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        帶有p-Laplacian算子的分?jǐn)?shù)階微分方程多點(diǎn)邊值問題正解的存在性

        2017-07-31 16:39:32馬德香
        關(guān)鍵詞:有界邊值問題不動點(diǎn)

        張 艷,馬德香

        (華北電力大學(xué)數(shù)理學(xué)院 北京 102206)

        帶有p-Laplacian算子的分?jǐn)?shù)階微分方程多點(diǎn)邊值問題正解的存在性

        張 艷,馬德香

        (華北電力大學(xué)數(shù)理學(xué)院 北京 102206)

        在以下帶有p-Laplacian算子的分?jǐn)?shù)階微分方程多點(diǎn)邊值問題中:

        其中Dα,Dβ是Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù),f∶[0,+∞)→[0,+∞)是連續(xù)函數(shù),文章的新奇之處在于運(yùn)用Guo-Krasnoselskii不動點(diǎn)定理來研究了一類含參量的帶有p-Laplacian多點(diǎn)邊值問題正解的存在性及不存在性.

        分?jǐn)?shù)階微分方程;p-Laplacian算子;多點(diǎn)邊值問題;不動點(diǎn)定理

        0引言

        分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題近年來得到了很多學(xué)者的關(guān)注,具體見參考文獻(xiàn)[1-7],然而直到近幾年帶有p-Laplacian算子的分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題的研究才開始興起,這是因?yàn)橛善浣⒌哪P驮诙嗫捉橘|(zhì)中的湍流現(xiàn)象,在流變學(xué)、材料科學(xué)、粘塑性力學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用,研究帶有p-Laplacian算子的分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題具有較大的研究前景.近年來有一些作者開始研究帶有p-Laplacian算子的分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題,例如在文獻(xiàn)[8]中,作者陳泰永運(yùn)用重合度理論研究了以下帶有p-Laplacian算子的分?jǐn)?shù)階微分方程兩點(diǎn)邊值問題:

        在文獻(xiàn)[9]中,作者韓振來通過運(yùn)用Guo-Krasnoselskii不動點(diǎn)定理研究了以下帶有p-Laplacian算子的分?jǐn)?shù)階微分方程兩點(diǎn)邊值問題:

        受以上文獻(xiàn)啟發(fā),本文將運(yùn)用Guo-Krasnoselskii不動點(diǎn)定理來研究以下邊值問題

        在本文中,假設(shè)以下是成立的:

        (H2)f∶[0,+∞)→[0,+∞)是連續(xù)的;

        (H3)φ∶R→R為非減奇函數(shù),且存在非減同胚映射Ψ1,Ψ2,滿足

        1 預(yù)備知識和引理

        1.1 預(yù)備知識

        1.1.1 α>0,定義函數(shù)y∶(0,∞)→R的α階Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分為

        其中Γ(·)是歐拉積分,等式右端在(0,∞)上逐點(diǎn)定義.

        1.1.2 α>0,定義函數(shù)y∶(0,∞)→R的α階Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)為

        其中n=[α]+1,等式右端在(0,∞)上逐點(diǎn)定義.

        1.2 引理

        1.2.1 假設(shè)α>0,若u∈C(0,1)∩L(0,1)有α階Riemann-Liouville導(dǎo)數(shù),則

        其中N為大于或等于α的最小整數(shù).

        1.2.2[10]設(shè)x∈C+[0,1]:={x x∈C[0,1],x(t)≥0,t∈[0,1]}.下列邊值問題:

        其中

        有唯一解

        其中G(t,s)見式(2),而證明:

        根據(jù)引理1.2.1和1<β≤2,得

        由式(3),有

        因此:

        那么根據(jù)引理1.2.2,可知式(3)有唯一解

        證明完成.

        1.2.4[11]G(t,s)有下列性質(zhì):

        (1)對于任意的(t,s)∈[0,1]×[0,1],G(t,s)≥0.(2)給定s∈[0,1],則對于任意的t∈[0,1],

        (3)給定s∈[0,1],則對于任意的t∈[0,1],有G(t,s)≥ρ(t)G(t0,s),其中

        1.2.5[12]H(s,)有以下性質(zhì):

        1.2.7[14](Guo-Krasnoselskii不動點(diǎn)定理) E為Banach空間,P?E是一個錐,設(shè)Ω1,Ω2是E中的兩個有界開子集,且θ∈Ω1?Ω1?Ω2,有T∶P∩(Ω2Ω1)→P為全連續(xù)算子,且滿足

        (1)Tu≤u,u∈P∩?Ω1,Tu≥u,u∈P∩?Ω2,或者

        (2)Tu≥u,u∈P∩?Ω1,Tu≤u,u∈P∩?Ω2,

        則算子T在P∩(Ω2Ω1)中存在不動點(diǎn).

        定義算子T∶P→P如下:

        1.2.8 T∶P→P是全連續(xù)算子.

        證明:由引理1.2.4,得

        下面證明T的緊性,設(shè)Ω?P是有界的,則存在正常數(shù)M>0,對于所有的u∈Ω,有u≤M.令k=max+1.當(dāng)u∈Ω,t∈[0,1]時,有

        因此,T(Ω)是一致有界的.

        另一方面,因?yàn)镚(t,s)在[0,1]×[0,1]上是連續(xù)的,在[0,1]×[0,1]是一致連續(xù)的,因此對于任意的ε>0,存在δ>0,當(dāng)t1,t2∈[0,1],當(dāng)t1-t2<δ,有

        對于所有的u∈Ω,

        因此T(Ω)是等度連續(xù)的.再由Arzela-Ascoli定理,可知T是緊的,從而得到T∶P→P是全連續(xù)算子.證明完成.

