孫逸群，包為民，周俊偉，江 鵬，胡 琳

（1：河海大學水文水資源學院，南京210098）（2：Desert Research Instjtute，Las Vegas Nevada 89119，USA）（3：浙江省水文局，杭州310009）

基于連續(xù)方程的河道水流雙變量耦合演算模型*

孫逸群1，包為民1，周俊偉1，江 鵬2，胡 琳3

（1：河海大學水文水資源學院，南京210098）
（2：Desert Research Instjtute，Las Vegas Nevada 89119，USA）
（3：浙江省水文局，杭州310009）

針對現(xiàn)有的河道水流洪水演算模型只能模擬單一變量（流量或水位）的問題，以水流連續(xù)方程和河段蓄水量的兩種不同表達形式（蓄水量等于平均過水斷面面積與河段長乘積，蓄水量等于河段平均流量與傳播時間的乘積）為基礎，對馬斯京根模型進行了通用性改進，提出了雙變量耦合通用演算模型.選取了四大水系（包括內(nèi)陸河流和入海河流）的16個河段汛期洪水資料進行模型檢驗，模型驗證考慮了地理范圍、不同的河段特征和水力特征、洪水量級等因素，全面地檢驗了模型結構的合理性和模擬實際洪水的有效性.將雙變量耦合通用演算模型與傳統(tǒng)的馬斯京根法進行了效果比較，結果表明雙變量耦合通用演算模型的模擬精度高于馬斯京根法，模擬效果比馬斯京根法穩(wěn)定一些，而且具有較好的通用性.關鍵詞河道洪水演算模型；面積流量耦合；耦合演算；通用模型；馬斯京根模型

馬斯京根河道水流演算方法自1938年提出以來［1］，進行了大量的相關研究，獲得了一系列理論和應用成果，是迄今為止應用最廣泛、獲得理論研究成果最多的河道水流演算方法［2-4］.馬斯京根法的理論研究主要有模型檢驗研究、模型結構的物理基礎分析論證研究、模型結構改進研究、模型參數(shù)率定與時變關系研究四類.

模型結構檢驗研究主要是對實際河道上下斷面洪水期的流量觀測資料，用馬斯京根法模型據(jù)上斷面流量計算下斷面流量，通過與實測下斷面流量的比較，分析誤差大小和誤差特征，進而評判模型結構的合理性與模擬實際洪水的效果［5-9］.

模型結構的物理基礎分析論證主要是對蓄泄關系的物理基礎和馬斯京根法演算方程與簡化圣維南方程組的差分模型間的關系，分析模型結構的物理基礎，間接證明模型的物理性［10-13］.模型結構改進研究主要是對線性蓄泄關系進行非線性化的改進和結構的進一步簡化關系研究，以考慮河段蓄量與出流流量間的非線性關系［14-15］.模型參數(shù)率定與時變關系研究主要是參數(shù)率定方法研究和考慮流量比重系數(shù)X和傳播時間K的時間變化影響因素，建立參數(shù)隨水力特征因素變化的函數(shù)關系，應用于模型模擬洪水的計算中［16-18］.

所有的馬斯京根法研究和應用成果都限制在有穩(wěn)定水位流量關系線的河段，對于流量關系線不穩(wěn)定或不存在水位流量關系的潮汐河段，馬斯京根流量演算法模擬實際洪水效果就不好或根本無法使用［19-22］.

本文根據(jù)河段蓄量與過水斷面和流量蓄泄關系，與水流連續(xù)關系，構成過水斷面積與流量雙變量耦合演算模型，以解決流量關系線不穩(wěn)定或不存在水位流量關系的潮汐河段洪水演算問題.

1 雙變量耦合演算模型結構

河道一維水流，假設沒有旁側入流，由過水斷面面積（A）和流量（Q）表達的連續(xù)方程：

為了使方程閉合，還需要一個描述過水斷面面積和流量兩者關系的方程，水動力學中以力的平衡為基礎構建了兩者關系.但由于其中摩阻力與實際差異很大，常導致使用效果不好［23-26］.水文學中提出蓄泄關系，構成馬斯京根河道水流演算方法［1］，但方法只適用于有穩(wěn)定水位流量關系線的河段［19-22］.本文通過分別建立河段蓄水量與斷面面積、河段蓄水量與流量的關系，獲得斷面面積與流量的關系，構造完備的雙變量耦合演算模型（以下簡稱雙變量模型）.

對于以體積單位表達的河段蓄量（W），可表示為河段長（L）和河段平均過水斷面面積（ˉA）的乘積：

公式（2）中L又可以表達為河段內(nèi)水流運動平均速度（ˉu）和其傳播時間（K）的乘積：

由公式（2）和（3），蓄量又可以表達為水流傳播時間與平均流量（ˉQ）的乘積：

比較公式（2）和（4），得：

公式（5）建立了ˉQ和ˉA間的關系.顯然，只要有ˉQ和ˉA與其上下斷面相應要素的關系，就可以與公式（1）構成閉合模型.這里先假設兩者都存在加權平均關系：

式中，α和χ為權系數(shù)，其值一般在0～1之間變化，下標j和j+1分別表示上斷面和下斷面位置.則公式（5）、式（6）和式（7）組成的斷面面積與流量關系結構：

天然河道的斷面過水斷面形狀比較復雜且沿程變化［27］，可以假設平均斷面面積等于上、下斷面面積的加權平均，公式（7）代入（4）就是馬斯京根法的蓄泄關系，其結構的合理性已有大量證明［1-18］.所以公式（5）、（6）和（7）組成的面積與流量關系結構是具有合理性的.

