朱 偉 戴志明 劉曉飛 沈惠平 朱小蓉 何寶祥

常州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，常州， 213164

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一種新型弱耦合三平移并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)及其運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

朱 偉 戴志明 劉曉飛 沈惠平 朱小蓉 何寶祥

常州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，常州， 213164

提出一種弱耦合2RRPaR+PPaP三平移操作機(jī)器人機(jī)構(gòu)，分析了機(jī)構(gòu)的自由度及拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)特征；推導(dǎo)了機(jī)構(gòu)的正逆解方程以及速度、加速度模型，根據(jù)速度雅可比矩陣，分析了機(jī)構(gòu)的奇異位置；根據(jù)機(jī)構(gòu)的逆解方程和主要約束，采用三維極坐標(biāo)邊界搜索法繪制了機(jī)構(gòu)的工作空間三維實(shí)體圖和截面圖；由ADAMS三維模型仿真和運(yùn)動(dòng)正解方程計(jì)算所得的位移、速度、加速度曲線基本一致，驗(yàn)證了運(yùn)動(dòng)方程的正確性。該機(jī)構(gòu)解耦性好、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、運(yùn)動(dòng)靈活，在縱向移動(dòng)方向上具有部分解耦和工作空間大的優(yōu)點(diǎn)，適合用作生產(chǎn)線自動(dòng)操作手機(jī)構(gòu)。

弱耦合；并聯(lián)機(jī)械；三平移；運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

0 引言

在食品加工、零件裝配、醫(yī)藥生產(chǎn)等輕工行業(yè)生產(chǎn)線中，普遍存在著諸如分揀、拾取以及貼標(biāo)等大量重復(fù)性工作，通常需要高效、快速的自動(dòng)化機(jī)械手代替人工進(jìn)行操作。這類機(jī)械手通常要求具備速度快、精度高、操作靈活等特點(diǎn)，同時(shí)，在沿輸送帶運(yùn)動(dòng)方向上，機(jī)械手的移動(dòng)速度應(yīng)比其他方向更快、工作空間更大[1]。

目前，用于生產(chǎn)線操作的并聯(lián)機(jī)器人大多采用對(duì)稱型三平移機(jī)構(gòu)，其中最具代表性的當(dāng)屬CLAVEL[2]發(fā)明的Delta機(jī)器人，該機(jī)械手采用三條對(duì)稱布置的球面平行四邊形結(jié)構(gòu)混合支鏈R-(SS)2，末端執(zhí)行器可實(shí)現(xiàn)高速三維平移運(yùn)動(dòng)。KRUT等[3]和NABAT等[4]發(fā)明的由4條R-(SS)2混合支鏈構(gòu)成的I4機(jī)構(gòu)和Par4，黃田等[5]發(fā)明的由4條R-R-(RR)2-R混合支鏈構(gòu)成的CrossⅣ機(jī)構(gòu)，均可實(shí)現(xiàn)三平移一轉(zhuǎn)動(dòng)高速運(yùn)動(dòng)。近年來，出現(xiàn)了多種對(duì)稱型三平移并聯(lián)機(jī)構(gòu)，如3-PUU、3-RRC[6-7]、3-UPU[6]、3-RRRPa[8](R表示轉(zhuǎn)動(dòng)副，P表示移動(dòng)副，Pa表示4R平行四邊形機(jī)構(gòu)，C表示圓柱副)等拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)形式，這類機(jī)構(gòu)對(duì)稱性好、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、運(yùn)動(dòng)靈活，但也存在耦合性強(qiáng)、控制復(fù)雜等問題。而完全解耦的三平移并聯(lián)機(jī)構(gòu)種類較少，目前只有3-CPR[8]、3-PRRR[9]、3-PRR[10]等少數(shù)對(duì)稱構(gòu)型，但在高速運(yùn)動(dòng)操作方面并沒有特別的優(yōu)勢(shì)。

根據(jù)前述生產(chǎn)線操作的具體特點(diǎn)，本文采用R-R-(RR)2-R混合支鏈設(shè)計(jì)一種新型弱耦合平面對(duì)稱型三平移高速機(jī)器人機(jī)構(gòu)，通過建立機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程并分析其工作空間、奇異位形等運(yùn)動(dòng)學(xué)性能，為機(jī)器人結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)及工程應(yīng)用提供理論基礎(chǔ)。

