李霞麗， 吳立成， 樊艷明

(中央民族大學(xué) 信息工程學(xué)院， 北京 100081)

易于硬件實(shí)現(xiàn)的壓縮感知觀測矩陣的研究與構(gòu)造

李霞麗， 吳立成， 樊艷明

(中央民族大學(xué) 信息工程學(xué)院， 北京 100081)

在壓縮感知過程中，觀測矩陣在信號采樣及重構(gòu)中具有重要作用，構(gòu)造易于硬件實(shí)現(xiàn)、結(jié)構(gòu)簡單且占內(nèi)存較小的觀測矩陣是壓縮感知理論能否實(shí)際應(yīng)用的關(guān)鍵問題之一。提出兩種易于硬件實(shí)現(xiàn)的觀測矩陣，即順序部分哈達(dá)瑪觀測矩陣和循環(huán)偽隨機(jī)觀測矩陣，其中循環(huán)偽隨機(jī)觀測矩陣可分為循環(huán)m序列和循環(huán)gold序列，并證明了偽隨機(jī)序列所構(gòu)造的觀測矩陣滿足有限等距準(zhǔn)則。為驗(yàn)證上述兩種觀測矩陣性能，對二維圖像信號進(jìn)行仿真，結(jié)果表明，在較低的采樣率下順序部分哈達(dá)瑪觀測矩陣的重構(gòu)效果最優(yōu)，但是采樣信號長度必須是2的k次冪；循環(huán)偽隨機(jī)觀測矩陣的重構(gòu)效果雖然弱于順序部分哈達(dá)瑪觀測矩陣，但是明顯優(yōu)于高斯隨機(jī)觀測矩陣，克服了順序部分哈達(dá)瑪矩陣觀測信號必須是2的k次冪的限制。提出的兩種觀測矩陣易于硬件實(shí)現(xiàn)，避免了隨機(jī)矩陣的不確定性且克服了隨機(jī)矩陣?yán)速M(fèi)存儲資源的缺陷，具有良好的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

圖像處理；機(jī)器視覺；壓縮感知；采樣及重構(gòu)；觀測矩陣；順序部分哈達(dá)瑪；循環(huán)偽隨機(jī)矩陣；有限等距

中文引用格式：李霞麗，吳立成，樊艷明.易于硬件實(shí)現(xiàn)的壓縮感知觀測矩陣的研究與構(gòu)造[J]. 智能系統(tǒng)學(xué)報(bào)， 2017, 12(3): 279-285.

英文引用格式：LI Xiali， WU Licheng， FAN Yanming. Study and construction of a compressed sensing measurement matrix that is easy to implement in hardware[J]. CAAI transactions on intelligent systems, 2017, 12(3): 279-285.

壓縮感知(compressed sensing，CS)[1-3]通過利用信號的稀疏特性，在遠(yuǎn)小于Nyquist采樣率的條件下，用隨機(jī)采樣獲取信號的離散樣本，然后通過非線性重建算法重建信號。由于壓縮感知理論具有“輕編碼、重解碼”的特點(diǎn)，壓縮感知理論應(yīng)用到低功耗無線傳輸?shù)挠布到y(tǒng)中是一個(gè)比較合理的選擇。壓縮感知主要解決的3個(gè)問題分別為信號的稀疏表示、觀測矩陣的構(gòu)造以及重構(gòu)算法的設(shè)計(jì)[4]。觀測矩陣性能的好壞直接關(guān)系到是否可以精確重構(gòu)出原始的數(shù)據(jù)，因此觀測矩陣在壓縮感知過程中的數(shù)據(jù)采樣和信號重構(gòu)環(huán)節(jié)起著至關(guān)重要的作用。

