石永強(qiáng) 孔維龍 吳仁存 張文軒 譚磊

(蘭州大學(xué)理論物理研究所,蘭州 730000)

耗散耦合腔陣列耦合量子化腔場(chǎng)驅(qū)動(dòng)三能級(jí)體系中的單光子輸運(yùn)?

石永強(qiáng) 孔維龍 吳仁存 張文軒 譚磊?

(蘭州大學(xué)理論物理研究所,蘭州 730000)

(2016年8月29日收到;2016年12月13日收到修改稿)

基于準(zhǔn)玻色方法,解析求解了環(huán)境作用下一維耦合腔陣列耦合一個(gè)量子化腔場(chǎng)驅(qū)動(dòng)的級(jí)聯(lián)型三能級(jí)原子系統(tǒng)中單光子輸運(yùn)的反射率、透射率和相應(yīng)等效勢(shì)的表達(dá)式,并詳細(xì)討論了耗散情況下控制參數(shù)對(duì)單光子輸運(yùn)的影響.研究結(jié)果表明:在實(shí)驗(yàn)范圍內(nèi)選擇合適的參數(shù)時(shí),原子耗散和腔場(chǎng)耗散都能使反射率峰值降低,但原子耗散影響反射率較大,同等參數(shù)取值條件下反射率峰值減小更為顯著;更為重要的是對(duì)于在環(huán)境作用下的體系,通過調(diào)節(jié)原子和腔場(chǎng)之間的失諧以及驅(qū)動(dòng)量子化腔場(chǎng)的光子數(shù)仍可使單光子接近達(dá)到全反射.

環(huán)境作用,耦合腔陣列,準(zhǔn)玻色方法,單光子輸運(yùn)

1 引 言

基于高品質(zhì)微腔與超冷原子耦合的實(shí)驗(yàn)和理論進(jìn)展[1?6],耦合腔陣列耦合超冷原子(或者人造原子)已成為一種實(shí)驗(yàn)?zāi)M器,其具有可操控性和獨(dú)特可尋址性等特點(diǎn).在量子光學(xué)中,已被用作實(shí)驗(yàn)平臺(tái)成功地模擬強(qiáng)關(guān)聯(lián)多體量子效應(yīng)[7].另一方面,在調(diào)控單光子輸運(yùn)的理論[8?10]和實(shí)驗(yàn)[11?13]研究中,人們發(fā)現(xiàn)耦合腔陣列耦合一個(gè)或多個(gè)原子(或者人造原子)可以用來實(shí)現(xiàn)光子輸運(yùn)的量子操控[14].控制單光子在耦合腔陣列體系中的輸運(yùn)特性是目前量子光學(xué)領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)問題之一,已經(jīng)引起了理論和實(shí)驗(yàn)研究方面的廣泛關(guān)注.

許多研究小組已經(jīng)提出了多種控制單光子在耦合腔陣列中傳輸?shù)姆椒?例如:在耦合腔陣列的一個(gè)腔中嵌入一個(gè)頻率可調(diào)的一個(gè)或者兩個(gè)二能級(jí),這個(gè)頻率可調(diào)的二能級(jí)原子可以是一個(gè)真正的原子或人造原子(如一個(gè)量子點(diǎn)或一個(gè)量子位),結(jié)果表明,可以通過調(diào)節(jié)原子的頻率來改變單光子的透射或反射率,形成量子開關(guān)[14,15].同時(shí)耦合腔陣列中嵌入一個(gè)或者兩個(gè)耦合的三能級(jí)系統(tǒng)也已被研究.Gong等[15]基于電磁誘導(dǎo)透明的機(jī)理研究了耦合腔陣列中耦合一個(gè)或者兩個(gè)Λ型三能級(jí)原子的單光子輸運(yùn),研究結(jié)果表明:兩個(gè)三能級(jí)原子間可出現(xiàn)單光子準(zhǔn)束縛態(tài),理論上預(yù)言了全光的量子相干單光子存儲(chǔ)器的實(shí)現(xiàn)機(jī)制.Zhou等[16]和Lu等[17]開展了由一維耦合腔陣列組成的多量子通道交叉處耦合一個(gè)?型或者Λ型三能級(jí)原子構(gòu)成單光子路由器的理論研究.在耦合?型三能級(jí)原子的路由器中,原子可以從入射通道中提取單光子,再通過經(jīng)典場(chǎng)驅(qū)動(dòng),光子就可以從一個(gè)頻道轉(zhuǎn)變到另一個(gè)頻道,在耦合Λ型三能級(jí)原子的路由器中,利用一個(gè)經(jīng)典場(chǎng)把原子從亞穩(wěn)態(tài)驅(qū)動(dòng)到較高的激發(fā)態(tài),展示了原子的?自發(fā)輻射光子可以使入射光子從一個(gè)通道轉(zhuǎn)變到另一個(gè)通道.此外,一維耦合腔陣列嵌入一個(gè)被額外腔場(chǎng)耦合的級(jí)聯(lián)型三能級(jí)原子體系中的單光子輸運(yùn)理論也已開展[18],通過調(diào)節(jié)額外腔場(chǎng)中的光子數(shù)和失諧,可以控制單光子輸運(yùn)的反射率和透射率.

