崔金超 廖翠萃 劉世興 梅鳳翔

1)(江南大學(xué)理學(xué)院,無(wú)錫 214122)

2)(遼寧大學(xué)物理學(xué)院,沈陽(yáng) 110036)

3)(北京理工大學(xué)宇航學(xué)院,北京 100018)

Birkhoff動(dòng)力學(xué)函數(shù)成為約束系統(tǒng)第一積分的判別方法?

崔金超1)廖翠萃1)劉世興2)梅鳳翔3)?

1)(江南大學(xué)理學(xué)院,無(wú)錫 214122)

2)(遼寧大學(xué)物理學(xué)院,沈陽(yáng) 110036)

3)(北京理工大學(xué)宇航學(xué)院,北京 100018)

(2016年9月6日收到;2016年11月18日收到修改稿)

基于Birkhoff動(dòng)力學(xué)函數(shù)包含系統(tǒng)全部運(yùn)動(dòng)信息的觀點(diǎn),借鑒Hamilton系統(tǒng)導(dǎo)出第一積分的思路,結(jié)合自治、半自治Birkhoff方程的定義和Birkhoff張量反對(duì)稱性的特點(diǎn),研究判別給定Birkhoff動(dòng)力學(xué)函數(shù)是否是系統(tǒng)第一積分的方法.主要結(jié)論包括：證明自治系統(tǒng)的Birkhoff函數(shù)必是系統(tǒng)的第一積分,而半自治系統(tǒng)的Birkhoff函數(shù)一定不是系統(tǒng)的第一積分;針對(duì)非自治Birkhoff系統(tǒng),導(dǎo)出循環(huán)積分、類循環(huán)積分以及Hojman積分,并討論積分之間的關(guān)系.最后,通過(guò)兩個(gè)例子來(lái)說(shuō)明結(jié)論的具體應(yīng)用.

約束力學(xué)系統(tǒng),Birkhoff方程,Birkhoff動(dòng)力學(xué)函數(shù),第一積分

1 引 言

約束力學(xué)系統(tǒng)按照所受約束在Frobenius定理意義下是否可積,分為完整系統(tǒng)和非完整系統(tǒng)[1-3].完整保守系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律,可以用Lagrange方程或Hamilton方程來(lái)描述.這兩類方程都是自伴隨的,并且Hamilton方程還具有變分原理與辛結(jié)構(gòu)共棲的特性,其中自伴隨性質(zhì)保證了系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程可由某種變分原理導(dǎo)出,因而是系統(tǒng)演化曲線極值特性的反映,同時(shí)它還是系統(tǒng)對(duì)稱性的體現(xiàn).辛結(jié)構(gòu)是Hamilton系統(tǒng)相空間的幾何特征,也是構(gòu)造辛算法的基礎(chǔ).當(dāng)力學(xué)系統(tǒng)擴(kuò)展到完整非保守系統(tǒng)時(shí),人們自然希望描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的微分方程,仍然保持完整保守系統(tǒng)那樣的自伴隨性質(zhì)和幾何結(jié)構(gòu).對(duì)這一問(wèn)題的研究使得Lagrange逆問(wèn)題、Hamilton逆問(wèn)題向Birkhoff逆問(wèn)題推廣[4-8].在Birkhoff逆問(wèn)題框架下,完整系統(tǒng)(保守的或非保守)實(shí)現(xiàn)了普適的自伴隨表示,即Birkhoff方程形式,同時(shí)還表現(xiàn)出一般辛結(jié)構(gòu)的幾何特征.然而,Birkhoff系統(tǒng)的偶數(shù)維特性使其不能涵蓋一般的非完整系統(tǒng).事實(shí)上要實(shí)現(xiàn)非完整系統(tǒng)普適的自伴隨表示,需要尋求更為一般的動(dòng)力學(xué)形式.文獻(xiàn)[9]研究了這一問(wèn)題,得到了描述非完整系統(tǒng)普適的、自伴隨的、具有預(yù)辛幾何結(jié)構(gòu)的廣義Birkhoff方程形式.