目前，從觀測矩陣元素構(gòu)造分析，觀測矩陣可分為兩類：1)隨機(jī)觀測矩陣，如高斯隨機(jī)、伯努利等，元素都服從相互獨(dú)立的同分布，與稀疏矩陣的非相干性較強(qiáng)，能夠以較大的概率滿足RIP[5]條件，但是計(jì)算量和時(shí)間復(fù)雜度較大，存儲量大的缺點(diǎn)使其難以在硬件上實(shí)現(xiàn)；2)確定性觀測矩陣，如托普利茲矩陣、多項(xiàng)式矩陣等[6-7]，它們元素確定且結(jié)構(gòu)固定，適合硬件實(shí)現(xiàn)，但是重建效果一般。另外，還有一些針對特定信號的測量矩陣，例如部分哈達(dá)瑪觀測矩陣[8]、雷達(dá)信號的卷積觀測矩陣[9]、語音信號的觀測矩陣[10]等。雖然這些矩陣在特定條件下優(yōu)于高斯隨機(jī)觀測矩陣，但是其普適性不高，比如部分哈達(dá)瑪觀測矩陣的觀測數(shù)據(jù)必須是2的k次冪。目前，也有學(xué)者基于偽隨機(jī)序列來構(gòu)建觀測矩陣[11-15]，并驗(yàn)證了偽隨機(jī)序列的性能要優(yōu)于高斯隨機(jī)矩陣，但是相關(guān)觀測矩陣的構(gòu)造方式較為煩瑣。因此，需要研究易于硬件實(shí)現(xiàn)、構(gòu)造簡單且重構(gòu)效果較好的觀測矩陣，這種研究對于壓縮感知理論能夠應(yīng)用于實(shí)際具有重要價(jià)值。

本文在深入研究確定性觀測矩陣的基礎(chǔ)上，對在硬件上容易實(shí)現(xiàn)且重構(gòu)效果好的觀測矩陣進(jìn)行重點(diǎn)研究。首先，針對部分哈達(dá)瑪觀測矩陣提出一種改進(jìn)的構(gòu)造方式，即順序選取行向量構(gòu)造觀測矩陣，經(jīng)過仿真驗(yàn)證采用這種簡單的構(gòu)造方式，在相同的重構(gòu)算法下信號重構(gòu)效果更優(yōu)。然后，依據(jù)偽隨機(jī)序列的特點(diǎn)和循環(huán)思想，提出了構(gòu)造簡單的觀測矩陣——循環(huán)m序列觀測矩陣和循環(huán)gold序列觀測矩陣。最后，經(jīng)過仿真驗(yàn)證本文所提出的兩種觀測矩陣具有良好的適應(yīng)性和實(shí)用性。

1 觀測矩陣的改進(jìn)與構(gòu)造

目前，嵌入式硬件系統(tǒng)面臨的主要問題包括能源受限、計(jì)算能力較弱、存儲有限。因此，設(shè)計(jì)易于硬件實(shí)現(xiàn)的觀測矩陣需要遵循如下原則：

1)觀測矩陣的存儲空間較少，元素簡單；

2)計(jì)算盡量只涉及加減法，元素必須是實(shí)數(shù)；

3)觀測矩陣與稀疏矩陣不相干性較強(qiáng)；

4)能夠快速采樣和重建。

確定性觀測矩陣如托普利茲、哈達(dá)瑪?shù)?，它們的元素都是由?或者0、1構(gòu)成，矩陣的計(jì)算只涉及加減法運(yùn)算，沒有復(fù)雜的乘法運(yùn)算，因此，確定性觀測矩陣的這些優(yōu)勢可以作為構(gòu)造易于硬件實(shí)現(xiàn)觀測矩陣的出發(fā)點(diǎn)。

1.1 順序部分哈達(dá)瑪觀測矩陣的構(gòu)造

部分哈達(dá)瑪觀測矩陣具有優(yōu)良的觀測性能，可以在更少的觀測值下重構(gòu)出原始信號，并且在同樣采樣率下，信號的重構(gòu)效果明顯優(yōu)于其他觀測矩陣。哈達(dá)瑪矩陣的元素由1和-1構(gòu)成，其構(gòu)造過程如下：

