王沁軍，吳志光

（山西機電職業(yè)技術(shù)學(xué)院機械工程系，山西長治046011）

基于MATLAB和LINGO的直齒錐齒輪傳動優(yōu)化設(shè)計

王沁軍，吳志光

（山西機電職業(yè)技術(shù)學(xué)院機械工程系，山西長治046011）

以大端端面模數(shù)met，小錐齒輪齒數(shù)z1，錐齒輪寬度b作為設(shè)計變量，以錐齒輪總體積最小為優(yōu)化目標(biāo)，以齒輪的強度等要求作為約束條件構(gòu)建出直齒錐齒輪傳動優(yōu)化數(shù)學(xué)模型。通過實例給出常規(guī)設(shè)計方案，借助Matlab軟件進行連續(xù)變量優(yōu)化求解，利用Lingo軟件進行離散變量優(yōu)化求解，對求解結(jié)果進行綜合比較，得出優(yōu)化設(shè)計方案。與常規(guī)設(shè)計相比，錐齒輪總體積下降約32%，優(yōu)化效果明顯，能為設(shè)計選型提供參考。

直齒錐齒輪傳動；優(yōu)化設(shè)計；連續(xù)變量；離散變量

錐齒輪傳動應(yīng)用廣泛，強度條件主要為齒面接觸強度和齒根彎曲疲勞強度，對于強度校驗，按GB /T10062-2003錐齒輪承載能力計算方法進行，其傳動常規(guī)設(shè)計可以按文獻[1]和[2]進行。對于其優(yōu)化設(shè)計，文獻[3]和[4]采用遺傳算法，分別對弧齒錐齒輪傳動和可控螺旋角錐齒輪傳動進行優(yōu)化，文獻[5]考慮設(shè)計變量的離散性，利用枚舉法，對直齒錐齒輪傳動進行優(yōu)化，文獻[6]采用混合離散復(fù)合形法，對弧齒錐齒輪傳動進行優(yōu)化。對于優(yōu)化設(shè)計，主要集中在利用優(yōu)化求解算法，針對實際問題構(gòu)建優(yōu)化數(shù)學(xué)模型并進行求解。

本文以直齒錐齒輪傳動為研究對象，選取大端端面模數(shù)met，小錐齒輪齒數(shù)z1，錐齒輪齒寬b為設(shè)計變量，以兩錐齒輪體積之和最小為優(yōu)化目標(biāo)，確定了邊界和強度約束條件，構(gòu)建出優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，利用Matlab進行連續(xù)變量優(yōu)化求解，然后利用Lingo進行離散變量優(yōu)化求解，綜合分析得出優(yōu)化方案，優(yōu)化求解結(jié)果比初始設(shè)計在總體積上得以減小32%，可為設(shè)計選型提供必要參考。

1 優(yōu)化數(shù)學(xué)模型的建立

1.1 設(shè)計變量

通常設(shè)計時載荷情況，小錐齒輪傳遞的轉(zhuǎn)矩T1，齒數(shù)比u，小錐齒輪轉(zhuǎn)速n1等均可確定，此時基本設(shè)計參數(shù)為met，z1，z2，b（或ΦR），∑，δ1，δ2等[1]。其中z2為大錐齒輪齒數(shù)，ΦR為齒寬系數(shù)，∑為軸線間交角，δ1、δ2分別為小、大齒輪分錐角。如∑已按要求確定，獨立的設(shè)計變量就只有大端端面模數(shù)met，小錐齒輪齒數(shù)z1，錐齒輪齒寬b，因此設(shè)計變量為：

1.2 目標(biāo)函數(shù)

滿足設(shè)計條件下，盡量節(jié)約材料，以直齒錐齒輪傳動中小、大齒輪體積之和最小為優(yōu)化目標(biāo)，考慮錐齒輪實際結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，較難用準(zhǔn)確的關(guān)系式表達(dá)，故此采用大端與小端分度圓之間的截頭圓錐體積進行計算[5]，可表達(dá)為：

1.3 約束條件

（1）大端端面模數(shù)met約束條件

大端端面模數(shù)met應(yīng)符合GB/T12368-1990錐齒輪模數(shù)之規(guī)定，通常根據(jù)設(shè)計條件確定范圍[4]，取met=2~10，可得：

式中：tanδ1=z1/z2=1/u，tanδ2=z2/z1=1/u，Re為外錐距，按式（2）計算。

（2）小錐齒輪齒數(shù)z1約束條件

小齒輪齒數(shù)z1通常取16~30之間[1]，可得：

（3）錐齒輪齒寬b約束條件

齒寬b通常取整數(shù)，錐齒輪傳動的齒寬系數(shù)ΦR常取1/4~1/3[1]，可得：

（4）齒面接觸疲勞強度條件

根據(jù)GB/T10062-2003，應(yīng)滿足齒面接觸疲勞強度條件[1-2]，可得：

式中：σH為齒面接觸應(yīng)力（MPa）；σHP為許用齒面接觸應(yīng)力（MPa）；Fmt為齒寬中點分錐上的名義切向力（N）；KA為使用系數(shù)；KV為動載系數(shù)；KHβ為接觸強度齒向載荷分布系數(shù)；KHα為接觸強度端面載荷分配系數(shù)；ZM-B為中點區(qū)域系數(shù)；ZH為節(jié)點區(qū)域系數(shù)；ZE為彈性系數(shù)；ZLS為載荷分擔(dān)系數(shù)；Zβ為螺旋角系數(shù)；ZK為錐齒輪系數(shù)；dm1為小錐齒輪中點節(jié)圓直徑（mm）；lbm為中點接觸線長度（mm）.根據(jù)設(shè)計條件，參考國標(biāo)或文獻[1]和[2]，確定以上各參數(shù)數(shù)值。