分析力學(xué)從Lagrange系統(tǒng)到廣義Birkhoff系統(tǒng)的不斷發(fā)展,最終實(shí)現(xiàn)了約束力學(xué)系統(tǒng)的自伴隨表示,但隨之而來(lái)的問(wèn)題是如何求解系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程[10-15].不論是Birkhoff方程還是廣義Birkhoff方程,其積分理論都是現(xiàn)階段要研究的基本問(wèn)題[16-21].但Birkhoff方程的偏微分方程特征使其通解難以求得,這時(shí)如果能找到某些第一積分,對(duì)于我們了解系統(tǒng)的演化規(guī)律將是有益的.如果給定系統(tǒng)的Birkhoff動(dòng)力學(xué)函數(shù),就能寫出對(duì)應(yīng)的Birkhoff方程,因此Birkhoff動(dòng)力學(xué)函數(shù)實(shí)際上包含了系統(tǒng)全部的運(yùn)動(dòng)信息,這些信息當(dāng)然也包括第一積分在內(nèi).這提示我們?nèi)魧?duì)Birkhoff動(dòng)力學(xué)函數(shù)做適當(dāng)?shù)姆治?就可能從中找到系統(tǒng)的第一積分.本文研究這一問(wèn)題,主要利用與Birkhoff方程有關(guān)的運(yùn)算技巧,結(jié)合Birkhoff張量的反對(duì)稱性,研究判別Birkhoff動(dòng)力學(xué)函數(shù)成為系統(tǒng)第一積分的方法,推導(dǎo)過(guò)程和結(jié)論也適用于廣義Birkhoff方程的情形.

在第2部分,介紹完整系統(tǒng)的一階標(biāo)準(zhǔn)形式及其Birkhoff表示;在第3部分,具體研究Birkhoff方程的第一積分,得到系統(tǒng)的類能量積分、類循環(huán)積分、循環(huán)積分以及Hojman積分;在第4部分,通過(guò)兩個(gè)例子說(shuō)明本文結(jié)論的具體應(yīng)用;在第5部分,總結(jié)全文并對(duì)結(jié)果進(jìn)行討論.

2 完整約束系統(tǒng)的Birkhoff方程

完整約束系統(tǒng)在位形空間中的運(yùn)動(dòng)可用如下基本形式描述

其中qi(i=1,2,···,n)是廣義坐標(biāo),i是廣義速度.這里及以下采用愛(ài)因斯坦求和約定.

一般來(lái)說(shuō),完整系統(tǒng)在方程(1)的形式下不是自伴隨的,其自伴隨化問(wèn)題需要在變分逆問(wèn)題框架下研究.在Lagrange逆問(wèn)題框架下,存在一些完整系統(tǒng),其運(yùn)動(dòng)微分方程(1)由于無(wú)法滿足Helmholtz條件,而沒(méi)有等價(jià)的Lagrange方程形式.此類系統(tǒng)被稱為本質(zhì)非自伴隨系統(tǒng).雖然本質(zhì)非自伴隨系統(tǒng)可以先通過(guò)降為一階方程組,然后利用自伴隨因子Hamilton化,但此時(shí)的Hamilton函數(shù)不再具有明顯的物理意義,相空間的變量也失去了實(shí)驗(yàn)室可觀測(cè)性質(zhì).這種為了形式上實(shí)現(xiàn)Hamitlon表示,而放棄系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)變量、動(dòng)力學(xué)函數(shù)物理意義的策略,與分析力學(xué)一貫以實(shí)際物理系統(tǒng)為研究對(duì)象的傳統(tǒng)模式相悖.于是,要堅(jiān)持分析力學(xué)的傳統(tǒng)模式,就要放棄Hamilton方程簡(jiǎn)單辛結(jié)構(gòu)的限制,代之以一般辛結(jié)構(gòu),從而在Birkhoff逆問(wèn)題框架下實(shí)現(xiàn)完整系統(tǒng)普適的自伴隨表示.

具體到完整系統(tǒng)位形空間的運(yùn)動(dòng)方程(1),其Birkhoff化需要先通過(guò)變量替換化為如下一階標(biāo)準(zhǔn)形式[22]：

然后以方程(2)為出發(fā)點(diǎn),再依據(jù)下述定理實(shí)現(xiàn)完整系統(tǒng)的自伴隨表示.

