杜一帥 康維 鄭瑞倫?

1)(重慶文理學(xué)院電子電氣工程學(xué)院,永川 402160)2)(重慶郵電大學(xué)理學(xué)院,重慶 400065)(2016年6月14日收到;2016年10月16日收到修改稿)

外延石墨烯電導(dǎo)率和費(fèi)米速度隨溫度變化規(guī)律研究?

杜一帥1)康維2)鄭瑞倫1)?

1)(重慶文理學(xué)院電子電氣工程學(xué)院,永川 402160)2)(重慶郵電大學(xué)理學(xué)院,重慶 400065)(2016年6月14日收到;2016年10月16日收到修改稿)

考慮到原子的非簡(jiǎn)諧振動(dòng)和電子-聲子相互作用,建立了金屬基外延石墨烯的物理模型,用固體物理理論和方法,得到金屬基外延石墨烯的電導(dǎo)率和費(fèi)米速度隨溫度變化的解析式.以堿金屬基底為例,探討了基底材料和非簡(jiǎn)諧振動(dòng)對(duì)外延石墨烯電導(dǎo)率和費(fèi)米速度的影響.結(jié)果表明:1)零溫情況下,堿金屬基外延石墨烯的電導(dǎo)率和費(fèi)米速度均隨基底元素原子序數(shù)的增大而增大;2)外延石墨烯的電導(dǎo)率隨溫度升高而減小,其中,溫度較低時(shí)時(shí)變化較快,而溫度較高時(shí)則變化很慢,費(fèi)米速度隨溫度升高而增大,其變化率隨基底材料原子序數(shù)的增大而增大;3)原子非簡(jiǎn)諧振動(dòng)對(duì)外延石墨烯的電導(dǎo)率和費(fèi)米速度有重要的影響,簡(jiǎn)諧近似下,費(fèi)米速度為常數(shù),電導(dǎo)率的溫度變化率較大;考慮到原子非簡(jiǎn)諧項(xiàng)后,費(fèi)米速度隨溫度升高而增大,電導(dǎo)率的溫度變化率減小;溫度愈高,原子振動(dòng)的非簡(jiǎn)諧效應(yīng)愈明顯.

外延石墨烯,非簡(jiǎn)諧振動(dòng),電導(dǎo)率,費(fèi)米速度

1引 言

由于石墨烯具有優(yōu)異的電學(xué)、力學(xué)和熱學(xué)等性質(zhì)和二維結(jié)構(gòu),使石墨烯及其復(fù)合材料成為當(dāng)今國(guó)際研究的重要前沿之一.目前,人們對(duì)單層石墨烯已做了不少研究[1,2],一般是在金屬或半導(dǎo)體平面基底上通過(guò)吸附、沉積等方法生長(zhǎng)一層或多層石墨烯,這種石墨烯稱(chēng)為外延石墨烯.由于它更與實(shí)際接近,因此,研究外延石墨烯顯得更有現(xiàn)實(shí)意義.例如:基底薄片怎樣影響外延石墨烯的形成和吸附原子的狀態(tài)、傳感器的儀器構(gòu)件接觸點(diǎn)的性質(zhì)與石墨烯功能的關(guān)系等都是人們正在探索的重要問(wèn)題.外延石墨烯的制備和性能的研究已成為石墨烯材料的研究前沿與熱點(diǎn)之一.

在外延石墨烯的制備方法上,目前采用的外延法是在一種晶體結(jié)構(gòu)上通過(guò)晶格匹配生長(zhǎng)另一種晶體的方法,它可分為SiC外延法和金屬外延法兩類(lèi).其中SiC外延法因SiC本身就是一種性能優(yōu)異的半導(dǎo)體且其在單晶加熱時(shí)會(huì)發(fā)生石墨化現(xiàn)象,制備外延石墨烯相對(duì)較易,已有一些文獻(xiàn)對(duì)用這種方法獲得的外延石墨烯的制備、性質(zhì)等開(kāi)展了研究.如文獻(xiàn)[3]研究了近平衡制備方法在4H-SiC襯底上制備的外延石墨烯的表征;文獻(xiàn)[4]實(shí)驗(yàn)研究了退火時(shí)間對(duì)6H-SiC(0001)表面外延石墨烯形貌和結(jié)構(gòu)的影響;文獻(xiàn)[5]對(duì)外延石墨烯-緩沖層-SiC-基底系統(tǒng)中原子的置換能進(jìn)行了計(jì)算.由于SiC外延法難以實(shí)現(xiàn)大面積的制備、能耗高等局限性,其制備受到制約[6].

