王建永 張晨陽 趙文峰 崔世程

（北京空間機電研究所，北京 100094）

正交度對高精度二維轉(zhuǎn)臺測量精度的影響

王建永 張晨陽 趙文峰 崔世程

（北京空間機電研究所，北京 100094）

針對二維跟蹤測量轉(zhuǎn)臺方位軸和俯仰軸正交度對角度測量精度的影響，基于球面三角計算方法和向量運算方法，文章分別推導(dǎo)獲得轉(zhuǎn)臺不正交時角度測量誤差的計算公式，分析上述公式獲得正交度及其測量誤差對轉(zhuǎn)臺測角精度的影響規(guī)律。結(jié)果表明，二維轉(zhuǎn)臺俯仰運動范圍大于 10°時，轉(zhuǎn)臺方位軸和俯仰軸正交度對方位測角精度影響較大，對俯仰測角精度影響可忽略不計；轉(zhuǎn)臺測角精度對正交度的測量誤差非常敏感，俯仰角為75°時，若正交度測量誤差為3″，則方位角測量誤差可達11.2″?；诖颂岢鲆环N正交度分段擬合的修正方法可將正交度對測角精度的影響控制在4″以內(nèi)。最后，針對性的介紹了轉(zhuǎn)臺旋轉(zhuǎn)軸正交度的兩種測量方法及其測量誤差主要來源。研究結(jié)果對通用二維跟蹤測量轉(zhuǎn)臺測角精度指標(biāo)的合理分解具有一定的指導(dǎo)意義。

二維轉(zhuǎn)臺 軸系正交度 誤差分析 測量方法 航天遙感

0 引言

隨著航天事業(yè)的發(fā)展，星載高精度二維轉(zhuǎn)臺在空間角度測量領(lǐng)域的應(yīng)用越發(fā)廣泛，根據(jù)星載精密探測儀器在軌任務(wù)需要，需要配備能快速完成高精度指向和精確測角的星載高精度二維轉(zhuǎn)臺。因此轉(zhuǎn)臺的測角精度直接決定系統(tǒng)的總體性能和在軌任務(wù)實現(xiàn)[1-2]。

目前針對轉(zhuǎn)臺測角精度影響因素的研究主要集中在軸系跳動、測角元件精度、延時精度、轉(zhuǎn)臺控制精度等方面[3-5]：軸系跳動可通過控制加工和裝配精度加以保證[6-8]；測角元件精度可通過選擇高精度的光電編碼器或旋轉(zhuǎn)變壓器得以解決[7-11]；延時精度通過采用高精度的晶振及配套電路得以實現(xiàn)；轉(zhuǎn)臺控制精度通過提升算法和控制系統(tǒng)魯棒性得以提高[12-15]。但轉(zhuǎn)臺正交度對轉(zhuǎn)臺測角精度的研究相對較少。而星載用轉(zhuǎn)臺存在尺寸、質(zhì)量約束，并且需要承受發(fā)射動力學(xué)環(huán)境、在軌空間溫度交變、空間失重環(huán)境以及空間壽命可靠性等環(huán)境條件，使得星載用轉(zhuǎn)臺的正交度很難維持在2″以內(nèi)。且由于任務(wù)需要，星載用轉(zhuǎn)臺的運動范圍較大，使得正交度對轉(zhuǎn)臺測角精度的影響變得尤為不可忽略。

本文推導(dǎo)分析了轉(zhuǎn)臺測角精度與轉(zhuǎn)臺正交度的函數(shù)關(guān)系，分別研究了正交度及其測量誤差對測角精度的影響規(guī)律，并提出了一種分段擬合的修正算法以進一步提高轉(zhuǎn)臺測角精度，有助于在通用二維轉(zhuǎn)臺研制過程中對轉(zhuǎn)臺測角精度指標(biāo)進行合理分解。

1 正交度影響數(shù)學(xué)模型

1.1 影響機理分析

二維轉(zhuǎn)臺利用俯仰旋轉(zhuǎn)軸（內(nèi)框）和方位旋轉(zhuǎn)軸（外框）根據(jù)右手螺旋定則建立目標(biāo)測量坐標(biāo)系，見圖1。理想狀態(tài)下，X、Y、Z三軸構(gòu)成笛卡兒坐標(biāo)系。但是由于零件加工誤差和產(chǎn)品裝配誤差的疊加，造成二維轉(zhuǎn)臺俯仰軸和方位軸不正交（正交度定義為θ），即真實俯仰軸Y′與理想俯仰軸Y存在夾角θ，根據(jù)真實轉(zhuǎn)臺旋轉(zhuǎn)軸系分別建立真實角度測量坐標(biāo)系（O-X′Y′Z′）和理論測量坐標(biāo)系（O-XYZ），即

