吉丹俊

（1.江蘇聯(lián)合職業(yè)技術學院揚州分院，江蘇揚州 225003；2.南京航空航天大學經(jīng)濟與管理學院，南京 210016）

斷點回歸設計國內(nèi)外研究綜述

吉丹俊1，2

（1.江蘇聯(lián)合職業(yè)技術學院揚州分院，江蘇揚州 225003；2.南京航空航天大學經(jīng)濟與管理學院，南京 210016）

和其他因果分析方法相比，學術界普遍認為運用斷點回歸設計更接近準自然實驗，估計的結果更加準確，因此近年來越來越多的實證文獻依賴斷點回歸設計進行政策效應評估。文章主要按照模型設定、估計方法、相關實證研究這三個方面對國內(nèi)外相關理論和文獻進行述評，呈現(xiàn)斷點回歸設計完整的理論框架和應用領域，旨在為國內(nèi)相關研究者提供借鑒。

斷點回歸設計;處理效應;準自然實驗

因果分析與政策效應評估是經(jīng)濟分析最為關注的核心問題[1]，運用計量模型進行因果分析的難點在于如何避免模型的內(nèi)生性問題。針對這一問題，微觀計量領域的學者們通過不斷探索，借助于心理學和醫(yī)學研究中準自然實驗（quasiexperiment）的思想評估不同政策的處理效應，試圖獲得一致（consistent）或者無偏（unbiased）估計量。常見的通過準自然實驗思想估計處理相應的模型有：工具變量（Instrumental variables）、匹配和加權估計法（matching and reweighting）、倍差法（difference-in-difference）和斷點回歸設計（regression discontinuity design）[2]。和其他方法相比，學術界普遍認為運用斷點回歸設計更接近準自然實驗，估計的結果更加準確。因此，近年來越來越多的實證文獻依賴斷點回歸設計進行政策效應評估。

Thistlethwaite、Campbell于1960年首次提出使用斷點回歸設計研究處理效應，在該文中他們的目的是研究獎學金對于未來學業(yè)的影響，學生是否獲得獎學金取決于考試的分數(shù)。如果考試分數(shù)大于獲獎標準分數(shù)，則進入處理組；如果考試分數(shù)小于獲獎標準分數(shù)，則進入控制組。因此處理變量在獲獎標準分數(shù)處形成了一個斷點，該研究設計的主要思想是可以利用靠近這一斷點附近的樣本來有效估計處理效應[3]。此后30年，該方法并未引起學術界的重視，直到1990年以后，斷點回歸設計開始被應用于各種領域，并且近年來成為因果分析和政策評估領域最重要的研究方法。

本文將按照模型設定、估計方法、相關實證研究這三個方面對國內(nèi)外相關理論和文獻進行述評，呈現(xiàn)斷點回歸設計完整的理論框架和應用領域，旨在為國內(nèi)相關研究者提供借鑒。

一、模型設定

斷點回歸設計是一種準自然實驗，其基本思想是存在一個連續(xù)變量，該變量能決定個體在某一臨界點兩側接受政策干預的概率，由于X在該臨界點兩側是連續(xù)的，因此個體針對X的取值落入該臨界點任意一側是隨機發(fā)生的，即不存在人為操控使得個體落入某一側的概率更大，則在臨界值附近構成了一個準自然實驗。一般將該連續(xù)變量X稱為分組變量（assignment variable）①。按照在斷點處個體得到處理效應概率的變化特征可以分為兩種類型：一種類型是精確斷點回歸設計（sharp regression discontinuity design，以下簡稱SRD），其特征是在斷點（也就是上面所說的臨界點）X=c處，個體接受政策干預的概率從0跳躍到1；另一種是模糊斷點回歸設計（fuzzy regression discontinuity，以下簡稱FRD），其特征是在斷點X= c處，個體接受政策干預的概率從a變?yōu)閎，其中a≠b。

（一）精確斷點回歸設計

假設虛擬變量D表示個體是否接受了政策干預，則在精確斷點回歸設計中：

式（1）表示當個體的分組變量取值大于或等于臨界值c時，個體強制獲得政策干預即處理效應，而當分組變量小于c時，個體則強制進入控制組，即不能獲得政策干預[4]。變量D也被稱作處理變量。對于位于斷點兩側的個體應滿足（2）式：

這意味著（3）式成立：

因此，在精確斷點回歸設計情形下，可以通過估計在斷點處的平均處理效應來測算政策干預對于結果變量的影響程度，如（4）式：

在式（4）中，Yi表示結果變量，τSRD即表示精確斷點回歸設計情形下的平均處理效應。

（二）模糊斷點回歸設計

在模糊斷點回歸設計情形下，個體在斷點處接受政策干預的概率不需要從0跳躍到1，只需要有一個小的跳躍即可，即滿足（5）式：

此時，個體的平均處理效應如（6）式：

式（6）中，分子就是精確斷點回歸設計的平均處理效應，而分母為個體獲得政策干預的概率在斷點c處的跳躍。因此，對于該式的分子，可用精確斷點回歸設計的估計方法來估計分子，對于分母，形式上與分子一致，也可用精確斷點回歸設計來估計，只要將結果變量Y替換為處理變量D即可[5]。