定理1[22]任何局域、解析、正規(guī)、完整的一階力學(xué)系統(tǒng)(2),在其正規(guī)點(diǎn)的星形鄰域上,總能實(shí)現(xiàn)自伴隨的、保持動(dòng)力學(xué)函數(shù)和變量物理意義的Birkhoff方程形式,即

其中B(t,a)稱為Birkhoff函數(shù),2n個(gè)函數(shù)Rμ(t,a)稱為Birkhoff函數(shù)組.

為方便起見(jiàn),本文將2n+1個(gè)函數(shù)(B,Rμ)統(tǒng)稱為Birkhoff動(dòng)力學(xué)函數(shù).若引入Birkhoff張量

則方程(3)可寫為

若上式中函數(shù)B和Rμ都不顯含時(shí)間t,則(5)式成為自治Birkhoff方程形式,即

又若函數(shù)Rμ不顯含時(shí)間t,而函數(shù)B顯含時(shí)間t,則(5)式成為半自治Birkhoff方程形式,即

3 Birkhoff方程的第一積分

現(xiàn)在,我們考察自治和半自治Birkhoff系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)函數(shù)與第一積分之間的關(guān)系.

3.1 類能量積分

定理2自治Birkhoff方程(6)的Birkhoff函數(shù)B(a)一定是系統(tǒng)的第一積分,而半自治Birkhoff方程(7)的Birkhoff函數(shù)B(t,a),一定不是系統(tǒng)的第一積分.

證明首先,將半自治方程(7)兩端同乘μ,即

注意到Birkhoff張量Ωμν的反對(duì)稱性,易得

其次,求函數(shù)B(t,a)的全導(dǎo)數(shù),并將上式代入得

于是：1)對(duì)于自治Birkhoff方程,因函數(shù)B不顯含t,故

即B=const是系統(tǒng)的第一積分.

與Hamilton系統(tǒng)的能量積分相對(duì)應(yīng),我們將自治Birkhoff系統(tǒng)的第一積分(11)稱為類能量積分.

3.2 類循環(huán)積分

定理3若Birkhoff動(dòng)力學(xué)函數(shù)B和Rμ滿足

則非自治Birkhoff方程(3)有類循環(huán)積分

對(duì)定理3中的條件做進(jìn)一步限定,可得如下推論.

推論1若Birkhoff動(dòng)力學(xué)函數(shù)B和Rν滿足

則Birkhoff方程有類循環(huán)積分(13).

為導(dǎo)出系統(tǒng)的循環(huán)積分,我們先給出循環(huán)坐標(biāo)的定義.

定義1 若Birkhoff動(dòng)力學(xué)函數(shù)B和Rμ都不顯含變量ak,即

則稱ak為循環(huán)坐標(biāo).

利用循環(huán)坐標(biāo)的定義1和定理3,可得如下推論.

推論2 若ak為循環(huán)坐標(biāo),則Birkhoff方程有循環(huán)積分(13).

顯然,循環(huán)積分一定是類循環(huán)積分,反之亦然.此外,推論1,2中的條件都只是系統(tǒng)有類循環(huán)積分的充分條件,而不是必要條件,只有定理3的條件(12)才是充分必要的.

3.3 Hojman積分

若已知完整系統(tǒng)(2)全部獨(dú)立的第一積分Iα(t,a)(α=1,2,···,2n),則Birkhoff動(dòng)力學(xué)函數(shù)可由下式確定：

其中函數(shù)Gα=Gα(I(a))要滿足正規(guī)性條件

這種構(gòu)造Birkhoff動(dòng)力學(xué)函數(shù)的方法稱為Hojman方法[5].

可以驗(yàn)證,由Hojman方法構(gòu)造的B和Rμ總滿足如下關(guān)系：

將這一關(guān)系與完整系統(tǒng)的一階標(biāo)準(zhǔn)形(2)式相結(jié)合,我們得到如下定理.

