周 臻 朱冬平 謝 欽

(東南大學(xué)混凝土及預(yù)應(yīng)力混凝土結(jié)構(gòu)教育部重點實驗室, 南京 210096)

矩形脈沖激勵下自復(fù)位墻的搖擺響應(yīng)

周 臻 朱冬平 謝 欽

(東南大學(xué)混凝土及預(yù)應(yīng)力混凝土結(jié)構(gòu)教育部重點實驗室, 南京 210096)

為了提高自復(fù)位墻在強震作用下的抗震性能,對其在矩形脈沖激勵下的動力搖擺響應(yīng)進行了研究．在假定墻體剛性和墻體-地基無滑移的基礎(chǔ)上,建立了自復(fù)位墻的搖擺動力分析方程．引入小傾角假定對動力方程進行適當(dāng)簡化,并考慮墻體在搖擺過程中與基礎(chǔ)碰撞的能量損失,通過理論推導(dǎo)得到了自復(fù)位墻搖擺響應(yīng)的解析解．針對一個自復(fù)位墻算例,采用該方法進行動力搖擺分析,并與增量數(shù)值求解的結(jié)果進行對比驗證．此外,基于動力方程中的恢復(fù)系數(shù),給出了自復(fù)位墻等效黏滯阻尼的計算公式,研究了不同墻底基礎(chǔ)碰撞界面材料特性對自復(fù)位墻搖擺響應(yīng)的影響．結(jié)果表明:解析解能夠反映墻體在矩形脈沖激勵下的動力搖擺響應(yīng);自復(fù)位墻的等效黏滯阻尼隨著恢復(fù)系數(shù)的增加而降低,二者基本成線性關(guān)系;墻體在搖擺過程中等效黏滯阻尼隨著周期的增加而增大．

自復(fù)位墻;搖擺響應(yīng);矩形脈沖;解析解;等效黏滯阻尼

近年來,功能可恢復(fù)結(jié)構(gòu)(resilient structures)逐漸成為結(jié)構(gòu)工程領(lǐng)域的研究熱點[1],其中搖擺墻和自復(fù)位墻結(jié)構(gòu)由于具有良好的地震損傷控制[2]和震后自恢復(fù)能力而引起國內(nèi)外眾多學(xué)者的關(guān)注[3]．

由于搖擺墻和自復(fù)位墻釋放了結(jié)構(gòu)與基礎(chǔ)間的約束,因此在強震脈沖激勵作用下,結(jié)構(gòu)將產(chǎn)生明顯的動力搖擺效應(yīng)．Housner[4]最早進行了搖擺塊在正弦半波和矩形波作用下的動力響應(yīng)分析．Makris等[5]分析了近斷層地震激勵對搖擺結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的影響．Zhang等[6-7]進一步對帶有底部錨固的搖擺塊在三角函數(shù)波作用下的動力響應(yīng)進行了分析．Dimitrakopoulos等[8]采用三角函數(shù)脈沖激勵研究了搖擺快的動力響應(yīng)．Voyagaki等[9]分析了搖擺塊在矩形周期荷載下的傾覆,并詳細(xì)計算了其傾覆條件．Kalliontzis等[10]對搖擺塊中的重要參數(shù)COR進行了估計．

自復(fù)位墻是在搖擺墻基礎(chǔ)上引入后張無黏結(jié)預(yù)應(yīng)力筋而形成的一種新型自恢復(fù)結(jié)構(gòu)體系,能夠有效減小結(jié)構(gòu)的震殘余變形,提升結(jié)構(gòu)的抗震性能,因而在近年得到較為廣泛的研究,在自復(fù)位墻結(jié)構(gòu)的擬靜力試驗[11]和滯回性能[12]、數(shù)值模擬與設(shè)計方法[13]等方面取得了較多成果．與搖擺結(jié)構(gòu)類似,自復(fù)位墻在強震的脈沖作用下會產(chǎn)生搖擺動力響應(yīng),但預(yù)應(yīng)力體系的引入使得自復(fù)位墻的動力搖擺方程和搖擺響應(yīng)機理與搖擺結(jié)構(gòu)存在明顯差異,但目前相關(guān)研究較少．本文針對矩形脈沖激勵下自復(fù)位墻的搖擺響應(yīng)進行理論分析,建立了自復(fù)位墻的搖擺動力方程,采用微分方程求解推導(dǎo)了墻體搖擺的理論解析解,并與增量數(shù)值分析結(jié)果進行了對比,在此基礎(chǔ)上研究了墻底-基礎(chǔ)碰撞界面材料特性對自復(fù)位墻動力搖擺響應(yīng)和碰撞耗能能力的影響．