金屬外延法是采用與石墨烯晶格匹配的單晶為基底,在高真空環(huán)境中熱分解含碳化合物(如乙炔、乙烯等),通過(guò)調(diào)控和優(yōu)化工藝參數(shù),盡可能地使石墨烯均勻地鋪滿(mǎn)整個(gè)金屬基底,由此獲得較大面積的外延石墨烯.金屬外延獲得外延石墨烯的制備方法主要有[7]:化學(xué)真空沉積法(CVD)、溫度控制法(temperature programmed growth,TPG)、分離法(segregation)、碳原料法(carbon feedstock)、碳化硅升華法(SiC sublimation)等.與SiC外延法相比,該方法獲得的外延石墨烯不僅面積較大,連續(xù)均勻,且易于轉(zhuǎn)移(通過(guò)化學(xué)腐蝕去掉金屬基底),因而愈益引起了人們的關(guān)注.文獻(xiàn)[8]綜述了金屬表面化學(xué)功能化獲得外延石墨烯的合成過(guò)程和電學(xué)性質(zhì),指出:石墨烯的功能化可分為離子功能化、置換功能化、共價(jià)功能化三類(lèi).通過(guò)氫來(lái)實(shí)現(xiàn)共價(jià)功能化,通過(guò)金屬來(lái)實(shí)現(xiàn)離子功能化,通過(guò)氮摻雜來(lái)實(shí)現(xiàn)置換功能化,其中,在金屬基底上化學(xué)真空沉積一層石墨烯是首要的一步.由于該方法所制材料的性能、形貌受金屬基底的影響較大,探尋一種易于制備且所制的外延石墨烯性能良好的工藝(含基底的選取)、搞清基底與性能的關(guān)系等是一個(gè)待解決的重要問(wèn)題.文獻(xiàn)[9,10]對(duì)Ru,Ni等金屬基底的外延石墨烯的制備進(jìn)行了研究,文獻(xiàn)[11]論述了在Cu(111)/藍(lán)寶石界面上通過(guò)大氣壓大面積生長(zhǎng)外延石墨烯的CVD方法.為了揭示金屬基底與其上所生成的外延石墨烯性能的關(guān)系,以便為選取合適的基底提供理論根據(jù),文獻(xiàn)[12]研究了在Ru,Ni等金屬基底上形成的外延石墨烯與基底電荷的轉(zhuǎn)移,文獻(xiàn)[13]論證了外延石墨烯費(fèi)米速度與單層石墨烯中費(fèi)米速度的關(guān)系,文獻(xiàn)[14]用實(shí)驗(yàn)方法研究了氧對(duì)外延石墨烯與金屬相互作用的影響.

