邢容 謝雙媛 許靜平 羊亞平

(同濟(jì)大學(xué)物理科學(xué)與工程學(xué)院先進(jìn)微結(jié)構(gòu)材料教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海 200092)(2016年7月19日收到;2016年10月12日收到修改稿)

動(dòng)態(tài)光子晶體中V型三能級(jí)原子的自發(fā)輻射?

邢容 謝雙媛?許靜平 羊亞平

(同濟(jì)大學(xué)物理科學(xué)與工程學(xué)院先進(jìn)微結(jié)構(gòu)材料教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海 200092)(2016年7月19日收到;2016年10月12日收到修改稿)

研究了動(dòng)態(tài)各向同性光子晶體中V型三能級(jí)原子的自發(fā)輻射,主要討論了光子晶體能帶帶邊頻率受到階躍調(diào)制和三角函數(shù)周期調(diào)制兩種情況下,調(diào)制參數(shù)對(duì)占據(jù)數(shù)演化的控制作用,以及此過程中量子相干效應(yīng)帶來的影響.結(jié)果表明,階躍調(diào)制時(shí),調(diào)制發(fā)生后原子上能級(jí)劈裂出來的束縛綴飾態(tài)數(shù)目只取決于原子的躍遷頻率和此時(shí)的帶邊頻率,且與具有相同參數(shù)條件的靜態(tài)情形下的相同.調(diào)制發(fā)生時(shí)刻對(duì)其后原子上能級(jí)占據(jù)數(shù)的長(zhǎng)時(shí)演化情況有影響.隨系統(tǒng)初態(tài)的不同,量子相干效應(yīng)既可導(dǎo)致調(diào)制之后占據(jù)數(shù)迅速衰減,也可使原子上能級(jí)保留較多的占據(jù)數(shù).三角函數(shù)周期調(diào)制時(shí),原子上能級(jí)總占據(jù)數(shù)在足夠長(zhǎng)的時(shí)間之后隨時(shí)間做頻率近似等于調(diào)制頻率的有衰減的準(zhǔn)周期振蕩.衰減率與調(diào)制頻率有關(guān),也因量子相干效應(yīng)而受系統(tǒng)初態(tài)以及偶極矩夾角的影響.

光子晶體,V型三能級(jí)原子,自發(fā)輻射,量子相干

1引 言

光與物質(zhì)的相互作用是最基本、最重要的物理現(xiàn)象之一.作為光與物質(zhì)相互作用的一個(gè)主要方面,無論是在理論上還是在實(shí)踐意義上,自發(fā)輻射始終都作為一大研究熱點(diǎn)而倍受關(guān)注.自發(fā)輻射是激發(fā)態(tài)原子與真空?qǐng)鲋g相互作用的結(jié)果.除了環(huán)境外,原子自身的能級(jí)結(jié)構(gòu)也對(duì)自發(fā)輻射有很大影響.二能級(jí)原子是自發(fā)輻射研究中最常用的理論模型之一,其簡(jiǎn)單的能級(jí)結(jié)構(gòu)大大簡(jiǎn)化了理論處理過程.與之相比,三能級(jí)原子的能級(jí)結(jié)構(gòu)雖更為復(fù)雜,但也因其兩個(gè)躍遷通道之間的量子相干作用賦予自發(fā)輻射更豐富的現(xiàn)象,因而也受到了大量研究.研究表明,在外部驅(qū)動(dòng)場(chǎng)作用下,量子相干會(huì)導(dǎo)致三能級(jí)原子無法吸收探測(cè)場(chǎng)光子,從而出現(xiàn)相干占據(jù)數(shù)陷阱(CPT)、無反轉(zhuǎn)激光放大(LWI)和電磁感應(yīng)透明(EIT)等效應(yīng)[1,2].不借助于驅(qū)動(dòng)場(chǎng),量子相干仍能對(duì)原子的自發(fā)輻射產(chǎn)生較大影響.Zhu等人[3]發(fā)現(xiàn),在自由空間中,量子相干可導(dǎo)致V型三能級(jí)原子的輻射譜上出現(xiàn)黑線(dark line)并使其輻射譜變窄;Paspalakis等人[4,5]以及Du等人[6]討論了各向同性光子晶體中Λ型三能級(jí)原子的量子相干效應(yīng),他們發(fā)現(xiàn)當(dāng)原子兩個(gè)躍遷通道的躍遷頻率分別位于帶邊附近和遠(yuǎn)離帶邊的能帶中時(shí),無需外部驅(qū)動(dòng)場(chǎng),原子仍可對(duì)探測(cè)場(chǎng)透明;Yang等人[7?9]和Zhu等人[10]研究了各向同性光子晶體中量子相干對(duì)V型三能級(jí)原子自發(fā)輻射的影響,他們發(fā)現(xiàn)量子相干既可以抑制原子的自發(fā)輻射,使原子上能級(jí)有更大的穩(wěn)態(tài)占據(jù)數(shù),也可以增強(qiáng)原子的自發(fā)輻射.

