費(fèi)時(shí)龍

(宿州學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 安徽 宿州 234000)

多重隨機(jī)環(huán)境中馬氏鏈及其強(qiáng)大數(shù)定律

費(fèi)時(shí)龍

(宿州學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 安徽 宿州 234000)

引入了多重隨機(jī)環(huán)境中的馬爾科夫鏈模型,該模型是隨機(jī)環(huán)境中馬爾科夫鏈模型的推廣,適用范圍更廣.給出了多重隨機(jī)環(huán)境中馬爾科夫鏈模型的2個(gè)應(yīng)用背景；討論了m重隨機(jī)環(huán)境中馬爾科夫鏈、n重隨機(jī)環(huán)境中馬爾科夫鏈、馬氏鏈、2m維鏈的相互關(guān)系及性質(zhì).最后,利用得到的多重馬氏鏈的相關(guān)性質(zhì)獲得了多重隨機(jī)環(huán)境中馬爾科夫鏈強(qiáng)大數(shù)定律成立的充分條件,推廣了部分文獻(xiàn)的結(jié)論.

隨機(jī)環(huán)境;m重馬氏鏈;強(qiáng)大數(shù)定律

0 引 言

馬爾科夫鏈(以下簡(jiǎn)稱經(jīng)典馬氏鏈)是隨機(jī)過(guò)程中最重要的分支之一,其理論已廣泛應(yīng)用于金融、保險(xiǎn)、現(xiàn)代物理、分子生物學(xué)、隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)等領(lǐng)域.基于經(jīng)典馬氏鏈理論研究,考慮到經(jīng)典馬氏鏈中的轉(zhuǎn)移函數(shù)會(huì)受外部隨機(jī)因素的干擾,COGBURN[1]增加了隨機(jī)變量,并引入了隨機(jī)環(huán)境中的馬爾科夫鏈模型(簡(jiǎn)稱MCRE).自20世紀(jì)80年代以來(lái),MCRE的理論研究得到了各國(guó)學(xué)者的廣泛關(guān)注，并取得了豐富的成果.COGBURN在MCRE的狀態(tài)分類與性質(zhì)[1-2]、中心極限定理[3]等方面獲得了豐富的研究成果.OREY[4]對(duì)COGBURN等的工作進(jìn)行了總結(jié)和評(píng)價(jià),同時(shí)得到類似于經(jīng)典馬氏鏈理論方面的很多成果并提出一些問(wèn)題.李應(yīng)求[5-7]研究了MCRE的常返性.胡迪鶴[8-9]給出了MCRE的構(gòu)造.近年來(lái),MCRE極限理論及其研究受到很多學(xué)者的重視,王漢興等[10]研究了MCRE的Poisson極限律,方大凡[11]研究了MCRE的Shannon-McMillan-Breiman定理,郭明樂[12-13]、萬(wàn)成高[14]、王偉剛[15]分別研究了MCRE的強(qiáng)大數(shù)定律.胡迪鶴[16]則對(duì)MCRE作了詳細(xì)介紹與研究.本文主要討論MCRE模型的推廣,通過(guò)引入多重隨機(jī)環(huán)境中的馬爾科夫鏈模型,討論m重隨機(jī)環(huán)境中的馬爾科夫鏈、k重隨機(jī)環(huán)境中的馬爾科夫鏈、MCRE、雙鏈、2m維鏈的相互關(guān)系,給出研究多重隨機(jī)環(huán)境中馬爾科夫鏈的一種方法,以獲得多重隨機(jī)環(huán)境下馬爾科夫鏈強(qiáng)大數(shù)定律成立的充分條件.推廣了部分文獻(xiàn)的結(jié)論.

1 m重MCRE模型及性質(zhì)

(i)對(duì)任意θm∈Θm及xm∈Xm,p(θm;xm,·)是A上的概率測(cè)度.

(ii)對(duì)任意θm∈Θm及A∈A,p(θm;·,A)關(guān)于Am可測(cè).

(iii)對(duì)任意xm∈Xm及A∈A,p(·;xm,A)關(guān)于Bm可測(cè).

(iv)對(duì)任意A∈Ap(·;·,A)關(guān)于Bm×Am可測(cè).

則稱p(·;·,·)為一個(gè)m重隨機(jī)馬爾科夫核.

(1)

(2)

證明 設(shè)p(·;·,·)為一個(gè)m重隨機(jī)馬爾科夫核,若記

p((θn,…,θn+k-1);(xn,…,xn+k-1);A)=

p((θn+k-m,…,θn+k-1);(xn+k-m,…,xn+k-1);A),

從而由單調(diào)類定理易得

注2 由注1及定理1知,m重隨機(jī)環(huán)境中的馬爾科夫鏈?zhǔn)请S機(jī)環(huán)境中馬爾科夫鏈模型的推廣,其直觀想法為:系統(tǒng)或過(guò)程未來(lái)(n+m時(shí)刻)的演變規(guī)律只與最近一段時(shí)間內(nèi)(n時(shí)刻到n+m-1時(shí)刻)系統(tǒng)或過(guò)程所處的狀態(tài)和環(huán)境有關(guān),與過(guò)去(n時(shí)刻之前)無(wú)關(guān).