眾所周知,量子光學(xué)系統(tǒng)會(huì)不可避免地與環(huán)境發(fā)生相互作用[19?21],這種相互作用會(huì)使系統(tǒng)發(fā)生耗散、退相干和糾纏等現(xiàn)象[22?34].因此,在研究光子輸運(yùn)時(shí)耗散的影響是一個(gè)不可忽略的因素.基于準(zhǔn)玻色方法[35],我們小組首先開展了環(huán)境作用下耗散耦合腔陣列耦合二能級(jí)單光子輸運(yùn)的理論研究[36].研究結(jié)果表明:系統(tǒng)與環(huán)境的耦合將導(dǎo)致入射光子的能量不守恒,導(dǎo)致光子的透射率和反射率發(fā)生改變.當(dāng)原子與腔場(chǎng)共振時(shí),在原子與腔共振的區(qū)域,耗散使得中間的最小值增大,使得光子不完全反射,并且加寬了頻譜;當(dāng)原子與腔場(chǎng)大失諧時(shí),耗散使得透射譜的峰值減小,使得光子不完全透射.其次我們研究了環(huán)境作用下耦合腔陣列耦合一個(gè)能級(jí)躍遷由經(jīng)典場(chǎng)驅(qū)動(dòng)的三能級(jí)原子體系中的光子輸運(yùn)[37].研究結(jié)果表明:三能級(jí)系統(tǒng)可以通過調(diào)節(jié)經(jīng)典驅(qū)動(dòng)場(chǎng)來控制單光子的傳輸,并且三能級(jí)原子可以用來做更高級(jí)的量子開關(guān).本文擬把經(jīng)典場(chǎng)驅(qū)動(dòng)推廣到量子化場(chǎng)驅(qū)動(dòng)的情況.基于此,本文利用準(zhǔn)玻色方法開展了環(huán)境作用下耦合腔陣列耦合級(jí)聯(lián)型三能級(jí)原子體系中的一個(gè)能級(jí)躍遷由額外量子化腔場(chǎng)驅(qū)動(dòng)情況下單光子輸運(yùn)的理論研究.在此基礎(chǔ)上,詳細(xì)討論了原子和腔場(chǎng)耗散、額外量子化腔場(chǎng)光子數(shù)、失諧對(duì)單光子輸運(yùn)的影響.

2 環(huán)境作用下的模型及其解析解

我們考慮如圖1所示環(huán)境作用的一維耦合腔陣列系統(tǒng).該系統(tǒng)由無窮多個(gè)單模微腔和一個(gè)雙模微腔構(gòu)成,為簡(jiǎn)便起見,把雙模腔的位置標(biāo)記為0.系統(tǒng)的哈密頓量可表示為(=1)

