王貴君, 段晨霞, 張德利

(1.天津師范大學 數(shù)學科學學院, 天津 300387; 2.天津市南開區(qū)咸陽路小學,天津 300110; 3.吉林省教育學院 信息中心, 吉林 長春 130022 )

高維分層混合模糊系統(tǒng)的規(guī)則縮減及逼近性假設檢驗

王貴君1, 段晨霞2, 張德利3*

(1.天津師范大學 數(shù)學科學學院, 天津 300387; 2.天津市南開區(qū)咸陽路小學,天津 300110; 3.吉林省教育學院 信息中心, 吉林 長春 130022 )

混合模糊系統(tǒng)，即通過調控參數(shù)將Mamdani和T-S合并建立的一種新型系統(tǒng)模型.混合模糊系統(tǒng)不僅能保持各自模糊系統(tǒng)的優(yōu)良特性,還可大大縮減系統(tǒng)內部的模糊規(guī)則總數(shù).為避免因增加輸入變量引發(fā)高維混合模糊系統(tǒng)規(guī)則爆炸,基于混合模糊系統(tǒng)的分層表示，給出了分層混合模糊系統(tǒng)對連續(xù)函數(shù)的逼近算法.對比發(fā)現(xiàn)，高維分層混合模糊系統(tǒng)的規(guī)則總數(shù)可被大幅度削減.此外,通過實例模擬了一個三維混合模糊系統(tǒng)分層后的實際輸出,并用統(tǒng)計學的t-假設檢驗方法檢驗了該分層混合模糊系統(tǒng)的逼近性能.

調控參數(shù);分層混合模糊系統(tǒng);規(guī)則數(shù);逼近性;t-假設檢驗

0 引 言

模糊系統(tǒng)是基于知識或規(guī)則的系統(tǒng),其核心為由若干條IF…THEN模糊規(guī)則所構成的知識庫,不僅能同時處理數(shù)據(jù)信息和語言信息,而且可通過仿效人腦實現(xiàn)模糊推理并完善功能.但隨著高維系統(tǒng)輸入變量的增加，其規(guī)則總數(shù)通常呈指數(shù)增長,極易出現(xiàn)規(guī)則爆炸現(xiàn)象,甚至導致計算時間延長或計算機記憶溢出.1991年,RAJU等[1]首次提出針對高維模糊系統(tǒng)的遞階銜接系統(tǒng)，以降低規(guī)則總數(shù),但卻帶來系統(tǒng)內部結構復雜、辨識參數(shù)增多等缺陷.1998年,WANG[2]率先提出串聯(lián)疊加分層方法,但該方法對被逼近函數(shù)和分層后疊加模糊系統(tǒng)要求過高(可微).LIU等[3]指出，文獻[2]中疊加系統(tǒng)附加了錯誤條件,并對T-S模糊系統(tǒng)重新給出分層后輸入輸出表達式,進而證明了系統(tǒng)分層前后輸入輸出表示的等價性,從而降低了系統(tǒng)內部的模糊規(guī)則數(shù).2004年,文獻[4]通過引入二叉樹分層方法對T-S模糊系統(tǒng)實施重新分層,并對該系統(tǒng)分層前后的等效性進行分析,但未涉及模糊規(guī)則數(shù)降低問題.此后,關于模糊系統(tǒng)的不同分層所產生的等效性和逼近性有了較多研究結果[5-7].

2012年,文獻[5]利用調控參數(shù)將Mamdani模糊系統(tǒng)和T-S模糊系統(tǒng)合并建立了混合模糊系統(tǒng).文獻[6]針對將中間變量直接作為模糊單元輸出提出一種后件直聯(lián)型分層方法,該方法不僅減少了規(guī)則數(shù)和辨識參數(shù),而且可避免對中間變量的模糊推理，其缺點是逼近函數(shù)條件過高(要求可微).文獻[7]基于后件直聯(lián)型分層方法討論了混合模糊系統(tǒng)的一類可積函數(shù)的逼近性.文獻[8]研究了T-S模糊系統(tǒng)的前件模糊集最大交互數(shù)問題.這些結果不僅能有效應用于大規(guī)模系統(tǒng)的建模,而且也降低了系統(tǒng)內部的規(guī)則總數(shù),以避免規(guī)則爆炸現(xiàn)象.

本文首先給出高維混合模糊系統(tǒng)對連續(xù)函數(shù)的逼近算法,并分析規(guī)則數(shù)變化及其縮減情況;其次,通過實例給出三維混合模糊系統(tǒng)分層后對連續(xù)函數(shù)逼近的實現(xiàn)過程,并利用t-假設檢驗方法驗證分層混合模糊系統(tǒng)逼近的優(yōu)越性.