除采用Cu,Ru,Ni等金屬作基底生長(zhǎng)外延石墨烯外,已有一些文獻(xiàn)對(duì)堿金屬基外延石墨烯進(jìn)行研究.堿金屬與石墨烯的晶格常數(shù)的差異與現(xiàn)采用的金屬基底的情況差異并不是太大.例如,Li,Na的晶格常數(shù)分別為3.491×10?10,4.225×10?10m,碳的晶格常數(shù)為3.567×10?10m,兩者的差異為2.1%和18.4%；而Ni,Cu晶格常數(shù)為3.52×10?10,3.61×10?10m,兩者的差異為1.3%和1.2%,這表示以堿金屬為基底和以Ni,Cu為基底與石墨烯晶格匹配的差異不是太大,因而可通過(guò)改進(jìn)工藝條件用真空沉積獲得堿金屬基外延石墨烯.俄羅斯學(xué)者Davydov和Alisultanov等已對(duì)堿金屬基外延石墨烯的性質(zhì)做了不少研究.文獻(xiàn)[15]建立了吸附模型,對(duì)堿金屬與石墨烯碳原子的相互作用能進(jìn)行計(jì)算;文獻(xiàn)[16]從理論上研究了在金屬表面上形成的外延石墨烯的輸運(yùn)性質(zhì),論證了電導(dǎo)率與金屬基底化學(xué)勢(shì)、費(fèi)米能的關(guān)系;文獻(xiàn)[17]從理論上計(jì)算了K基底的外延石墨烯的費(fèi)米速度和電導(dǎo)率.但這些研究均未涉及隨溫度的變化,而且在研究中,未考慮聲子的貢獻(xiàn).對(duì)單層和少層石墨烯電導(dǎo)率和溫度的關(guān)系,文獻(xiàn)[18]做了一些研究,但未研究外延石墨烯的情況,而且在研究中未考慮原子的振動(dòng)(特別是非簡(jiǎn)諧振動(dòng))和電子-聲子相互作用.為了揭示原子振動(dòng)的非簡(jiǎn)諧效應(yīng),我們?cè)谖墨I(xiàn)[19,20]中對(duì)原子非簡(jiǎn)諧振動(dòng)對(duì)單層石墨烯的熱力學(xué)性質(zhì)的影響做了研究,但未研究外延石墨烯的電導(dǎo)率和費(fèi)米速度等輸運(yùn)性質(zhì).鑒于金屬基外延石墨烯的費(fèi)米速度和電導(dǎo)率等輸運(yùn)性質(zhì)在理論和應(yīng)用上的重要性,本文在考慮到原子非簡(jiǎn)諧振動(dòng)和電子-聲子相互作用情況下,以堿金屬上形成的外延石墨烯為例,用固體物理理論和方法,研究外延石墨烯電導(dǎo)率和費(fèi)米速度隨溫度的變化規(guī)律以及原子非簡(jiǎn)諧振動(dòng)對(duì)它們的影響.

2物理模型

本文研究的系統(tǒng)是由在平面狀金屬(如Li,Na,K等堿金屬)基底上,生成由碳原子構(gòu)成的理想二維六角形結(jié)構(gòu)的單層石墨烯構(gòu)成,其俯面和側(cè)面分別見(jiàn)圖1(a)和圖1(b).

圖1 金屬基外延石墨烯系統(tǒng)俯面(a)和側(cè)面(b)Fig.1.The surface(a)and side(b)of the metal-base epitaxial grapheme.

石墨烯碳原子除與基底堿金屬原子有相互作用外,彼此之間還有相互作用.在溫度不太高時(shí),石墨烯原子只在平面內(nèi)做微小振動(dòng).原子靜止時(shí),文獻(xiàn)[21]用哈里森鍵連軌道法,求出未考慮短程相互作用情況下一個(gè)原子的平均相互作用能.文獻(xiàn)[22]進(jìn)一步考慮到原子短程相互作用,給出石墨烯一個(gè)原子的平均相互作用能為

式中的V2為兩原子的sp2軌道σ鍵的共價(jià)能,它與原子間距離d的平方成反比:

V2=這里m為自由電子的質(zhì)量;V1為金屬化能;R=0.154×104(?2/2m)a100,a0為玻爾半徑;β2=2/3,?為普朗克常數(shù).

金屬基底態(tài)密度為[17]

這里,Nm和Wm分別是金屬導(dǎo)帶可容納的電子數(shù)和半寬度.在堿金屬作為自由電子近似處理情況下,與金屬晶格常數(shù)a的關(guān)系為

因熱振動(dòng),石墨烯碳原子要在平衡位置d0附近做微振動(dòng),假設(shè)基底與石墨烯原子之間相互作用不大,則振動(dòng)情況主要由石墨烯碳原子間的相互作用決定.將φ(d)在平衡位置d0附近展開(kāi),偏離δ=d?d0很小時(shí),有

將(1)代入(4)式,求得原子振動(dòng)的簡(jiǎn)諧系數(shù)ε0、第一和第二非簡(jiǎn)諧系數(shù)ε1,ε2,其表示式見(jiàn)文獻(xiàn)[20].