其中,HC,HA,HI分別為耦合腔陣列、三能級(jí)原子、雙模腔與三能級(jí)原子相互作用的哈密頓量,HR,HIR分別為環(huán)境、腔場(chǎng)與環(huán)境相互作用的哈密頓量;α=a,c分別表示原子與腔場(chǎng)相對(duì)應(yīng)的算符或物理量,ωkα表示環(huán)境的第kα個(gè)模式;分別表示在第j格點(diǎn)處環(huán)境第kα個(gè)模式的產(chǎn)生和湮滅算符,而ηkα為環(huán)境與腔場(chǎng)相應(yīng)的相互作用耦合強(qiáng)度;和aj分別是第j個(gè)腔場(chǎng)模式的湮滅和產(chǎn)生算符.雙模腔中的一個(gè)模式a0與鄰近的其他單模腔發(fā)生最近鄰耦合,相互作用強(qiáng)度為ξ=αωa,α的表達(dá)式在文獻(xiàn)[36]中給出.b?(b)表示雙模腔場(chǎng)另一個(gè)模式的產(chǎn)生(湮滅)算符.假設(shè)aj模式的腔場(chǎng)具有相同的共振頻率ωa,b模腔場(chǎng)的共振頻率為ωb.將一個(gè)級(jí)聯(lián)型三能級(jí)原子放入雙模腔中,三能級(jí)原子的能級(jí)分別由|1?,|2?,|3?表示,它們對(duì)應(yīng)的本征頻率分別為ω1,ω2,ω3,選取|1?為基態(tài)且能量取為0.原子的能級(jí)躍遷|1??|2?和|2??|3?之間的躍遷分別與腔場(chǎng)模式a0和b耦合,相應(yīng)耦合強(qiáng)度分別為ga和gb.

圖1 環(huán)境作用下耦合腔陣列的模型示意圖 (a)系統(tǒng)與環(huán)境發(fā)生相互作用,虛線表示環(huán)境;(b)準(zhǔn)玻色子方法表示,耗散的耦合腔陣列可以看作一系列耦合起來的準(zhǔn)玻色子,γa為a腔模的衰減率,γb為b腔模的衰減率,γ2為|2?能級(jí)的衰減率,γ3為|3?能級(jí)的衰減率Fig.1.Schematics of one dimensional arrays of coupled cavity under the environmental effects:(a)The coupling of the system to a bath;(b)effective treatment in a quasi-boson picture where the system can be regarded as a chain of quasi-bosons.The decay rates of a and b cavity modes is γaand γb,respectively.The decay rates of energy|2?and|3?are γ2and γ3.

利用準(zhǔn)玻色方法剔除環(huán)境自由度后[35,36],系統(tǒng)哈密頓量可以表示為下面的形式:

其中αj,β,ζ分別為相應(yīng)態(tài)的概率幅. 在態(tài)|m,n?(m=1,2,3)中,m為原子所處的能級(jí),n表示b模腔場(chǎng)中含有的光子數(shù).|??表示真空態(tài),意味著一維耦合腔陣列中不含有任何aj模式的光子.系統(tǒng)的本征方程可以寫為

將(7)—(10)式和(11)式代入本征方程(12)中求解, 并在(11)式的左右兩端分別用??|?1,n|aj,左乘可以得到以下三個(gè)方程:

將(13)式和(14)式代入(15)式化簡(jiǎn)消去β和ζ可以得到關(guān)于概率幅αj的離散方程

離散的散射方程(16)的形式解為

利用(17)式可求得當(dāng)|j|>1時(shí),2ξ′cosk.(16)式中的V可表示為

其中,δa=ω2? ?k為能級(jí)|2?與腔場(chǎng)a模頻率的失諧,?k=ωa?2ξcos(k).δb=ω32?ωb為能級(jí)|3?和能級(jí)|2?躍遷能量之差與腔場(chǎng)b模頻率的失諧.A=2κcosk+γ3?γa?γb,B=2κcosk+γ2?γa.利用(15)—(17)式,則可以得到j(luò)=0處光子的反射系數(shù)為

光子的透射率和反射率可由下面的表達(dá)式分別給出

從表達(dá)式(19)中可以看出反射率和透射率與耗散參數(shù)γa,γb,γ2,γ3有關(guān)系. 當(dāng)參數(shù)γa,γb,γ2和γ3都取零時(shí),表達(dá)式(19)可給出理想情況下單光子輸運(yùn)的透射率和反射率.

3 耗散參數(shù)對(duì)單光子輸運(yùn)的影響

上節(jié)中,我們利用準(zhǔn)玻色方法給出了系統(tǒng)的哈密頓量及其透射系數(shù)和反射系數(shù)的解析表達(dá)式.在本節(jié)中,首先討論b腔的耗散對(duì)反射率的影響,然后在γ3和b腔的耗散為定值的前提條件下,討論參數(shù)γa,γ2對(duì)反射率的影響,參數(shù)具體取值根據(jù)耦合腔陣列的相關(guān)實(shí)驗(yàn)[6],除去光子數(shù)n外,其余參數(shù)都是以ga為單位.