由上述構(gòu)造過程可以發(fā)現(xiàn)，其構(gòu)造方式是生成N·N大小的哈達(dá)瑪正交矩陣，N=2k，k=1,2,…，然后在隨機(jī)選取M行后，形成M·N大小的部分哈達(dá)瑪觀測矩陣，但是通過此種方式所構(gòu)成的觀測矩陣與稀疏矩陣之間的非相干性會(huì)減弱。在重點(diǎn)分析哈達(dá)瑪觀測矩陣后，本文提出一種簡化的構(gòu)造方式，即在選取M行向量時(shí)，不是隨機(jī)選取，而是連續(xù)順序選取，比如可以選取1：M行或者N-M+1：N行向量形成觀測矩陣，這樣形成的觀測矩陣更能保持哈達(dá)瑪矩陣的正交性和不相干性，并且構(gòu)造方式簡單更加易于硬件實(shí)現(xiàn)，仿真結(jié)果表明這種構(gòu)造方式能夠達(dá)到更好的重構(gòu)效果，仿真結(jié)果詳見3.1節(jié)。本文將順序選取行向量構(gòu)造的部分哈達(dá)瑪觀測矩陣稱為順序部分哈達(dá)瑪觀測矩陣。

1.2 循環(huán)偽隨機(jī)序列觀測矩陣的構(gòu)造

部分哈達(dá)瑪矩陣雖然能夠在采樣率較低的情況下精確重建原始信號，但是信號的長度必須是2的k次冪，應(yīng)用范圍受到了限制。有沒有既可以突破信號長度限制又可以滿足RIP條件和非相干性原則的確定性觀測矩陣呢？

已有相關(guān)文獻(xiàn)證明，當(dāng)觀測矩陣Φ的元素滿足式(5)和式(6)平衡均勻分布時(shí)，能夠滿足RIP條件[16-20]。比如部分哈達(dá)瑪矩陣就是滿足式(5)的特殊均勻分布的觀測矩陣，其中元素±1各占1/2。

本文將偽隨機(jī)序列m序列和gold序列作為壓縮感知觀測矩陣構(gòu)造的突破點(diǎn)，提出一種由簡單的m序列和gold序列構(gòu)造觀測矩陣的方式。

如果一個(gè)序列，一方面它是可以預(yù)先確定的，并且是可以重復(fù)地生產(chǎn)和復(fù)制的，另一方面它又具有某種隨機(jī)序列的隨機(jī)特性(即統(tǒng)計(jì)特性)，這種序列即為偽隨機(jī)序列。偽隨機(jī)序列又稱為偽噪聲序列，即PN碼，它具有3個(gè)特點(diǎn)：

1)序列中各元素接近等概率出現(xiàn)，即元素0與1出現(xiàn)的個(gè)數(shù)相差不超過1個(gè)；

2)序列中連續(xù)出現(xiàn)相同元素被稱為游程，在同長度的游程中，“0”的游程數(shù)和“1”的游程數(shù)大致相等；

3)具有類似白噪聲的自相關(guān)特性。

m序列和gold序列同屬于偽隨機(jī)序列，滿足上述序列的特點(diǎn)。m序列是最長線性移位寄存器序列，線性移位寄存器是由移位寄存器加上反饋系數(shù)后所產(chǎn)生的(見圖1)，反饋系數(shù)ci一旦確定，產(chǎn)生的m序列就確定了。產(chǎn)生的m序列根據(jù)反饋系數(shù)不同而變化，序列的長度與線性移位寄存器(反饋系數(shù))的級數(shù)有關(guān)，即長度len=2n-1。每一個(gè)級數(shù)n都有一個(gè)與之對應(yīng)的多項(xiàng)式：

圖1 n位線性反饋移位寄存器結(jié)構(gòu)Fig.1 n-bit linear feedback shift register structure

多項(xiàng)式(7)為級數(shù)n的本原多項(xiàng)式，即反饋系數(shù)多項(xiàng)式。文中討論的序列均由(0,1)或者(-1,1)組成，這兩種序列所產(chǎn)生偽隨機(jī)序列的相關(guān)性是相同的，本文構(gòu)成的觀測矩陣元素選用的是(-1,1)。根據(jù)m序列的性質(zhì)所生成序列1元素比-1元素多一個(gè)，可以認(rèn)為各個(gè)元素都占1/2，因此可以推測m序列構(gòu)成的觀測矩陣能夠精確重建原始信號。