3外延石墨烯的電導(dǎo)率

外延石墨烯的電導(dǎo)率σ除了電子的貢獻(xiàn)σe(T)外,還有聲子的貢獻(xiàn)σp(T).在零溫情況,原子振動(dòng)很小,振動(dòng)被“凍結(jié)”在基態(tài),聲子的貢獻(xiàn)σp(T)可忽略.

3.1 零溫情況

文獻(xiàn)[17]給出了零溫(T=0 K)情況下,外延石墨烯的電導(dǎo)率與格林函數(shù)G±的關(guān)系為

其中,ε+= εD+vF?|q|,ε?= εD?vF?|q|,這里的εD是石墨烯布里淵區(qū)狄拉克點(diǎn)電子的能量,按文獻(xiàn)[17],取εD=0;vF為石墨烯電子的費(fèi)米速度,它與電子躍遷能量矩陣元t以及石墨烯最近鄰原子間的距離d的關(guān)系為[13]vF=3td/2?,|q|為電子波矢絕對(duì)值,εF0是零溫費(fèi)米能,而非零溫情況費(fèi)米能為εF.

對(duì)金屬基底上形成的外延石墨烯,有[17]

其中Vm為石墨烯與堿金屬原子的平均相互作用能,ξ為石墨烯π帶的寬度.將(6)式代入(5)式求得零溫(T=0 K)情況下電子貢獻(xiàn)的電導(dǎo)率為

這里ΓmF0,B0,bm0分別為零溫情況的ΓmF,B,bm,由下式表示:

3.2 溫度不為零的情況

非零溫情況外延石墨烯電導(dǎo)率為電子貢獻(xiàn)與聲子貢獻(xiàn)之和:σ(T)=σe(T)+σp(T).文獻(xiàn)[23]給出的費(fèi)米能與溫度的關(guān)系為

式中kB是玻爾茲曼常數(shù).電子貢獻(xiàn)的電導(dǎo)率為

為了求得聲子對(duì)電導(dǎo)率的貢獻(xiàn)σp(T),按照固體理論[24],考慮到電子-聲子相互作用后,電子的分布函數(shù)f滿(mǎn)足的玻爾茲曼方程為

等式右邊第一項(xiàng)為溫度分布不均勻,電子擴(kuò)散引起的分布函數(shù)的變化;第二項(xiàng)是外電磁場(chǎng)引起的變化,第三項(xiàng)為電子與聲子碰撞或聲子之間的碰撞引起,稱(chēng)為碰撞項(xiàng).在無(wú)外場(chǎng)和溫度梯度不大時(shí),碰撞項(xiàng)可以簡(jiǎn)化,引入弛豫時(shí)間近似,即令

這里τ為弛豫時(shí)間,f0是平衡時(shí)的電子分布,即費(fèi)米分布.經(jīng)不太復(fù)雜的運(yùn)算,應(yīng)用二維德拜模型,求得溫度不太高情況下τ與溫度T的關(guān)系為

其中,M為碳原子質(zhì)量;m?為電子有效質(zhì)量;kF為電子費(fèi)米波矢;c=?2εF/3,這里εF為石墨烯電子費(fèi)米能;qm是聲子的最大波矢,它與石墨烯原胞面積?的關(guān)系為qm=(4π/?)1/2;θD為德拜溫度,簡(jiǎn)諧近似下,它與ε0關(guān)系為[25]

考慮到原子振動(dòng)的非簡(jiǎn)諧效應(yīng)后,利用振動(dòng)頻率與溫度的如下關(guān)系[24]

利用電導(dǎo)率與自由電子數(shù)密度n(對(duì)二維,即單位面積電子數(shù))以及弛豫時(shí)間的關(guān)系σ=(ne2/m?)τ,得到溫度不太高時(shí)聲子產(chǎn)生的電導(dǎo)率σp(T)為

分別將(15),(17)式代入(18)式,得到簡(jiǎn)諧近似和原子做非簡(jiǎn)諧振動(dòng)情況下聲子貢獻(xiàn)的電導(dǎo)率,進(jìn)而得到外延石墨烯的總電導(dǎo)率.

