甘紅德

【摘要】縱觀近幾年的高考理綜物理試題，帶電粒子在有界磁場中的運動幾乎年年都有，題型有選擇題和計算題，更多以壓軸題（計算題）的形式出現(xiàn)。這充分說明帶電粒子在有界磁場中的運動問題是高考的重點和熱點，同時也是難點，它對學生的空間想象能力、分析綜合能力和應用數(shù)學知識處理物理問題的能力有較高要求。

【關鍵詞】帶電粒子；有界勻強磁場；運動；解題思路

一、帶電粒子在有界勻強磁場中運動模型的構建

當帶電粒子垂直進入勻強磁場時僅受洛倫茲力（粒子重力忽略不計），將做勻速圓周運動，若勻強磁場區(qū)域有邊界，將是一段不完整的圓周運動。

二、帶電粒子在有界勻強磁場中運動問題的解題思路

先確定圓心。一般方法為：①已知入射方向和出射方向時，過入射點和出射點做垂直于速度方向的直線，兩條直線的交點就是圓弧軌跡的圓心；②已知入射點位置及入射時速度方向和出射點的位置時，可以通過入射點做入射方向的垂線，連接入射點和出射點，做其中垂線，這兩條垂線的交點就是圓弧軌跡的圓心。

再畫軌跡。先用圓規(guī)準確畫出粒子做勻速圓周運動的一個完整的圓周，再觀察在有界磁場的這段圓弧，這樣容易尋找?guī)缀侮P系。

然后求半徑。①用幾何關系，有時需添加必要的輔助線；②利用粒子在勻強磁場做勻速圓周運動軌道半徑公式求：。

最后求運動時間。設粒子在磁場中運動一周的時間為，即，粒子運動的圓弧所對應的圓心角為，其運動時間可表示為：

三、勻強磁場區(qū)域邊界類型

（一）直線邊界

1. 單邊界（進出磁場具有對稱性，如圖1所示）。

圖1

2. 雙邊界（存在臨界條件，如圖2所示）。

圖2

（二）圓形邊界

1. 沿圓形區(qū)域徑向射入的帶電粒子，必沿徑向射出（如圖3所示）。

2. 帶電粒子從圓與某直徑的一個交點射入磁場則從該直徑與圓的另一交點射出時，磁場區(qū)域最?。粠щ娏Ｗ愚D(zhuǎn)過的圓心角最大；粒子的運動時間最長（如圖4所示）。

圖3 圖4

四、典型例題分析

例1：（2017全國卷Ⅲ·24）如圖5，空間存在方向垂直于紙面（平面）向里的磁場.在區(qū)域，磁感應強度的大小為；區(qū)域磁感應強度的大小為（常數(shù)）.一質(zhì)量為、電荷量為（）的帶電粒子以速度從坐標原點O沿軸正向射入磁場，此時開始計時，當粒子的速度方向再次沿軸正向時，求（不計重力）：

（1）粒子運動的時間；

（2）粒子與O點之間的距離.

圖5 圖6

解析：（1）粒子在區(qū)域運動了半個圓周后，速度方向垂直y軸正向，之后進入?yún)^(qū)域再運動半個圓周，速度方向再次沿軸正向.

在區(qū)域運動時間.

區(qū)域運動時間.

所以粒子運動的時間.

（2）粒子第一次到達y軸時離O的距離點.

再次到達y軸時，.

所以粒子與O點之間的距離.

【思路點撥】解答本題應把握以下兩點：

（1）熟練運用兩個重要結(jié)論： .

（2）兩次到達y軸的位置關系。

例2：（2010全國卷Ⅰ·26）如圖7，在區(qū)域內(nèi)存在與平面垂直的勻強磁場，磁感應強度的大小為.在時刻，一位于坐標原點的粒子源在平面內(nèi)發(fā)射出大量同種帶電粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向與y軸正方向的夾角分布在0～180°范圍內(nèi).已知沿y軸正方向發(fā)射的粒子在時刻剛好從磁場邊界上點離開磁場.求：

（1）粒子在磁場中做圓周運動的半徑R及粒子的比荷；

（2）此時刻仍在磁場中的粒子的初速度方向與y軸正方向夾角的取值范圍；

（3）從粒子發(fā)射到全部粒子離開磁場所用的時間.