（5）齒根彎曲疲勞強度條件

根據(jù)GB/T10062-2003，應(yīng)滿足齒根彎曲疲勞強度條件[1-2]，可得：

式中：σF為齒根彎曲應(yīng)力（MPa）；σFP為許用齒根彎曲應(yīng)力（MPa）；mmn為中點法向模數(shù)；YFa為齒形系數(shù)；Ysa為應(yīng)力修正系數(shù)；Yε為重合度系數(shù)；YK為彎曲強度錐齒輪系數(shù)；YLS為彎曲強度載荷分擔(dān)系數(shù)；KFβ為彎曲強度齒向載荷分布系數(shù)；KFα為彎曲強度端面載荷分配系數(shù)。根據(jù)設(shè)計條件，參考國標(biāo)或文獻[1]和[2]，確定以上各參數(shù)數(shù)值。

2 設(shè)計實例與常規(guī)設(shè)計結(jié)果

設(shè)計某傳動用閉式直齒錐齒輪傳動，已知小齒輪傳遞的轉(zhuǎn)矩為T1=400 N·m，小齒輪轉(zhuǎn)速n1=960 r/min，齒數(shù)比u=z2/z1=3，兩輪軸線相交成90°，設(shè)計精度等級為IT6級，長期工作。大小齒輪均采用20Cr，滲碳、淬火，齒面硬度為58~63 HRC，許用齒面接觸應(yīng)力σHP=1 087 MPa，許用齒根彎曲應(yīng)力σF=450 MPa[1].

直齒錐齒輪傳動的常規(guī)設(shè)計步驟為[1]：首先，初選小錐齒輪齒數(shù)z1，由齒面強度估算公式計算最小小齒輪大端分度圓直徑de1.然后確定大端端面模數(shù)met和齒輪寬度b，計算其它錐齒輪尺寸參數(shù)。最后校核齒面接觸疲勞強度和齒根彎曲疲勞強度，如驗算合格則設(shè)計可行，如不滿足條件則需調(diào)整參數(shù)直到滿足強度條件。

根據(jù)上述步驟進行設(shè)計，可得常規(guī)設(shè)計結(jié)果：大端端面模數(shù)met=5.5，小錐齒輪齒數(shù)z1=19，大錐齒輪齒數(shù)z2=57，外錐距Re=165.229 mm，錐齒輪齒寬b=50 mm，齒寬系數(shù)ΦR=0.302 6，小齒輪大端分度圓直徑de1=104.5 mm，大齒輪大端分度圓直徑de2=313.5 mm，其余參數(shù)可由相關(guān)公式計算得到。

3 優(yōu)化求解

3.1連續(xù)變量求解

將變量按連續(xù)值處理，求解后進行圓整和取標(biāo)準(zhǔn)值得出優(yōu)化方案[3-4]。對于有約束條件的連續(xù)變量優(yōu)化設(shè)計問題，求解方法很多，常規(guī)算法有隨機方向法、復(fù)合形法、可行方向法、懲罰函數(shù)法等，還可采用智能算法，如粒子群算法（PSO）、遺傳算法（GA）、模擬退火算法（SA）、蟻群算法（ACO）等[7-8]。Matlab軟件中，對于非線性約束條件的優(yōu)化問題，提供了fmincon函數(shù)進行求解，而不再需要編寫相應(yīng)的算法程序，使求解更為方便。同時，采用粒子群算法在Matlab軟件中進行編程，對該優(yōu)化問題進行求解，以對比求解結(jié)果。

（1）fmincon函數(shù)優(yōu)化求解

根據(jù)前述條件，確定各參數(shù)的數(shù)值或函數(shù)關(guān)系式，編寫優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)文件（aim_1.m）和約束條件文件（const_1.m），以常規(guī)設(shè)計結(jié)果為優(yōu)化求解初始點，調(diào)用fmincon函數(shù)進行求解，程序如下：

x0=[5.5 19 50]；

A=[]；b=[]；Aeq=[]；beq=[]；

xlb=[2 16 10]；

xub=[10 30 100]；

options=optimset（'Display'，'iter-detailed'，'MaxFunEvals'，2000）；

[x，fval，exitflag，output]=fmincon（'aim_1'，x0，A，b，Aeq，beq，xlb，

xub，'const_1'，options）

運行程序后可以得到如下求解結(jié)果：

X1=[4.5214 21.0216 38.4166]