定理4若完整系統(tǒng)的一階標(biāo)準(zhǔn)形式μ=Ξμ(t,a)不顯含ak,且Birkhoff動(dòng)力學(xué)函數(shù)B和Rμ滿足關(guān)系(22),則Birkhoff系統(tǒng)有Hojman積分

證明將關(guān)系式B=Rμμ代入Birkhoff方程的第k個(gè)方程(14),得

下面我們討論Hojman積分與類循環(huán)積分的關(guān)系.

定理5當(dāng)時(shí),Hojman積分(23)成為類循環(huán)積分(13).

4 算 例

例1 給定系統(tǒng)的Birkhoff動(dòng)力學(xué)函數(shù)為[23]

試判斷其中的第一積分.

1)類能量積分：容易看出,(31)式?jīng)Q定的Birkhoff方程是自治的.于是由定理2知

是系統(tǒng)的類能量積分.

2)循環(huán)積分：注意到(μ=1,2,3,4),由定義1知a1是循環(huán)坐標(biāo),再由推論2知

是系統(tǒng)的循環(huán)積分.

最后,可以驗(yàn)證當(dāng)k=2,4時(shí),定理3的條件(12)成立,因此R2=0,R4=0可以看作是系統(tǒng)的平凡類循環(huán)積分.

在文章引言部分我們指出,本文的方法和結(jié)論也適用于非完整系統(tǒng)廣義Birkhoff方程第一積分的求解,舉例如下.

例2 考慮非完整的Appell-Hamel椅子輪系統(tǒng),其Lagrange函數(shù)為

所受非線性非完整約束為

此系統(tǒng)的一組廣義Birkhoff動(dòng)力學(xué)函數(shù)為[24]

試判斷其中的第一積分.

1)循環(huán)積分：由(36)式可以看出,函數(shù)B和RI(I=1,2,3,4,5)均不含變量a1,a2,故a1,a2為循環(huán)坐標(biāo).由推論1知,系統(tǒng)有如下循環(huán)積分：

注意到R5=0是系統(tǒng)的平凡積分,這表明ak為循環(huán)坐標(biāo)的確僅是Rk為循環(huán)積分的充分條件,而不是必要條件.

成立,于是由推論1知,R5=0是系統(tǒng)的平凡類循環(huán)積分.

3)Hojman積分：將(36)式給出的函數(shù)B和RI代入(3)式,可得系統(tǒng)的Birkhoff方程,由Birkhoff方程又可導(dǎo)出系統(tǒng)的一階標(biāo)準(zhǔn)形式

5 結(jié) 論

Brikhoff系統(tǒng)是一類更具一般意義的基礎(chǔ)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng),Brikhoff系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的理論與方法已被用于強(qiáng)子物理、量子物理、相對(duì)論、轉(zhuǎn)動(dòng)相對(duì)論以及分?jǐn)?shù)階動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)[19,22,25-27].值得關(guān)注的是對(duì)于一個(gè)給定的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng),如何判別其Brikhoff函數(shù)是否是系統(tǒng)的第一積分,以及如何尋找非自治Brikhoff系統(tǒng)的第一積分,都是重要而基本的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題.

本文借鑒Hamilton方程推導(dǎo)能量積分、循環(huán)積分的思路,運(yùn)用分析技巧找到了Birkhoff動(dòng)力學(xué)函數(shù)和第一積分之間的聯(lián)系,并以定理和推論的形式給出了函數(shù)B和Rμ成為系統(tǒng)的類能量積分、類循環(huán)積分以及Hojman積分的判別條件,并討論了類循環(huán)積分和Hojman積分之間的關(guān)系.在第4部分,我們通過(guò)兩個(gè)例子說(shuō)明結(jié)論的應(yīng)用.例1是完整系統(tǒng)自治Birkhoff方程的情形,此時(shí)的Birkhoff函數(shù)一定是系統(tǒng)的第一積分,這一點(diǎn)可以通過(guò)寫出系統(tǒng)的一階標(biāo)準(zhǔn)形式加以驗(yàn)證;例2是非完整系統(tǒng)Birkhoff方程的情形,詳細(xì)給出了文中提到的各類積分的求解過(guò)程,同時(shí)也說(shuō)明本文的方法和結(jié)論適用于廣義Birkhoff系統(tǒng).