圖7

解析：由題知沿y軸正方向發(fā)射的粒子從磁場邊界上點離開磁場，利用圓規(guī)可做出其軌跡圖像如圖8，由于粒子速度方向在0～180°范圍內(nèi)，其他方向的軌跡可以通過旋轉(zhuǎn)第一個圓得到（O點為旋轉(zhuǎn)點），如圖9所示；從圖中可明顯發(fā)現(xiàn)第（2）問與第（3）問所涉及的粒子軌跡所在位置，利用幾何關系便可解答此題。

圖8 圖9

（1）初速度與y軸正方向平行的粒子在磁場中的運動軌跡如圖10中的弧OP所示，其圓心為C.由題給條件結(jié)合幾何關系可得：

①

②

此粒子飛出磁場所用的時間為 ③

又由周期公式 ④

聯(lián)立③④式，得 ⑤

（2）同一時刻仍在磁場內(nèi)的粒子到O點距離必相同.在t0時刻仍在磁場中的粒子應位于以O點為圓心、為半徑的弧上，如圖10所示.

設此時位于P、M、N三點的粒子的初速度分別為、、。由對稱性可知與OP、與OM、與ON的夾角均為.設、與y軸正向的夾角分別為M、N，由幾何關系有：M= ⑥ N= ⑦

對于所有此時仍在磁場中的粒子，其初速度與y軸正方向所成的夾角應滿足： ⑧

圖10 圖11

（3）在磁場中飛行時間最長的粒子轉(zhuǎn)過圓心角必最大，其運動軌跡應與磁場右邊界相切，其軌跡如圖11所示.由幾何關系可知， ⑨，由對稱性可知，，從粒子發(fā)射到全部粒子飛出磁場所用的時間 ⑩

【思路撥點】解答本題應把握以下三點：

（1）所有粒子運動的軌跡半徑相同；

（2）把粒子運動的各種情形畫出來進行比較分析，O點為旋轉(zhuǎn)點的一系列旋轉(zhuǎn)圓，這樣容易尋找規(guī)律；

（3）粒子在磁場中的運動時間與圓弧長度成正比，即與轉(zhuǎn)過的圓心角成正比。

例3：如圖12所示，相距為R的兩塊平行金屬板M、N正對著放置，S1、S1、S2分別為M、N板上的小孔，S1、S2、O三點共線，它們的連線垂直M、N，且.以O為圓心、R為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)存在磁感應強度為B、方向垂直紙面向外的勻強磁場.D為收集板，板上各點到O點的距離以及板兩端點的距離都為，板兩端點的連線垂直M、N板。質(zhì)量為、帶電量為的粒子，經(jīng)S1進入M、N之間的電場后，通過S2進入磁場。粒子在處的速度和粒子所受的重力均不計。當M、N之間的電壓不同時，粒子從S1到打在D上經(jīng)歷的時間t會不同，求t的最小值。

圖12 圖13

解析：M、N之間的電壓越大，粒子進入磁場時的速度越大，粒子在極板之間經(jīng)歷的時間越短，同時在磁場中運動軌跡的半徑越大，轉(zhuǎn)過的圓心角就越小，在磁場中運動的時間也會越短，出磁場后勻速運動的時間也越短.所以當粒子打在收集板D的右端時，對應時間t最短。

粒子進入磁場后在洛倫茲力作用下做勻速圓周運動，有

由幾何關系得粒子做勻速圓周運動的軌道半徑.

粒子在電場中運動時間.

在磁場中運動時間.

出磁場后勻速直線運動的時間.

因此，整個運動的最短時間.

【思路點撥】解答本題應把握以下兩點：

（1）一個重要結(jié)論：帶電粒子沿徑向射入圓形磁場區(qū)域，則一定沿徑向從磁場區(qū)域中射出。

（2）判斷什么情況粒子運動時間最短，打在收集板上的哪一位置。