1 基本模型

圖1(a)給出了自復(fù)位墻的示意圖，墻體假設(shè)為剛形體，且基礎(chǔ)同樣屬于剛體.墻體與基礎(chǔ)之間不存在相對滑動，根據(jù)ElGawady等[14]的分析，墻體與基礎(chǔ)之間的碰撞應(yīng)該在瞬間完成，即墻體與基礎(chǔ)無黏結(jié)力作用.為便于計算，設(shè)墻體寬度為2b，墻體高度為2h，墻體繞O點或者O′點轉(zhuǎn)動的半徑為R，則轉(zhuǎn)動半徑R=(b2+h2)1/2.在墻體中間布置預(yù)應(yīng)力筋，設(shè)定預(yù)應(yīng)力筋初張力為P0，預(yù)應(yīng)力筋勁度系數(shù)為kp.圖1(b)給出了墻體在脈沖荷載作用下繞O點正向搖擺的示意圖，本文假設(shè)墻體向右側(cè)搖擺為正.圖1(c)給出脈沖激勵的加速度示意圖，脈沖加速度的幅值為ag，持續(xù)時間為2tg，整個加速度波形由2個對稱的持時為tg的矩形波組成.本文將分析自復(fù)位墻在該類型脈沖波作用下的搖擺響應(yīng).

(a) 計算模型

(b) 搖擺形態(tài)

(c) 脈沖激勵

2 基本方程

自復(fù)位墻在正向搖擺時繞O點轉(zhuǎn)動,在負(fù)向搖擺時繞O′點轉(zhuǎn)動,因此其動力方程為分段形式:

當(dāng)θ(t)>0時

(1)

當(dāng)θ(t)<0時

(2)

式中,IO表示墻體繞O點或者O′點的轉(zhuǎn)動慣量(對于矩形塊體,IO=4mR2/3);θ為墻體繞O點或者O′點的轉(zhuǎn)動角度;m為墻體質(zhì)量;g為重力加速度;α=arcsin-1(b/R)．

采用符號函數(shù)對式(1)和式(2)進行合并簡化,可得

(3)

令P=(mgR/IO)1/2=(3g/(4R))1/2,則式(3)可簡化為

(4)

基礎(chǔ)加速度為反對稱的矩形波,根據(jù)階躍函數(shù)的定義,可以將該類型的加速度表示為

(5)

式中,H(t)為Heaviside階躍函數(shù)．

式(3)、(4)帶有三角函數(shù),因此其理論解求解非常困難,需要對其進行簡化．對于一般的自復(fù)位墻結(jié)構(gòu),傾覆角α為較小值,故采用與文獻[5]類似的簡化方法,即sin(θ)=θ,cos(θ)=1．將式(4)進行簡化,可得

(6)

如果要使墻體發(fā)生搖擺,那么基礎(chǔ)加速度必須滿足下式:

(7)

對于自復(fù)位墻,可將加速度簡化為

(8)

式中，α應(yīng)小于20°[15]．

3 理論解析

墻體在完整的脈沖激勵下存在較為復(fù)雜的動力行為．假設(shè)墻體在理想狀態(tài)下不存在傾覆,且預(yù)應(yīng)力筋不會斷裂,則墻體處于往復(fù)搖擺的狀態(tài)中．在正向搖擺的過程中θ(t)>0,且墻體初始處于靜止?fàn)顟B(tài),即θ(0)=0且θ′(t)=0．根據(jù)墻體運動方程簡化表達式(6)，可得到墻體搖擺的理論解為

(cos(Qt)-1)-agIOP2[cos((t-2tg)Q)-1]·

H(t-2tg)+2agIOP2[cos((t-tg)Q)-1]·

H(t-tg)}

(9)

式中

(10)

對于自復(fù)位墻,預(yù)應(yīng)力筋剛度系數(shù)kp較大,可以保證Q為正值．

根據(jù)假設(shè),在碰撞過程中不存在彈跳,但由于墻體與基礎(chǔ)之間存在碰撞,因此會產(chǎn)生能量損失．Yilmaz等[16]以及Prieto等[17]均對此進行了研究,但目前普遍采用的方法為Housner[4]研究搖擺塊時根據(jù)搖擺塊角動量守恒提出的能量損失計算方法:

(11)

式(11)通過速度折減來表示系統(tǒng)碰撞過程中的能量損失,恢復(fù)系數(shù)r可通過搖擺體角動量守恒計算得到:

(12)

式(12)是一個理想情況下的計算表達式,在實際情況中,由于存在摩擦、滑移以及墻體和基礎(chǔ)均非剛體,恢復(fù)系數(shù)r值總是小于式(12)的計算結(jié)果．