1 分層混合模糊系統(tǒng)

在多輸入單輸出模糊系統(tǒng)中,單獨模糊系統(tǒng)的逼近能力和規(guī)則數(shù)減少往往是有限的,尤其當輸入變量增加時導致規(guī)則總數(shù)猛增,容易出現(xiàn)規(guī)則爆炸現(xiàn)象.因此,將Mamdani和T-S模糊系統(tǒng)合并成一個整體以研究其逼近性.為此,首先給出等距模糊剖分概念:

(1)

注1 顯然,η=0時分層混合模糊系統(tǒng)退化為Mamdani模糊系統(tǒng);η=1時退化為T-S模糊系統(tǒng).因此,不僅可隨意調控參數(shù)η使其成為一些數(shù)學模型的特例,還可將其有效應用于模糊控制器設計和系統(tǒng)建模.然而,實際中被逼近函數(shù)通常是未知的，只知道一些通過儀器或實驗得到的數(shù)據(jù)對.所以,如何構造一個滿足給定精度的模糊系統(tǒng)非常重要.通常設計模糊系統(tǒng)的方法有查表法、梯度下降法、最小二乘法和聚類法等多種.關鍵是分層后混合模糊系統(tǒng)是否還具有逼近性能， 以及如何實現(xiàn)混合模糊系統(tǒng)對連續(xù)函數(shù)類的逼近.文獻[5,7]雖然已從理論上證明了該問題,但并沒有給出具體的逼近算法.

定理1[5]設緊集論域K=[-1,1]n,若形如式(1)的分層混合模糊系統(tǒng)被分為L層子系統(tǒng),其中間變量為y1,y2,…,yL. 則?ε>0及f∈C(K)存在剖分數(shù)m0∈N,使m≥m0時,‖yL-f‖<ε.

下面,基于定義1和定理1給出高維混合模糊系統(tǒng)分層后對連續(xù)函數(shù)的逼近算法.

第1步 設連續(xù)函數(shù)f∈C(K),?x=(x1,x2,…,xn)∈K,若對充分小的h>0,令

由此分別計算或估算Hi(S)和DH(f)的值.

第3步 在每個閉區(qū)間Xi=[-1,1]上實施等距模糊剖分,并定義前件模糊集Bi,j(x)(i=1,2,…,n;j=0,±1,±2,…,±m(xù)0)和后件模糊集Bi,j(y1),Bi,j(y2),…,通常選取三角形或梯形模糊數(shù)即可.

第5步 通過Matlab編程實現(xiàn)高維混合模糊系統(tǒng)的輸出,并畫仿真圖形.

2 模糊規(guī)則縮減

一般對高維模糊系統(tǒng)來說,若不對輸入變量進行分層,則系統(tǒng)內部所有可能的規(guī)則總數(shù)將按維數(shù)n呈(2m+1)n指數(shù)形式迅猛增長(m是剖分數(shù)),甚至會導致規(guī)則爆炸現(xiàn)象的發(fā)生.在此情況下,通過對高維模糊系統(tǒng)的輸入變量實施疊加分層輸入以縮減規(guī)則數(shù)則十分必要，如圖1所示.

從圖1的疊加分層易看出,第1層可隨機輸入n1個變量x1,x2,…,xn1，得到輸出y1,再將輸出y1作為第2層輸入,并輸出y2.類似地，將第j層輸入nj+1個變量xLj+1,xLj+2,…,xLj+nj,中間變量yj-1是

圖1 高維混合模糊系統(tǒng)分層后的輸入變量Fig.1 Input variables of the layered high-dimensional fuzzy system

事實上,文獻[6-7]所給分層方法是將中間變量y2,y3,…,yL-1直接作用于模糊單元的輸出,中間變量不作為輸入,這也是與本文的主要區(qū)別.

從表1可明顯看出分層方法不唯一.實際上,首層輸入n1值增大,層數(shù)L變小,但規(guī)則數(shù)會變大,易引發(fā)規(guī)則爆炸;相反,n1值減小,層數(shù)L變多,雖然規(guī)則數(shù)變小,但因層數(shù)L增多會使系統(tǒng)內部結構變復雜.因此,如何選擇最優(yōu)的數(shù)對(n1,L)至關重要! 例如,若取維數(shù)n=5,剖分數(shù)m=16,則不分層的規(guī)則總數(shù)為(2×16+1)5=39 135 393;而分層的規(guī)則總數(shù)為4(2×16+1)2=4 356.因此,對于5維混合模糊系統(tǒng)，分層比不分層規(guī)則數(shù)約縮減8 984倍.

3 逼近性檢驗

下面將通過一個模擬實例來說明高維混合模糊系統(tǒng)分層后逼近性的實現(xiàn),并借助統(tǒng)計學中的假設檢驗考證該系統(tǒng)的逼近性能.簡單起見，僅在3維歐氏空間給出實例.

試按本文分層模糊系統(tǒng)(1)給出逼近過程.