公式（1）采用Pressjmann四點隱式差分格式，有：

公式（8）考慮前后時間相減得：

式中，θ為Pressjmann差分時間加權系數(shù)，Δf＝fi+1-fi，上標i和i+1分別表示時段前和后的時間.公式（10）和（9）中等號右邊為已知，等號左邊為未知，兩個方程，兩個時段差變量，構成了雙變量模型.兩個演算方程系數(shù)為：

公式（11）對于任意在（0，1）范圍內(nèi)變化的權系數(shù)α和χ都成立，證明公式（9）和（10）相對于演算變量不線性相關，說明新構建的關系式（10）有效.

2 應用河段選擇

為了檢驗模型結構的合理性、應用于實際河段模擬的有效性，選擇河段考慮旁側入流比例小和河段距離短兩個條件，主要考慮如下3方面因素：

（1）兩個河段距離短些.因為連續(xù)方程差分以河段長為步長，這步長值越大，差分誤差就大；

（2）區(qū)間面積不大，旁側入流比例小.因為連續(xù)方程式（1）忽略了旁側入流項，旁側入流比例大，將導致這忽略帶來的誤差就大；

（3）不同水力和河道斷面特征的河段.使得模型對不同河道和水力特征具有廣泛的代表性.

根據(jù)這3條原則，本次研究選擇了全國涉及長江、黃河、珠江、遼河、松花江五大水系，還選擇了塔里木河等內(nèi)陸河流和入海河流，具有各種水力、各種河道斷面特征的代表性，其河段特征與資料年份見表1.選擇的洪水是每年汛期的洪水過程，為了考慮檢驗的充分性，選擇洪水歷時盡可能長，一般短則10 d，長的1個月，最長的連續(xù)3個月；洪水選擇也考慮大、中、小各種洪水的代表性；年份選擇主要考慮前后相連；計算時段間隔采用半小時.

表1 河段資料統(tǒng)計Tab.1 Statjstjcs of the rjver data used jn the study

3 模型與檢驗結果分析

為了充分檢驗模型的效果，同時把馬斯京根法模型參數(shù)和雙變量模型參數(shù)進行率定，馬斯京根模型把3個匯流參數(shù)進行率定（考慮區(qū)間來水，3系數(shù)之和不為1），這樣參數(shù)個數(shù)與雙變量模型相同.馬斯京根匯流演算模型為：

雙變量模型，為了與馬斯京根法比較，將式（9）代入（10），消去ΔAj+1，得：

與馬斯京根法類似，以I表達上斷面流量，以A表達上斷面面積，則可得雙變量模型的流量演算式為：

也可類似地將式（9）代入（10），消去ΔQj+1得ΔAj+1的下斷面面積演算式，獲得了與計算流量類似的結果.本文限于篇幅不討論斷面面積的計算結果.

模型檢驗，除遼河外的河段選擇最后一年的洪水資料為模型檢驗，其余年份為參數(shù)率定.檢驗期洪水演算模型模擬的效果統(tǒng)計見表2.DC（Ma）和DC（New）分別為馬斯京根和雙變量模型率定期確定性系數(shù)，VDC（Ma）和VDC（New）分別表示馬斯京根和雙變量模型檢驗期確定性系數(shù)計算結果.

從率定期和檢驗期結果看，16個河段中有15個河段雙變量模型效果好，河段平均確定性系數(shù)也是雙變量模型高些；從各河段穩(wěn)定性看，馬斯京根法的確定性系數(shù)變幅很大，雙變量模型更穩(wěn)定.

為進一步分析比較模型模擬實際洪水的情況，將資料系列最長的遼河鐵嶺-馬虎山河段檢驗結果進行詳細分析.鐵嶺-馬虎山河段采用的洪水資料為1955-1994年間選擇了18年汛期的所有大洪水和幾次代表性的中小洪水，其中前期10年的資料用于模型參數(shù)率定，后期8年11場洪水用于模型檢驗.表3列出了遼河鐵嶺-馬虎山河段檢驗期11場洪水的檢驗結果，QCp（Ma）和QCp（New）分別表示馬斯京根模型和雙變量模型計算的洪峰；DC（Ma）和DC（New）分別表示馬斯京根模型和雙變量模型計算的確定性系數(shù).

表2 河段率定期和檢驗期效果統(tǒng)計表Tab.2 Sjmulatjon results of caljbratjon and valjdatjon perjods

從表3檢驗期各場洪水確定性系數(shù)看，雙變量模型的平均確定性系數(shù)為0.753，略高于馬斯京根的0.734，各場洪水變幅也比馬斯京根法更小，與16個河段結論一致.