光子晶體是一種折射率隨空間位置周期性變化的特殊人造材料.自其概念被提出以來[11,12],光子晶體受到了大量研究,其內(nèi)部原子自發(fā)輻射的諸多特殊性質(zhì)已為人們所熟知.如光局域化、光子-原子束縛態(tài)、激發(fā)態(tài)能級(jí)劈裂[13?15]、部分穩(wěn)態(tài)原子居于激發(fā)態(tài)[15]、占據(jù)數(shù)的振蕩行為[15?17]、自發(fā)輻射的相干控制[18]、量子干涉導(dǎo)致的自發(fā)輻射抑制與加強(qiáng)[7,10]以及巨Lamb位移等[19].在以往的研究中,光子晶體內(nèi)部的光子能隙的位置和寬度都是固定不變的.通過采用特殊材料來制造光子晶體,或是將特殊材料注入到光子晶體內(nèi)部,人們得到了能隙位置與寬度動(dòng)態(tài)可調(diào)的一類光子晶體,即可調(diào)諧光子晶體[20].取決于所使用的特殊材料,可調(diào)諧光子晶體的調(diào)控手段可以是電場(chǎng)[21?23]、磁場(chǎng)[24]、溫度[25]或光場(chǎng)[26,27].可調(diào)諧光子晶體提供了一個(gè)可控的動(dòng)態(tài)庫(kù)環(huán)境,人們對(duì)此環(huán)境中原子的自發(fā)輻射性質(zhì)仍了解不多.迄今為止,受到較多研究的動(dòng)態(tài)庫(kù)環(huán)境主要是動(dòng)態(tài)一維腔(其兩個(gè)反射鏡之一的位置動(dòng)態(tài)可調(diào))環(huán)境.這些研究討論的僅是二能級(jí)原子的自發(fā)輻射,它們或者考慮的是原子與單個(gè)腔模耦合這種簡(jiǎn)單情形[28?31],或者在理論推導(dǎo)中采用了Markov近似[32?34].

本文對(duì)帶邊頻率因外部調(diào)控而隨時(shí)間變化的動(dòng)態(tài)各向同性光子晶體環(huán)境下V型三能級(jí)原子的自發(fā)輻射進(jìn)行了研究,探討了動(dòng)態(tài)環(huán)境下量子相干對(duì)原子上能級(jí)占據(jù)數(shù)演化的影響情況.本文主要考慮了階躍函數(shù)和三角函數(shù)兩種調(diào)制方式,理論推導(dǎo)過程中沒有使用Markov近似.本文內(nèi)容分為以下幾個(gè)部分:第2部分給出理論模型及推導(dǎo);第3部分給出結(jié)果和相關(guān)分析;第4部分給出結(jié)論.

2理 論

考慮一個(gè)V型三能級(jí)原子被置于各向同性光子晶體中,其三個(gè)能級(jí)按能量從高到低的順續(xù)依次為|e1〉,|e2〉和|g〉. 激發(fā)態(tài)|e1〉和|e2〉分別通過同一個(gè)真空模與基態(tài)|g〉耦合,躍遷頻率ω1和ω2都處于光子晶體能帶帶邊附近(如圖1所示).令基態(tài)能量本征值為零,在旋波近似下,系統(tǒng)的哈密頓量為

在各向同性光子晶體的能帶帶邊附近,色散關(guān)系可近似表示為[14]

式中,k0是與光子晶體晶格常數(shù)有關(guān)的常量;k是第k個(gè)電磁波模式的波數(shù);ωc是能帶帶邊的截止頻率;A可以近似表示為若光子晶體能帶帶邊頻率受到某種調(diào)制其中f(t)是時(shí)間的緩變函數(shù),且相對(duì)于常量ωc0是一個(gè)小量,則色散關(guān)系(2)式可改寫為

即我們所考慮的這種動(dòng)態(tài)各向同性光子晶體環(huán)境中,輻射場(chǎng)頻率是隨時(shí)間變化的,進(jìn)而(1)式中的耦合系數(shù)也是含時(shí)的.

設(shè)初始時(shí)原子占據(jù)數(shù)全部在激發(fā)態(tài)上,輻射場(chǎng)處于真空態(tài),則此動(dòng)態(tài)環(huán)境中系統(tǒng)的波函數(shù)可以表示為

式中,|e1,{0}〉表示原子處于最高激發(fā)態(tài)|e1〉,輻射場(chǎng)處于真空態(tài);|e2,{0}〉表示原子處于次高激發(fā)態(tài)|e2〉,輻射場(chǎng)處于真空態(tài);|g,{1k}〉表示原子處于基態(tài)|g〉,有一個(gè)k模式光子.將(1)和(4)式代入薛定諤方程中可得:

由(5)式可以推出下面的積分方程:

(6c)式中的γ滿足γ = ω1d1/(ω2d2);ω12為兩個(gè)躍遷頻率的差值,即ω12= ω1?ω2;η是兩個(gè)躍遷偶極矩的夾角(即u1和u2之間的夾角),其取值范圍為[0,π].K(t,t′)的非對(duì)角元反映了兩個(gè)躍遷路徑之間的相互作用,當(dāng)η值取為π/2時(shí),u1與u2相互垂直,K(t,t′)的非對(duì)角元取為零值,此時(shí)概率幅A1(t)與A2(t)彼此獨(dú)立演化,量子相干效應(yīng)消失;當(dāng)η值取為0(π)時(shí),u1與u2之間平行(反平行),K(t,t′)的非對(duì)角元的絕對(duì)值達(dá)到最大,此時(shí)A1(t)與A2(t)之間的相互影響達(dá)到最大,量子相干效應(yīng)最強(qiáng).(6d)式中的常數(shù)β滿足(6a)式是第二類線性Volterra積分方程,可以用Simpson法來數(shù)值求解[35].在本文中,原子的兩個(gè)躍遷頻率ω1和ω2分別取為100β和98.3β;常數(shù)γ=1;(3)式中的常數(shù)ωc0取為100β;P1(=|A1(t)|2)和P2(=|A2(t)|2)分別表示能級(jí)|e1〉和|e2〉上的占據(jù)數(shù).

3結(jié)果與討論

3.1 靜態(tài)無調(diào)制情形

本小節(jié)中調(diào)制函數(shù)f(t)取為β或?β,因此帶邊頻率ωc等于常數(shù)101β或99β,光子晶體未受調(diào)制,系統(tǒng)處于靜態(tài)情形下;偶極矩夾角η取為零值(實(shí)驗(yàn)上可以通過選擇特定的躍遷能級(jí)來獲得所需的η值[36]),此時(shí)兩偶極矩相互平行,原子的量子相干效應(yīng)最強(qiáng).

對(duì)于帶邊頻率ωc=99β的靜態(tài)情形,能級(jí)|e1〉和|e2〉分別位于能帶和能隙內(nèi).此時(shí),原子能級(jí)劈裂而成的綴飾態(tài)中有一個(gè)束縛綴飾態(tài)[7,15],因此原子上能級(jí)占據(jù)數(shù)會(huì)隨時(shí)間趨向于穩(wěn)態(tài)值(見圖2).穩(wěn)態(tài)值的大小取決于概率幅中束縛綴飾態(tài)成分的強(qiáng)弱(指保留在束縛綴飾態(tài)上的占據(jù)數(shù)的多少).與二能級(jí)原子情形不同,V型三能級(jí)原子的兩個(gè)躍遷通道之間存在量子相干.在其他參數(shù)條件不變的情況下,借助量子相干效應(yīng),人們可通過改變概率幅初值(實(shí)際當(dāng)中利用抽運(yùn)激光脈沖可以制備出所需要的概率幅初值[18])來控制束縛綴飾態(tài)成分的強(qiáng)弱,進(jìn)而控制占據(jù)數(shù)穩(wěn)態(tài)值的大小[16].比如,選擇概率幅初值為A1(0)=0.3376,A2(0)=0.9413,在量子相干的作用下,束縛綴飾態(tài)成分達(dá)到最強(qiáng),此時(shí)原子上能級(jí)占據(jù)數(shù)穩(wěn)態(tài)值也是最大的,超過了初始占據(jù)數(shù)全部位于能級(jí)|e2〉時(shí)的值(比較圖2中(a)和(d)情形);選擇概率幅初值為A1(0)=0.9413,A2(0)=?0.3376時(shí),在量子相干的作用下,概率幅中的束縛綴飾態(tài)成分消失,占據(jù)數(shù)陷阱現(xiàn)象也隨之消失,原子占據(jù)數(shù)最終將完全躍遷到基態(tài)上(見圖2中(b)情形).與之相比,即使初始占據(jù)數(shù)全部位于能級(jí)|e1〉上,原子上能級(jí)穩(wěn)態(tài)占據(jù)數(shù)仍能取為大于零的值(見圖2中(c)情形).

圖2 靜態(tài)無調(diào)制情形(ωc=99β)下多種系統(tǒng)初態(tài)時(shí)原子上能級(jí)占據(jù)數(shù)的時(shí)間演化 (a)|Ψ(0)〉=0.3376|e1〉+0.9413|e2〉;(b)|Ψ(0)〉=0.9413|e1〉?0.3376|e2〉;(c)|Ψ(0)〉=|e1〉;(d)|Ψ(0)〉=|e2〉Fig.2.The time evolution of the upper-level populations when ωc=99β for di ff erent initial states of the system:(a)|Ψ(0)〉=0.3376|e1〉+0.9413|e2〉;(b)|Ψ(0)〉=0.9413|e1〉?0.3376|e2〉;(c)|Ψ(0)〉=|e1〉;(d)|Ψ(0)〉=|e2〉.