圖2反映了耗散情況下反射率隨腔場(chǎng)b與原子|1??|2?失諧δa的變化關(guān)系.可以看出反射率在δa=±1時(shí)取最大值,因此我們可以通過調(diào)節(jié)δa來控制光子輸運(yùn).耗散參數(shù)的不同取值會(huì)改變單光子在耦合腔陣列體系中的反射率,隨著腔場(chǎng)b耗散的增大,單光子反射率的峰值降低.當(dāng)原子|1??|2?能級(jí)躍遷頻率ω2增大時(shí),反射率峰值逐漸增大.

圖2 (網(wǎng)刊彩色)耗散情況下,單光子反射率隨失諧的變化圖像 (a)ω2=1,γb=(0,0.3,0.35)(紅線,藍(lán)線,綠線);(b)ω2=2,γb=(0,0.3,0.35)(紅線,藍(lán)線,綠線);其他參數(shù)取值分別為gb=1,n=1,δb=0,ωa=1,ξ =4,γa=0.3,γ2=0.3,γ3=0.3Fig.2.(color online)The single-photon transmission spectrum as a function of detuning δafor the dissipative case.The parameters are set as follows:(a)and(b)for the dissipative cavity case:γb=(0,0.3,0.35)(red,blue,green line).In(a)ω2=1,but for(b)ω2=2.The other parameters are gb=1,n=1,δb=0,ωa=1,ξ=4,γ2=0.3,γa=0.3,γ3=0.3.

圖3 (網(wǎng)刊彩色)耗散情況下,單光子反射率隨失諧的變化圖像 (a)ω2=1,γa=0,γ2=(0,0.3,0.35)(紅線,藍(lán)線,綠線);(b)ω2=2,γa=0;γ2=(0,0.3,0.35)(紅線,藍(lán)線,綠線);(c)ω2=1,γ2=0;γa=(0,0.3,0.35)(紅線,藍(lán)線,綠線);(d)ω2=2,γ2=0,γa=(0,0.3,0.35)(紅線,藍(lán)線,綠線);其他參數(shù)取值分別為gb=1,n=1,δb=0,ωa=1,ξ=2,γb=0.3,γ3=0.3Fig.3.(color online)The single-photon transmission spectrum as a function of detuning δafor the dissipative case.The parameters are set as follows:(a)and(b)for the dissipative atom case γa=0,γ2=(0,0.3,0.35)(red,blue,green line);(c)and(d)for the dissipative cavity case γ2=0,γa=(0,0.3,0.35)(red,blue,green line).In(a)and(c)ω2=1,but for(b)and(d)ω2=2.The other parameters are gb=1,n=1,δb=0,ωa=1,ξ =2,γb=0.3,γ3=0.3.

圖3反映了耗散情況下反射率隨腔場(chǎng)a與原子|1??|2?失諧δa的變化關(guān)系.可以看出反射率在δa=±1時(shí)取最大值,因此我們可以通過調(diào)節(jié)δa來控制光子輸運(yùn).耗散參數(shù)的不同取值會(huì)改變單光子在耦合腔陣列體系中的反射率,隨著原子和腔場(chǎng)耗散的增大,單光子反射率的峰值降低.數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明,通過改變?chǔ)?也可調(diào)節(jié)反射率峰值的大小,其影響規(guī)律與γ2相同.通過對(duì)比圖3(a)和圖3(c)可以看出,當(dāng)a腔場(chǎng)的頻率與原子|1??|2?能級(jí)躍遷頻率共振且原子的耗散與腔的耗散參數(shù)取相同值時(shí),原子的耗散對(duì)反射率的影響更顯著;圖3(b)和圖3(d)顯示了原子與腔場(chǎng)非共振情況下反射率隨失諧的變化關(guān)系,可以看出原子的耗散對(duì)反射率的影響比腔場(chǎng)耗散取相同值時(shí)的影響顯著.耗散情況下腔場(chǎng)與原子共振與否還可影響光子反射率的對(duì)稱性,從圖3(a)和圖3(b)的對(duì)比可看出,共振時(shí),反射率關(guān)于δa=0呈現(xiàn)對(duì)稱圖像;非共振導(dǎo)致反射率出現(xiàn)不對(duì)稱結(jié)果[38].當(dāng)增加腔場(chǎng)的耗散時(shí),這種不對(duì)稱性表現(xiàn)得更為明顯,圖3(c)和圖3(d)的比較顯示了這個(gè)結(jié)果.從圖3還可以看出,當(dāng)體系和環(huán)境沒有相互作用時(shí),調(diào)節(jié)原子與腔場(chǎng)的頻率并不能改變單光子反射率的對(duì)稱性.控制參數(shù)對(duì)單光子輸運(yùn)反射率的調(diào)節(jié),本質(zhì)上可以理解為參數(shù)對(duì)等效勢(shì)的調(diào)節(jié)[39].方程(18)式給出了環(huán)境作用下影響光子輸運(yùn)等效勢(shì)的普遍表達(dá)式.在原子|2??|3?能級(jí)之間的躍遷頻率與b腔中光子的頻率共振情況下,并在耗散參數(shù)γ3為零和b腔無耗散[40]的前提條件下,當(dāng)γa=0,γ20時(shí),等效勢(shì)為

