鄧富勝1)2)3)? 孫勇4) 劉艷紅1)2)3) 董麗娟1)2)3) 石云龍1)2)3)

1)(山西大同大學固體物理研究所,大同 037009)

2)(山西大同大學,微結構電磁功能材料省市共建山西省重點實驗室,大同 037009)

3)(山西大同大學,新型微結構功能材料山西省高等學校重點實驗室,大同 037009)

4)(同濟大學,先進微結構材料教育部重點實驗室,上海 200092)

光子石墨烯中贗磁場作用下的谷霍爾效應?

鄧富勝1)2)3)? 孫勇4) 劉艷紅1)2)3) 董麗娟1)2)3) 石云龍1)2)3)

1)(山西大同大學固體物理研究所,大同 037009)

2)(山西大同大學,微結構電磁功能材料省市共建山西省重點實驗室,大同 037009)

3)(山西大同大學,新型微結構功能材料山西省高等學校重點實驗室,大同 037009)

4)(同濟大學,先進微結構材料教育部重點實驗室,上海 200092)

(2017年3月1日收到;2017年4月16日收到修改稿)

將石墨烯中贗磁場的產生機理運用于光子石墨烯,通過在光子石墨烯中引入晶格有規(guī)律單軸形變的方式,理論分析得到了谷依賴的均勻贗磁場,并通過數(shù)值模擬的方法觀察到明顯的谷霍爾效應.這種谷霍爾效應的顯著程度隨晶格形變度的增加而加強.在具有一定損耗的電介質材料構成的形變光子石墨烯中仍可觀察到明顯的谷霍爾效應.隨著電介質材料損耗的增加,谷霍爾效應導致的波束轉彎效果依然能夠保持,只是強度逐漸變弱.類似于自旋電子學中的自旋霍爾效應,這種光子石墨烯中等效贗磁場作用下的谷霍爾效應在未來谷極化器件的設計和應用中具有重要意義.

光子晶體,光子石墨烯,贗磁場,谷霍爾效應

1 引 言

石墨烯的能帶在第一布里淵區(qū)的六個拐角(或K點)處上下能帶簡并形成的圓錐形奇點稱為狄拉克點[1].在該點附近對應兩個亞格子,形成兩個不等價的狄拉克錐,也稱作谷.由于缺乏短程相互作用,這兩個在動量空間中分離的不等價的谷形成類似自旋的谷自由度,也稱作贗自旋.2007年,Xiao等[2]發(fā)現(xiàn)在空間反演對稱性破缺的石墨烯的兩個不等價的谷具有類似于電子自旋中玻爾磁子的本征磁矩.這使得谷自由度成為一個可直接測量的物理量.實際上,石墨烯在合適的面內電場或磁場作用下,不同谷中的電子在垂直于入射面的橫向相互分離,造成不同谷中電子束向相反方向偏轉,這種現(xiàn)象叫做谷霍爾效應,類似于自旋霍爾效應.這里不等價的谷扮演自旋電子的角色.

近年來,基于石墨烯及類似二維材料的谷霍爾效應已經成為一個新的研究熱點[2-4].例如,2014年,Mak等[3]在類似于石墨烯的單層二硫化鉬晶體結構中也觀察到了這種奇特的谷霍爾效應.二硫化鉬的晶格及能帶結構與石墨烯類似,但有所不同.這類材料中組成蜂窩狀晶格的兩個亞格子不同(分別對應S和Mo原子),導致其能帶結構在布里淵區(qū)拐角處的帶隙被打開.由于這種直接帶隙半導體材料晶體結構的反演對稱性被打破,因此不同谷中電子將會受到大小相等、方向相反的有效磁場的作用,進而可以觀察到谷霍爾效應[3].在該工作基礎上,2015年,南京師范大學張力發(fā)教授與美國德克薩斯大學Qian Niu教授合作,在聲子體系下理論研究了二硫化鉬類比物的手征特性及谷霍爾效應[4].2016年,劉正猷教授課題組在聲子體系下,首先理論模擬研究了谷依賴的渦旋態(tài)[5].最近,該課題組在此工作基礎上又進一步實驗觀察到了類似于凝聚態(tài)體系中拓撲霍爾邊界態(tài)[6-8]的新奇物理現(xiàn)象及隨入射角變化的谷霍爾效應[9].

另外,由于石墨烯的厚度僅相當于一個原子層,因此很容易受外界影響,譬如易發(fā)生機械形變.若石墨烯上外界應力引起的平滑漸變的機械形變在原子間距尺度上,則不會破壞石墨烯亞格子對稱性,但會使得布里淵區(qū)發(fā)生扭曲,從而使石墨烯兩個谷(K和K′點)中電子向相反方向移動[10-17].這類似于電子在磁場作用下的運動.合適的機械應變會在石墨烯中產生均勻的贗磁場,且對兩個谷具有相反符號.這種機械形變引起的贗磁場不同于外加磁場,不會破壞結構的時間反演對稱性,因而提供了一種嶄新的不需要外場便可控制電子行為的機理.