當(dāng)ωc=101β時(shí),能級(jí)|e1〉和|e2〉都位于能隙內(nèi).此時(shí),原子上能級(jí)會(huì)劈裂出兩個(gè)束縛綴飾態(tài)[7],頻率分別為97.7219β和99.5411β.因?yàn)榇藘烧叩南嗷プ饔?原子上能級(jí)占據(jù)數(shù)不再隨時(shí)間趨向于穩(wěn)態(tài)值,而是趨向于繞定值進(jìn)行的周期振蕩(見圖3中(a)—(c)情形).周期振蕩的振幅取決于概率幅中這兩個(gè)束縛綴飾態(tài)成分的強(qiáng)弱對(duì)比情況:當(dāng)兩者的強(qiáng)度接近時(shí),振幅較大(如圖3中(a)和(b)情形);反之,振幅較小(圖3中(c)情形).借助量子相干效應(yīng),通過改變系統(tǒng)初態(tài),僅能控制某一個(gè)綴飾態(tài)成分的強(qiáng)弱[16].比如,取初態(tài)為A1(0)=0.9379,A2(0)=?0.3468,頻率為99.5411β的束縛綴飾態(tài)成分會(huì)達(dá)到最強(qiáng)(見圖3中(c)情形);取初態(tài)為A1(0)=0.3468,A2(0)=0.9379,概率幅中頻率為99.5411β的束縛綴飾態(tài)成分消失,此時(shí)僅有一個(gè)束縛綴飾態(tài)成分,原子上能級(jí)占據(jù)數(shù)隨時(shí)間趨向于穩(wěn)態(tài)值(見圖3中(d)情形).此外,借助量子相干效應(yīng),通過改變系統(tǒng)初態(tài),我們還可以控制原子上能級(jí)總占據(jù)數(shù)作周期振蕩時(shí)所圍繞的定值大小:取初態(tài)為A1(0)=0.5491,A2(0)=?0.8357,該定值將達(dá)到最大(見圖3中(a)情形);取初態(tài)為A1(0)=0.8357,A2(0)=0.5491,該定值將變?yōu)樽钚?見圖3中(b)情形).

圖3 靜態(tài)無調(diào)制情形(ωc=101β)下多種系統(tǒng)初態(tài)時(shí)原子上能級(jí)占據(jù)數(shù)的時(shí)間演化 (a)|Ψ(0)〉=0.5491|e1〉?0.8357|e2〉;(b)|Ψ(0)〉=0.8357|e1〉+0.5491|e2〉;(c)|Ψ(0)〉=0.9379|e1〉?0.3468|e2〉;(d)|Ψ(0)〉=0.3468|e1〉+0.9379|e2〉Fig.3.The time evolution of the upper-level populations when ωc= 101β for di ff erent initial states of the system:(a)|Ψ(0)〉=0.5491|e1〉? 0.8357|e2〉;(b)|Ψ(0)〉=0.8357|e1〉+0.5491|e2〉;(c)|Ψ(0)〉=0.9379|e1〉?0.3468|e2〉;(d)|Ψ(0)〉=0.3468|e1〉+0.9379|e2〉.

3.2 階躍調(diào)制情形

本小節(jié)中偶極矩夾角η仍取為零值,原子的量子相干效應(yīng)達(dá)到最強(qiáng).調(diào)制函數(shù)f(t)設(shè)為如下的階躍函數(shù):

式中的t0是階躍調(diào)制發(fā)生的時(shí)刻,簡(jiǎn)稱為階躍時(shí)刻.

階躍調(diào)制情形下,調(diào)制發(fā)生后原子上能級(jí)劈裂出來的綴飾態(tài)中所含有的束縛綴飾態(tài)數(shù)目與具有相同帶邊頻率的靜態(tài)情形下的值相同.當(dāng)帶邊頻率滿足(9)式時(shí),調(diào)制發(fā)生后帶邊頻率變?yōu)?9β,此后原子上能級(jí)劈裂出來的綴飾態(tài)中只有一個(gè)束縛綴飾態(tài),占據(jù)數(shù)隨時(shí)間趨向于穩(wěn)態(tài)值,其值的大小受到調(diào)制發(fā)生時(shí)刻的影響(見圖4(a)和圖4(c));當(dāng)帶邊頻率滿足(10)式時(shí),在帶邊頻率變?yōu)?01β之后,原子上能級(jí)劈裂出了兩個(gè)束縛綴飾態(tài),占據(jù)數(shù)的穩(wěn)態(tài)行為表現(xiàn)為繞定值進(jìn)行的周期振蕩,該定值的大小以及周期振蕩的幅值都與調(diào)制發(fā)生時(shí)刻有關(guān)(見圖4(b)和圖4(d)).

系統(tǒng)初態(tài)對(duì)階躍調(diào)制發(fā)生后原子上能級(jí)占據(jù)數(shù)的演化情況有重要的影響.令帶邊頻率滿足(9)式,若選取A1(0)=0.9413,A2(0)= ?0.3376為系統(tǒng)初態(tài),隨帶邊頻率在調(diào)制發(fā)生之后由101β躍變?yōu)?9β,原子的上能級(jí)總占據(jù)數(shù)隨時(shí)間迅速由較大值(0.83左右)衰減到接近于零的穩(wěn)態(tài)值(見圖4(a)).這是由于所選取的系統(tǒng)初態(tài)在調(diào)制發(fā)生之后仍能起到類似于其在靜態(tài)情形下所起到的作用(見圖2中的(b)情形),使概率幅中束縛綴飾態(tài)成分在量子相干效應(yīng)的作用下被極大地削弱了.利用此現(xiàn)象,通過控制調(diào)制發(fā)生時(shí)刻,就可令原子上能級(jí)總占據(jù)數(shù)從指定時(shí)刻開始衰減到接近于零的值,這在可控有源開關(guān)方面有可能得到應(yīng)用[8].與上述不同,若將初態(tài)選擇為A1(0)=0.3376,A2(0)=0.9413,則在帶邊頻率由101β躍變?yōu)?9β之后,與靜態(tài)情形類似(見圖2中的(a)情形),此時(shí)因量子相干效應(yīng)概率幅中的束縛綴飾態(tài)成分被增強(qiáng),所以原子上能級(jí)總占據(jù)數(shù)具有較大的穩(wěn)態(tài)值.甚至由于調(diào)制發(fā)生之前帶邊頻率等于101β時(shí)的自發(fā)輻射過程的影響,此穩(wěn)態(tài)值要大于具有相同帶邊頻率的靜態(tài)情形下的值(見圖4(c)).

