η1=0.2;(c)η1=0.5.

圖10 添加不同各向同性損耗因子條件下X形局域共振結構和經典局域共振結構梁彎曲振動傳輸特性曲線比較 (a)η1=η2= 0.1;(b)η1=η2=0.2;(c)η1=0.2, η2=0.3;(d)η1=0.2, η2=0.4Fig.10.With di ff erent isotropic loss factor,the comparison of FRF of fi nitely beam with periodic X-shape structure and fi nitely classic local resonance periodic beam：(a)η1= η2=0.1;(b)η1= η2=0.2;(c)η1=0.2, η2=0.3; (d)η1=0.2, η2=0.4.

圖10(a)和圖10(b)是各向同性損耗因子分別為0.1,0.2時,周期附加X形局域共振結構梁和周期附加等效彈簧質量局域共振結構梁彎曲傳輸特性曲線的比較.損耗因子為0.1時,X形局域共振結構梁帶隙較等效結構梁有一定的拓寬,且彎曲振動的峰值有較為明顯的降低.損耗因子為0.2時,X形局域共振結構梁帶隙寬度明顯寬于等效結構梁,并且大幅度地降低了彎曲振動通帶頻率范圍內的振動響應峰值.

圖10(c)和圖10(d)是X形局域共振結構中添加各向同性損耗因子為0.2、等效彈簧質量局域共振梁各向同性損耗因子分別為0.3和0.4時彎曲傳輸特性曲線的比較.與等效結構相比,即使各向同性損耗因子較小,X形局域共振結構梁的帶隙仍較寬,且通帶頻率范圍內振動響應值更低.所以X形局域共振結構能夠明顯“放大”系統(tǒng)的阻尼特性,達到更好的減振效果.

根據(13)式和仿真結果分析,X形局域共振結構能夠顯著增強系統(tǒng)的阻尼特性,當阻尼較小時, X形局域共振結構能夠產生較為明顯的阻尼“放大”效果,證明了X形局域共振結構中存在的超阻尼現象.

5 結 論

本文基于聲子晶體理論和非線性X形結構,設計了一種X形局域共振結構,分析了周期附加X形局域共振結構的梁彎曲振動帶隙特性.研究結論如下：

1)利用拉格朗日方程,建立了X形局域共振結構動力學模型,揭示了幾何非線性對結構等效質量和等效阻尼的影響,揭示了該結構的阻尼機理,該結構可以顯著增強系統(tǒng)阻尼,改善帶隙特性;建立了多體動力學帶隙計算方法,實現X形局域共振的能帶結構與傳輸特性計算;

2)對于無阻尼系統(tǒng),X形局域共振結構由于其幾何非線性,帶來非線性變化的等效質量,實現隨位移等參數變化的等效阻尼,拓寬了周期結構的帶隙頻率范圍;通過對結構帶隙影響規(guī)律的分析,發(fā)現夾角θ對帶隙影響較大,輕質桿長l0影響較小;

3)對于有阻尼系統(tǒng),X形局域共振結構能夠有效地‘放大’阻尼特性,進一步改善結構的帶隙特性;與等效結構相比,在同樣阻尼大小條件下,X形局域共振結構不僅能獲得更寬的帶隙,還能較大程度地抑制通帶頻率范圍內的振動峰值,減振效果更佳.

總之,通過對X形局域共振結構的研究,驗證了其具有幾何非線性和良好的超阻尼特性,能夠有效地拓寬低頻帶隙,降低振動峰值,在低頻、寬帶減振設計中具有一定應用前景.

[1]Ding W J 2014 Damping Theory(Beijing：Tsinghua Press)pp1–4(in Chinese)[丁文鏡2014減振理論(北京：清華大學出版社)第1—4頁]

[2]Silva C W(translated by Li H B,Zhang M)2013 Vibration Damping,Control and Design(Beijing：Mechanical Industry Press)pp243–246(in Chinese)[Silva C W著(李惠彬,張曼譯)2013振動阻尼、控制和設計(北京：機械工業(yè)出版社)第243—246頁]

[3]WenX S2006TheoryandTechnologyofPhotonic/Phononic Crystals(Beijing：Science Press)pp5–7 (in Chinese)[溫熙森2006光子/聲子晶體理論與技術(北京：科學出版社)第5—7頁]

[4]Wen X S,Wen J H,Yu D L,et al.2009 Photonic Crystal (Beijing：National Defence Industry Press)pp8–10(in Chinese)[溫熙森,溫激鴻,郁殿龍等2009聲子晶體(北京：國防工業(yè)出版社)第8—10頁]

[5]Shu H S,Zhang F,Liu S G,Gao E W,Li S D 2014 J. Vib.Shock 33 147(in Chinese)[舒海生,張法,劉少剛,高恩武,李世丹2014振動與沖擊33 147]

[6]Ma G C,Fu C X,Wang G H,Hougne del P,Christensen J,Lai Y,Sheng P 2016 Nat.Commun.7 13536

[7]Liu Z,Zhang X,Mao Y,Zhu Y Y,Yang Z,Chan C T, Sheng P 2000 Science 289 1734

[8]Wu J H,Zhang S W,Shen L 2013 Chin.J.Mech.49 62 (in Chinese)[吳九匯,張思文,沈禮2013機械工程學報49 62]

[9]Zhang Y,Yin J F,Wen J H,Yu D L 2016 J.Vib.Shock 35 26(in Chinese)[張印,尹劍飛,溫激鴻,郁殿龍2016振動與沖擊35 26]