1 機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)與拓?fù)浞治?/h2>

設(shè)計(jì)2RRPaR+PPaP(下劃線表示驅(qū)動(dòng)副)三平移抓放機(jī)械手三維模型如圖1所示。動(dòng)靜平臺(tái)由3條主動(dòng)支鏈連接，其中2條平面對(duì)稱支鏈為RRPaR結(jié)構(gòu)，支鏈轉(zhuǎn)動(dòng)副由電機(jī)驅(qū)動(dòng)；中間支鏈為PPaP結(jié)構(gòu)，上移動(dòng)副通過同步帶驅(qū)動(dòng)，可實(shí)現(xiàn)機(jī)械手沿運(yùn)輸帶縱向移動(dòng)。

圖1 三維模型Fig.1 3D model of the robot

機(jī)構(gòu)原理簡(jiǎn)圖見圖2。在中間支鏈上移動(dòng)副中心O點(diǎn)(初始位置和定平臺(tái)中心重合)建立笛卡兒坐標(biāo)系Oxyz，x軸平行于OA1方向，z軸豎直向上，根據(jù)右手定則確定y軸沿中間移動(dòng)副導(dǎo)路方向。2條RRPaR對(duì)稱支鏈中，Ai、Bi、Ci(i=1，2)處的轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線均平行于y軸方向，4R平行四邊形(Pa)中的R副軸線與Ci點(diǎn)處的轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線垂直，該支鏈末端構(gòu)件可實(shí)現(xiàn)三平移一轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)。中間支鏈中，O點(diǎn)處移動(dòng)副軸線沿y軸方向，E點(diǎn)處移動(dòng)副平行于z軸，4R平行四邊形中的R副軸線垂直于xz平面，該支鏈末端可實(shí)現(xiàn)三平移運(yùn)動(dòng)。

圖2 機(jī)構(gòu)原理圖Fig.2 Schematic diagram of mechanism

根據(jù)方位特征理論[11]，機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)中心P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)輸出方位特征(POC)集為

式中，ν為機(jī)構(gòu)的回路數(shù)，ν=2;t、r分別為移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)特征;Mbj為第j條支路末端構(gòu)件的POC集。

可見，該機(jī)構(gòu)可實(shí)現(xiàn)三平移運(yùn)動(dòng)輸出，其運(yùn)動(dòng)特征取決于中間支鏈，這種支鏈稱為恰約束支鏈[12-13]或方位特征支鏈[14]。另外，根據(jù)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)特征，機(jī)構(gòu)沿y軸方向的移動(dòng)取決于中間支鏈的驅(qū)動(dòng)副移動(dòng)范圍，不受2條RRPaR支鏈的影響，因此該機(jī)構(gòu)具有部分解耦的特點(diǎn)。

2 機(jī)構(gòu)位置分析

2.1 位置逆解

根據(jù)圖2中建立的坐標(biāo)系，設(shè)2條對(duì)稱支鏈RRPaR的驅(qū)動(dòng)桿AiCi與x軸夾角分別為θ1、θ2，OAi和PBi的長(zhǎng)度分別為a、b，l1、l2分別為AiCi桿和BiCi桿的長(zhǎng)度。中間支鏈沿y軸的位移為s，動(dòng)平臺(tái)中心P點(diǎn)坐標(biāo)為(xP,yP,zP)T，A1、A2點(diǎn)的位置坐標(biāo)分別為A1=(a,0,0)T，A2=(-a,0,0)T，則Bi點(diǎn)、Ci點(diǎn)的坐標(biāo)分別表示為

根據(jù)BiCi桿桿長(zhǎng)約束條件

‖Ci-Bi‖=l2

(1)

可得運(yùn)動(dòng)方程為

(2)

根據(jù)式(2)，整理可得

Gi1sinθi+Gi2cosθi+Gi3=0i=1,2

(3)

G11=2(a-b-xP)2l11G12=-2l2zP

G21=2(a-b+xP)2l21G22=-2l21zP

由此可求解機(jī)構(gòu)的逆解方程為

(4)