7號是馬斯京根模型模擬最差的洪水，8號是雙變量模型模擬最差的洪水.對比馬斯京根法計算流量與實測流量過程，比較8號洪水（圖1b，1d），8號洪水降雨時空分布不均勻，洪水的區(qū)間降雨主要出現(xiàn)在洪峰附近，造成洪峰附近流量疊加使得實測流量大于雙變量模型計算流量，雙變量模型受區(qū)間來水影響；比較7號洪水（圖1a，1c），馬斯京根模型受誤差累計影響.“馬斯京根模型受誤差累計影響”主要體現(xiàn)在儲蓄結構中，因為當儲蓄關系與實際有出入時，其計算蓄量偏差需要連續(xù)幾個時段的累積才能彌補其影響.馬斯京根法計算的7號洪水，初始計算蓄量偏小，計算出流也偏小，使得漲水段計算流量連續(xù)偏小，其誤差通過漲水段的累計直到峰后才近似抵消.所以雙變量模型改進需要更細地考慮區(qū)間來水模擬結構，而馬斯京根模型需要改進模型結構，即更細地考慮河段斷面面積變化對蓄量的影響結構.

表3 遼河鐵嶺-馬虎山河段檢驗結果Tab.3 Sjmulatjon results of Tjeljng-Mahushan rjver channel jn Ljao Rjver

圖1 雙變量耦合模型7、8號（a，b）以及馬斯京根法7、8號（c，d）洪水計算結果Fjg.1 Sjmulatjon results of flood NO.7，NO.8 by coupljng routjngmodel（a，b），and Muskjngum routjngmodel（c，d）

4 結語

本研究根據(jù)河段蓄水量等于平均過水斷面面積與河段長乘積和蓄水量等于河段平均流量與傳播時間的乘積兩個物理計算公式，提出了過水斷面面積與流量的關系：

與水流連續(xù)方程構成了雙變量耦合演算模型：

通過四大水系（包括內(nèi)陸河流和入海河流）的16個河段汛期洪水資料的模擬檢驗，將雙變量耦合通用演算模型與傳統(tǒng)的馬斯京根法進行了效果比較，結果表明雙變量耦合演算模型的模擬精度高于馬斯京根法，而且模擬效果更加穩(wěn)定.

本研究提出的模型在結構合理性方面與現(xiàn)有的馬斯京根流量演算模型相近，效果比馬斯京根法稍好一些，適用于區(qū)間來水影響較小的河段.主要優(yōu)點是具有通用性，模型結構簡單，使用資料要求低，實用性強.與馬斯京根模型類似，雙變量耦合模型可與新安江模型等結合進行洪水預報，成果具有進一步研究和推廣應用價值.

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A bivariate coupling river flood routing model based on continuity equation

SUN Yiqun1，BAOWeim in1，ZHOU Junwei1，JIANG Peng2＆HU Lin3
（1：College of Hydrology and Water Resources，Hohai University，Nanjing 210098，P.R.China）
（2：Desert Research Institute，Las Vegas Nevada 89119，USA）
（3：Zhejiang Provincial Hydrology Bureau，Hangzhou 310009，P.R.China）

A sjgnjfjcant jnabjljty of the exjstjng rjver flood routjngmodels js thejr ljmjtatjons to sjmulate sjngle varjable（djscharge or water stage）.The research proposes a“general bjvarjate”coupljng routjngmethod that jmproves the unjversaljty of Muskjngum method and can sjmulate double varjables sjmultaneously.The proposedmodel js based on the flow contjnujty equatjon and two djfferent forms of rjver reach storage equatjon：（1）the storage of a rjver channel equals the product of themean cross-sectjonal area and the rjver channel length；（2）the storage of a rjver channel equals the productof themean djschargeofa rjver channel and the flow travel tjme.In order to consjder the representatjve of djverse factors，jncludjng geographjcal scope，rjver channel features，flood magnjtude，hydrauljc characterjstjcs and etal，the proposedmodel js tested by observed data of flood seasonswhjch js selected form 16 rjvers channels of 4 rjver basjns jn Chjna.The ratjonaljty ofmodel structure and performance ofmodel sjmulatjons are determjned comprehensjvely.When compared wjth Muskjngum routjngmethod，the approach can lead tomore accurate sjmulatjons and the performance jsmore stable than Muskjngum routjngmethod.The proposed model jsmore versatjle than Muskjngum model jn real cases.

Rjver flood routjngmodel；coupljng of area and djscharge；coupljng routjng；generalmodel；Muskjngum model

DOI 10.18307／2017.0422

?2017 by Journal of Lake Sciences*國家自然科學基金項目（41371048，51479062）、中央高?；究蒲袠I(yè)務費專項資金（2015B14314）和國家重點基礎研究發(fā)展計劃（2016YFC0402700）聯(lián)合資助.2016-08-05收稿；2016-09-20收修改稿.孫逸群（1993～），男，博士研究生；E-majl：kobe247156@126.com.