在理想情況下（θ=0°），在O-XYZ坐標(biāo)系中，OP對應(yīng)的測量角度為（Az，H），在實際情況下，由于θ的存在，在O-X′Y′Z′坐標(biāo)系中，OP的實際測量角度為（Az′，H′），即方位測角誤差為δAz=Az-Az′，俯仰角測量誤差為δH=H-H′。

1.2 誤差模型推導(dǎo)

圖2為測角指向示意圖。由OP0旋轉(zhuǎn)至OP存在兩種路徑：第一種為先完成方位軸旋轉(zhuǎn)（由OP0旋轉(zhuǎn)至OP1），再完成俯仰軸旋轉(zhuǎn)（由OP1旋轉(zhuǎn)至OP）；第二種為先完成俯仰軸旋轉(zhuǎn)（由OP0旋轉(zhuǎn)至OP2），再完成方位軸旋轉(zhuǎn)（由 OP2旋轉(zhuǎn)至 OP）。因此，轉(zhuǎn)臺測量誤差公式可采用兩種推導(dǎo)方法：第一種路徑采用球面三角法進行誤差模型推導(dǎo)，而第二種路徑則采用直角坐標(biāo)系向量法進行誤差模型推導(dǎo)。

1.2.1 球面三角法

圖3為球面直角ΔABC，其中O為球心，∠A為ΔAOB與ΔABC的夾角（直角），∠B為ΔAOB與 ΔBOC的夾角，∠C為ΔAOC與ΔBOC的夾角，a，b，c分別為弧段對應(yīng)的球心角，由球面三角理論可知，已知任意兩個角度，根據(jù)式（2），即可求出其余角度[16]。

如圖2所示，OP0通過旋轉(zhuǎn)到達OP指向位置，在轉(zhuǎn)臺理論測量坐標(biāo)系里，先繞Z軸旋轉(zhuǎn)Az，再繞Y軸旋轉(zhuǎn)H，即在球面上弧段對應(yīng)的球心角為弧段對應(yīng)的球心角為H，Y軸垂直于Z（Z′）軸，則在真實測量坐標(biāo)系中，由于Y′軸與Y軸偏差了θ，實際需要先繞Z′軸（即Z軸）旋轉(zhuǎn)Az′，再繞Y′軸旋轉(zhuǎn)H′，即在球面上弧段對應(yīng)的球心角為Az′，弧段對應(yīng)的球心角為H′，由于Y軸與Z（Z′）軸夾角為γ（θ的余角），則弧段與弧段的夾角為γ，根據(jù)以上分析，建立球面三角△PP1P1′，根據(jù)式（2）可得δAz和δH的誤差公式，其中H和Az滿足右手螺旋定則，以繞旋轉(zhuǎn)軸逆時針旋轉(zhuǎn)為正。

1.2.2 直角坐標(biāo)系向量法

圖 4為旋轉(zhuǎn)與角位置對應(yīng)關(guān)系圖。在真實二維轉(zhuǎn)臺測量坐標(biāo)系中，先完成俯仰軸旋轉(zhuǎn)，即OP0繞Y′軸旋轉(zhuǎn)H′到達OP2，再繞Z（Z′）軸旋轉(zhuǎn)Az′到達 OP，即在真實測量坐標(biāo)系中 OP的角度為（Az′，H′）；而在理論二維轉(zhuǎn)臺測量坐標(biāo)系中，OP0繞Y軸旋轉(zhuǎn)H到達OP2′，再繞Z（Z′）軸旋轉(zhuǎn)Az到達OP，即在理論測量坐標(biāo)系中OP的角度為（Az，H），即方位測角誤差為δAz= β- =Az-Az′，俯仰角測量誤差為 δH=H-H′。由于 OP2、OP2′和OP均為OP0通過旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生。定義OP0為單位向量。圖4中i、j、j′、k分別為X軸、Y軸、Y′軸和Z軸單位向量。

根據(jù)旋轉(zhuǎn)關(guān)系，即OP2（對應(yīng)向量簡化為p2）與OP0的夾角為H′，OP2與Y′軸垂直。定義P點在O-XYZ坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為（x，y，z），則P2點在O-XYZ坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為（x′，y′，z）。由Y′軸位于ZOY平面里，且Y′軸與Y軸夾角為θ，即j在O-XYZ坐標(biāo)系中坐標(biāo)為（0，cosθ，sinθ），可得出

對比式（3）、式（4）與式（9）、式（10），基于兩種計算方法用不同的優(yōu)先旋轉(zhuǎn)次序推導(dǎo)獲得的誤差計算公式是相同的。通過直角坐標(biāo)系向量法的計算過程可知，沿方位軸（外框軸）的旋轉(zhuǎn)不會引入測角誤差，沿俯仰軸（內(nèi)框軸）的旋轉(zhuǎn)會產(chǎn)生俯仰測角誤差和方位測角誤差。