二、估計方法

對于斷點設計回歸模型可以采用參數(shù)化方法和非參數(shù)化方法估計出上述中的τSRD和τFRD。然而在進行估計之前，應該通過圖形的形式展示出結果變量（Y）和分組變量（X）之間的關系，呈現(xiàn)出結果變量在斷點處的跳躍，這也是斷點回歸設計和其他回歸模型相比所具有的特定優(yōu)勢——透明性[6]。此外，在對平均處理效應進行估計之前或估計時，還需要對斷點回歸設計的一些關鍵假設進行檢驗：（1）△D（X=c）≠0②，也就是檢驗處理變量在斷點c處是否存在跳躍；（2）△D（X≠c）=0以及△Y （X≠c）=0，檢驗處理變量D和結果變量Y在斷點以外的其他點不存在跳躍；（3）△W（X=c）=0，W代表影響結果變量的控制變量，該檢驗表示檢驗控制變量在斷點處不存在跳躍；（4）△f（X=c）=0，f代表概率密度函數(shù)，該檢驗表示檢驗分組變量在斷點處的概率密度函數(shù)是連續(xù)的，也就是在斷點附近，個體不能操控X的取值，個體落入斷點的左側或右側是隨機發(fā)生的；（5）τSRD≠0或者τFRD≠0，檢驗平均處理效應不等于0[7]。下面將分別介紹精確斷點回歸設計和模糊斷點回歸設計的估計方法。

（一）精確斷點回歸設計估計方法

精確斷點回歸設計可以使用非參數(shù)化方法和參數(shù)化方法對平均處理效應系數(shù)進行估計，非參數(shù)化方法主要是指局部線性回歸方法（local linear regression）,而參數(shù)化方法主要是指局部多項式回歸（local polynomial regression）。

局部線性回歸方法相當于求解矩估計問題：

式（7）中，h代表帶寬（bandwidth），這樣就將觀察值限定在距離斷點距離均為h的左右兩側，通過式（7）估計出的τ值即為精確斷點回歸設計的平均處理效應。在局部線性回歸中，選取合適的帶寬是至關重要的，帶寬的選擇是在準確和偏差之間進行權衡。一方面，如果帶寬選擇很大則可供估計的觀察值越多，這將使得估計結果更準確，但是平均處理效應估計值的偏差將越大；另一方面，如果帶寬選擇很小，準確性降低但偏差減小[6]。

局部多項式回歸相當于如下回歸方程：

式（8）中，f（Yi-c）表示關于（Xi-c）的多項式，可以是一次、兩次、三次甚至更高階，可以采取不同的多項式形式對式（8）進行估計，比較不同回歸方程形式下τ的估計結果，進而檢驗估計結果的穩(wěn)健性，常用的f（Xi-c）有如下一些形式[8]：

1）線性型f（Xi-c）=Xi-c

2）線性交互型f（Xi-c）=Xi-c+Di·（Xi-c）

3）二次型f（Xi-c）=Xi-c+（Xi-c）2

4）二次交互型f（Xi-c）=Xi-c+（Xi-c）2+Di·（Xic）+Di·（Xi-c）2

其他階數(shù)的多項式形式以此類推。

在局部多項式回歸中一個關鍵的問題是多項式階數(shù)的選擇，相關討論詳見Lee和Lemieuxa[6]、Gelman和Imbens[9]等人的研究成果。

（二）模糊斷點回歸設計估計方法

在模糊斷點回歸設計中，可以將個體接受政策干預的概率寫成如下形式[6]：

式（9）中，T=1[X≥c]表示分組變量是否大于臨界值，如果分組變量大于或等于臨界值，則T取1，否則為0，則δ衡量個體接受處理效應概率在斷點處的跳躍程度。

由于D=Pr（D=1│X=x）+ν，ν是獨立于X的隨機擾動項，因此模糊斷點回歸設計的估計問題可以用兩個回歸方程表示：

通過（10）（11）兩個回歸方程估計τ的過程類似于兩階段最小二乘法，具體的估計方法可以采用局部線性回歸法和局部多項式回歸法。

三、相關實證研究

（一）國外相關研究

自從20世紀90年代以來，國際學術界出現(xiàn)了大量運用斷點回歸設計進行實證研究的文獻，Lee、Lemieuxa等對相關實證研究進行了系統(tǒng)回顧[6]。近年來，斷點回歸設計依然是政策評估研究的重要實證方法，相關研究刊發(fā)在不同領域學術期刊上，并且在頂級學術期刊上也不斷出現(xiàn)類似的文章。由于實證研究文獻眾多，不可能一一列舉，本節(jié)主要回顧2010年以來刊登在國內(nèi)外頂級經(jīng)濟學期刊上相關文章。