近年來,基于光子與電子作為波的共性,人們開始研究與石墨烯具有相同對稱性、相似能帶結構的光子晶體.通常,具有三角晶格或者蜂窩晶格的光子晶體,由于其能帶在第一布里淵區(qū)拐角處同樣存在狄拉克點,且在該點附近對應兩個亞格子形成兩個不等價的谷,這樣的光子晶體稱作光子石墨烯(photonic graphene,PG)[18-23].在光子體系下,已有學者在形變光子石墨烯結構中觀察到了贗磁場和朗道量子化效應[24]以及類似朗道能級引起的光的放大態(tài)[25].而且,光子石墨烯中谷依賴電磁波的輸運行為及人工贗磁場相關新奇物理現(xiàn)象的研究,已經取得了一些新的進展[26-28].如何實現(xiàn)基于光子石墨烯的谷霍爾效應,能否獲得不需要任何外場作用的谷霍爾效應,這些問題仍然未知.

本文通過在光子石墨烯中引入晶格有規(guī)律的單軸形變的方式,理論分析獲得了谷依賴的均勻贗磁場.通過數(shù)值模擬的方法觀察到了明顯的人工贗磁場作用下的谷霍爾效應.這種谷霍爾效應的顯著程度隨晶格形變度的增加而加強.我們還針對組成形變光子石墨烯的電介質材料,考慮不同程度吸收情況下谷霍爾效應導致的谷依賴的波束轉彎行為,作了進一步模擬計算和討論.光子石墨烯中這種等效贗磁場作用下的谷霍爾效應,類似于自旋電子學中的自旋霍爾效應,具有潛在應用價值.

2 光子石墨烯中谷依賴的均勻贗磁場

光子晶體能帶通常用平面波展開法計算,有時也在Wannier表像下描述其哈密頓量[29,30].在 Wannier表像下,我們引入參數(shù)βij表示相鄰位置i與j間的耦合系數(shù),

式中Wm(r-Rj)稱為Wannier函數(shù),它是以格點Rj為中心的局域函數(shù).其中r是空間坐標,Rj是格點坐標,H是等價的哈密頓量.如圖1(a)所示,采用的光子石墨烯是由亞格子A和B組成的蜂窩狀結構.考慮最近鄰和次近鄰近似,Wannier表像下的哈密頓量類似于緊束縛近似下石墨烯的哈密頓量[1],可表示為

式中β0,β1,β2分別為原位能(on-site energy)、最近鄰耦合系數(shù)和次近鄰耦合系數(shù),k為波矢.δ1(δ2)為最近鄰(次近鄰)位移矢量(圖1(a)).哈密頓量對應的本征值為ω2(k)/c2.圖1(b)所示為規(guī)則光子石墨烯在微波段的三維能譜圖,在該能譜中對應于兩個亞格子存在兩個不等價的谷.

圖1 (網刊彩色)結構模型與能帶 (a)蜂窩狀光子石墨烯結構示意圖;(b)規(guī)則光子石墨烯對應三維能帶圖Fig.1.(color online)Model and energy band：(a)The model for the photonic graphene with honeycomb lattice;(b)three-dimensional energy band of the photonic graphene.

對于晶格扭曲的光子石墨烯,應變會改變其介電常數(shù)ε(r)的分布,從而與石墨烯中的情況類似,局部改變β1的值.為了研究這種應變效應,我們采用與電子石墨烯相同的做法.按照有關形變石墨烯的描述[10-12],對于晶格扭曲的石墨烯,在其狄拉克點附近的哈密頓量H0(k)需要增加新的一項,可寫為

式中σ=(σx,σy)為泡利矩陣,A為規(guī)范矢勢,

式中κ =-?lnβ1/?lna為無量綱參數(shù);uij為應變張量,定義為例如uyy=?uy/?y;符號±分別對應由時間反演對稱性相聯(lián)系的K與K′兩個不等價的谷.因此,贗磁場為BK=-BK′=?×A.

為獲得等效均勻贗磁場,選用的單軸應變張量為

按照這種應變方式,在這種單軸扭曲的光子石墨烯中贗磁場BK=-BK′,且|BK=|-BK′=κc0/a是一個常數(shù),c0為形變系數(shù).因此,通過在光子石墨烯中引入這種特定的單軸形變,理論上可以獲得谷依賴的均勻贗磁場.

