王小芹，常萌萌，秦志芳

（安陽(yáng)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室，河南安陽(yáng)455000）

高維非線性隨機(jī)微分方程組的指數(shù)穩(wěn)定性

王小芹，常萌萌，秦志芳

（安陽(yáng)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室，河南安陽(yáng)455000）

隨機(jī)系統(tǒng)的穩(wěn)定分析，近年來(lái)逐漸受到很多概率論學(xué)者與工程技術(shù)人員的研究，并取得了重要的研究成果，而前人研究往往以Lyapunov方法為工具，從系統(tǒng)的生成元入手，得到系統(tǒng)穩(wěn)定性的依據(jù).文章從隨機(jī)微分方程組的變換入手，將隨機(jī)微分方程組局部的變換為帶隨機(jī)項(xiàng)的常微分方程組，然后通過(guò)類似于Hurwitz的分析技巧，從而得到系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性判據(jù).

Lyapunov穩(wěn)定；隨機(jī)微分方程組；連續(xù)半鞅；It＾o公式；指數(shù)穩(wěn)定性

隨機(jī)微分方程是建立在概率論與常微分方程穩(wěn)定性理論的邊緣上發(fā)展起來(lái)的，其研究領(lǐng)域是非常廣泛的，其中隨機(jī)微分方程的穩(wěn)定性研究是最為重要的一面［1－2］，無(wú)論是對(duì)學(xué)術(shù)理論，還是實(shí)際應(yīng)用方面都非常有意義.

隨機(jī)微分方程穩(wěn)定性的發(fā)展，是從1908年，Langevin在研究Brown運(yùn)動(dòng)時(shí)首次得到一隨機(jī)微分方程開(kāi)始的，到1951年，It＾o建立It＾o型隨機(jī)微分方程的理論，為后來(lái)學(xué)者給出隨機(jī)微分方程穩(wěn)定性的幾種釋義奠定了基礎(chǔ).直至1994年，毛雪榮全面討論了隨機(jī)微分方程和隨機(jī)泛函微分方程的指數(shù)穩(wěn)定性，該研究是從系統(tǒng)的生成元入手，以Lyapunov方法為工具，對(duì)隨機(jī)系統(tǒng)進(jìn)行研究.

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 微分動(dòng)力系統(tǒng)

定理1［1］考慮該隨機(jī)微分方程

其中的b（x），σ（x）是Rm上的兩個(gè)連續(xù)函數(shù)，如果存在兩個(gè)正整數(shù)K和K－，滿足

（1）（Lipschitz）對(duì)任意的x，y∈Rd，t∈［0，T］，有：

（2）（線性增長(zhǎng)條件）對(duì)任意的（x，t）∈Rd×［0，T］，有：

則方程dX（t）＝b（X（t），t）dt＋σ（X（t），t）dW（t）存在唯一的一個(gè)解X（t），并且X（t）∈M2（［t0，T］，R）.

定理2［3］當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任意給定的正定對(duì)稱矩陣Q，存在一個(gè)正定對(duì)稱矩陣P滿足Lyapunov方程，即

那么A就是Hurwitz矩陣，即A的所有特征值都滿足Reλi＜0.此外，如果A是Hurwitz矩陣，那么P就是Lyapunov方程的唯一解.

定理3［3］設(shè)x＝0是非線性系統(tǒng)的一個(gè)平衡點(diǎn)，其中有連續(xù)可微函數(shù)f：D→Rn，且D為原點(diǎn)的一個(gè)鄰域.設(shè)

（1）原點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的，若A的所有特征值都滿足Reλi＜0.

（2）原點(diǎn)是不穩(wěn)定的，若A至少有一個(gè)特征值滿足Reλi＞0.

1.2 鞅、布朗運(yùn)動(dòng)和It＾o公式

定義1［2］Ft適應(yīng)過(guò)程X＝Xt，t∈Rt為一維連續(xù)半鞅，它具有下面唯一的分解式：

其中X0為F0可測(cè)隨機(jī)變量，Mt為連續(xù)局部鞅，Vt為連續(xù)有界變差過(guò)程，M0＝V0＝0.定義2［2］連續(xù)隨機(jī)過(guò)程Bt：0#t＜T｛

｝稱為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，如果滿足以下條件：

（1）B0＝0，

（2）Bt是獨(dú)立增量，即

0#t1＜t2＜...＜tn＜T，Bt2－Bt1，Bt3－Bt2，...，Btn－Btn－1是相互獨(dú)立的，

（3）對(duì)任意0#s#t＜T，Bt－Bs服從期望為0，方差為c2t的正態(tài)分布，

（4）t0，Bt（ω）是關(guān)于t的連續(xù)函數(shù).

則It＾o公式又可寫(xiě)為

1.3 穩(wěn)定性定義

定義3［3］（指數(shù)穩(wěn)定）如果

那么稱（1）的平凡解是穩(wěn)定的，否則稱為是不穩(wěn)定的.

如果存在γ＞0使得

則稱（1）的平凡解是指數(shù)穩(wěn)定的.

2 主要結(jié)果及證明

考慮方程（1），其中b（x），σ（x）是Rm上的兩個(gè)連續(xù)函數(shù)，滿足以下條件：

1）b（x），σ（x）是連續(xù)可微的；

2）存在常數(shù)M＞0，使得b（x）＋σ（x）＜M（1＋x）；

由隨機(jī)微分方程的知識(shí)可知方程（1）存在唯一解，記方程的解為X（t；x0）.假設(shè)

3）0是b（x）和σ（x）的唯一的0點(diǎn)，并且σ（0）不為0.