事實上,有0

針對變量x1依據(jù)逼近算法第1步，得

類似地,關于輸入變量x2,x3，有

故有

同理,若令B2,j(x2)=B1,j(x2),B3,j(x3)=B1,j(x3),j=0,±1,±2,…,±9.則在x2,x3軸上也可獲得模糊剖分{B2,j}和{B3,j}.此外,在第1輸出層選取后件模糊數(shù)的隸屬度函數(shù)為

由圖2～5知，圖3更接近所給逼近函數(shù)f的值(見圖2),亦即分層混合模糊系統(tǒng)具有更好的逼近性能.此外,固定x3=0是為了在三維空間中畫出各自分層模糊系統(tǒng)輸出y2的圖像.事實上,模糊系統(tǒng)可以看作一個插值模型,但它并不是一個簡單的過程.這是因為現(xiàn)實中許多事物或現(xiàn)象其輸入輸出關系并不連續(xù).因此,研究模糊系統(tǒng)逼近對一般函數(shù)更具意義.

下面,基于最后輸出y2在論域[-1,1]3上隨機選取8個樣本點,并分別通過分層混合模糊系統(tǒng)、Mamdani模糊系統(tǒng)和T-S模糊系統(tǒng)比較其輸出的誤差,詳見表2.

圖2 x3=0時函數(shù)f的曲面圖Fig.2 Surface figure of f when x3=0

圖4 x3=0時Mamdani模糊系統(tǒng)的曲面圖Fig.4 Surface figure of layered Mamdani system when x3=0

圖3 x3=0時分層混合模糊系統(tǒng)y2的曲面圖Fig.3 Surface figure of layered hybrid system y2when x3=0

表2 3類模糊系統(tǒng)在8個樣本點處的輸出和精度比較

(9)

同理,可得

(10)

現(xiàn)對表2中數(shù)據(jù){D1(i)}在顯著性水平α=0.05下檢驗假設{H0,H1},其中,

H0∶μD1≤0,H1∶μD1>0.

進而得到數(shù)據(jù){D1(i)}的t-觀察值為

可見上述觀察值t落在拒絕域H1以內,故在顯著性水平α=0.05下拒絕H0.再由t-假設檢驗及數(shù)據(jù){D1(i)}的含義知，分層混合模糊系統(tǒng)的輸出y2比Mamdani模糊系統(tǒng)逼近性能好.

此外,對數(shù)據(jù){D2(i)}在α=0.05下檢驗假設{H0,H1},其中H0∶μD2≤0,H1∶μD2>0.

同理,可得數(shù)據(jù){D1(i)}的t-觀察值滿足

此時,必須拒絕假設H0而接受H1,根據(jù)統(tǒng)計推斷的t-假設檢驗知，該分層混合模糊系統(tǒng)的輸出y2也比T-S模糊系統(tǒng)逼近性能好.

綜合上述2種情況,認為分層混合模糊系統(tǒng)的輸出y2均比Mamdani模糊系統(tǒng)和T-S模糊系統(tǒng)的逼近性能好.

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Reduction of the number of rules of high-dimensional hybrid fuzzy system and its hypothesis test of the approximation.

WANG Guijun1, DUAN Chenxia2, ZHANG Deli3

(1.SchoolofMathematicsScience,TianjinNormalUniversity,Tianjin300387，China; 2.XianyangRoadPrimarySchool,NankaiDistrict,Tianjin300110,China; 3.InformationCenter,JilinProvincialInstituteofEducation,Changchun130022,China)

The hybrid fuzzy system is a new system model combining Mamdani fuzzy system and T-S fuzzy system by the control parameters. It retains the excellent characteristics of each system, meanwhile greatly reducing the total number of fuzzy rules. To avoid the rule explosion in high-dimensional mixed fuzzy system under increasing input variables, this article proposes an approximation algorithm for a continuous function based on the layered representation of the hybrid fuzzy system. The total number of rules of high-dimensional layered hybrid fuzzy system can be greatly reduced according to the comparison results. In addition, we simulate the actual output of a three-dimensional hybrid fuzzy system through a practical example, and apply the statistical t-hypothesis test to examine the approximation performance of the three-dimensional mixed fuzzy system.

control parameter; layered hybrid fuzzy system; the number of rules; approximation; t-hypothesis test

2016-05-26.

國家自然科學基金資助項目(61374009);吉林省自然科學基金資助項目(201215190).

王貴君(1962-),ORCID:http://orcid.org/0000-0002-2337-5951,男,教授,主要從事模糊系統(tǒng)、模糊神經網絡和模糊積分理論研究,E-mail:tjwgj@126.com.

*通信作者，ORCID:http://orcid.org/0000-0002-2043-2797，E-mail: zhangdl64@126.com.

10.3785/j.issn.1008-9497.2017.04.003

O 159

A

1008-9497(2017)04-397-06

Journal of Zhejiang University(Science Edition), 2017,44(4):397-402