2.2 位置正解

已知支鏈驅(qū)動(dòng)桿輸入分別為θ1、θ2，中間支鏈沿y軸位移為s，則式(2)可轉(zhuǎn)化為如下形式：

(5)

i=1,2

E1=b-a-l1cosθ1E2=a-b+l1cosθ2

Fi=l1sinθi

由于式(5)為二元二次方程組，可求得機(jī)構(gòu)的正解方程如下：

(6)

該機(jī)構(gòu)由于耦合度低，故可以求得正解的連續(xù)方程，且x、z方向的運(yùn)動(dòng)只與機(jī)構(gòu)支鏈的輸入角度有關(guān)，y方向的運(yùn)動(dòng)只取決于中間支鏈的移動(dòng)，均有利于機(jī)構(gòu)的軌跡規(guī)劃與控制程序的簡(jiǎn)化。

3 速度、加速度分析

3.1 速度分析

式(2)兩邊同時(shí)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，整理后，可得速度方程：

(7)

Jq11=1

Jq22=(xP-a+b-l1cosθ1)l1sinθ1+
(zP-l1sinθ1)l1cosθ1

Jq33=(xP+a-b+l1cosθ2)l1sinθ2+
(zP-l1sinθ2)l1cosθ2

若JX非奇異，則

(8)

J=(JX)-1Jq

式中，J為機(jī)構(gòu)雅可比矩陣。

若Jq非奇異，則

(9)

J-1=(Jq)-1JX

式(8)、式(9)分別為機(jī)構(gòu)速度的正反解方程。

3.2 加速度分析

對(duì)式(7)兩邊求導(dǎo)，整理得

(10)

若JX非奇異，則

(11)

若Jq非奇異，則

(12)

式(11)、式(12)分別為機(jī)構(gòu)加速度的正反解方程。

4 奇異分析

機(jī)構(gòu)的奇異狀態(tài)可通過速度雅可比矩陣JX和Jq進(jìn)行判斷。

4.1 逆解奇異

機(jī)構(gòu)逆解奇異發(fā)生的條件為

(13)

根據(jù)式(7)，對(duì)應(yīng)Jq22=0或Jq33=0，整理后得

(14)

或

(15)

由式(14)對(duì)應(yīng)的機(jī)構(gòu)平面位置如圖3a所示，此時(shí)，B2C2與B1B2共線；當(dāng)式(14)、式(15)均滿足，則機(jī)構(gòu)平面位置如圖3b所示，B2C2、B1B2、B1C1均共線，此時(shí)，機(jī)構(gòu)無法承受豎直方向的載荷，從而失去控制。由圖3結(jié)構(gòu)可知，當(dāng)l1>l2時(shí)，有可能發(fā)生這種奇異，若要避免這種奇異，設(shè)計(jì)時(shí)要使l1

(a)滿足式(14)的機(jī)構(gòu)平面位置

(b)滿足式(14)、式(15)的機(jī)構(gòu)平面位置圖3 逆解奇異Fig.3 Singular of inverse solution

4.2 正解奇異

機(jī)構(gòu)正解奇異發(fā)生的條件為

(16)

根據(jù)式(16)整理后可得

(xP-b+a)sinθ2+zPcosθ2=0

(17)

式(17)化簡(jiǎn)、整理后可得

(18)

此時(shí)機(jī)構(gòu)到達(dá)工作空間邊緣位置，AiCi與BiCi拉直共線(圖4a)或重疊共線(圖4b)。

當(dāng)det(JX)=0，det(Jq)=0時(shí)，則可能出現(xiàn)正解奇異和反解奇異的混合情況，稱為混合奇異。此外，為了描述方便，文中僅將RRPaR支鏈中平行四邊形簡(jiǎn)化為BiCi桿進(jìn)行分析，而平行四邊形閉合支鏈本身也會(huì)出現(xiàn)奇異位形，文獻(xiàn)[15]對(duì)此作了詳細(xì)描述，這里不再贅述。

5 工作空間分析

工作空間的約束包括桿長(zhǎng)約束和角度約束。

(a)AiCi與BiCi拉直共線

(b)AiCi與BiCi重疊共線圖4 正解奇異Fig.4 Singular of forward solution

本機(jī)構(gòu)主要包括驅(qū)動(dòng)角度約束和移動(dòng)桿長(zhǎng)約束，約束條件可以表示為

(19)

qmax=l2cosαi

式中，θmax、θmin為驅(qū)動(dòng)角最大值、最小值；qmax為沿y軸移動(dòng)的單向最大距離；αi為支鏈中平行四邊形所夾銳角。

考慮到中間支鏈對(duì)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的約束，根據(jù)OE桿長(zhǎng)約束條件，可得