條件（3）說(shuō)明x（t）≡0是方程（1）的一個(gè)解，稱為平凡解或者平衡點(diǎn).

首先假設(shè)m＞1，d＝1.設(shè)A＝（aij）i#n，j#r是一個(gè)n×r矩陣，n維向量視為n×1矩陣.對(duì)于實(shí)數(shù)x，約定：

x＊A＝A＊x＝（xaij）i#n，j#r

設(shè)A（s）＝（aij（s））i#n，j#r和B（s）＝（bij（s））i#n，j#r分別是n×r和n×l矩陣函數(shù)，如果每個(gè)aij（s）和bij（s）都是連續(xù)半鞅，矩陣

記作〈dA（s），dB（s）〉.不難驗(yàn)證以下等式成立：

dA（s）B（s）＝［dA（s）］B（s）＋A（s）［dB（s）］＋〈dA（s），dB（s）〉.設(shè)A是一個(gè)n×n矩陣，W（t）是一個(gè)一維布朗運(yùn)動(dòng)，令

不難驗(yàn)證

當(dāng)A和B可交換時(shí)

exp｛（A＋B）W（t）｝＝exp｛BW（t）｝exp｛AW（t）｝.

令A(yù)＝σ（0），σ（x）和Ax是光滑C2－等價(jià)的，H是σ（x）和A（x）之間的C2－共軛映射.

由C2－共軛的定義，可知

H（x）σ（x）＝AH（x），x∈Oρ（0）

上式兩端求導(dǎo)后可得H（0）A＝AH（0），即矩陣H（0）和A之間是可交換的.

設(shè)x0∈Oρ（0），X（t；x0）是方程（1）的解，簡(jiǎn)記作X（t）.令

由It＾o公式，知

則

H（x）的逆映射記作G（y），則G（0）＝H－1

令

這樣得到在（0，S）上

由于A與G（0），exp｛－AW（t）｝，H（0）以及exp｛AW（t）｝是可換的，所以（1）可轉(zhuǎn)化為

令E＝H（0）ΓG（0），那么

這時(shí)方程組轉(zhuǎn)化為它是一個(gè)含隨機(jī)項(xiàng)的常微分方程組.

定理4 假設(shè)b（0）與A是可交換的，如果Γ的所有特征值的實(shí)部都是負(fù)數(shù)，則方程組（1）的平凡解是指數(shù)穩(wěn)定的.

證 令E＝H（0）ΓG（0），那么由于E的特征值的實(shí)部全是負(fù)的，由定理3，可取m×m正定矩陣P使得

PE＋ETP＝－I.

令V（x）＝xTPx，則由于P為正定矩陣，故有λmin‖Y（t）‖2#V（Y（t））#λmax‖Y（t）‖2，

其中λmin為V（Y（t））特征值的最小值，λmax為V（Y（t））特征值的最大值.

那么有

取ε＞0，使得1－2λ2maxε＞0.

令

則在［0，T］上，有V（Y（t））#e－ctV（Y（0））#λmaxect‖Y（0）‖2.

由于exp｛－AW（t）｝是每個(gè)元素都含有－eαiW（t），W（t），cosβiW（t），sinβiW（t）的多項(xiàng)式，故由Brown運(yùn)動(dòng)的重對(duì)數(shù)律知，e－ctexp｛－AW（t）｝是一個(gè)有界函數(shù)，其界為N.

令τ＝inf ｛t‖Y（t）‖γ｝，取Y（0）＝H（x0），使得‖Y（0）‖＜γ，則‖Y（τ）‖＝γ.從而在［0，τ）上，V（Y（t））#e－ctV（Y（0））.

如果｛t‖Y（t）‖γ｝不空，則λmin‖Y（τ）‖2#V（Y（τ））#e－ctV（Y（0））#e－ctλmax‖Y（0）‖2.從而有γ

3 小結(jié)

文中方程組的指數(shù)穩(wěn)定性的判據(jù)，僅需要隨機(jī)系統(tǒng)系數(shù)在平衡點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，因此判據(jù)更具實(shí)用性.還可以進(jìn)一步討論，什么條件下，方程組（1）的平凡解是不穩(wěn)定的.

［1］胡進(jìn).一類隨機(jī)微分方程的穩(wěn)定性分析［D］.成都：電子科技大學(xué)，2006.

［2］謝晶晶.一維隨機(jī)微分方程的穩(wěn)定性［D］.湖北：華中科技大學(xué)，2011.

［3］吳小太.幾類隨機(jī)微分方程解的存在與穩(wěn)定性的研究與應(yīng)用［D］.東華大學(xué)，2012.

［4］胡宣達(dá).關(guān)于隨機(jī)微分方程的不穩(wěn)定性定理［J］，南京大學(xué)學(xué)報(bào)，1986，22（1）：9－16.

［5］Khalil.非線性系統(tǒng)［M］.北京：電子工業(yè)出版社，2005：60－73.

O211.62

A

1671-9476（2017）02-0032-04

10.13450／j.cnkij.zknu.2017.02.008

2016-08-15；

2016-11-23

王小芹（1990－），女，河南新鄉(xiāng)人，碩士研究生，主要從事馬氏過(guò)程分析研究.