如果把兩個(gè)碼長相等，碼速相同的m序列發(fā)生器產(chǎn)生的優(yōu)選對序列作模2加運(yùn)算，生成的新的碼序列即為gold序列。每改變兩個(gè)m序列相對位移就可得到一個(gè)新的gold序列。因?yàn)榭偣灿?n-1個(gè)不同的相對位移，加上原來的兩個(gè)m序列本身，所以兩個(gè)n級移位寄存器可以產(chǎn)生2n+1個(gè)Gold序列。該序列的自相關(guān)函數(shù)具有三值特性，雖然這三個(gè)值出現(xiàn)的概率不同，卻仍然具有良好的自相關(guān)和互相關(guān)特性，生產(chǎn)的序列-1和1的次數(shù)相差不大，可以近似認(rèn)為各占1/2，而且形成gold序列的數(shù)量要比m序列大很多，一對m序列優(yōu)選對就能夠生成2n+1條gold碼，這也是gold序列的優(yōu)點(diǎn)之一。

簡單地介紹了上述兩種序列的產(chǎn)生過程和性質(zhì)，下面詳細(xì)介紹用m序列和gold序列構(gòu)造觀測矩陣的具體方法。

m序列觀測矩陣構(gòu)造方法，主要利用循環(huán)矩陣的思想，將生成的m序列每次循環(huán)右移一位，構(gòu)成N列，最后再順序選取M行構(gòu)成觀測矩陣。

1)首先生成周期L=2N-1的m序列(元素為±1)，其中L>N(N為原始信號長度)，作為觀測矩陣的第一列；

2)將m序列元素循環(huán)右移一位，產(chǎn)生新的序列，作為觀測矩陣的第二列；

3)依次將前一行的m序列右移一位，產(chǎn)生新的序列，作為觀測矩陣的下一列；

4)重復(fù)步驟3，直到生成N列，構(gòu)成L×N的矩陣；

5)順序選取1：M行構(gòu)成觀測矩陣Mx。

生成的矩陣形式如式(8)所示，可以看成循環(huán)m序列矩陣，本文稱為循環(huán)m序列觀測矩陣。

Gold序列觀測矩陣的構(gòu)造方法與循環(huán)m序列觀測矩陣類似。利用循環(huán)矩陣的思想生成gold序列觀測矩陣的步驟如下：

1)首先生成周期L=2n-1的gold序列(元素為±1)，gold序列是兩個(gè)m序列優(yōu)選對，其中L>N(原始信號長度)，作為觀測矩陣的第1列；

2)將m序列元素循環(huán)右移一位，產(chǎn)生新的序列，作為觀測矩陣的第2列；

3)其他步驟參見循環(huán)m序列觀測矩陣的構(gòu)造方法。

生成的矩陣形式如式(9)所示，同樣可以看成循環(huán)gold序列矩陣，本文稱為循環(huán)gold序列觀測矩陣。

上述步驟中之所以要順序選取M行向量構(gòu)成觀測矩陣，也是出于計(jì)算能力的考慮，畢竟嵌入式系統(tǒng)硬件計(jì)算能力較弱，隨機(jī)選取會(huì)增加計(jì)算消耗。

2 偽隨機(jī)觀測矩陣相關(guān)證明

m序列和gold序列都是偽隨機(jī)序列，1與0出現(xiàn)的概率約為1/2，可以認(rèn)為偽隨機(jī)序列是二值序列，因此由偽隨機(jī)序列構(gòu)成的觀測矩陣元素是服從均勻分布的。上一個(gè)章節(jié)已經(jīng)說明，當(dāng)觀測矩陣Φ滿足式(5)分布時(shí)，將以極大的概率滿足RIP條件。本文可以將按照式(5)分布的觀測矩陣劃分為兩個(gè)隨機(jī)二進(jìn)制矩陣：

壓縮感知觀測過程為

將其等價(jià)成如下形式：

則對于每一個(gè)觀測值有

yi(x,Φs)=yi(x,Φa)-

yi(x,Φb), 1≤i≤n

由式(13)可以看出,當(dāng)Φs獲取原始信號x的全部信息時(shí)，Φa只獲取了一部分信息。假設(shè)Φs所獲取的信息量為1，則當(dāng)n足夠大的時(shí)候，Φa獲取的信息量將以(14)式所示的概率變化：