選擇初態(tài)A1(0)=0.9413,A2(0)=?0.3376,并令帶邊頻率滿足(10)式,可得到一種較為特殊的階躍調(diào)制情形.其特殊性在于,由于量子相干效應(yīng)的作用,調(diào)制發(fā)生之前概率幅中是沒有束縛綴飾態(tài)成分的,因而輻射場(chǎng)也不含有局域場(chǎng)成分.這導(dǎo)致調(diào)制發(fā)生后,雖然隨著帶邊頻率躍變?yōu)?01β,能級(jí)|e1〉由能帶進(jìn)入能隙內(nèi),能級(jí)|e2〉則在能隙內(nèi)移動(dòng)到了更深處,自發(fā)輻射過程有所削弱,有利于原子對(duì)輻射場(chǎng)的吸收,但是原子上能級(jí)總占據(jù)數(shù)的峰值僅略微超過它在調(diào)制發(fā)生時(shí)刻處的值(見圖4(b)).超出的這部分能量只能來自于原子吸收了少量它在調(diào)制發(fā)生之前輻射出去的非局域場(chǎng)光子.

圖4 階躍調(diào)制情形下初態(tài)取為|Ψ(0)〉=0.9413|e1〉?0.3376|e2〉[(a),(b)]和|Ψ(0)〉=0.3376|e1〉+0.9413|e2〉[(c),(d)]時(shí)原子上能級(jí)占據(jù)數(shù)的演化情況:(a),(c)ωc(t)滿足(9)式;(b),(d)ωc(t)滿足(10)式;圖中的豎線標(biāo)出了階躍時(shí)刻t0的位置,帶邊頻率取為101β(黑色虛線)和99β(灰色虛線)的靜態(tài)情形下原子上能級(jí)占據(jù)數(shù)的演化情況Fig.4. The time evolution of the upper-level populations when the system initial state is|Ψ(0)〉=0.9413|e1〉? 0.3376|e2〉[(a),(b)]or|Ψ(0)〉=0.3376|e1〉+0.9413|e2〉[(c),(d)]under step-modulated situations.The band edge ωc(t)meets Eq.(9)in(a)and(c),and Eq.(10)in(b)and(d).The gray vertical lines mark the times when the step modulation happens.The dark dash curves(gray dash curves)describe the time evolution of the upper-level populations when ωc=101β (99β).

3.3 三角函數(shù)周期調(diào)制情形

本小節(jié)中調(diào)制函數(shù)f(t)取為三角函數(shù):

式中,f0為調(diào)制頻率;Am為調(diào)制幅值.這里將Am取為β,則帶邊頻率滿足:

三角函數(shù)周期調(diào)制情形下系統(tǒng)初態(tài)的選擇對(duì)原子上能級(jí)占據(jù)數(shù)的演化仍有較大影響.如(12)式所示,此時(shí)帶邊頻率在99β和101β之間做周期性變化.庫(kù)環(huán)境的周期性變化導(dǎo)致原子上能級(jí)總占據(jù)數(shù)在最初的一段時(shí)間之后有隨之同步變化的趨勢(shì),即同步調(diào)的準(zhǔn)周期振蕩:在帶邊頻率的下降沿(上升沿),隨著ωc(t)的減小(增加),原子最高上能級(jí)|e1〉由能隙(能帶)逐漸移動(dòng)到能帶(能隙)內(nèi),次高上能級(jí)|e2〉則在能隙內(nèi)由深處(淺處)移動(dòng)到淺處(深處),自發(fā)輻射過程因而逐漸增強(qiáng)(減弱),致使原子上能級(jí)總占據(jù)數(shù)隨時(shí)間不斷減小(增加).但是,上述這種同步變化的趨勢(shì)在量子相干效應(yīng)的作用下有可能會(huì)被破壞.選擇初態(tài)A1(0)=0.9413,A2(0)=?0.3376,當(dāng)帶邊頻率ωc(t)變化到99β時(shí),與靜態(tài)情形相類似,因量子相干效應(yīng)概率幅中的束縛綴飾態(tài)成分會(huì)被大幅削弱,這有助于原子能量的損失,從而導(dǎo)致在隨后的帶邊頻率上升沿上,原子上能級(jí)總占據(jù)數(shù)仍會(huì)持續(xù)衰減一段時(shí)間,破壞了它與庫(kù)環(huán)境的同步變化趨勢(shì),并使它在整個(gè)演化過程中有較大的衰減率(見圖5中的(a)情形).與之對(duì)比,若初態(tài)選為A1(0)=0.3376,A2(0)=0.9413,ωc(t)變化到99β時(shí)概率幅中的束縛綴飾態(tài)成分會(huì)因量子相干效應(yīng)而被加強(qiáng),有助于阻礙原子能量的損失,再加上自發(fā)輻射過程隨著帶邊頻率的增加而逐漸減弱,因此隨后的帶邊頻率上升沿上原子上能級(jí)總占據(jù)數(shù)也隨時(shí)間增加,表現(xiàn)出與庫(kù)環(huán)境之間較強(qiáng)的同步變化趨勢(shì),并使原子上能級(jí)總占據(jù)數(shù)的總體衰減要慢得多(見圖5中的(b)情形).