[10]Zhang J L,Yao H,Du J,Zhao J B,Dong Y K 2016 Bull. Chin.Ceram.Soc.35 2767(in Chinese)[張佳龍,姚宏,杜軍,趙靜波,董亞科2016硅酸鹽通報35 2767]

[11]Qi P S,Du J,Jiang J L,Dong Y K,Zhang J L 2016 J. Synthetic Cryst.45 1094(in Chinese)[祁鵬山,杜軍,姜久龍,董亞科,張佳龍2016人工晶體學報45 1094]

[12]Chen L,Wu W G,Zhou R 2016 Tech.Acoust.35 222 (in Chinese)[陳琳,吳衛(wèi)國,周榕2016聲學技術35 222]

[13]Hussein M I,Frazier M J 2013 J.Sound Vib.332 4767

[14]Nouh M,Aldraihen O,Baz A 2015 J.Sound Vib.341 53

[15]Frazier M J,Hussein M I 2015 J.Acoust.Soc.Am.138 3169

[16]Wu Q,Ling D S,Xu X 1997 J.Zhejiang Univ.-Sci.A 4 462(in Chinese)[吳強,凌道盛,徐興1997浙江大學學報4 462]

[17]Wu X,Yang L J 2008 J.Vib.Shock 2 771(in Chinese) [吳曉,楊立軍2008振動與沖擊2 771]

[18]Liu C C,Jing X J,Li F M 2015 Int.J.Mech.Sci.98 169

[19]Sun X T,Jing X J 2015 Mech.Syst.Signal Pr.62 149

[20]Sun X T,Jing X J 2016 Mech.Syst.Signal Pr.80 166

[21]Sun X T,Jing X J,Xu J,Cheng L 2014 J.Sound Vib. 333 2404

[22]Huang Y Y,Zhao Y G,Zhao W D 2011 J.Qinghai Univ. 2 912(in Chinese)[黃永玉,趙永剛,趙偉東2011青海大學學報2 912]

[23]Manimala J M,Huang H H,Sun C T,Snyder R,Bland S 2014 Eng.Struct.80 458

[24]Wang Z F 2001 J.Shandong Univ.Technol.1 51(in Chinese)[王振發(fā)2001齊魯工業(yè)大學學報1 51]

[25]Wang G,Wen J H,Wen X S,Yu D L,Liu Y Z 2005 Chin.J.Mech.41 107(in Chinese)[王剛,溫激鴻,溫熙森,郁殿龍,劉耀宗2005機械工程學報41 107]

[26]Li L,Liu Y Z,Yu D L 2006 J.Vib.Shock 25 632(in Chinese)[李黎,劉耀宗,郁殿龍2006振動與沖擊25 632]

[27]Wen Q H,Zuo S G,Wei H 2012 Acta Phys.Sin.61 034301(in Chinese)[文岐華,左曙光,魏歡2012物理學報61 034301]

[28]Zhang Y F 2014 M.S.Dissertation(Changsha：National University of Defense Technology)(in Chinese) [張亞峰2014碩士學位論文(長沙：國防科學技術大學)]

[29]Zhang H,Wen J H,Xiao Y,Wang G,Wen X S 2015 J. Sound Vib.343 104

[30]Zhang H,Xiao Y,Wen J H,Yu D L,Wen X S 2016 Appl. Phys.Lett.108 1734

[31]Mei J,Ma G,Yang M,Yang Z,Wen W,Sheng P 2012 Nat.Commun.3 132

PACS:07.10.Fq,46.40.—f,62.30.+d,68.43.Pq DOI:10.7498/aps.66.140701

Flexural vibration band gaps for a phononic crystal beam with X-shaped local resonance metadamping structure?

Du Chun-Yang Yu Dian-Long?Liu Jiang-WeiWen Ji-Hong
(Laboratory of Science and Technology on Integrated Logistics Support,National University of Defense Technology,
Changsha 410073,China)

7 March 2017;revised manuscript

19 April 2017)

Structural vibration is commonly seen in engineering,which can cause resonance and fatigue damage in structure. Therefore,it is very desirable in vibration control techniques to achieve structure with low-frequency and broadband damping feature.In this paper,we design a phononic crystal(PC)beam with X-shaped locally resonant metadamping (XLRMD)structures.Based on the PC theory,the fl exural wave propagation in XLRMD beam is studied.The equivalent dynamic properties of the XLRMD structure are analyzed by Lagrange equation.It is shown that due to its geometric nonlinearity,the XLRMD can e ff ectively increase the damping of the system,which is validated by the transfer matrix method.The in fl uence of structural parameters of XLRMD on band gap characteristics of the PC beam is then discussed in detail by using the fi nite element method with COMSOL multiphysics software in conjunction with Matlab, where the PC beam with XLRMD is modeled with the multi-body dynamic module within COMSOL and the band gap characteristics are calculated.The damping properties of the system are studied also using the fi nite element method. It is shown that compared with the equivalent structures,the PC beam with XLRMD can magnify the damping of the structure system,demonstrating a meta-damping phenomenon.The XLRMD in the PC beam can not only generate lower frequency and wider range band gaps but also suppress the vibration in passband ranges.This can bring a new design for reducing the vibration of structural systems.

phononic crystals,band gap,metadamping,geometric nonlinearity

:07.10.Fq,46.40.—f,62.30.+d,68.43.Pq

10.7498/aps.66.140701

?國家自然科學基金(批準號：11372346)資助的課題.

?通信作者.E-mail：dianlongyu@vip.sina.com

?2017中國物理學會Chinese Physical Society

http://wulixb.iphy.ac.cn

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant No.11372346).

?Corresponding author.E-mail：dianlongyu@vip.sina.com