2agIOP2cos((t-tg)Q)+

(-bgP0+IOP2(ag-gα))cos((t-ti)Q))-

agIOP2[cos((t-2tg)Q)-1]H(t-2tg)+

2agIOP2[cos((t-tg)Q)-1]H(t-tg)+

(13)

其中,r由式(12)計算得到．

(14)

由于式(14)同樣使用式(5)的脈沖激勵加速度,因此在脈沖結(jié)束后且θ(t)<0時,式(13)仍然是適用的．

(15)

而在墻體轉(zhuǎn)動(θ(t)<0)的過程中,式(14)的解為

(16)

4 算例分析

本節(jié)將針對上面計算推導(dǎo)的理論解析結(jié)果,結(jié)合具體的實例計算墻體的搖擺響應(yīng)．同時,利用數(shù)值積分方法求解模型的搖擺響應(yīng),并與理論解結(jié)果進行對比驗證．

4.1 算例模型

驗證模型如圖2所示,自復(fù)位墻體寬為1m,高為6m,在墻體中間有一根初張力為150kN的無黏結(jié)預(yù)應(yīng)力筋,通過預(yù)應(yīng)力筋的彈性模量以及預(yù)應(yīng)力筋的面積換算得到預(yù)應(yīng)力筋的彈性剛度為4.9MN/m．因此墻體的傾覆角α為9.453°,根據(jù)式(8)可計算得到所需要的最小基礎(chǔ)加速度為9.95m/s2．同時為了控制預(yù)應(yīng)力筋的內(nèi)力，取矩形脈沖持時為0.5s,加速度幅值為12m/s2．

圖2 模型尺寸(單位：m)

4.2 強迫振動分析

圖3 自復(fù)位墻在脈沖下?lián)u擺時程

圖4 脈沖激勵誤差絕對值曲線

4.3 自由振動分析

采用式(15)、(16)進行自由振動分析．墻體在強迫振動結(jié)束之后進入自由振動時的位移和速度可從圖3得到．圖5給出了在自由振動階段的解析計算結(jié)果和數(shù)值解的對比,從圖中可以看出,解析表達式計算結(jié)果與數(shù)值解結(jié)果吻合很好．

圖5 自由振動時程

圖6給出了自由振動階段的相對誤差曲線,同前述分析類似,在每一次碰撞發(fā)生的階段,解析計算結(jié)果與數(shù)值解計算結(jié)果存在一定的誤差,但在搖擺過程中,二者的差距同樣非常?。@也驗證了式(15)和式(16)的正確性．相對于圖4在0.75 s處的誤差,圖6在0.75 s處的誤差小得多,這是由于圖4和圖6的計算是基于不同表達式,且圖6在計算時將速度進行了折減．

圖6 自由振動誤差絕對值曲線

5 墻底基礎(chǔ)界面材料特性對墻體耗能的影響

ElGawady等[14]通過試驗發(fā)現(xiàn),在自復(fù)位墻底與基礎(chǔ)之間設(shè)置不同的材料將會對自復(fù)位墻的恢復(fù)系數(shù)r產(chǎn)生較大的影響．同時,根據(jù)圖7給出的自復(fù)位墻在矩形脈沖作用下的時程曲線可以發(fā)現(xiàn),由于恢復(fù)系數(shù)r的作用,使得墻體即使沒有安裝阻尼裝置,也具有一定的碰撞耗能能力．式(12)給出的恢復(fù)系數(shù)是進行速度折減的上限,需要根據(jù)實際情況由碰撞界面材料確定不同的恢復(fù)系數(shù)r．因此自復(fù)位墻與基礎(chǔ)碰撞產(chǎn)生的耗能需要詳細(xì)分析．本節(jié)將采用不同的恢復(fù)系數(shù)r研究其對墻體的耗能影響,等效黏滯阻尼比將被作為衡量指標(biāo)評價體系耗能．

根據(jù)等效黏滯阻尼的定義,結(jié)構(gòu)的等效黏滯阻尼計算公式為

(17)

式中,ED為一個周期中所耗散的能量;Es為應(yīng)變能．

在本文分析的自復(fù)位墻中,預(yù)應(yīng)力筋一直處于彈性狀態(tài),墻體與基礎(chǔ)為剛性體,結(jié)構(gòu)體系的耗能來自于墻體與基礎(chǔ)的碰撞,因此耗能在瞬間產(chǎn)生,無法繪制出墻體的滯回曲線．

根據(jù)體系耗能原理,圖7矩形框中表示本文采用的計算周期．一個周期耗散的能量為

(18)

墻體的應(yīng)變能計算公式為

(19)