(20)

式中，l3為OE桿桿長(zhǎng)；l4為PE桿桿長(zhǎng)。

由于生產(chǎn)線中沿運(yùn)輸帶方向(即沿y軸方向)需要較大的工作空間，盡管沿y軸方向的移動(dòng)具有解耦性，但根據(jù)式(19)，其移動(dòng)范圍s受到l2長(zhǎng)度的限制，因此BiCi桿長(zhǎng)應(yīng)取較大值。同時(shí)考慮機(jī)構(gòu)的對(duì)稱性以及轉(zhuǎn)動(dòng)副的實(shí)際運(yùn)動(dòng)能力，設(shè)定機(jī)構(gòu)的幾何參數(shù)如表1所示。選擇動(dòng)平臺(tái)中心P點(diǎn)作為參考點(diǎn)，根據(jù)機(jī)構(gòu)的有效可達(dá)空間，搜索高度h區(qū)間設(shè)定為[0, -800] mm。

表1 機(jī)構(gòu)參數(shù)

通過極坐標(biāo)搜索法對(duì)機(jī)構(gòu)工作空間進(jìn)行搜索，所得工作空間如圖5所示。圖5a為三維工作空間實(shí)體圖，顯示本機(jī)構(gòu)可達(dá)工作空間范圍較大，連續(xù)性較好。由于機(jī)構(gòu)的兩條RRPaR支鏈對(duì)稱布置，因此工作空間形狀是一個(gè)關(guān)于xz平面完全對(duì)稱的空間體，投影如圖5b、圖5c、圖5d所示。對(duì)工作空間圖形沿y軸方向進(jìn)行剖層分析，當(dāng)y=0時(shí)，截面圖顯示無空洞，如圖5e所示。隨著y軸沿正方向移動(dòng)，截面形狀向x軸兩端以及z軸正方向擴(kuò)大，可見機(jī)構(gòu)的工作空間連續(xù)性良好，表示在此平面內(nèi)，動(dòng)平臺(tái)參考點(diǎn)P可到達(dá)該平面范圍內(nèi)的任意位置，如圖5f所示。當(dāng)y=300 mm以上時(shí)，機(jī)構(gòu)z軸方向上可達(dá)最低點(diǎn)明顯上升，表面工作空間到達(dá)極限位置，圖形開始逐步收斂，如圖5g、圖5h所示。機(jī)構(gòu)在y軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)空間形狀與正方向一致，關(guān)于xz平面對(duì)稱。

(a)三維圖 (b)xy投影圖

(c)xz投影圖 (d)yz投影圖

(e)y=0 (f) y=200 mm

(g)y=300 mm (h)y=450 mm圖5 工作空間Fig.5 Workspace of the mechanism

可見，機(jī)構(gòu)的工作空間在所給定參數(shù)范圍內(nèi)具有良好的連續(xù)性，沿y軸方向的工作空間主要取決于l2及沿y軸移動(dòng)的距離，l2越大，工作空間越大，且該機(jī)構(gòu)的工作空間具有良好的對(duì)稱性。

6 模型求解與驗(yàn)證

設(shè)定機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示，驅(qū)動(dòng)輸入按下式給定的函數(shù)：

(21)

根據(jù)上述運(yùn)動(dòng)正解方程(式(6)、式(8)、式(11))，采用MATLAB編程分別求解位移、速度、加速度曲線。為了驗(yàn)證運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型的正確性，采用同樣參數(shù)在ADAMS環(huán)境中建立機(jī)構(gòu)的三維仿真模型。