3 光子石墨烯中贗磁場作用下的谷霍爾效應

為了進一步觀察贗磁場作用下的谷霍爾效應,我們按照實際蜂窩狀晶格的排布規(guī)律根據(5)式設計了具體的晶格距離漸變的結構模型.圖2為這種晶格形變的光子石墨烯模型(圖2(b))與規(guī)則石墨烯模型(圖2(a))的對比.晶格扭曲沿y方向,發(fā)生形變的亞格子A和B所在位置的空間坐標遵循如下規(guī)律：

圖3(a)為得到的規(guī)則光子石墨烯對應二維能譜結構示意圖.這里組成光子石墨烯的電介質柱子半徑和介電常數(shù)分別為1.5 mm和9,最近鄰柱子間距離為a=6 mm.該能譜中前兩個帶在K點處簡并(10.73 GHz),形成狄拉克點.圖中紅色虛線對應位置處于能帶三角扭曲區(qū)域(9.40 GHz).對于規(guī)則光子石墨烯而言(圖3(b)),在Zigzag界面處能帶的三角扭曲效應會引起谷依賴的分束現(xiàn)象[31].分開的兩波束分別對應光子石墨烯兩個不等價的谷(K和K′點).圖3(b)插圖中半圓形與三角形分別為空氣與光子石墨烯中的等頻線(9.40 GHz),由于群速度方向始終垂直于等頻線,因而可以形成夾角約為60°的劈裂波束.根據前文理論分析,單軸扭曲情況下晶格應變量與坐標滿足二次方關系時,可以在光子石墨烯中產生均勻的贗磁場.因此,在這種晶格扭曲的光子石墨烯中預期可以觀察到贗磁場作用下的谷霍爾效應.即石墨烯在贗磁場作用下,兩個不等價谷中的光子在垂直于入射面的橫向相互分離,故可觀察到谷依賴的波束彎曲效應.

圖2 (網刊彩色)(a)規(guī)則光子石墨烯示意圖;(b)單軸扭曲光子石墨烯示意圖Fig.2.(color online)(a)Schematic of regular PG; (b)schematic of uniaxially distorted PG.

圖3 (網刊彩色)能帶圖及谷依賴分束示意圖 (a)規(guī)則光子石墨烯二維能帶結構示意圖;(b)能帶三角扭曲效應引起的谷依賴分束示意圖Fig.3.(color online)Schematic of 2D energy band and valley dependent beam splitting e ff ect：(a)2D energy band for regular PG;(b)valley dependent beam splitting e ff ect in regular PG.

圖4 (網刊彩色)單軸扭曲的光子石墨烯結構中贗磁場作用下的谷霍爾效應 (a)規(guī)則結構在9.4 GHz處的模擬結果;(b)扭曲度為c=0.003·a-1的單軸扭曲光子石墨烯結構在9.4 GHz處的模擬結果;(c)扭曲度為c=0.0048·a-1的單軸扭曲光子石墨烯結構在9.4 GHz處的模擬結果Fig.4.(color online)Valley Hall effect induced by pseudomagnetic field in uniaxially distorted photonic graphene：(a)Simulated 2D electric field distribution for regular PG at 9.4 GHz;(b)simulated 2D electric field distribution for distorted PG(c=0.003·a-1)at 9.4 GHz;(c)simulated 2D electric field distribution for distorted PG(c=0.0048·a-1)at 9.4 GHz.

我們通過電磁仿真軟件觀察這種贗磁場作用下的谷霍爾效應.數(shù)值仿真采用三維高頻電磁場仿真軟件(CST,Computer Simulation Technology公司,德國),選擇時域求解器模塊進行計算.波源采用波導端口,其中端口大小可任意調節(jié),入射波為高斯脈沖.邊界條件設置如下：沿電介質柱子軸的方向為電邊界(相當于金屬壁),垂直于電介質柱子軸的方向為開放邊界(背景為空氣).為了進行對比分析,同時模擬計算了規(guī)則光子石墨烯中波束傳輸?shù)碾妶龇植?圖4(a)為規(guī)則光子石墨烯中9.4 GHz頻率處二維電場分布的模擬計算結果,從圖中可以清楚觀察到谷依賴的波束劈裂現(xiàn)象.圖4(b)是對扭曲度為c=0.003·a-1的單軸扭曲光子石墨烯結構得到的模擬計算結果,從圖中可以明顯看出波束的彎曲效應,而且劈裂的不同谷的波束沿相反的彎曲路徑傳播,有明顯的谷霍爾效應產生.圖4(c)是對扭曲度為c=0.0048·a-1的單軸扭曲光子石墨烯結構得到的模擬計算結果.與圖4(b)相比,此時光子石墨烯波束轉彎效果更為明顯,而且兩束波之間的場強很弱,相當于隨著扭曲度的增加,贗磁場作用逐漸增強,谷霍爾效應變得更為清楚.