Dell開創(chuàng)性地將地理邊界斷點問題引入了斷點回歸設計研究問題領域，也就是在其實證研究中分組變量為地理距離，斷點為地理邊界，他研究了16至19世紀西班牙殖民政府在秘魯某些地區(qū)實行的米塔（Mita）勞役制度對經(jīng)濟發(fā)展的影響，實證結果發(fā)現(xiàn)米塔勞役制度使得當今這些地區(qū)家庭消費水平降低25%，并使得兒童身高矮小率增加了6%[10]。Chen等學者同樣利用地理斷點回歸設計的方法研究了中國北方地區(qū)冬季集中供暖制度對當?shù)鼐用衿骄A期壽命的影響，以秦嶺和淮河為界中國的冬季集中供暖機制只覆蓋北部地區(qū)，這為建立地理斷點回歸設計研究提供了很好的現(xiàn)實基礎，這份研究發(fā)現(xiàn)空氣中總懸浮顆粒物（TSP）每上升100μg/m3，居民平均預期壽命大約減少3年，而這種集中供暖政策使得北方的空氣中TSP比南方平均水平高184μg/m3，這意味著該政策使得北方5億居民相對南方平均預期壽命大約降低5.5年，總預期壽命減少超過25億年[11]。

經(jīng)濟學學術期刊《American Economic Review》2015—2016年兩年期間刊發(fā)了6篇斷點回歸設計實證研究文章，研究的內(nèi)容涉及不同領域，這說明斷點回歸設計研究仍為重要的實證研究工具并被主流學術界所青睞，在此將對這些文獻作一回顧。

Dell研究了墨西哥的選舉和毒品犯罪問題，斷點回歸設計的結果發(fā)現(xiàn)在這些行動黨（一個保守的政黨）候選人以微弱優(yōu)勢贏得市長選舉的城市，與毒品相關的犯罪數(shù)量大量增加，這樣的實證結果可能是由于：行動黨對販毒集團大力鎮(zhèn)壓后，販毒集團為搶回勢力范圍而實施了更多犯罪[12]。Hansen研究了嚴厲的懲罰措施對于醉酒駕駛行為的影響，懲罰措施由血液中酒精濃度和以往醉駕記錄決定。斷點回歸設計結果顯示個體血液中酒精濃度超過醉駕標準臨界值使得未來四年再犯的可能性降低2%；如果超過嚴重醉駕標準臨界值則使再犯可能性進一步降低1%[13]。

Schmieder等使用精確斷點回歸設計研究了德國增加失業(yè)金領取時間對失業(yè)者再就業(yè)工資的影響，使用工具變量的方法估計局部平均處理效應，結果發(fā)現(xiàn)中年工人失業(yè)時間增加一個月會使得工資降低8%[14]。Deshpande研究了美國取消低收入年輕殘疾人享受輔助性保障收入（Supplemental Security Income，簡稱SSI）資格對其成年后收入的影響，斷點設計策略基于美國1996年一項福利制度改革：增加對18歲殘疾人的身體資格審查嚴格程度和次數(shù)，這項制度只適用于18歲生日在1996 年8月22號之后的人，因此在這一天形成了一個斷點，生日在這天之后的人被取消SSI資格的可能性會增大，實證結果發(fā)現(xiàn)被取消SSI的殘疾人只能賺回三分之一失去的SSI收入[15]。Feldman等人則研究了家庭對于他們所適用的邊際稅率是否真正理解，在美國當家庭中子女年齡超過17歲，即自動失去兒童稅收抵免（Child Tax Credit）資格，斷點設計策略基于這一現(xiàn)實。實證研究結果發(fā)現(xiàn)雖然家庭在失去兒童抵免稅資格后所面臨的稅務增加且可以預測，但是家庭在發(fā)現(xiàn)失去這一資格后會少報收入，這個發(fā)現(xiàn)說明家庭誤認為至少他們部分稅收負擔的變化是邊際稅率的增加[16]。Card研究了美國某學區(qū)實施的一項小學教育政策對學生成績的影響。2004年該學區(qū)要求所有小學在四年級和五年級將所有高智商學生單獨編在一個班級，如果該學校在這些年級至少有一個高智商學生，該政策要求這個班級的學生規(guī)模為正常規(guī)模（20~ 24人），而正常每所學校每個年級高智商學生為5~ 6個，因此這個班級還有多余的席位，該班級剩余席位將給那些在過去一年標準化測試中獲得最高分的非高智商學生。該文使用基于排序的斷點線性回歸以及通過對不同年級學生的比較研究了這一政策的實施效果，研究結果顯示這一政策使得非高智商學生在學習成績上進步顯著，特別是非洲裔和西班牙裔族群學生[17]。