最終獲得的信息量也接近1。根據(jù)文獻(xiàn)[14-15]可以得出結(jié)論：Φa是一個(gè)服從隨機(jī)二進(jìn)制分布的大小為n×N的矩陣，給定n，N，δ∈(0，1)和k≤cn/log2(N/k)，存在c1，c2>0，則當(dāng)存在一個(gè)相應(yīng)的服從式(5)的隨機(jī)均勻分布矩陣Φs以概率p≥1-2exp(-nc2)滿足RIP時(shí)，隨機(jī)二進(jìn)制矩陣Φa能使可壓縮信號以概率p≥[1-2exp(-nc2)](1-2-n)精確重構(gòu)。其中：

式中k為信號的稀疏度。

從矩陣的構(gòu)造方法來看，循環(huán)m序列和循環(huán)gold序列觀測矩陣具有良好的互相關(guān)特性，與非相干性條件恰好吻合，由于構(gòu)造的觀測矩陣滿足一定的線性獨(dú)立隨機(jī)性，符合觀測傳感對觀測矩陣的要求。

3 仿真驗(yàn)證與分析

本文通過改進(jìn)部分哈達(dá)瑪觀測矩陣的構(gòu)造方式，構(gòu)造了順序部分哈達(dá)瑪觀測矩陣；利用偽隨機(jī)序列中的m序列和gold序列的特性構(gòu)造了循環(huán)m序列和循環(huán)gold序列觀測矩陣，并給出了簡單的數(shù)學(xué)證明來說明偽隨機(jī)序列可以作為觀測矩陣。下面通過仿真來驗(yàn)證所構(gòu)造的觀測矩陣的性能。首先，將順序部分哈達(dá)瑪矩陣與部分哈達(dá)瑪矩陣進(jìn)行對比；然后，將所構(gòu)造的循環(huán)偽隨機(jī)序列的可用性與其他觀測矩陣進(jìn)行對比；最后，將所構(gòu)造的觀測矩陣在常用重構(gòu)算法上進(jìn)行對比分析。

本文仿真采用二維Lena標(biāo)準(zhǔn)圖像進(jìn)行分塊壓縮采樣和重建，選取大小為8×8塊，采用離散余弦變換(DCT)進(jìn)行稀疏變換，采樣率分別為0.25，0.5和0.75。

3.1 順序部分哈達(dá)瑪觀測矩陣仿真分析

對順序部分哈達(dá)瑪觀測矩陣進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)分析，重建算法選用的是正交匹配追蹤(OMP)算法，其仿真結(jié)果如表1所示。

表1 重構(gòu)圖像PSNR值

通過表1可以看出，當(dāng)采樣率較低時(shí)，順序部分哈達(dá)瑪觀測矩陣重建后圖像的PSNR值要比隨機(jī)選取的部分哈達(dá)瑪矩陣明顯高出近5 dB;當(dāng)采樣率較高時(shí)，兩者之間的差距就不大了。這種順序選取的部分哈達(dá)瑪矩陣，結(jié)構(gòu)固定，無需多次測量，可以在采樣率較低的情況下達(dá)到很好的重構(gòu)效果。另外，哈達(dá)瑪觀測矩陣存在蝶型快速算法，非常適用于硬件系統(tǒng)，從而減少系統(tǒng)的能源消耗，為硬件實(shí)現(xiàn)壓縮感知原理提供了較好的支持。

3.2 循環(huán)偽隨機(jī)序列構(gòu)造的觀測矩陣可用性驗(yàn)證

文中簡單證明了循環(huán)偽隨機(jī)可以作為觀測矩陣的理論可能性，下面通過仿真來驗(yàn)證構(gòu)造的觀測矩陣的適應(yīng)性和實(shí)用性。表2列出了高斯隨機(jī)觀測矩陣、托普利茲觀測矩陣、順序部分哈達(dá)瑪觀測矩陣的對比結(jié)果，重建算法選用的是OMP算法；并且展示了這幾種觀測矩陣在不同采樣率下，重建后的圖像的PSNR值。