當(dāng)γ2=0,γa0時(shí),等效勢(shì)為

從方程(20)和(21)可以看出改變參數(shù)δa,γa和γ2可以調(diào)節(jié)等效勢(shì)的大小,繼而可以改變單光子的反射率.在理想情況下,當(dāng)δa=±1時(shí),等效勢(shì)V→∞,光子被勢(shì)場(chǎng)全反射;在耗散情況下,當(dāng)δa=±1時(shí),等效勢(shì)變?yōu)橛邢薮笮?并且等效勢(shì)取值隨著耗散參數(shù)的增大而減小,因此單光子被反射的概率隨著耗散的增大會(huì)變小.

圖4展示了耗散情況下失諧δb和光子數(shù)n的變化對(duì)單光子反射率的影響.可以看出改變失諧δb和調(diào)控光子數(shù)n可以改變單光子輸運(yùn)的反射率.在b腔場(chǎng)的頻率與原子|2??|3?能級(jí)的躍遷頻率共振情況下,隨著光子數(shù)n的增大,單光子反射率先增大后減小,并在n=4處出現(xiàn)最大值.在非共振情況下,隨著失諧δb的增大,單光子反射率的峰值逐漸向光子數(shù)增大的方向移動(dòng),并且峰值逐漸增大.當(dāng)b腔中光子數(shù)取確定值時(shí),隨著失諧δb的增大,單光子反射率先增大后減小;當(dāng)增加b腔中的光子時(shí),單光子反射率峰值逐漸增大.從圖4(a)中可以看出在δb=3,n=10時(shí),單光子反射率趨于1.因此,耗散情況下可以通過同時(shí)調(diào)節(jié)失諧δb和光子數(shù)n使單光子達(dá)到接近全反射.通過圖4(a)和圖4(b)的比較同樣可以看出原子|3?能級(jí)的耗散對(duì)單光子反射率的影響更顯著.圖4(c)給出了等效勢(shì)隨失諧δb和光子數(shù)n的變化關(guān)系,從圖中可以看出單光子反射率的峰值與等效勢(shì)峰值相對(duì)應(yīng),等效勢(shì)越大單光子反射就會(huì)增強(qiáng).在耗散情況下,單光子不會(huì)被全反射,原因就是系統(tǒng)與環(huán)境相互作用,這種相互作用會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)的耗散,致使單光子反射的等效勢(shì)減小.

環(huán)境作用下,體系量子態(tài)存在的概率是隨時(shí)間衰減的.隨時(shí)間演化的態(tài)函數(shù)

