朱紅旗,張秀蘭

（淮南師范學(xué)院金融學(xué)院，安徽 淮南 232038）

數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)研究

一種新的超混沌系統(tǒng)修正函數(shù)投影同步

朱紅旗,張秀蘭

（淮南師范學(xué)院金融學(xué)院，安徽 淮南 232038）

針對一種新的超混沌系統(tǒng)，基于Lyapunov穩(wěn)定性理論建立同步控制器。該控制器在實(shí)現(xiàn)任意初值的超混沌系統(tǒng)修正函數(shù)投影同步的同時(shí)，能保證閉環(huán)系統(tǒng)所有信號有界。數(shù)值仿真的結(jié)果也驗(yàn)證了該方法的有效性。

同步；修正函數(shù)投影同步；超混沌系統(tǒng)

1引言

自從Ott等提出OGY方法控制混沌系統(tǒng)以來①Ott E,Grebogi C,Yorke J A."Controlling chaos",Physical Review Letters,1990,64(11):pp.1196-1199.，對混沌系統(tǒng)的控制已成為非線性科學(xué)的研究熱點(diǎn)，并提出了許多有效的控制方法，如PID控制②Chezi L L,Peccardi C."PID control of a chaotic system:An application to an epidemiological model".Automatic,1997,33(2):pp.181-191.，自適應(yīng)狀態(tài)反饋控制③Feki M."An adaptive feedback controller for linearizable chaotic systems".Chaos,Solitons&Fractals.2003, 15(5):pp.883-890.，滑?？刂脾蹵blay G."Sliding mode control of uncertain unified chaotic systems".Nonlinear Analysis:Hybrid systems, 2009,3(4):pp.531-535.，自適應(yīng)模糊控制⑤Boulkroune A,Chekireb H,Tadjine M."Observer-based adaptive feedback controller of a class of chaotic systems".International Journal of Bifurcation and Chaos,2006,16(2):189-196 Liu H,Li S,Sun Y，Wang H. Prescribed performance synchronization for fractional-order chaotic systems".Chinese Physics B,2015,24(9): 090505.Poursamad A,Markazi A H D."Adaptive fuzzy sliding-mode control for multi-input multi-output chaotic systems".Chaos,Solitons&Fractals,2009,42(5):3100-3109.等?；煦缦到y(tǒng)的同步問題作為混沌控制的一個(gè)重要方面在信息處理，通訊安全，生態(tài)系統(tǒng)中得到廣泛的應(yīng)用⑥Liu H,Li S,Wang H,Huo Y,Luo J.Adaptive synchronization for a class of uncertain fractional-order neural networks.Entropy,2015,17(10):7185-7200.。目前，學(xué)者們提出了多種同步方法，如完全同步、時(shí)滯同步、修正函數(shù)同步、投影同步及修正函數(shù)投影同步等⑦Liu H,Li S,Wang H,Huo Y,Luo J."Adaptive synchronization for a class of uncertain fractional-order neural networks",Entropy,2015,17(10):7185-7200.Carroll T L,Heagy J F,Pecora L M."Transforming signals with chaotic sychronization.Phys Rev E,1996,54:4676-4680,.Rosenblum M G,Pikovsky AS,Kurths J." From phase to lag synchronization in coupled chaotic oscillatrors".Phys Rev Lett,1997,78:4196-4193. Mainieri R,Rehacek J.Projective synchronization in three-dimensional chaotic systems.Phys Rev Lett, 1999,82:pp.3042-3045.劉恒，李生剛，孫業(yè)國，王宏興：《帶有未知非對稱控制增益的不確定分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)自適應(yīng)模糊同步控制》，《物理學(xué)報(bào)》2015年第7期，第64頁。。其中，投影同步因?yàn)槟苁箖蓚€(gè)混沌系統(tǒng)按照一定的比例因子進(jìn)行同步，由于比例因子的不可預(yù)測性能使保密通信更加安全可靠。近來，在投影同步的基礎(chǔ)上學(xué)者們進(jìn)一步提出了修正函數(shù)投影同步⑧Du H，Zeng Q,Wang C".Function projective synchronization of different chaotic systems".Phys Rev Lett, 2008,372:pp.5402-5410.。

2009年，劉明華等提出了一種新的超混沌系統(tǒng)①劉明華，馮久超：《一個(gè)新的超混沌系統(tǒng)》，《物理學(xué)報(bào)》2009年第7期，第4457-4462頁。。目前，對于這種混沌系統(tǒng)的研究較少。本文主要針對劉混沌系統(tǒng)的修正函數(shù)投影同步問題，基于Lyapunov穩(wěn)定性理論，設(shè)計(jì)自適應(yīng)同步控制器，并對同步的效果進(jìn)行仿真研究。