        2 正解的存在性與不存在性

        為方便起見,引入以下符號,

        2.1 正解存在性定理的證明

        分?jǐn)?shù)階微分方程(1)至少有一個正解.(當(dāng)f∞=+∞,F(xiàn)0=0時,記f-∞1=0,F(xiàn)0-1=+∞.)

        以下證明分為兩部分.

        第一步:由F0的定義可知,r1>0,

        對于u∈P且u =r1,

        取Ω1={u∈E<r1},有

        第二步:由f∞的定義可知,r3>0

        取r2> r3,如果u∈P且u =r2=max{2r1,r3},由式(6)和(9)可得

        故Ω2={u∈E<r3}取,得

        根據(jù)式(8)、(10)以及定理1.2.7可得,T中有一個不動點(diǎn)u∈P∩(Ω2Ω1)且滿足r1≤u ≤r2,顯然u就是分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題(1)的正解.證明完成.

        f0Ψ(1A-11)>F∞Ψ(2A-21)成立.那么對于則分?jǐn)?shù)階微分方程(1)至少有一個正解(.當(dāng)f0=+∞,F(xiàn)∞=0,有f-01=0,F(xiàn)-∞1=+∞.)證明:當(dāng)滿足式(11),可知 ε>0,滿足

        以下證明分為兩部分.

        第一步:由f0的定義可知,r1>0,

        對于u∈P且u =r1,類似于定理2.1.1第二部分的證明方法,可取Ω1={u∈Eu <r1},有

        第二步:選取R1>0

        接下來,考慮兩種情況:

        情況一:假設(shè)f是有界的.N>0,有

        取r3=max{2r1,φ-(1N)A1},對u∈P且u=r3,有

        情況二:假設(shè)f是無界的.則存在r4>max{2r1,R1}使得

        對于u∈P且u =r4,

        取Ω4={u∈Eu<r4}有T u≤u ,當(dāng)u∈P∩?Ω4.

        再由情況一和情況二可知,當(dāng)Ω2={u∈Eu <r2=max{r3,r4}},有

        根據(jù)定理1.2.7和式(13)、(15)可知,T中有一個不動點(diǎn)u∈P∩(Ω2Ω)1且滿足r1≤u≤r2,顯然u就是分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題(1)的正解.證明完成.

        2.1.3 假設(shè)r2>r1>0,有

        則分?jǐn)?shù)階微分方程(1)邊值問題有一個正解u∈P且r1≤u ≤r2.

        取Ω2={u∈Eu <r2}.當(dāng)u∈P∩?Ω2,有

        因此,由定理1.2.7知,分?jǐn)?shù)階微分方程(1)的邊值問題有一個正解u∈P且r1≤u ≤r2.證明完成.

        2.1.4 假設(shè)f0=+∞,f∞=+∞.那么對于∈(0,1),則分?jǐn)?shù)階微分方程(1)邊值問題至少有兩個正解,其中

        證明:令x(r)=由f的連續(xù)性可知,x(r)∶(0,+∞)→(0,+∞)是連續(xù)的.

        一方面,根據(jù)f0=+∞,f∞=+∞,可得limx(r)=limx(r)=0.故存在r0∈(0,+∞),使得x(r0)=supx(r)=1.對于∈(0,1),存在常數(shù)a1,a(20<a1<r0<a2<+∞)有

        則,

        另一方面,根據(jù)f0=+∞,f∞=+∞,存在常數(shù)b1,b(20<b1<a1<r0<a2<b2<+∞)有

        再由式(16)-(19)并根據(jù)定理2.1.3和定理1.2.7可得,當(dāng)∈(0,1)時,分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題(1)至少有兩個正解.

        2.2 正解不存在性定理的證明

        2.2.1 假設(shè)F0<+∞,F(xiàn)∞<+∞.那么存在0>0,0<<0,分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題(1)無正解.

        證明:根據(jù)F0<+∞和F∞<+∞可知,存在正常數(shù)M1,M2,r1,r2,使得當(dāng)r1<r2時,滿足

        假設(shè)v(t)是分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題(1)的正解.當(dāng)0<<0:=M-01Ψ(1A-11),對于t∈[0,1],有T v(t)=v(t),因此有

        與T v(t)=v(t)相矛盾,因此分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題(1)無正解.證明完成.

        2.2.2 假設(shè)f0>0,f∞>0.對于0>0,>0,分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題(1)無正解.證明:根據(jù)f0>0和f∞>0,存在正常數(shù)m1,m2,r3,r4,使得當(dāng)r3<r4,

        與T v(t)=v(t)相矛盾,分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題(1)無正解.證明完成.

        3 例子

        3.1 考慮邊值問題:

        容易驗(yàn)證:f∞Ψ(1A-11)>F0Ψ(2A-21).因此,由定理2.1.1知,當(dāng)∈(3 843.197 5,4 960.3)邊值問題(20)存在正解.

        3.2 考慮以下邊值問題:

        3.3 考慮以下邊值問題:

        A1≈0.201 6,A2≈0.000 2,F(xiàn)0=f0=2,F(xiàn)∞=10,f∞=6并且u<f(u)<10u,

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        Existence of Positive Solution for
        Multi-Point Boundary Value Problems of FractionalDifferential Equations with p-Laplacian

        ZHANG Yan,MA Dexiang
        (College of Mathematics and Physics,North China Universityof Electrical Power,Beijing102206,China)

        In the following multi-point boundary value problem of fractional differential equation with p-Laplacian:

        fractional differential equation;p-Laplacian operator;multi-point boundary value problem;fixed point theorem

        O175.1;O175.8

        A

        1001-4217(2017)03-0029-13

        2016-09-21

        張 艷(1991—),女,碩士研究生.研究方向:分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題研究. E-mail:zhuanzhufadai@sohu.com

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