由于沿y軸方向的輸入s是解耦的，對(duì)其他方向的運(yùn)動(dòng)不產(chǎn)生影響，因此這里只繪制了x軸、z軸方向運(yùn)動(dòng)輸出曲線。經(jīng)仿真，可得機(jī)構(gòu)位置正解的運(yùn)動(dòng)曲線如圖6所示。圖6a、圖6b分別為x軸、z軸方向的位移曲線，圖6c、圖6d為速度曲線，圖6e、圖6f為加速度曲線。圖中，實(shí)線表示由ADAMS三維模型所得的運(yùn)動(dòng)曲線，而虛線表示由上述推導(dǎo)的機(jī)構(gòu)正解運(yùn)動(dòng)方程所得曲線。由圖6可知，兩者所得運(yùn)動(dòng)曲線基本一致，從而驗(yàn)證了上述所建立的位移、速度、加速度運(yùn)動(dòng)正解方程的正確性。

7 結(jié)論

(1)根據(jù)生產(chǎn)線用操作手的工作特點(diǎn)，設(shè)計(jì)了一種2-RRPaR+PPaP三平移弱耦合并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)，該機(jī)構(gòu)具有對(duì)稱性好、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、控制方便、運(yùn)動(dòng)靈活快速的特點(diǎn)。

(2)以機(jī)構(gòu)桿長(zhǎng)為約束條件，建立了機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)正反解方程。根據(jù)速度雅可比矩陣，分析了機(jī)構(gòu)的正解奇異和反解奇異情況，為機(jī)構(gòu)參數(shù)設(shè)計(jì)提供了參考。

(3)采用極坐標(biāo)搜索法，繪制了機(jī)構(gòu)工作空間的三維圖形及其剖層圖，表明機(jī)構(gòu)的工作空間連續(xù)，沿y軸方向具有較大的工作空間，滿足生產(chǎn)線工作的實(shí)際需求。

(a)動(dòng)平臺(tái)沿x軸方向位移

(b)動(dòng)平臺(tái)沿z軸方向位移

(c)動(dòng)平臺(tái)沿x軸方向速度

(d)動(dòng)平臺(tái)沿z軸方向速度

(e)動(dòng)平臺(tái)沿x軸方向加速度

(f)動(dòng)平臺(tái)沿z軸方向加速度圖6 運(yùn)動(dòng)學(xué)分析曲線Fig.6 Curves of kinematics analysis

(4)分別根據(jù)運(yùn)動(dòng)方程和三維仿真模型繪制了機(jī)構(gòu)的位移、速度、加速度曲線，二者高度接近，表明了所建立的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的正確性。

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(編輯 王艷麗)

A Novel Weak-coupling Three-translation Parallel Robot Mechanisms and Its Kinematics Analysis

ZHU Wei DAI Zhiming LIU Xiaofei SHEN Huiping ZHU Xiaorong HE Baoxiang

School of Mechanical Engineering, Changzhou University, Changzhou,Jiangsu,213016

A weak-coupling three-translation parallel robot mechanisms was introduced, which was composed of two RRPaR branches and one PPaP. Firstly, the topological structural characteristics and DOF of the mechanism were analyzed through POC(position and orientation characteristics) theory. Secondly, the forward and inverse solutions of the mechanism and the model of velocity and acceleration were derived. Based on the speed Jacobi matrix, the singular positions of the mechanism were analyzed. According to the inverse solution equations and the main constraints of the mechanism, 3D polar boundary search method was used to draw the 3D solid and sectional drawings of the mechanism. The displacement, velocity and acceleration curves obtained from the solid model and mathematical model were basically consistent, which verified the correctness of the motion equations. The mechanism has the advantages of good decoupling performance, simple structure and flexible movement, and has the advantages of partial decoupling and large working spaces in the longitudinal direction of movement, and is suitable for the automatic operations of the automata structures for production lines.

weak-coupling; parallel mechanism; three-translation; kinematics analysis

2016-07-15

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目 (51075045)；江蘇省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(BK20161192)；江蘇省產(chǎn)學(xué)研前瞻項(xiàng)目(BY2015027-24)

TH112

10.3969/j.issn.1004-132X.2017.13.008

朱 偉，男，1976年生。常州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院副教授。主要研究方向?yàn)闄C(jī)器人機(jī)構(gòu)學(xué)。E-mail:80498761@qq.com。戴志明，男，1990年生。常州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院碩士研究生。劉曉飛，男，1990年生。常州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院碩士研究生。沈惠平，男，1964年生。常州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院教授。朱小蓉，女，1972年生。常州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院副教授。何寶祥，男，1966年生。常州大學(xué)信息工程學(xué)院教授。