4外延石墨烯電子的費(fèi)米速度

電子的費(fèi)米速度是電子輸運(yùn)性質(zhì)中的一個(gè)重要的量.文獻(xiàn)[17]給出了零溫情況外延石墨烯電子的費(fèi)米速度的表示式,但未研究基底的影響和費(fèi)米速度隨溫度的變化,現(xiàn)以堿金屬基底為例作研究.文獻(xiàn)[17]給出的金屬基外延石墨烯電子的費(fèi)米速度ˉvF與石墨烯費(fèi)米速度vF的關(guān)系為

將(3)式代入(19)式,注意到金屬基點(diǎn)陣常數(shù)a與溫度T和線膨脹系數(shù)αl的關(guān)系為a(T)=a0(1+αlT),可得到金屬基外延石墨烯電子費(fèi)米速度ˉvF與溫度T、基底與石墨烯原子相互作用Vm、金屬基底線膨脹系數(shù)αl以及vF的關(guān)系為

這里Wm0=3?2π2/2ma20為零溫情況下金屬導(dǎo)帶半寬度.

5非簡(jiǎn)諧振動(dòng)對(duì)外延石墨烯導(dǎo)電率的影響

現(xiàn)以在堿金屬基底上形成的外延石墨烯為例,研究電子-聲子互作用和非簡(jiǎn)諧振動(dòng)對(duì)外延石墨烯電導(dǎo)率和費(fèi)米速度的影響.將文獻(xiàn)[26]給出的堿金屬的點(diǎn)陣常數(shù)a數(shù)據(jù)代入(3)式求得導(dǎo)帶半寬度Wm.文獻(xiàn)[15]給出了堿金屬與石墨烯碳原子相互作用能Vm.另外,按文獻(xiàn)[27],取ξ=2.38eV,堿金屬一個(gè)原胞相應(yīng)的導(dǎo)帶可容納的電子數(shù)取Nm=4,由石墨烯碳原子間距離d0=1.42×10?10m和文獻(xiàn)[27]給出的t=2.8eV,求得石墨烯費(fèi)米速度vF=0.904493×106m·s?1和ε0F=mv2F/2=2.3034eV.將上述數(shù)據(jù)代入(8)式,求得T=0 K時(shí)的ΓmF0,B0,bm0,代入(7)式,求得外延石墨烯的零溫電導(dǎo)率ε1,結(jié)果見(jiàn)表1.

表1 a,Wm,Vm以及σm(0)隨堿金屬元素的變化Table 1.Variations of a,Wm,Vmand σm(0)for di ff erent alkali-metal elements.

由表1做出外延石墨烯的零溫電導(dǎo)率σe(0)隨堿金屬元素的變化如圖2(a).將上述數(shù)據(jù)代入(9)式,再一起代入(10)和(11)式,求得外延石墨烯電子對(duì)導(dǎo)電率貢獻(xiàn)σe(T)隨溫度的變化,結(jié)果見(jiàn)圖2(b).

圖2 外延石墨烯電子電導(dǎo)率隨基底元素(a)和溫度的變化(b)Fig.2.Variations of the electrical conductivity of epitaxial graphene with the based elements and the temperature,which are shown by Fig.(a)and(b),respectively.

由圖2可見(jiàn):1)堿金屬基外延石墨烯零溫電導(dǎo)率σe(0)隨原子序數(shù)增大而增大,原因在于金屬基底原子序數(shù)增大時(shí),導(dǎo)帶半寬度Wm因晶格常數(shù)a變大而變小,堿金屬與石墨烯碳原子相互作用能Vm也變小,基底對(duì)石墨烯中電子的約束減弱,因而外延石墨烯的電導(dǎo)率變大;2)外延石墨烯電子貢獻(xiàn)的電導(dǎo)率隨溫度升高而略有增大,但變化極小,其數(shù)量級(jí)為10?5(?·m)?1,這與純石墨烯電子貢獻(xiàn)的電導(dǎo)率有區(qū)別,原因在于堿金屬基外延石墨烯電子貢獻(xiàn)的導(dǎo)電率σe除受石墨烯原子影響外,還受到基底元素原子相互作用能Vm的影響;3)外延石墨烯電子貢獻(xiàn)的電導(dǎo)率隨溫度的變化情況與基底材料有關(guān),在Li,Na,K,Rb,Cs這5種元素中,以K基底的外延石墨烯電導(dǎo)率隨溫度的變化最大,而Cs基底的變化最小.