下面給出該模型的2個(gè)應(yīng)用背景.

例1(生物群體繁殖模型) 研究某種生物群體數(shù)量的演變規(guī)律,以Xn表示第n個(gè)單位時(shí)刻生物群體的數(shù)量,ξn表示第n個(gè)單位時(shí)刻生物群體所處的外部環(huán)境,若不考慮環(huán)境因素的變化(即假定ξn為常量),且假定已知過(guò)去和現(xiàn)在群體數(shù)量,下一個(gè)單位時(shí)間群體數(shù)量的演變規(guī)律只與現(xiàn)在有關(guān),即在X0,X1,…,Xn狀態(tài)已知的條件下,Xn+1所處狀態(tài)的轉(zhuǎn)移規(guī)律只與Xn有關(guān),與X0,X1,…,Xn-1無(wú)關(guān),即為經(jīng)典的馬爾科夫鏈模型.更一般地,考慮生物群體受生育和存活時(shí)間段及外部環(huán)境的隨機(jī)變化影響,在過(guò)去和現(xiàn)在群體數(shù)量和外部環(huán)境所處狀態(tài)已知的條件下,群體數(shù)量下一個(gè)單位時(shí)間的演變規(guī)律只與現(xiàn)在至過(guò)去一段時(shí)間內(nèi)的群體數(shù)量和環(huán)境狀態(tài)有關(guān),即在X0,X1,…,Xn+m-1,ξ0,ξ1,…,ξn+m-1所處狀態(tài)已知的條件下,Xn+m只與Xn,Xn+1,…,Xn+m-1,ξn,ξn+1,…,ξn+m-1所處的狀態(tài)有關(guān),該模型即為m重隨機(jī)環(huán)境中的馬爾科夫鏈.

例2(短線交易中的股票價(jià)格預(yù)測(cè)模型) 研究某種股票價(jià)格的預(yù)測(cè)模型,若換手率較高,則表明大部分投資人會(huì)在較短的時(shí)間內(nèi)發(fā)生交易.將時(shí)間離散化,以Xn,n=0,1,2,…表示在n時(shí)刻股票的價(jià)格,以ξn,n=0,1,2,…表示在n時(shí)刻的外部環(huán)境(如經(jīng)濟(jì)政策、公司經(jīng)營(yíng)狀況、市場(chǎng)環(huán)境等因素),在不考慮環(huán)境因素變化(即假定ξn為常量)且假定在過(guò)去和現(xiàn)在股票價(jià)格已知的條件下,股票價(jià)格下一個(gè)單位時(shí)間的演變規(guī)律只與現(xiàn)在有關(guān)，與過(guò)去無(wú)關(guān),即在已知X0,X1,…,Xn狀態(tài)的條件下,Xn+1所處狀態(tài)的轉(zhuǎn)移規(guī)律只與Xn有關(guān),與X0,X1,…,Xn-1無(wú)關(guān),即為經(jīng)典的馬爾科夫鏈模型.該模型的假設(shè)過(guò)于理想化,不符合股市的運(yùn)行規(guī)律.一般情形下,由于短期內(nèi)大部分投資人會(huì)發(fā)生交易,因此,假設(shè)在已知過(guò)去和現(xiàn)在股票價(jià)格和外部環(huán)境所處狀態(tài)的條件下,股票價(jià)格下一個(gè)單位時(shí)刻的演變規(guī)律只與現(xiàn)在至過(guò)去一段時(shí)間內(nèi)的股票價(jià)格和環(huán)境狀態(tài)有關(guān)是合理的.即在已知X0,X1,…,Xn+m-1,ξ0,ξ1,…,ξn+m-1所處狀態(tài)的條件下,Xn+m只與Xn,Xn+1,…,Xn+m-1,ξn,ξn+1,…,ξn+m-1所處的狀態(tài)有關(guān),該模型即為m重隨機(jī)環(huán)境中的馬爾科夫鏈.

定理2 下列條件等價(jià):

(b)下列條件成立:

(c)下列條件成立:

(2) {Wn=(Xn,Xn+1,…,Xn+l-1,ξn,ξn+1,…,ξn+l-1),n≥0}為馬爾科夫鏈.

P((Xn+l,ξn+l)∈A×B)|

((Xn+l-1,ξn+l-1),…,(Xn,ξn)).

(2)令Wn=(Yn,Yn+1,…,Yn+l-1),

則由(1)知{Yn=(Xn,ξn),n≥0}為一個(gè)l重馬爾科夫鏈,從而

{Wn=(Yn,Yn+1,…,Yn+l-1),n≥0}

為馬爾科夫鏈.

(2) 2m維鏈{Wn=(Yn,Yn+1,…,Yn+m-1),n≥0}為馬爾科夫鏈.

(2) 2m維鏈{Wn=(Yn,Yn+1,…,Yn+m-1),n≥0}為時(shí)齊的馬爾科夫鏈.