表2 同觀測矩陣重構(gòu)時(shí)的PSNR值

圖2展示了采樣率為0.25時(shí)，各觀測矩陣采樣時(shí)重建的圖像仿真效果圖。由表2和圖2可知，當(dāng)采樣率較低時(shí)，順序部分哈達(dá)瑪?shù)挠^測效果最佳，比高斯隨機(jī)矩陣高出將近9 dB，其他確定性觀測矩陣也比高斯隨機(jī)矩陣高出4 dB；當(dāng)采樣率提升到0.50時(shí)，順序部分哈達(dá)瑪矩陣也要高出6 dB，而其他觀測矩陣也高出1 dB；隨著采樣率提高到0.75時(shí)，各個(gè)觀測矩陣的重建效果差距就較小了。通過仿真結(jié)果可以看出，在采樣率較低時(shí)，確定性觀測矩陣的重建效果較好，其中改進(jìn)的順序部分哈達(dá)瑪矩陣采樣效果最好，而構(gòu)造的循環(huán)偽隨機(jī)(循環(huán)m序列和循環(huán)gold序列)觀測矩陣也表現(xiàn)出較好的采樣效果。

圖2 采樣率為0.25時(shí)仿真結(jié)果圖Fig.2 Simulation result at sampling rate 0.25

3.3 構(gòu)造的觀測矩陣在常用重構(gòu)算法上的對比分析

仿真實(shí)驗(yàn)依然沿用上文的條件，測試圖像為256×256的Lena圖像，重構(gòu)算法選用的是求解最小l0-范數(shù)和l1-范數(shù)各類別中有代表性的BP算法、OMP算法以及OMP算法的改進(jìn)算法分段正交匹配追蹤算法(StOMP)，對比的觀測矩陣包括高斯隨機(jī)矩陣、順序部分哈達(dá)瑪矩陣、循環(huán)m序列矩陣和循環(huán)gold序列矩陣，m序列采用7級反饋系數(shù)，選用的本原多項(xiàng)式為f(x)=x7+x6+x3+x1，即各寄存器的初始狀態(tài)為[1 1 0 0 1 0 1]。

本次仿真與上文不同的是，稀疏基為小波變換，每次處理256個(gè)像素，采樣率從0.2到0.8變化，步長為0.05。高斯隨機(jī)觀測矩陣、順序部分哈達(dá)瑪觀測矩陣、循環(huán)m序列觀測矩陣和循環(huán)gold序列觀測矩陣在不同的重建算法下的PSNR仿真結(jié)果分別如圖3～6所示。

圖3 高斯隨機(jī)矩陣在不同重建算法下的PSNR仿真結(jié)果Fig.3 PSNR simulation result of Gaussian random matrix under different reconstruction algorithm

圖4 順序部分哈達(dá)瑪矩陣在不同重建算法下的PSNR仿真結(jié)果Fig.4 PSNR simulation result of partial order Hadamard matrix under different reconstruction algorithm

由圖3～6可知，順序部分哈達(dá)瑪觀測矩陣的重建效果最好，比高斯隨機(jī)矩陣高出近2 dB，4種觀測矩陣在BP算法和OMP算法上的重建效果總體趨勢一樣，都是隨著采樣率的提升而提升，在StOMP算法上順序部分哈達(dá)瑪觀測矩陣重建效果成跳躍變化，而其他兩種觀測矩陣重建效果趨于穩(wěn)定提高。循環(huán)偽隨機(jī)觀測矩陣的重建效果也要優(yōu)于高斯隨機(jī)矩陣。

圖5 循環(huán)m序列矩陣的PSNR仿真結(jié)果Fig.5 PSNR simulation result of recycled m sequence measurement matrix

圖6 循環(huán)gold序列矩陣在不同重建算法下的PSNR仿真結(jié)果Fig.6 PSNR simulation result of recycled gold sequence measurement matrix under different reconstruction algorithm

本文對4種觀測矩陣在重建算法重構(gòu)時(shí)間上進(jìn)行對比分析，如表3所示。

表3 觀測矩陣重建耗時(shí)對比表

Table 3 Construction consuming time comparison among diffetent measurement matrix s

表3是在采樣率為0.6條件下的記錄，通過表3對比分析，可以得出在同等條件下順序部分哈達(dá)瑪矩陣和循環(huán)偽隨機(jī)序列矩陣的重建運(yùn)行時(shí)間要比高斯隨機(jī)矩陣少。由上述對比可以驗(yàn)證，順序部分哈達(dá)瑪矩陣和循環(huán)偽隨機(jī)序列矩陣的性能要優(yōu)于高斯隨機(jī)觀測矩陣。