文獻(xiàn)[20]求出石墨烯原子振動(dòng)的簡(jiǎn)諧系數(shù)ε0和非簡(jiǎn)諧系數(shù)ε1, ε2分別為ε0= 3.5388 ×102J·m?2, ε1= ?3.49725 × 1012J·m?3, ε2=3.20140×1022J·m?4.碳原子質(zhì)量M=1.995017×10?26kg. 將其與kB=1.38065 × 10?23J·K?1,? =1.05457 × 10?34J·s?1等數(shù)據(jù)代入(15)式,求得θD0=1660.02 K.石墨烯碳原子間距離d0=1.42×10?10m,求得? =1.74625×10?20m2,qm=2.68199×1010m?1,kF=1.89638×1010m?1.由前面求得的εF0,求得c= ?2εF/3= ?1.5356eV.將這些數(shù)據(jù)代入(18)式,求得σp(T).再與(10)式求出的σe(T)一起代入σ(T)= σe(T)+σp(T),得到溫度不太高的情況下外延石墨烯的電導(dǎo)率隨溫度的變化.圖3給出了以鋰為基底的外延石墨烯電導(dǎo)率隨溫度的變化,圖中的1為簡(jiǎn)諧近似,2為只考慮到第一非簡(jiǎn)諧項(xiàng),3為同時(shí)考慮到第一、二非簡(jiǎn)諧項(xiàng)的結(jié)果.

圖3 (網(wǎng)刊彩色)鋰金屬基外延石墨烯電導(dǎo)率隨溫度的變化Fig.3.(color online)Variation of electrical conductivity of the Li-base epitaxial graphene with the temperature.

由圖3可見(jiàn):1)在溫度不太低的情況下外延石墨烯的電導(dǎo)率隨溫度升高而減小,其中,簡(jiǎn)諧近似時(shí),電導(dǎo)率幾乎與溫度為反比;2)考慮到原子的非簡(jiǎn)諧振動(dòng)項(xiàng)后,電導(dǎo)率要比簡(jiǎn)諧近似的值稍大,而且溫度愈高,兩者的差愈大,非簡(jiǎn)諧效應(yīng)愈明顯.其原因在于:在相同的溫度下,考慮到原子的非簡(jiǎn)諧振動(dòng)項(xiàng)后,聲子的弛豫時(shí)間τ增大,而聲子電導(dǎo)率與弛豫時(shí)間τ成正比,因此,電導(dǎo)率變大.計(jì)算表明:聲子對(duì)電導(dǎo)率的貢獻(xiàn)遠(yuǎn)大于電子的貢獻(xiàn),外延石墨烯的總電導(dǎo)率近似等于聲子電導(dǎo)率,即σ≈σp.文獻(xiàn)[17]由于未考慮聲子對(duì)電導(dǎo)率的貢獻(xiàn),計(jì)算得到的電導(dǎo)率對(duì)Li,只有σ =3.57×10?5(?·m)?1,而本文考慮到聲子對(duì)電導(dǎo)率的貢獻(xiàn)后,得到的電導(dǎo)率在T=500 K時(shí),為σ =1.25(?·m)?1,與由文獻(xiàn)[28]給出的載流子遷移率算出的電導(dǎo)率σ≈0.7(?·m)?1數(shù)量級(jí)接近.

6非簡(jiǎn)諧振動(dòng)對(duì)外延石墨烯費(fèi)米速度的影響

將前面求得的石墨烯費(fèi)米速度vF以及Nm和表1的數(shù)據(jù)代入(19)式,求得零溫情況外延石墨烯的費(fèi)米速度隨基底元素變化,結(jié)果見(jiàn)表2,其變化曲線見(jiàn)圖4.

表2F,αl隨堿金屬元素的變化Table 2.Variations ofˉvFand αlwith the metal elements.

表2F,αl隨堿金屬元素的變化Table 2.Variations ofˉvFand αlwith the metal elements.