應(yīng)該看到,本文的方法對(duì)于判斷給定的函數(shù)B和Rμ是否是系統(tǒng)的第一積分是有效的,但不能給出更多新的積分.彌補(bǔ)這一不足的可能方法是利用合痕變換得到多組等價(jià)的Birkhoff動(dòng)力學(xué)函數(shù),然后利用本文的結(jié)論加以判斷.除此以外,我們也希望在后續(xù)研究中發(fā)展出更為直接的方法來(lái)求解Birkhoff方程的第一積分.

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PACS:02.30.Jr,45.20.—d,45.30.+s DOI:10.7498/aps.66.040201

A method of judging a Birkhoffian to be a first integral of constrained mechanical system?

Cui Jin-Chao1)Liao Cui-Cui1)Liu Shi-Xing2)Mei Feng-Xiang3)?
1)(School of Science,Jiangnan University,Wuxi 214122,China)
2)(College of Physics,Liaoning University,Shenyang 110036,China)
3)(School of Aerospace Engineering,Beijing Institute of Technology,Beijing 100018,China)

6 September 2016;revised manuscript

18 November 2016)

As is well known,the development of analysis mechanics from Lagrangian systems to Birkhoffian systems,achieved the self-adjointness representations of the constrained mechanical systems.Based on the Cauchy-Kovalevsky theorem of the integrability conditions for partial differential equations and the converse of the Poincaré lemma,it can be proved that there exists a direct universality of Birkhoff’s equations for local Newtonian system by reducing Newton’s equations into a first-order form,which means that all local,analytic,regular,finite-dimensional,unconstrained or holonomic,conservative or non-conservative forms always admit,in a star-shaped neighborhood of a regular point of their variables,a representation in terms of first-order Birkhoff’s equations in the coordinate and time variables of the experiment.The systems whose equations of motion are represented by the first-order Birkhoff’s equations on a symplectic or a contact manifold spanned by the physical variables,are called Birkhoffian systems.The theory and method of Birkhoffian dynamics are used in hadron physics,quantum physics,relativity,rotational relativity,and fractional-order dynamics.

At present,for a given dynamical system,it is important and essential to determine whether a Birkhoffian function is the first integral of the system.Although the numerical approximation is an important method of solving the differential equations,the direct theoretical analysis is more helpful for refining the general integral method,and more consistent with the usual way of solving problems of analysis mechanics.In this paper,we study how to judge whether a given Birkhoffian dynamical function to be a first integral of Birkhoff’s equations,based on the point of Birkhoffian dynamical functions carrying all the informationabout motion of the system,and use the thought of deriving the first integrals of Hamiltonian systems.In Section 2,the normal first-order form and the Birkhoff’s equations of the equations of motion of holonomic systems are introduced.In Section 3,we prove that the Birkhoffian function of an autonomous Birkhoffian system must be a first integral,and the Birkhoffian function of a semi-autonomous system must not be a first integral.Moreover,the energy integral,cyclic integral and Hojman integral of the non-autonomous Birkhoffian systems are given.In Section 4,two examples are given to illustrate the applications of the results.In Section 5,the full text is summarized and the results are discussed.It is necessary to point out that the judging method is effective to determine whether a given Birkhoffian functions can be identified to be a first integral of Birkhoff’s equations,but other new first integral cannot be found with this method.One possible method of covering the shortage is to obtain other equivalent Birkhoffian functions in terms of isotopic transformations of Birkhoff’s equations,and then use our results to seek the new first integral.In addition,we also hope to develop a more direct method of obtaining the first integrals of Birkhoff’s equations in the next study.

constrained mechanical systems,Birkhoff’s equations,Birkhoffian dynamical functions,first integrals

:02.30.Jr,45.20.—d,45.30.+s

10.7498/aps.66.040201

?國(guó)家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號(hào)：11472124,11401259,11272050)和江南大學(xué)自主科研計(jì)劃(批準(zhǔn)號(hào)：JUSRP11530)資助的課題.

?通信作者.E-mail：meifx@bit.edu.cn

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant Nos.11472124,11401259,11272050)and the Self-determined Research Program of Jiangnan University,China(Grant No.JUSRP11530).

?Corresponding author.E-mail：meifx@bit.edu.cn