式中,θmax為當(dāng)前周期中最大轉(zhuǎn)角;M*為結(jié)構(gòu)的最大彎矩,與θmax有關(guān),計算公式為

M*=mgRsin(α-θmax)+P0b+kpb2sin(θmax)

(20)

圖8給出了在不同r值作用下自復(fù)位墻的時程曲線．為了使結(jié)構(gòu)響應(yīng)更加明顯,此處調(diào)整了基礎(chǔ)脈沖的幅值,使得結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)角幅值更大．由于預(yù)應(yīng)力筋一直保持彈性,因此即使墻體的轉(zhuǎn)角超過墻體的傾覆角度(θ>α),墻體也能夠復(fù)位．

圖8 不同恢復(fù)系數(shù)r下墻體時程曲線

由圖8可看出,恢復(fù)系數(shù)r值具有明顯的“阻尼”作用,在不同的r值作用下,墻體與基礎(chǔ)碰撞的時刻會發(fā)生變化．同時r值的增大會使墻體的搖擺幅值迅速下降直至墻體停止搖擺．

圖9和圖10分別給出了墻體等效黏滯阻尼ζeq與恢復(fù)系數(shù)r和計算周期k的關(guān)系曲線．從圖9可看出,恢復(fù)系數(shù)r基本與等效黏滯阻尼成線性關(guān)系,隨著恢復(fù)系數(shù)r的增加,等效黏滯阻尼均勻降低．從圖10可明顯看出,隨著計算周期的增加,等效黏滯阻尼也增加．因此自復(fù)位墻的搖擺幅度會隨著搖擺周期的增加而快速減小．

圖9 等效黏滯阻尼與恢復(fù)系數(shù)r關(guān)系曲線

圖10 等效黏滯阻尼與計算周期k關(guān)系曲線

6 結(jié)論

1) 建立了自復(fù)位墻在矩形脈沖作用下的動力反應(yīng)方程,并在適當(dāng)簡化后,推導(dǎo)得到了其精確解析解．

2) 針對自復(fù)位墻算例進行了動力響應(yīng)分析,并與增量數(shù)值求解結(jié)果進行了對比,驗證了本文理論分析方法的正確性．

3) 基于動力方程中的恢復(fù)系數(shù)r,給出了自復(fù)位墻等效黏滯阻尼的計算公式,研究了不同墻底-基礎(chǔ)碰撞界面材料特性對自復(fù)位墻搖擺響應(yīng)的影響,結(jié)果表明墻體等效黏滯阻尼隨著r值的增加而降低,二者幾乎成線性關(guān)系;同時隨著計算周期的增加,墻體的等效黏滯阻尼亦會增加．

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Rocking response of self-centering wall under rectangular pulse

Zhou Zhen Zhu Dongping Xie Qin

(Key Laboratory of Concrete and Prestressed Concrete Structures of the Ministry of Education, Southeast University, Nanjing 210096, China)

To improve the seismic performance of self-centering wall under strong ground motion, the rocking response of the self-centering wall under rectangular pulse is investigated. Based on the no-slipping and rigid base assumptions, dynamic equations of a self-centering wall under rectangular pulse are derived. The exact analytical solutions considering the energy dissipation in the rocking process are derived from the simplified dynamic equations with minor rocking angle assumption. A specific self-centering model is analyzed with the analytical solutions, and the results of analytical solutions are verified by the numerical solutions. Additionally, on basis of the restitution factor in equations, the method for calculating the equivalent viscous damping ratio for the self-centering wall is given as well. The influence of different materials between wall base and foundation on the rocking response of a self-centering wall is analyzed. The results show that the analytical solution can reflect the rocking behavior under rectangular pulse. The equivalent viscous damping ratio decreases with the increase of the restitution factor, and there is a linear correlation between them. With the increase of the rocking period, the equivalent viscous damping ratio increases in the rocking process.

self-centering wall; rocking response; rectangular pulse; analytical solution; equivalent viscous damp ratio

10.3969/j.issn.1001-0505.2017.04.015

2016-12-06. 作者簡介: 周臻(1981—)，男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，seuhj@163.com.

國家自然科學(xué)基金資助項目(51208095)、江蘇省“青藍工程”資助項目、江蘇省六大人才高峰資助項目(JZ-002)、江蘇省普通高校研究生實踐創(chuàng)新計劃資助項目(SJLX15_0033).

周臻,朱冬平,謝欽.矩形脈沖激勵下自復(fù)位墻的搖擺響應(yīng)[J].東南大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2017,47(4):717-723.

10.3969/j.issn.1001-0505.2017.04.015.

TU352.1

A

1001-0505(2017)04-0717-07