（2）粒子群算法優(yōu)化求解

將目標(biāo)函數(shù)和約束條件程序輸入到粒子群算法相應(yīng)程序位置[8]，然后運行粒子群算法程序，可以得到如下求解結(jié)果：

X2=[4.5218 21.0240 38.4365]

圖1所示為粒子群算法適應(yīng)度曲線，可以看到初始迭代過程中目標(biāo)函數(shù)下降很快，隨著迭代次數(shù)的增多，目標(biāo)函數(shù)下降平緩，從91次迭代開始，目標(biāo)值下降微小，基本不變。比較fmincon函數(shù)和PSO算法求解結(jié)果，兩者相近。根據(jù)求解結(jié)果，進行取整和取標(biāo)準(zhǔn)值，可得X3=[4.5 21 39]，即大端端面模數(shù)met=4.5，小錐齒輪齒數(shù)z1=21，齒寬b=39 mm，對于結(jié)果的可行性需要校核強度條件。

圖1 粒子群算法求解適應(yīng)度曲線

3.2 離散變量求解

由前面分析可知，大端端面模數(shù)met、小齒輪齒數(shù)z1、錐齒輪寬度b實際都是離散變量，將其作為離散變量進行優(yōu)化求解，在使用上更為合理和準(zhǔn)確。對于離散變量的優(yōu)化求解，可采用離散化法、離散復(fù)合形法、分支定界法等[9-10]，以上方法需要編寫相應(yīng)算法程序即可實現(xiàn)。在Lingo軟件中，通過較為簡單的程序語言設(shè)定即可將變量離散化處理，而目標(biāo)函數(shù)和約束條件的編寫與Matlab軟件相近，通過設(shè)置求解器可較快捷地進行優(yōu)化求解[11]。

在Lingo軟件中編寫目標(biāo)函數(shù)和約束條件，通過（x1#EQ#3）#OR#（x1#EQ#3.25）#OR#（x1#EQ#3.5）等語句設(shè)定大端端面模數(shù)met（x1）為標(biāo)準(zhǔn)值，通過@gin（x2）和@gin（x3）語句設(shè)定小齒輪齒數(shù)z1（x2）和齒寬b（x3）為整數(shù)，然后運行程序進行求解，可得如下求解結(jié)果：

X4=[4.52140]

將不同求解結(jié)果進行比較，如表1所示，可知由連續(xù)變量圓整后的解嚴(yán)格意義上不滿足強度約束條件，由于接觸應(yīng)力和彎曲應(yīng)力與許用值非常接近，在誤差范圍內(nèi)是可以應(yīng)用的。由離散求解方法得到的解，滿足強度約束條件，接觸應(yīng)力和彎曲應(yīng)力略小于許用值。以大端端面模數(shù)met=4.5，小錐齒輪齒數(shù)z1=21，齒寬b=40 mm作為優(yōu)化設(shè)計結(jié)果，優(yōu)化后的參數(shù)比常規(guī)設(shè)計在錐齒輪總體積上減小約32%，整體優(yōu)化效果明顯。

表1 常規(guī)設(shè)計與優(yōu)化設(shè)計結(jié)果

4 結(jié)論

將優(yōu)化設(shè)計理論和方法應(yīng)用于直齒錐齒輪傳動中，以錐齒輪體積之和最小為優(yōu)化設(shè)計目標(biāo)，分析了邊界約束條件和強度約束條件，結(jié)合實例得出常規(guī)設(shè)計方案，通過程序編寫構(gòu)建出優(yōu)化數(shù)學(xué)模型。通過fmincon函數(shù)和粒子群算法在Matlab軟件中進行連續(xù)變量求解，分析圓整解可能存在的非可行解等問題，利用Lingo軟件將設(shè)計變量離散化，進行優(yōu)化求解，得到優(yōu)化設(shè)計方案，在滿足約束條件下優(yōu)化效果顯著。

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[5]程進.基于枚舉法的錐齒輪傳動優(yōu)化設(shè)計[J].西昌學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），2009，23（1）：44-46.

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The Optimal Design of Straight Bevel Gear Drive based on MATLAB and LINGO

WANG Qin－jun，WU Zhi－guang
（Department of Mechanical Engineering，Shanxi Institute of Mechanical and Electrical Engineering，Changzhi Shanxi 046011，China）

Taking the straight bevel gear drive as the research model，selected the gear's large end module，the tooth number of small bevel gear，and the gear width as design variable，regarded minimal gear volume as optimization goal，the optimal design model is established by setting gear strength and other constraint conditions. Combined with design example，the traditional design scheme is obtained.The optimal solution of continuous variable is obtained through Matlab，and the optimal solution of discrete variable is obtained through Lingo.Then the optimization scheme is obtained by comprehensive analysis of the solutions.Compared with the traditional design scheme，the gear volume is reduced by 32%，so the effect of optimization is significant，can provide the necessary reference for design.

straight bevel gear drive；optimal design；continuous variable；discrete variable

TH132.41

A

1672-545X（2017）06-0030-04

2017-03-09

王沁軍（1982-），男，山西晉城人，碩士，研究方向為計算機輔助設(shè)計與制造。