Li Na K Rb Cs FrˉvF/106m·s?11.106051.194331.260161.323881.43395 αl/10?6K?1 58 71 83 9 0.97

圖4 外延石墨烯零溫費(fèi)米速度隨基底元素的變化Fig.4.Variation of the Fermi velocity of the epitaxial graphene with the low temperature at the zero temperature.

由圖4可見(jiàn),在零溫情況下堿金屬基外延石墨烯的費(fèi)米速度隨原子序數(shù)的增大而增大,但變化不大.其原因在于:原子序數(shù)增大時(shí),最外層電子受核的引力因原子半徑的增大而減小,石墨烯和基底元素原子相互作用Vm減小,因此費(fèi)米速度增大.

由文獻(xiàn)[29]給出的堿金屬的體膨脹系數(shù)αV的數(shù)據(jù),求得線膨脹系數(shù)αl=αV/3,數(shù)據(jù)見(jiàn)表2.將這些數(shù)據(jù)代入(20)式,求得幾種堿金屬基外延石墨烯電子費(fèi)米速度ˉvF隨溫度的變化,結(jié)果見(jiàn)圖5.其中圖5(a)為L(zhǎng)i,Na,K基底,圖5(b)為Rb,Cs基底.圖中的虛線為簡(jiǎn)諧近似(αl=0)的結(jié)果,而實(shí)線為非簡(jiǎn)諧(αl?=0)的結(jié)果.

由圖5可見(jiàn):1)堿金屬基外延石墨烯的費(fèi)米速度隨溫度的升高而增大,具體變化情況與基底材料有關(guān),在幾種堿金屬基中,以K基底的費(fèi)米速度隨溫度的變化最大,而以Cs基底的變化最小,例如溫度從500 K升高到1000 K時(shí),基底K的費(fèi)米速度增大了9.2%,而基底Cs則只增大了0.11%,其原因在于堿金屬基外延石墨烯的費(fèi)米速度以及隨溫度變化率的大小均與石墨烯基底元素原子相互作用能以及基底材料自身性質(zhì)有關(guān);2)不考慮原子非簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí),外延石墨烯的費(fèi)米速度為常量,考慮到原子非簡(jiǎn)諧振動(dòng)后,不同基底的外延石墨烯的費(fèi)米速度均隨溫度升高而非線性增大,溫度愈高,非簡(jiǎn)諧效應(yīng)愈顯著,例如對(duì)K基底情況,T=300 K時(shí),每升高100 K,費(fèi)米速度增大0.6%;T=1500 K時(shí),每升高100 K,費(fèi)米速度增大3.8%.

圖5 (網(wǎng)刊彩色)外延石墨烯費(fèi)米速度F隨溫度的變化Fig.5.(color online)Variations of the Fermi velocity with the temperature for the epitaxial graphene.

7結(jié) 論

本文對(duì)金屬基外延石墨烯電導(dǎo)率和費(fèi)米速度變化規(guī)律的研究表明:1)零溫情況下,堿金屬基外延石墨烯的費(fèi)米速度和電導(dǎo)率均為常數(shù),其值與基底元素的原子序數(shù)有關(guān),隨基底元素原子序數(shù)的增大而增大;而非零溫情況下,堿金屬基外延石墨烯的電導(dǎo)率和費(fèi)米速度均隨溫度變化而變化,其變化情況既取決于基底元素的性質(zhì),又取決于石墨烯和基底元素原子相互作用能的大小,具體關(guān)系由(10),(18)和(20)式表示;2)堿金屬基外延石墨烯電導(dǎo)率隨溫度升高而減小,其中,溫度較低時(shí)(T＜300 K)時(shí)變化較快,而溫度較高時(shí)則變化很慢,它的電導(dǎo)率包括聲子的貢獻(xiàn)和電子的貢獻(xiàn)兩部分,其中電子的貢獻(xiàn)部分很小且隨溫度變化也很小,聲子貢獻(xiàn)的電導(dǎo)率遠(yuǎn)大于電子貢獻(xiàn)且隨溫度的變化較大;3)金屬基外延石墨烯電子的費(fèi)米速度隨溫度升高而增大,但變化較小,其具體變化情況與基底材料原子序數(shù)有關(guān);在幾種堿金屬基中,以K基底的外延石墨烯的費(fèi)米速度隨溫度的變化最大,而以Se基底的變化最小;4)原子的非簡(jiǎn)諧振動(dòng)對(duì)外延石墨烯的電導(dǎo)率和費(fèi)米速度有重要的影響,簡(jiǎn)諧近似下,費(fèi)米速度為常數(shù),電導(dǎo)率隨溫度升高而較快減小,幾乎成反比關(guān)系;考慮到原子非簡(jiǎn)諧項(xiàng)后,費(fèi)米速度隨溫度升高而增大,電導(dǎo)率隨溫度升高而減小的變化速度減慢,溫度愈高,原子振動(dòng)非簡(jiǎn)諧效應(yīng)愈明顯.