2 正交度影響數(shù)值分析

2.1 正交度對測角精度影響數(shù)值分析

針對某轉(zhuǎn)臺俯仰運動范圍為[-30°，75°]，實測轉(zhuǎn)臺正交度為50″，通過式（9）、式（10）可計算出轉(zhuǎn)臺的方位角和俯仰角測量誤差隨俯仰角的變化曲線，如圖5所示，轉(zhuǎn)臺俯仰角越大，則方位角和俯仰角測量誤差越大。在75°時，方位角測量誤差為-186.6″，而俯仰角誤差僅為-0.02″，由此可得：正交度對方位角測量誤差影響較大；對俯仰角測量誤差極小，可忽略。

2.2 正交度測量誤差敏感性數(shù)值分析

根據(jù) 2.1節(jié)的分析可知，在俯仰角較大時，正交度產(chǎn)生的方位測角誤差較大，而俯仰測角誤差則可以忽略不計。對式（9）進行微分，則

式（11）中正交度θ為小量，sin2θ?1可忽略不計。轉(zhuǎn)臺俯仰測角誤差dH′也為小量，sindHθ′為無窮小，可忽略不計。因此方位測角誤差僅與轉(zhuǎn)臺俯仰角H′、正交度測量誤差dθ′相關(guān)。

取正交度θ為50″，當(dāng)轉(zhuǎn)臺運動俯仰角H′變化范圍為[0°，75°]，正交度測量誤差變化范圍為[0″,15″]時，方位測角精度變化如圖6（a）所示；當(dāng)正交度測量誤差取定值15″時，方位測角精度只與俯仰角（H′）變化相關(guān)，對應(yīng)關(guān)系曲線如圖6（b）所示；當(dāng)轉(zhuǎn)臺俯仰角取定值75°時，方位測角精度只與正交度測量誤差（H′）的變化相關(guān)，對應(yīng)關(guān)系曲線如圖6（c）所示。圖6（a）對應(yīng)的數(shù)據(jù)如表1所示。從圖6和表1可知，當(dāng)轉(zhuǎn)臺俯仰角較大時（俯仰角≥10°），方位測角精度對正交度測量誤差非常敏感，例如，俯仰角為75°時，正交度測量誤差在3″時，方位測角誤差達11.2″。因此對于俯仰運動范圍較大且測角精度要求較高的二維轉(zhuǎn)臺，則選擇與測角精度相匹配的高精度正交度測量方法是極其必要的。

表1 正交度測量誤差和轉(zhuǎn)臺俯仰角對方位測角精度關(guān)系表Tab.1 the relationship between the orthogonality measuring error and the azimuth angle measuring precision under different pitch angles

3 正交度修正方法

由上可知，轉(zhuǎn)臺正交度及其測量誤差對方位測角精度影響較大，為提高二維轉(zhuǎn)臺的測角精度，必須對轉(zhuǎn)臺的正交度進行修正。二維指向機構(gòu)的控制系統(tǒng)通常采用FPGA+DSP的信號處理系統(tǒng)，為減小計算量同時又能保證修正后的測角精度，本文提出一種采用分段函數(shù)線性擬合方法，取正交度測量值為 50″時，對式（9）分別在H′為0°、43°、58°、66°、71°、74°時進行一階泰勒展開，展開后的分段擬合函數(shù)如式（12）所示（計算時 H′單位為 rad），考慮到修正時算法的穩(wěn)定性，在滿足修正精度（為測角精度的0.1倍）的情況下，在兩個分段函數(shù)設(shè)置重疊區(qū)域。

分段擬合方位測角誤差曲線如圖7（a）所示，原始方位測角誤差曲線如圖7（b）所示，擬合誤差曲線如圖7（c）所示，由圖可知，通過分段擬合修正，測角誤差可以控制在3.6″?？紤]到星載轉(zhuǎn)臺控制器用DSP資源余量和修正精度要求，選用高階分段函數(shù)進行修正可以有效提高修正精度。

4 轉(zhuǎn)臺正交度測量方法

由上文分析可知，二維轉(zhuǎn)臺測量精度受正交度影響較大，且對正交度的測量精度非常敏感。但是，不同的正交度測量方法對應(yīng)的測量誤差也不同，這直接影響了二維轉(zhuǎn)臺的測量精度。因此，采用合適的正交度測量方法十分必要。本文有針對性介紹兩種測量方法：接觸式測量方法和非接觸式光學(xué)測量方法。

（1）接觸式測量法[16-18]