當(dāng)|j|>1時(shí),量子態(tài)|2,n?|??和|3,n?1?|??對(duì)應(yīng)的概率分別為

可見量子態(tài)的存在概率正比于P∝exp[?2(nγb+γa?2kcos(k))t].就本文研究的模型而言,時(shí)間尺度應(yīng)控制在t?1/2(nγb+γa?2kcos(k)).本文進(jìn)行理論研究時(shí)控制變量的取值都是基于實(shí)驗(yàn)可調(diào)范圍內(nèi)的參數(shù),因此研究結(jié)果對(duì)量子開關(guān)的具體實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)具有一定的指導(dǎo)意義.在量子開關(guān)的具體實(shí)驗(yàn)中,腔場(chǎng)頻率、腔與腔之間的耦合強(qiáng)度、量子微腔的品質(zhì)因子及其體系的耗散皆可通過不同的實(shí)驗(yàn)方法調(diào)節(jié).Transmission line resonator(TLR)的共振頻率ωa可從2π×4—2π×4.8 GHz的范圍內(nèi)進(jìn)行調(diào)節(jié)[41],其大小的改變可以通過增大或者減小TLR的電容來實(shí)現(xiàn);實(shí)驗(yàn)上亦可通過在腔中存儲(chǔ)氮?dú)鈦碚{(diào)節(jié)腔的模式[42].相鄰兩腔的耦合強(qiáng)度定義為ξ=αωa,其大小亦可通過改變TLR的共振頻率實(shí)現(xiàn)調(diào)節(jié)[43,44].一般來講,體系耗散對(duì)量子開關(guān)的影響在腔的品質(zhì)因子取值越大時(shí)變得越不顯著,在PCC(photonic crystal cavity)中光子的壽命大于quantum dots(QD)退相位時(shí)間的范圍內(nèi),腔的品質(zhì)因子Q可以通過調(diào)節(jié)PCC的寬度來實(shí)現(xiàn)[45,46],而QD的共振頻率則可以通過改變系統(tǒng)溫度來進(jìn)行調(diào)節(jié)[42].

圖4 (網(wǎng)刊彩色)耗散情況下,反射率和等效勢(shì)隨失諧與光子數(shù)的變化圖像 (a)γa=0.36,γ3=0;(b)γ3=0.36,γa=0;(c)γ3=0.36,γa=0;其他參數(shù)取值分別為gb=1,γb=0,γ3=0,ω2=3,ωa=1,ξ=2;除參數(shù)n外,其余參數(shù)取值都以ga為單位Fig.4.(color online)The reflection spectrum and effective potential versus the detuning and photon number:(a) γa=0.36,γ2=0;(b) γ2=0.36,γa=0;(c) γ2=0.36,γa=0.The other parameters are gb=1,γb=0,γ3=0,ω2=3,ωa=1,ξ=2.

4 結(jié) 論

本文研究了環(huán)境作用下耦合腔陣列耦合級(jí)聯(lián)型三能級(jí)原子體系中的一個(gè)能級(jí)躍遷由額外量子化腔場(chǎng)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)中的單光子的輸運(yùn)性質(zhì).詳細(xì)探討了原子的耗散和腔場(chǎng)的耗散對(duì)單光子輸運(yùn)反射率的影響.基于準(zhǔn)玻色方法研究結(jié)果表明:環(huán)境的作用會(huì)使單光子反射率的峰值降低,原子的耗散對(duì)單光子反射率的影響更顯著;而且耗散會(huì)破壞單光子反射率圖像的對(duì)稱性;更重要的是在耗散情況下,我們可以通過調(diào)節(jié)b腔的失諧和光子數(shù)使單光子接近達(dá)到全反射;系統(tǒng)與環(huán)境的耦合會(huì)導(dǎo)致入射光子的能量不守恒,這將影響光子的透射率和反射率,本文的研究可為實(shí)際體系中單光子的輸運(yùn)和量子開關(guān)的設(shè)計(jì)提供理論依據(jù).

附錄:等效哈密頓量的推導(dǎo)

我們課題組已在前期工作中[35,36]詳細(xì)闡述了準(zhǔn)玻色方法及其物理內(nèi)涵,為了方便讀者,本附錄部分簡(jiǎn)要給出基于該方法的等效哈密頓量(5)—(7)式的推導(dǎo)過程.