圖5 (網刊彩色)扭曲度為c=0.0048·a-1的光子石墨烯電介質材料在不同介電常數(shù)ε取值情況下的電場分布(a)ε=9+0i;(b)ε=9+0.01i;(c)ε=9+0.02iFig.5.(color online)Simulated 2D electric field distribution for distorted PG(c=0.0048·a-1)with different dielectric constants ε：(a)ε=9+0i;(b)ε= 9+0.01i;(c)ε=9+0.02i.

仿真計算時沒有考慮材料的損耗.為了使數(shù)值計算結果更貼近實際,我們在材料中引入不同程度的損耗,進一步對扭曲度為c=0.0048·a-1的單軸扭曲光子石墨烯結構進行模擬計算.如圖5所示,圖5(a)—圖5(c)中電介質材料介電系數(shù)分別取ε=9+0i,ε=9+0.01i,ε=9+0.02i時對應的仿真結果.從對比結果可知,隨著電介質材料損耗(介電系數(shù)虛部)的增加,依然能夠保持波束轉彎效果,只是強度逐漸變弱.該結果表明在具有吸收或損耗的實際電介質材料構成的形變光子石墨烯中仍然可以觀察到明顯的谷霍爾效應.

4 結 論

本文主要借鑒電子石墨烯中非均勻機械應力作用下產生贗磁場的機理,在單軸扭曲的光子石墨烯中觀察到了贗磁場作用下的谷霍爾效應.這種晶格扭曲的光子石墨烯結構的時間反演對稱性沒有被破壞,兩個谷中的光子受到大小相等、方向相反的贗磁場作用.因此,兩個谷中光子束在這種贗磁場作用下將沿不同的彎曲路徑運動,這類似于石墨烯在面內電場作用下或二硫化鉬在有效磁場作用下的谷霍爾效應.該結果揭示了這種人工贗磁場對光子束谷依賴的調控能力.隨著集成光路技術的不斷發(fā)展,這種人工磁場控制下的波束傳輸機理對于集成化光學器件的研制和應用具有重要意義.

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PACS:42.70.Qs,41.20.Jb,42.25.Bs DOI:10.7498/aps.66.144204

Valley Hall e ff ect induced by pseudomagnetic field in distorted photonic graphene?

Deng Fu-Sheng1)2)3)?Sun Yong4)Liu Yan-Hong1)2)3)Dong Li-Juan1)2)3)Shi Yun-Long1)2)3)
1)(Institute of Solid State Physics,Shanxi Datong University,Datong 037009,China)
2)(Shanxi Provincial Key Laboratory of Microstructure Electromagnetic Functional Materials,Shanxi Datong University, Datong 037009,China)
3)(Key Laboratory of New Microstructure Function Materials in Shanxi Province,Shanxi Datong University, Datong 037009,China)
4)(Key Laboratory of Advanced Microstructure Materials,Ministry of Education,Tongji University,Shanghai 200092,China)

1 March 2017;revised manuscript

16 April 2017)

Like the spin in spintronics,the valley index in graphene can be viewed as a new carrier of information,which is useful for designing modern electronic devices.Recently,we have applied the concept of valleytronics to photonic graphene,revealed valley-dependent beam splitting e ff ect and realized pseudomagnetic field.The pseudomagnetic field enables a novel manipulation of photons.In this paper,the photonic analogy of valley Hall e ff ect in uniaxially distorted photonic graphene is investigated.It is found that photons in two valleys are subjected to pseudomagnetic fields that are equal in strength but opposite in sign.With the increasing of distortion,the valley Hall e ff ect becomes stronger. In addition,it is found that the photonic valley Hall e ff ect can still be maintained under the in fl uence of loss,although the beam intensity decreases.The photonic analogy of valley Hall e ff ect induced by pseudomagnetic field in uniaxially distorted photonic graphene may be very useful for controlling the fl ow of light in future valley-polarized devices.

photonic crystal,photonic graphene,pseudomagnetic field,valley Hall e ff ect

:42.70.Qs,41.20.Jb,42.25.Bs

10.7498/aps.66.144204

?國家自然科學基金(批準號：11604186,11674247,11504211)、山西省自然科學基金(批準號：201601D202011)、山西省科技攻關項目(批準號：2015031002-2)和大同市科技攻關項目(批準號：2016021,2015015,201308)資助的課題.

?通信作者.E-mail：dengfusheng2005@163.com

?2017中國物理學會Chinese Physical Society

http://wulixb.iphy.ac.cn

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant Nos.11604186,11674247,11504211),the Natural Science Foundation of Shanxi Province,China(Grant No.201601D202011),the Science and Technology Project of Shanxi Province,China(Grant No.2015031002-2),and the Science and Technology Project of Datong,Shanxi Province, China(Grant Nos.2016021,2015015,201308).

?Corresponding author.E-mail：dengfusheng2005@163.com