4 結(jié)束語

本文針對嵌入式硬件系統(tǒng)能源有限，存儲較小，計(jì)算能力差的特點(diǎn)，提出了兩種易于硬件實(shí)現(xiàn)，且占內(nèi)存較小的觀測矩陣，即順序部分哈達(dá)瑪觀測矩陣和循環(huán)偽隨機(jī)觀測矩陣(循環(huán)m序列矩陣和循環(huán)gold序列矩陣)。經(jīng)過仿真分析可知，這兩類觀測矩陣在重建效果上要比高斯隨機(jī)矩陣優(yōu)越。另外，這兩類矩陣在構(gòu)造上也比較簡單，具有遞推特性，易于硬件實(shí)現(xiàn)，避免了隨機(jī)矩陣的不確定性且克服了隨機(jī)矩陣?yán)速M(fèi)存儲資源的缺陷，節(jié)省大量存儲空間。其中，循環(huán)偽隨機(jī)觀測矩陣還克服了部分哈達(dá)瑪矩陣對信號長度的限制，構(gòu)造的觀測矩陣不但具有一定的理論意義，還為硬件實(shí)現(xiàn)壓縮感知觀測矩陣提供了一種新的思路，具有良好的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

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Study and construction of a compressed sensing measurementmatrix that is easy to implement in hardware

LI Xiali， WU Licheng， FAN Yanming

(School of Information Engineering, Minzu University of China, Beijing 100081, China)

In the compressed sensing process, the measurement matrix plays a significant role in signal sampling and reconstruction. Therefore, a measurement matrix that is simple in structure, has a small memory, and is easy to implement in hardware is the key to applying compressed sensing theory. Based on the partial Hadamard measurement matrix and a circulating pseudo-random sequence, this paper presents two measurement matrixes that are easy to implement in hardware, namely the sequence partial Hadamard measurement matrix and the recycled pseudo-random sequence measurement matrix. The latter consists of a recycled m sequence and a recycled gold sequence measurement matrix. This further proves that a measurement matrix constructed by a pseudo-random sequence complies with the RIP principle. To test the performance of the two measurement matrixes, a two-dimensional image signal was simulated. It was found that under a low sampling rate, the reconstruction of the sequence partial Hadamard measurement matrix is optimal provided that the length of the sampling signal is 2k. Although reconstruction of the recycled pseudo-random sequence measurement matrix is inferior to the sequence partial Hadamard measurement matrix, it exceeds the Gaussian random measurement matrix, and also overcomes the sequence partial Hadamard measurement matrix’s limitation of a 2ksignal length. These two types of measurement matrix are easy to implement in hardware, and avoid the uncertainty and storage waste of a random matrix. Therefore, they are suitable for practical application.

image processing; machine vision; compressed sensing; sampling and reconstruction; measurement matrix; sequence partial Hadamard; sequence pseudo-random; restricted isometry property

10.11992/tis. 201606037

http://kns.cnki.net/kcms/detail/23.1538.TP.20170404.1218.002.html

2016-06-21. 網(wǎng)絡(luò)出版日期：2017-04-04.

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51375504，61602539).

吳立成.E-mail：wulicheng@tsinghua.edu.cn.

TP391

A

1673-4785(2017)03-0279-07

李霞麗，女，1979年生，副教授，研究方向?yàn)橛?jì)算機(jī)博弈、智能系統(tǒng)及其應(yīng)用。主持國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目1項(xiàng)，發(fā)表學(xué)術(shù)論文20余篇，出版專著1部。

吳立成，男，1972年生，教授，主要研究方向?yàn)橹悄芟到y(tǒng)及其應(yīng)用、機(jī)器人。主持國家級項(xiàng)目5項(xiàng)，發(fā)表學(xué)術(shù)論文50余篇，出版專著2部。

樊艷明，男，1991年生，碩士研究生，主要研究方向?yàn)闄C(jī)器視覺。發(fā)表學(xué)術(shù)論文3篇。