2 m重MCRE的強(qiáng)大數(shù)定律

P((Yn,Yn+1,…,Yn+m-1)=

(x0,θ0,x1,θ1,…,xm-1,θm-1), i.o.)=1

(1)

成立,即(x0,θ0,x1,θ1,…,xm-1,θm-1)是Wn的一個(gè)常返狀態(tài).對(duì)每個(gè)k≥0,τ0≡0,定義一列馬爾科夫時(shí)間為

τk+1=inf{n>τk:(Yn,Yn+1,…,Yn+m-1)=

(x0,θ0,x1,θ1,…,xm-1,θm-1)},

令

σk=τk+1-τk, Ωτk={τk<∞},

Fn=σ((Xi,ξi):0≤i≤n+m-1),

Fτk={A?Ωτk:?n≥0,A∩{τk≤n}∈Fn},

Fτk=σ((Xτk+n,ξτk+n):n≥0).

再令l(n)=k,當(dāng)τk

則有

引理1 (i){Zk,k≥0}是概率空間(Ω,F,P)上的獨(dú)立隨機(jī)變量列.

(ii)若EZk有限,?k≥0,則

∫{l(n)

證明 (i)由假設(shè)知{Zk,k≥0}是取至多可列多個(gè)值的隨機(jī)變量,且對(duì)任意實(shí)數(shù)cr(0≤r

{Zr=cr,τk=n}=

所以Y0,Y1,…,Yk-1是Fτk可測(cè)的,令w=(x0,θ0,x1,θ1,…,xm-1,θm-1),則

{σk=u}={Wτk+1≠w,…,Wτk+u-1≠w,Wτk+u=w}∈Fτk.

從而由強(qiáng)馬氏性質(zhì)知

P(Z0=c0,Z1=c1,Zk-1=ck-1,Zk=ck)=

P(Z0=c0,Z1=c1,Zk-1=ck-1)P(Zk=ck).

利用數(shù)學(xué)歸納法易證引理1的(i)成立.

(ii){l(n)

∫{l(n)

∫l(n)

∫{l(n)

推論3 對(duì)任意實(shí)數(shù)a,b,{aZk+bσk,k≥0}與{aUk+bσk,k≥0}均為(Ω,F,P)上的獨(dú)立隨機(jī)變量列,且{σk,k≥0}為(Ω,F,P)上的獨(dú)立同分布隨機(jī)變量列.

條件I 存在非負(fù)且數(shù)學(xué)期望有限的隨機(jī)變量Y,使得對(duì)任意x>0,n∈N,有

qn(x)≡P(Un(x)+σn(x)>x)≤

q(x)≡1-FY(x).

引理2[2]若滿足條件I,則對(duì)任意n≥0,有

(1)E|Zn|+Eσn≤EUn+Eσn≤EY<∞;

引理3[17]若滿足條件I,則

引理4 若滿足條件I,則

證明 由l(n)的定義知:

顯然，上式最后一個(gè)等式第1項(xiàng)為0,由引理1知第2項(xiàng)為0,從而有

故由引理2知

引理5 若滿足條件I,則

即

定理4 若滿足條件I,則有下列強(qiáng)大數(shù)定律成立:

0(n→∞) a.s.

證明 顯然

由引理2～5知,上式每項(xiàng)均幾乎處處收斂于0,所以定理得證.

推論4 設(shè)gi(·,·)為滿足條件I的二元函數(shù),則有下列強(qiáng)大數(shù)定律成立:

證明 只需在定理3中令

fi(Xi,ξi,Xi+1,ξi+1,…,Xi+m-1,ξi+m-1)=gi(Xi,ξi).

注3 推論4即為文獻(xiàn)[13]的主要結(jié)果.

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The multiple Markov chains in a random environment and the strong law of large numbers.

FEI Shilong

(SchoolofMathematicsandStatistics,SuzhouUniversity,Suzhou234000,AnhuiProvince,China)

The model of multiple Markov chains in a random environment is introduced which is a promotion of Markov chains in a random environment with a more general application scope. Two application backgrounds of the multiple Markov chains in a random environment are given. Then, we discuss some relations and properties of the ordermMarkov chains and the orderkMarkov chains in a random environment，Markov chains, and 2mdimensional chains. At last, using the property of the multiple Markov chains in a random environment, we obtain the sufficient condition of the strong law of large numbers of the multiple Markov chains in a random environment, which are a promotion of the results from some literatures.

random environments; Markov chains with orderm; strong law of large numbers

2016-01-18.

安徽省高等學(xué)校省級(jí)自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(KJ2016A770);安徽省高校優(yōu)秀青年人才支持計(jì)劃重點(diǎn)項(xiàng)目(gxyqZD2016340).

費(fèi)時(shí)龍(1980-)，ORCID：http://orcid.org/0000-0003-4352-9345，男,碩士,副教授,主要從事隨機(jī)過(guò)程研究，E-mail：fsl627@sina.com.

10.3785/j.issn.1008-9497.2017.04.005

O 211.62

A

1008-9497(2017)04-411-06

Journal of Zhejiang University(Science Edition), 2017,44(4):411-416