2問題的描述

一種新的超混沌系統(tǒng)可以描述為：

其中,[x,y,z,w]T為可測量的系統(tǒng)狀態(tài)向量，a,b,c,d為系統(tǒng)參數(shù)。當(dāng)參數(shù)的取值為a=35,b=3,c=35,d=8時(shí)系統(tǒng)(1)表現(xiàn)出混沌現(xiàn)象,如圖1所示。

圖1超混沌系統(tǒng)(1)的混沌吸引子

為表述方便，記x=[x,y,z,w]T，f(x)=[a(y-x),cx-xz+ w,-bz+xy,-dx]T，則超混沌系統(tǒng)可以改寫為：

同步中，取驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)如(2)式，響應(yīng)系統(tǒng)為：

其中y∈R4為可測的系統(tǒng)狀態(tài)向量，u∈R4為控制輸入。

首先給出如下的同步誤差定義：

這里M(t)=diag[m1(t),···m4(t)]為函數(shù)比例因子矩陣，mi(t)≠0為連續(xù)可微的函數(shù)。本文的控制目標(biāo)為選取適當(dāng)?shù)目刂屏縰，在保證閉環(huán)系統(tǒng)所有信號有界的前提下實(shí)現(xiàn)響應(yīng)系統(tǒng)(3)及驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(2)的修正函數(shù)投影同步，即：

3同步控制器的設(shè)計(jì)及穩(wěn)定性分析

根據(jù)(2)-(4)，同步誤差的動(dòng)態(tài)方程為

于是，根據(jù)(6)控制量u可選為

其中，K=diag[k1,k2,k3,k4,]，ki＞0,i=1,2,3,4為設(shè)計(jì)參數(shù)。于是有下面的結(jié)論成立：

定理1對于超混沌驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（2）和響應(yīng)系統(tǒng)（3），設(shè)控制量為（7），則可實(shí)現(xiàn)兩混沌系統(tǒng)任意初值的修正函數(shù)投影同步，且所有閉環(huán)系統(tǒng)信號有界。

證明：把控制量方程（7）帶入其誤差動(dòng)態(tài)方程，有：

選取Lyapunov函數(shù)為：

則V對時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)為

根據(jù)方程(8)可得

4

其中k=min{ki},i=1,2,3,4。根據(jù)(11)求解微分方程可得：

且閉環(huán)系統(tǒng)所有信號有界。證畢。

4數(shù)值仿真

仿真中，系統(tǒng)參數(shù)選擇如下：k1=k2=k3=k4=1。參數(shù)k取值較小是為了說明本文設(shè)計(jì)的同步控制器良好的控制效果。

超混沌系統(tǒng)(2)和(3)的系統(tǒng)參數(shù)都選為a=35, b=3,c=35,d=8。系統(tǒng)的初值為：

x=[0,0,40,2]T,y=[-5,-5,-20,-10]T

修正函數(shù)比例因子矩陣選為M(t)=diag[2+sint,

仿真的結(jié)果見圖2-圖5。圖2為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)狀態(tài)變量隨時(shí)間的變化，圖3為響應(yīng)系統(tǒng)在控制量（7）的作用下狀態(tài)變量的變化。圖4為同步誤差。圖5為控制輸入變量。

從仿真的結(jié)果可以看出修正函數(shù)投影同步效果較好，本文設(shè)計(jì)的控制器能很好地實(shí)現(xiàn)任意初值的兩超混沌系統(tǒng)的修正函數(shù)投影同步。從圖2-5可以看出，整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)在保證實(shí)現(xiàn)同步的過程中，兩系統(tǒng)所有信號及控制輸入均有界。

圖2驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)狀態(tài)變量變化曲線

圖3響應(yīng)系統(tǒng)狀態(tài)變量變化曲線

圖4修正函數(shù)投影同步誤差

圖5控制量變化曲線

5結(jié)論

針對一種新的超混沌系統(tǒng)，基于Lyapunov穩(wěn)定性理論研究任意初值的超混沌系統(tǒng)的修正函數(shù)投影同步問題。構(gòu)建的同步控制器能很好地實(shí)現(xiàn)兩系統(tǒng)的修正函數(shù)投影同步。最后，數(shù)值仿真的結(jié)果也進(jìn)一步驗(yàn)證了本文控制方法的有效性。

A ne w hyper-chaotic system for projective synchronization of modified function

ZHU Hongqi,ZHANG Xiulan

A synchronization controller is established based on Lyapunov stability theory for the new hyper-chaotic system.The controller makes it possible for any initial value to be projected synchronously and guarantees that all signals in the closed-loop system will remain bounded.The effectiveness of the proposed scheme is illustrated throughout simulation results.

synchronization;projective synchronization of modified function;hyper-chaotic system

TP273

A

1009-9530（2017）03-0085-03

2017-03-09

朱紅旗(1967－)，女，淮南師范學(xué)院金融學(xué)院講師，研究領(lǐng)域：非線性系統(tǒng)控制。張秀蘭(1981－)，女，淮南師范學(xué)院電子工程學(xué)院講師，研究領(lǐng)域：混沌控制與同步。