上述6篇實證文章涉及的領域有犯罪經(jīng)濟學、勞動經(jīng)濟學、福利經(jīng)濟學和教育經(jīng)濟學，可以預見在未來斷點回歸設計還將被應用于更多領域進行實證研究。

（二）國內(nèi)相關研究

目前，國內(nèi)學術界也有大量文獻開始運用斷點回歸設計方法進行實證研究，一些研究出現(xiàn)在權威經(jīng)濟學期刊及其他領域期刊上。本文將對近年來國內(nèi)頂級經(jīng)濟學期刊《經(jīng)濟研究》上的4篇相關文獻進行闡述。

范子英、田彬彬基于中國17萬家制造業(yè)企業(yè)層面的數(shù)據(jù)采用斷點回歸設計的方法，在實證后發(fā)現(xiàn)地稅局對企業(yè)所得稅的執(zhí)法不力導致了大范圍的企業(yè)避稅[18]。黃新飛等人選取2011年5月至2014年5月長三角15個城市224個市場37種農(nóng)產(chǎn)品的161個周度價格及成本數(shù)據(jù)，克服數(shù)據(jù)加總偏差和樣本選擇誤差，測算了市場分割程度，在修正的實證模型基礎上運用斷點回歸方法估計了長三角地區(qū)兩省一市的邊界效應[19]。鄒紅、喻開志基于國家統(tǒng)計局城鎮(zhèn)住戶調(diào)查2000—2009年的家戶數(shù)據(jù)，利用退休制度對城鎮(zhèn)男性戶主退休決策的外生沖擊，在斷點回歸設計框架下采用工具變量參數(shù)估計法和非參數(shù)估計法，檢驗了我國是否存在退休消費驟降現(xiàn)象，并探討了原因[20]。劉生龍等人利用中國城鎮(zhèn)住戶調(diào)查數(shù)據(jù)（2007—2009年），基于斷點回歸設計方法對1986年開始實施的義務教育法對個體受教育年限及教育回報率進行實證研究[21]。

出現(xiàn)在國內(nèi)權威期刊上的實證文獻也涉及眾多領域，由于篇幅有限，不再一一回顧。同樣可以預測未來國內(nèi)將會有更多利用斷點回歸設計進行政策評估的文獻，為我國的經(jīng)濟和社會發(fā)展提供更好的政策建議。

四、結語

斷點回歸設計和其他因果效應分析模型相比更接近準自然實驗，近年來受到實證經(jīng)濟學者的青睞，大量實證研究成果見諸各類學術期刊，研究的話題涉及眾多領域。但是斷點回歸設計的使用需要滿足一定的前提條件，因此在模型建立之前需要對相關條件進行嚴格檢驗。本文按照斷點回歸設計的模型設定、估計方法、相關實證研究這三個方面對國內(nèi)外相關理論和文獻進行述評，主要目的是展示斷點回歸設計完整的理論框架，并簡要介紹相關實證研究，為國內(nèi)相關研究者進行政策效應評估提供參考。

注釋：

①也有些研究中將該變量稱為forcing variable或running variable。

②這里△表示變量在特定點的跳躍情況，下文也是如此。

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[20]鄒紅，喻開志.退休與城鎮(zhèn)家庭消費:基于斷點回歸設計的經(jīng)驗證據(jù)[J].經(jīng)濟研究，2015（1）:124-139.

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（編輯：張薛梅徐永生）

A Literature Review of Regression Discontinuity Design Researches

JI Dan-jun1，2
（1.Jiangsu Union Technical Institute,Yangzhou,225003;2.School of Economics and Management,Nanjing University of Aeronautics and Astronautics,Nanjing 210016,China）

The academic circle unanimously holds that the regression discontinuity design(RDD)is closer to the quasi-natural experiment compared with other causal inference tools,and that the estimated result is more accurate.Therefore,more and more empirical researches use RDD to do policy effect assessment.This paper mainly reviews RDD-relevant theories and literatures from the three aspects—modeling,estimating methods and empirical researches,which can shed light on future empirical researches for Chinese researchers.

regression discontinuity design;treatment effect;quasi-experiment

F 224-3

A

1671-4806（2017）03-0024-05

2017-02-28

江蘇省教育廳“青藍工程”資助

吉丹?。?983—），男，江蘇揚州人，講師，博士研究生，研究方向為能源經(jīng)濟、區(qū)域經(jīng)濟。