考慮系統(tǒng)與環(huán)境的耦合時(shí),可以將環(huán)境看作具有無窮多模式的庫(kù)場(chǎng).現(xiàn)在考慮一個(gè)單腔,假設(shè)庫(kù)場(chǎng)的模式密度是均勻的,庫(kù)場(chǎng)的連續(xù)模式密度由頻率ωr表征,對(duì)于任意頻率ωr對(duì)應(yīng)的態(tài)密度ρ(ωr).假設(shè)由單個(gè)腔和庫(kù)場(chǎng)耦合的系統(tǒng)中只有一個(gè)單光子激發(fā),er和ea分別表示光子在腔或者庫(kù)場(chǎng)中的概率幅,該系統(tǒng)的哈密頓量為

其中,r和r?分別為庫(kù)場(chǎng)的頻率為ωr的模式的湮滅和產(chǎn)生算符,它們滿足的對(duì)易關(guān)系是η(ωr)是腔與庫(kù)場(chǎng)之間的耦合強(qiáng)度.可以給出系統(tǒng)的形式波函數(shù)為

其中|0?表示真空態(tài),系統(tǒng)滿足本征方程

其中ω為系統(tǒng)能量的本征值.結(jié)合方程(A1),(A2)和(A3)并對(duì)(A3)式兩端用?0|a0和?0|r取內(nèi)積,可以得到下面的方程:

當(dāng)腔場(chǎng)和環(huán)境的耦合較弱時(shí),|η(ωr)|2/(ω?ωr)?ω,可以認(rèn)為發(fā)生了很小的頻率移動(dòng).

對(duì)ω=ωr處的奇異性進(jìn)行解析延拓,可以假設(shè)此模式下的庫(kù)場(chǎng)與腔場(chǎng)的耦合最強(qiáng),利用馬爾可夫近似可得到

當(dāng)腔與庫(kù)場(chǎng)的耦合很弱的時(shí)候,可以將(A6)式寫為

由于δωa相對(duì)于ωa為小量,因此可以將其略去或者將其吸收進(jìn)ωa,因此腔和庫(kù)場(chǎng)組成的系統(tǒng)的頻率為一個(gè)復(fù)數(shù)

ω′a可以認(rèn)為是考慮了與環(huán)境相互作用后的腔的本征頻率,腔場(chǎng)和庫(kù)場(chǎng)變成一個(gè)整體,本征頻率加上了一個(gè)反映其壽命的虛部,耗散變成腔場(chǎng)的固有屬性.此時(shí)可以引入一個(gè)準(zhǔn)粒子來描述系統(tǒng)(準(zhǔn)粒子對(duì)應(yīng)的產(chǎn)生和湮滅算符分別用c?和c表示,近似滿足玻色對(duì)易關(guān)系[c?,c]=1+iγ/ωa≈1).在準(zhǔn)玻色算符表示下,方程(A3)中腔場(chǎng)和環(huán)境相互作用組成的系統(tǒng)的哈密頓量可以化為等效哈密頓量Heff,對(duì)應(yīng)的本征方程為

對(duì)于環(huán)境作用下的原子而言,由于Jaynes-Cummings模型中原子的升降算符是泡利算符(量子光學(xué)中常稱為贗自旋算符),并不是玻色型算符,但我們將原子的激發(fā)態(tài)和基態(tài)描述為占據(jù)光子的態(tài)和沒有占據(jù)光子的態(tài),從而類比腔的處理模式引入準(zhǔn)玻色子來描述環(huán)境作用下的原子,其本征頻率記為ω′i=ωi?iγi以消除原子庫(kù)場(chǎng)的自由度.

接下來,我們研究耦合腔陣列與環(huán)境相互作用的情況.通常情況下,真實(shí)環(huán)境的空間結(jié)構(gòu)會(huì)導(dǎo)致不同位置有不同的態(tài)密度.環(huán)境是與每個(gè)腔耦合的,原子系統(tǒng)也是單獨(dú)與環(huán)境發(fā)生相互作用.我們考慮每種環(huán)境的態(tài)密度是相同的,模型處理上相當(dāng)于使用了一個(gè)均勻態(tài)密度的有效的大環(huán)境,每個(gè)腔和原子都與相同環(huán)境相互作用,并且假設(shè)每個(gè)腔具有相同的耗散率γa.c的對(duì)易關(guān)系與時(shí)間有關(guān)系,腔的最小的泄露不會(huì)對(duì)它們內(nèi)部電磁場(chǎng)產(chǎn)生顯著的變化.腔中光子的泄露會(huì)導(dǎo)致電磁場(chǎng)耦合成逐漸減小趨勢(shì),但我們?nèi)钥梢杂镁o束縛近似方法,并且把這個(gè)系統(tǒng)仍看成準(zhǔn)玻色鏈.