偶極矩夾角η的取值決定了量子相干效應(yīng)的強(qiáng)弱(見(6c)式).在三角函數(shù)調(diào)制情形下,隨著η角從0增加到π/2,量子相干效應(yīng)逐漸減弱,若選擇的系統(tǒng)初態(tài)下量子相干效應(yīng)有助于原子上能級(jí)占據(jù)數(shù)的衰減(圖5中的(a)情形),則原子上能級(jí)占據(jù)數(shù)的衰減率將會(huì)隨之減小(見圖6(a));反之,若選擇的系統(tǒng)初態(tài)使量子相干效應(yīng)對(duì)原子上能級(jí)占據(jù)數(shù)的衰減主要起阻礙作用時(shí)(比如圖5中的(b)情形),則原子上能級(jí)占據(jù)數(shù)的衰減率會(huì)隨之增加(見圖6(b)).此外,比較圖6(b)中P1與P2的演化情況可以看到,在最初的一段時(shí)間之后,η=π/2時(shí),P1與P2的準(zhǔn)周期振蕩是同步調(diào)的,同時(shí)達(dá)到波峰和波谷,這是兩個(gè)躍遷通道一方面彼此獨(dú)立,另一方面又受同一個(gè)庫(kù)環(huán)境影響的結(jié)果;η=0時(shí),P1與P2的準(zhǔn)周期振蕩大體上是反相的,當(dāng)P1達(dá)到波峰(波谷)時(shí)P2在波谷(波峰)上,這是兩個(gè)躍遷通道借助輻射場(chǎng)相互作用的結(jié)果.

圖5 三角函數(shù)周期調(diào)制情形下選擇不同系統(tǒng)初態(tài)時(shí)原子上能級(jí)占據(jù)數(shù)的演化情況 偶極矩夾角η = 0,調(diào)制頻率f0= πβ/4;初態(tài)分別取為(a)|Ψ(0)〉=0.9413|e1〉? 0.3376|e2〉(黑色曲線);(b)|Ψ(0)〉=0.3376|e1〉+0.9413|e2〉(灰色曲線); 淺灰色虛線為帶邊頻率隨時(shí)間變化的圖像Fig.5.The time evolution of the upper-level populations for di ff erent initial states of the system when ωc(t)meets Eq.(12)with η =0,f0= πβ/4,and|Ψ(0)〉=0.9413|e1〉?0.3376|e2〉(dark solid curves)or|Ψ(0)〉=0.3376|e1〉+0.9413|e2〉(gray solid curves).The light gray dash curves describe ωc(t)varying with time.

在三角函數(shù)調(diào)制情形下,當(dāng)原子上能級(jí)總占據(jù)數(shù)隨時(shí)間衰減較快時(shí),調(diào)制頻率的取值對(duì)此時(shí)的衰減率有影響,選擇合適的調(diào)制頻率可延緩或進(jìn)一步促進(jìn)總占據(jù)數(shù)的衰減(見圖7(a)).但是,當(dāng)原子上能級(jí)總占據(jù)數(shù)衰減得較慢時(shí),調(diào)制頻率對(duì)衰減率沒有明顯影響,僅是對(duì)總占據(jù)數(shù)準(zhǔn)周期振蕩的頻率有影響(見圖7(b)).

圖6 三角函數(shù)周期調(diào)制情形下選擇不同偶極矩夾角η時(shí)原子上能級(jí)占據(jù)數(shù)的演化情況 (a)|Ψ(0)〉=0.9413|e1〉? 0.3376|e2〉;(b)|Ψ(0)〉=0.3376|e1〉+0.9413|e2〉;調(diào)制頻率f0= πβ/4,η 值分別取為0(灰色實(shí)線)和π/2(黑色實(shí)線)Fig.6.The time evolution of the upper-level populations for di ff erent η’s when ωc(t)meets Equation(12).The initial state is|Ψ(0)〉=0.9413|e1〉? 0.3376|e2〉in(a),and|Ψ(0)〉=0.3376|e1〉+0.9413|e2〉in(b).The modulation frequency f0is πβ/4.And η is 0(gray curves)or π/2(dark curves).