接觸式測量法采用基準(zhǔn)圓柱和三坐標(biāo)測量儀配合完成正交度測量，需要轉(zhuǎn)臺方位軸（外環(huán)軸）運動范圍不小于180°，俯仰軸（內(nèi)環(huán)軸）旋轉(zhuǎn)范圍360°，通過計算方位角旋轉(zhuǎn)180°前后的基準(zhǔn)圓柱旋轉(zhuǎn)中心的跳動值計算出正交度。本方法測量精度與基準(zhǔn)圓柱和三坐標(biāo)測量儀的精度密切相關(guān)，具體計算可見文獻[18]。

（2）非接觸式光學(xué)測量法[19-20]

光學(xué)測量法采用平面反射鏡加自準(zhǔn)直儀（或經(jīng)緯儀）完成測量，需要轉(zhuǎn)臺方位軸（外環(huán)軸）運動范圍不小于180°，俯仰軸（內(nèi)環(huán)軸）運動范圍360°，先在俯仰軸兩端粘貼平面反射鏡，并將平面反射鏡與軸線調(diào)整垂直，測試時，先將外環(huán)軸旋轉(zhuǎn)至0°，旋轉(zhuǎn)中環(huán)軸，利用反射鏡1間隔45°共測量8組數(shù)，可計算出外環(huán)軸為0°時的中環(huán)軸旋轉(zhuǎn)軸線，再將外環(huán)軸旋轉(zhuǎn)至180°，采用同樣方法，利用反射鏡2在中環(huán)軸同樣的角度測量8組數(shù)，計算出外環(huán)軸為180°時的中環(huán)軸旋轉(zhuǎn)軸線，將中環(huán)軸相同角度數(shù)據(jù)之差的一半中的最大值即為兩軸正交度（共 4組數(shù)），具體測量方法和數(shù)據(jù)處理方法詳見文獻[19]。本測量方法精度較高，要注意兩點：1）平面反射鏡要與旋轉(zhuǎn)軸線垂直；2）如果正交度測量值較大，必要時加密測量間隔，以減小測量誤差。

5 結(jié)束語

本文深入分析了高精度二維轉(zhuǎn)臺正交度對測角精度的影響，給出了正交度對測角精度的影響公式、正交度測量誤差敏感度公式及相應(yīng)的誤差修正公式，基于誤差公式進一步分析了正交度對測角精度的影響，正交度測量誤差對測角精度的影響以及正交度的修正對測角精度的影響，得出以下結(jié)論：

1）在俯仰角較大（大于10°）時，正交度誤差對方位角測量精度影響較大，正交度為50″時，在俯仰角為75°時，產(chǎn)生的方位角測量誤差為-186.6″；

2）正交度對俯仰角測量精度影響較小，俯仰角為 75°時，產(chǎn)生的俯仰角測量誤差為-0.02″，可忽略不計；

3）方位角測量精度對正交度測量誤差比較敏感，當(dāng)俯仰角為75°時，正交度測量誤差為3″時，產(chǎn)生的方位角測量誤差為11.2″；

4）正交度對方位角測量精度的影響可以通過分段函數(shù)線型擬合方式進行修正，修正后正交度誤差對測角精度的影響可以控制在4″以內(nèi)。

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Effects of Orthogonality on the Measurement Precision of High-accuracy Two-dimensional Turntable

WANG Jianyong ZHANG Chenyang ZHAO Wenfeng CUI Shicheng
（Beijing Institute of Space Mechanics & Electricity, Beijing 100094, China）

Considering the influence of orthogonality between azimuth axis and pitch axis on the angle measuring precision of two-dimensional tracking turntable, the formula of angle measuring error is derived based on the spherical triangle method and vector method respectively, when the azimuth axis and pitch axis of turntable is non-orthogonal. The effects of the orthogonality and its measuring error on the angle measuring precision are obtained from the formula. Results shows that when the motion range of the turntable is wider than 10°, the orthogonality between the azimuth axis and pitch axis has great effects on the measuring precision of the azimuth angle, but little effects on the pitch angle. Further results shows that the angle measuring precision is quite sensitive to the orthogonality measuring error. When the pitching angle is 75° and the orthogonality measuring error is 3″, the azimuth angle error can reach to 11.2″. Then an orthogonality segmented fitting method is proposed, which can control the angle measuring precision within 4″. Finally, two kinds of revolving axes orthogonality measuring methods and their main error source are summarized. These results have some instructional value for the analysis on the angle measuring precision of the general two-dimensional tracking turntable.

two-dimensional turntable; axes orthogonality; error analysis; measuring method; space remote sensing

V423.6

A

1009-8518(2017)03-0094-08

10.3969/j.issn.1009-8518.2017.03.011

王建永，男，1985年生，2010年獲中國空間技術(shù)研究院光學(xué)工程專業(yè)碩士學(xué)位，工程師。研究方向為空間光機結(jié)構(gòu)總體設(shè)計。E-mail：719920772@qq.com。

（編輯：王麗霞）

2017-02-09

國家重大科技專項工程