下面推導(dǎo)耦合腔陣列與環(huán)境耦合的情況.我們假設(shè)耦合腔陣列和一個(gè)大的態(tài)密度均勻的庫(kù)場(chǎng)耦合,因此所有的腔都有相同的耗散率,研究表明周期性結(jié)構(gòu)引起的耗散相比單個(gè)腔的耗散可以忽略不計(jì),在有效的時(shí)間尺度內(nèi),較小的單個(gè)腔的耗散率不會(huì)對(duì)腔內(nèi)電磁場(chǎng)的內(nèi)部模式產(chǎn)生明顯的影響,緊束縛模型對(duì)環(huán)境作用下的耦合腔陣列仍然有效,在準(zhǔn)玻色框架下,耦合腔陣列可以看成是一個(gè)準(zhǔn)玻色子鏈.

腔內(nèi)電磁場(chǎng)相關(guān)的本征模ψj滿足

因此,相關(guān)疊加處的積分表達(dá)式為

因此,我們可以得到耗散耦合腔陣列的哈密頓量

利用上面的準(zhǔn)玻色方法,剔除環(huán)境自由度后,系統(tǒng)哈密頓量可以表示為下面的形式:

最后,我們對(duì)準(zhǔn)玻色子圖像表示下系統(tǒng)的波函數(shù)進(jìn)行一點(diǎn)說明.以耗散的腔場(chǎng)為例,由于(A11)式是關(guān)于準(zhǔn)玻色子的對(duì)角化形式,其本征函數(shù)應(yīng)同理想腔場(chǎng)形式相同,記為其中a是系統(tǒng)擁有一個(gè)準(zhǔn)玻色子的概率幅.從該表達(dá)式可以看出,隨著時(shí)間的演化,這個(gè)準(zhǔn)玻色子逐漸從腔中“擴(kuò)散”到整個(gè)系統(tǒng).與此同時(shí),指數(shù)因子將為提供一個(gè)衰減因子即與(A2)式中隨時(shí)間衰減的ea對(duì)應(yīng)的是在準(zhǔn)玻色子圖像表示下,本征函數(shù)是一種準(zhǔn)模(quasinormal-mode)或阻尼基(damping basis).

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PACS:42.50.Nn,42.65.–k,32.80.Qk DOI:10.7498/aps.66.054204

Single photon transport by a quantized cavity field driven cascade-type three-level atom in a dissipative coupled cavity array?

Shi Yong-Qiang Kong Wei-Long Wu Ren-Cun Zhang Wen-Xuan Tan Lei?

(Institute of Theoretical Physics,Lanzhou University,Lanzhou 730000,China)

29 August 2016;revised manuscript

13 December 2016)

In this paper,a new kind of quasi-boson method is used to eliminate the coordinates of the environment and redescribe the dissipative system by using an effective Hamiltonian;the localized mode and the interaction between cavities can be renormalized.Based on the quasi-boson approach,the single photon transport in one-dimensional coupled cavity array,with a driven cascade-type three-level atom embedded in one of the cavity,is investigated under the influence of the environment.The single-photon transmission and the reflection amplitudes are obtained analytically.And the additional effective potential induced by the interaction between the atom and the cavity is also derived.The effects of the controlling parameters on the reflection and transmission amplitudes are discussed with considering the dissipation.It is shown that the decay rates of the atoms and the cavity both reduce the reflection spectrum.But the dissipation of the atom has a significant influence on the reflection amplitude compared with the cavity decay under the same conditions.Due to the irreversible loss of energy,the photon number is non-conservative.Furthermore,the single-photon can be almost reflected by the three-level atom in the dissipative case when one adjusts the detuning and photon number of the quantized cavity field.The investigation will be of benefit to the realization of photon transport in a real experiment,which is also helpful for manipulating the photons in quantum information and quantum simulation.

environment effect,coupled cavity array,quasi-boson approach,single-photon transport

PACS:42.50.Nn,42.65.–k,32.80.Qk

10.7498/aps.66.054204

?國(guó)家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號(hào):11274148)資助的課題.

?通信作者.E-mail:tanlei@lzu.edu.cn

book=101,ebook=107

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant No.11274148).

?Corresponding author.E-mail:tanlei@lzu.edu.cn