圖7 三角函數(shù)周期調(diào)制情形下選擇不同調(diào)制頻率f0時(shí)原子上能級(jí)占據(jù)數(shù)的演化情況 初態(tài)選為(a)|Ψ(0)〉=0.9413|e1〉? 0.3376|e2〉;(b)|Ψ(0)〉=0.3376|e1〉+0.9413|e2〉;偶極矩夾角η =0,調(diào)制頻率f0= πβ/4(灰色實(shí)線),πβ/7(黑色虛線)和πβ/10(黑色實(shí)線)Fig.7.The time evolution of the upper-level populations for di ff erent f0’s when ωc(t)meets Eq.(12).The initial state is|Ψ(0)〉=0.9413|e1〉? 0.3376|e2〉in(a),and|Ψ(0)〉=0.3376|e1〉+0.9413|e2〉in(b).The modulation frequency f0is πβ/4(gray solid curves),πβ/7(dark dash curves)or πβ/10(dark solid curves).And η is 0.

4結(jié) 論

本文研究了帶邊頻率受到調(diào)制的動(dòng)態(tài)各向同性光子晶體中V型三能級(jí)原子的自發(fā)輻射特性,考察了調(diào)制參數(shù)對(duì)原子上能級(jí)占據(jù)數(shù)演化的控制作用,并探討了量子相干效應(yīng)帶來的影響.結(jié)果表明,階躍調(diào)制時(shí),調(diào)制發(fā)生后原子上能級(jí)劈裂出來的束縛綴飾態(tài)數(shù)目只取決于原子的躍遷頻率和此時(shí)的帶邊頻率,且與具有相同參數(shù)條件的靜態(tài)情形下的相同.調(diào)制發(fā)生時(shí)刻對(duì)其后原子上能級(jí)占據(jù)數(shù)的穩(wěn)態(tài)演化情況有影響.因量子相干效應(yīng),系統(tǒng)初態(tài)對(duì)調(diào)制發(fā)生后原子上能級(jí)占據(jù)數(shù)的演化情況影響較大,且影響的結(jié)果與靜態(tài)情形下類似:通過選擇特定的系統(tǒng)初態(tài),量子相干效應(yīng)既可削弱調(diào)制之后概率幅中的束縛綴飾態(tài)成分,導(dǎo)致總占據(jù)數(shù)由較大值迅速衰減到接近于零的值,也可增強(qiáng)束縛綴飾態(tài),使原子上能級(jí)保留較多的占據(jù)數(shù).三角函數(shù)周期調(diào)制時(shí),原子上能級(jí)總占據(jù)數(shù)隨時(shí)間做有衰減的準(zhǔn)周期振蕩.準(zhǔn)周期振蕩與帶邊的變化存在同步的趨勢(shì),其頻率近似等于調(diào)制頻率,但是量子相干效應(yīng)有可能破壞這種同步性.總占據(jù)數(shù)的衰減率與調(diào)制頻率有關(guān),還受到量子相干效應(yīng)較大的影響.通過選擇系統(tǒng)初態(tài)以及偶極矩夾角,量子相干效應(yīng)可延緩或加快占據(jù)數(shù)的衰減.

[1]Scully M O,Zubairy M S 1997 Quantum Optics(Cambridge:Cambridge University Press)Chapter 7

[2]Fleischhauer M,Imamoglu A,Marangos J 2005 Rev.Mod.Phys.77 633

[3]Zhu S Y,Chan R C F,Lee C P 1995 Phys.Rev.A 52 710

[4]Paspalakis E,Kylstra N J,Knight P L 1999 Phys.Rev.A 60 R33

[5]Angelakis D G,Paspalakis E,Knight P L 2001 Phys.Rev.A 64 013801

[6]Du C G,Hu Z F,Hou C F,Li S Q 2002 Chin.Phys.Lett.19 338

[7]Yang Y P,Zhu S Y,Zubairy M S 1999 Opt.Commun.166 79

[8]Yang Y P,Zhu S Y 2000 Phys.Rev.A 61 043809

[9]Yang Y P,Zhu S Y 2000 J.Mod.Opt.47 1513

[10]Zhu S Y,Chen H,Huang H 1997 Phys.Rev.Lett.79 205

[11]Yablonovitch E 1987 Phys.Rev.Lett.58 2059

[12]John S 1987 Phys.Rev.Lett.58 2486

[13]John S,Wang J 1990 Phys.Rev.Lett.64 2418

[14]John S,Wang J 1991 Phys.Rev.B 43 12772

[15]John S,Quang T 1994 Phys.Rev.A 50 1764

[16]Yang Y P,Lin Z X,Xie S Y,Feng W G,Wu X 1999 Acta Phys.Sin.48 603(in Chinese)[羊亞平,林志新,謝雙媛,馮偉國(guó),吳翔1999物理學(xué)報(bào)48 603]

[17]Xie S Y,Yang Y P,Wu X 2001 Eur.Phys.J.D 13 129

[18]Quang T,Woldeyohannes M,John S,Agarwal G S 1997 Phys.Rev.Lett.79 5238

[19]Wang X H,Gu B Y 2005 Physics 34 18(in Chinese)[王雪華,顧本源2005物理34 18]