感謝西南大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院王俊忠教授的指導(dǎo).

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PACS:47.11.Mn,63.20.–e,63.22.Rc,65.80.CkDOI:10.7498/aps.66.014701

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant No.11574253),Chongqing Foundation and Advanced Research Projects,China(Grant No.cstc2015jcyjA40054)and the Scienti fi c Research Foundation for the Returned Overseas Chinese Scholars(Grant No.State([2014]1685)).

?Corresponding author.E-mail:zhengrui@swu.edu.cn

Variations of the electrical conductivity and the Fermi velocity of epitaxial graphene with temperature?

Du Yi-Shuai1)Kang Wei2)Zheng Rui-Lun1)?

1)(College of Electronic and Electrical Engineering,Chongqing University of Arts and Sciences,Yongchuan 402160,China)2)(College of science,Chongqing University of Posts and Telecommunication,Chongqing 400065,China)(Received 14 June 2016;revised manuscript received 16 October 2016)

The atomic anharmonic vibration and the electron-phonon interaction are considered,and then a physical model about the metal-based epitaxial graphene is built.Variations of the electrical conductivity and the Fermi velocity with temperature for the metal-based epitaxial graphene are given based on the solid state physics theory or method.The alkali-metal epitaxial graphene is selected as the substrate,and then the in fl uences of substrate material,electronphonon interaction and the anharmonic vibration on the electrical conductivity and the Fermi velocity of epitaxial graphene are discussed.Some results are shown as follows.Firstly,at zero temperature,the electrical conductivity and the Fermi velocity of the alkali-metal-base epitaxial graphene increase with the number of the atoms in substrate material increasing.Secondly,the electrical conductivity of epitaxial graphene decreases with temperature rising.Furthermore,the variation rate also decreases with temperature rising.Generally,the electrical conductivity originates mainly from electrons and phones.The electronic contribution to the electrical conductivity varies with temperature slowly,but the phone contribution to electrical conductivity varies with temperature evidently.Therefore,the contribution of phonons to electrical conductivity is much larger than that of electrons.Furthermore,the contribution increases with the number of atoms in basal elements.The phonon contribution to conductivity decreases with temperature rising,but it is unrelated to the basal elements.Thirdly,the Fermi velocity of the epitaxial graphene increases with temperature slowly.The variation of the Fermi velocity with temperature decreases with the increase of interaction between the graphene and the basal atoms.However,it increases with the number of atoms of the basal materials.The anharmonic e ff ect causes important in fl uences on the electrical conductivity and the Fermi velocity.Under the harmonic approximation the velocity is constant.However,the conductance increases rapidly with temperature.With considering the atomic anharmonic terms,the Fermi velocity increases with temperature.The variation of the electrical conductivity with temperature increasing becomes slower.If the temperature is higher,the anharmonic e ff ects become more evident.

epitaxial graphene,anharmonic vibration,electrical conductivity,Fermi velocity

10.7498/aps.66.014701

?國(guó)家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號(hào):11574253)、重慶市基礎(chǔ)與前沿研究項(xiàng)目(批準(zhǔn)號(hào):cstc2015jcyjA40054)和教育部留學(xué)回國(guó)人員基金(批準(zhǔn)號(hào)：[2014]1685)資助的課題.

?通信作者.E-mail:zhengrui@swu.edu.cn