[20]Figotin A,Godin Y A,Vitebsky I 1998 Phys.Rev.B 57 2841

[21]Halevi P,Reyes-Avenda?o J A,Reyes-Cervantes J A 2006 Phys.Rev.E 73 040701

[22]McPhail D,Straub M,Gu M 2005 Appl.Phys.Lett.86 051103

[23]Zhang L F,Huang J P 2010 Chin.Phys.B 19 024213

[24]Liu S Y,Du J J,Lin Z F,Wu R X,Chui S T 2008 Phys.Rev.B 78 155101

[25]Manzanares-Martinez J,Ramos-Mendieta F,Halevi P 2005 Phys.Rev.B 72 035336

[26]Hu X Y,Zhang Q,Liu Y H,Cheng B Y,Zhang D Z 2003 Appl.Phys.Lett.83 2518

[27]Leonard S W,van Driel H M,Schilling J,Wehrspohn R B 2002 Phys.Rev.B 66 161102

[28]Jia F,Xie S Y,Yang Y P 2006 Acta Phys.Sin.55 5835(in Chinese)[賈飛,謝雙媛,羊亞平 2006物理學(xué)報(bào) 55 5835]

[29]Pisipati U,Almakrami I M,Joshi A,Serna J D 2012 Am.J.Phys.80 612

[30]Yang Y P,Xu J P,Li G X,Chen H 2004 Phys.Rev.A 69 053406

[31]Law C K,Zhu S Y,Zubairy M S 1995 Phys.Rev.A 52 4095

[32]Linington I E,Garraway B M 2006 J.Phys.B:At.Mol.Opt.Phys.39 3383

[33]Linington I E,Garraway B M 2008 Phys.Rev.A 77 033831

[34]Kofman A G,Kurizki G 2001 Phys.Rev.Lett.87 270405

[35]Linz P 1985 Analytical and Numerical Methods for Volterra Equations(Philadelphia:Society for Industrial and Applied Mathematics)Chapter 7

[36]Xia H R,Ye C Y,Zhu S Y 1996 Phys.Rev.Lett.77 1032

PACS:42.50.Pq,42.50.Gy,42.70.Qs,32.80.QkDOI:10.7498/aps.66.014202

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant Nos.11074188,11274242),the Joint Fund of the National Natural Science Foundation of China and the China Academy of Engineering Physics(Grant No.U1330203)and the National Key Basic Research Special Foundation of China(NKBRSFC)(Grant Nos.2011CB922203,2013CB632701).

?Corresponding author.E-mail:xieshuangyuan@#edu.cn

Spontaneous emission from a V-type three-level atom in a dynamic photonic crystal?

Xing Rong Xie Shuang-Yuan?Xu Jing-Ping Yang Ya-Ping

(Ministry of Education Key Laboratory of Advanced Microstructure Materials,School of Physics Science and Engineering,Tongji University,Shanghai 200092,China)(Received 19 July 2016;revised manuscript received 12 October 2016)

The spontaneous emission from a V-type three-level atom embedded in an isotropic photonic crystal with dynamic photonic band edge is studied.We consider the situation where the atom interacts with all possible radiation modes,and calculate numerically the evolution of atomic population without using Markov approximation.The calculation method can be used in related researches.In the present paper,we mainly discuss the e ff ects of modulation parameters and the quantum interference on spontaneous emission when the band edge is modulated with step function or triangle function.We hope that the results can contribute to the applications in the dynamic photonic crystal environment in controlling the spontaneous emission via the quantum interference.The results show that in the step-modulated situation,the number of the photon-atom bound dressed states after the modulation has happened depends on atomic transition frequencies and the band edge frequency at that time,and is identical to the one in the unmodulated situation with the same parameters.The long-time evolution of the atomic population is a ff ected by the time when the modulation happens.Depending on the system initial state,after the modulation has happened,the quantum interference can weaken the probability amplitude components corresponding to the photon-atom bound dressed states,and cause the upper-level population to decay quickly from a great value to a value near zero;or on the contrary,it can strengthen the bound dressed states,and make the upper levels retain a high population.In the modulated situation with trigonometric functions,after long enough time,the total upper-level population presents a decaying quasi-periodic oscillation behaviour.And the evolution of the total upper-level population tends to synchronize with the modulation,so the frequency of the quasi-periodic oscillation is approximately equal to the modulation frequency.But,the quantum interference can destroy the synchronization under some conditions.The decay rate of the total upper-level population is a ff ected by the modulation frequency,and also by the initial state of the system and the angle between two dipole moment because of the quantum interference.

photonic crystal,V-type three-level atom,spontaneous emission,quantum interference

10.7498/aps.66.014202

?國(guó)家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號(hào):11074188,11274242)、國(guó)家自然科學(xué)基金委員會(huì)-中國(guó)工程物理研究院聯(lián)合基金(批準(zhǔn)號(hào):U1330203)和國(guó)家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究計(jì)劃特別基金(批準(zhǔn)號(hào):2011CB922203,2013CB632701)資助的課題.

?通信作者.E-mail:xieshuangyuan@#edu.cn