任亞峰 常山,2 劉更? 吳立言 趙晨晴 常樂浩

(1．西北工業(yè)大學 機電傳動與控制陜西省工程實驗室, 陜西 西安 710072;2.中船重工第七〇三研究所, 黑龍江 哈爾濱 150078;3.長安大學 道路施工技術與裝備教育部重點實驗室, 陜西 西安 710064)

齒輪-箱體-基礎耦合系統(tǒng)的振動分析*

任亞峰1常山1,2劉更1?吳立言1趙晨晴1常樂浩3

(1．西北工業(yè)大學 機電傳動與控制陜西省工程實驗室, 陜西 西安 710072;2.中船重工第七〇三研究所, 黑龍江 哈爾濱 150078;3.長安大學 道路施工技術與裝備教育部重點實驗室, 陜西 西安 710064)

建立了齒輪傳動系統(tǒng)集中質量模型,采用子結構法通過箱體有限元模型提取其集中質量參數,采用間接物理參數識別法通過基礎加速度導納提取其模態(tài)參數并轉換為集中質量參數,并根據界面協(xié)調條件建立了齒輪-箱體-基礎耦合系統(tǒng)的動力學模型.以單級斜齒輪傳動裝置為例,計算了耦合系統(tǒng)在齒輪時變嚙合剛度激勵下的齒輪動態(tài)傳遞誤差、軸承支反力及箱體振動.耦合箱體與基礎前后的系統(tǒng)動力學分析對比表明:箱體及基礎柔性對齒輪動態(tài)傳遞誤差的影響較小,而對軸承支反力波動及箱體振動的影響較大;耦合模型能更準確地反映系統(tǒng)的動態(tài)特性.

齒輪動力學;子結構法;物理參數識別;耦合振動;振動分析

齒輪系統(tǒng)的振動噪聲問題一直是業(yè)界關注的焦點.隨著齒輪箱的高速及輕量化發(fā)展,人們對其振動噪聲的要求在不斷提高.應用最廣泛的齒輪系統(tǒng)動力學模型為齒輪-轉子-軸承耦合動力學模型[1- 2],通過該模型可以獲得軸承支反力,將此激振力施加到箱體有限元/邊界元模型即可得到箱體振動及輻射噪聲[3].為獲得更準確的系統(tǒng)響應,更好地預測系統(tǒng)的振動噪聲,需要將箱體及基礎的影響計入齒輪系統(tǒng)動力學.目前已有大量研究建立了齒輪傳動系統(tǒng)與箱體的耦合模型.Takatsu等[4]采用有限元法分別獲得箱體和齒輪傳動軸系的傳遞函數,并耦合得到了齒面到箱體任意一點的傳遞函數.Abbes等[5]采用子結構模態(tài)綜合法,通過各個子結構的固有頻率及振型得到了整個系統(tǒng)的固有頻率及振型.Choy等[6]研究了齒輪箱振動對齒輪傳動系統(tǒng)動態(tài)特性的影響,結果表明箱體振動對剛性轉子系統(tǒng)的影響更大.梁明軒等[7]基于顯式有限元法建立了箱體-軸承-齒輪副三維動態(tài)接觸非線性模型.文獻[8- 9]在全耦合有限元模型中將齒輪在分度圓處簡化為圓柱體,分析了耦合系統(tǒng)的固有特性,并將外部計算激勵施加到有限元模型中,采用模態(tài)疊加法對系統(tǒng)的響應進行了分析.林騰蛟等[10]建立了齒輪減速器的剛柔混合模型.文獻[11- 13]采用子結構法提取了箱體的集中質量參數,并建立了齒輪傳動系統(tǒng)與箱體的耦合集中質量模型.蔣立冬等[14]將商用軟件MASTA與ANSYS相結合,采用子結構法建立了全耦合集中質量模型.高維金等[15]采用Craig-Bampton動力縮減法將箱體縮聚到軸承孔中心并作為柔性體子結構,建立了傳動系統(tǒng)-箱體剛柔混合模型.

雖然上述研究考慮了箱體對傳動系統(tǒng)的影響,但很少考慮到基礎柔性對齒輪系統(tǒng)的影響.由于基礎模型通常規(guī)模十分龐大或結構十分復雜,難以直接建立三維實體模型及有限元模型,而只能通過試驗測得其導納數據,上述方法也很難適用.為此,文中通過子結構法提取箱體的集中質量參數,采用間接物理參數識別法由基礎的導納參數提取其集中質量參數,并實現齒輪-箱體-基礎耦合系統(tǒng)的振動分析.

1 模型描述

文中所研究的減速器模型包含齒輪傳動系統(tǒng)、箱體及基礎三部分,如圖1所示.傳動系統(tǒng)為單級斜齒圓柱齒輪傳動,齒輪基本參數為齒數24/79、法向模數3 mm、壓力角20°、螺旋角15.09°、齒寬45 mm,輸入轉速為1 000 r/min,負載扭矩為300 N·m.箱體的輪廓尺寸為410 mm×330 mm×215 mm.基礎通常具有龐大規(guī)?；驈碗s結構且難以建立三維實體模型及有限元模型,但可以通過試驗測量導納數據,文中通過對導納進行識別獲取其物理參數.傳動系統(tǒng)與箱體通過4個滾動軸承連接,箱體與基礎通過6個螺栓連接.

圖1 齒輪-箱體-基礎耦合系統(tǒng)模型

2 動力學模型的構建

2.1 齒輪傳動系統(tǒng)的動力學模型

圖2為齒輪傳動系統(tǒng)示意圖,該傳動系統(tǒng)包括齒輪嚙合副單元、軸單元及軸承單元.

針對齒輪動力學建模已有大量的研究,文中采用線性時變嚙合剛度模型[2].齒輪嚙合副動力學模型如圖3所示.

圖2 齒輪傳動系統(tǒng)示意圖

圖3 齒輪動力學模型

根據牛頓第二定律可以列出嚙合副單元的動力學方程:

(1)

對于軸單元,采用軸段有限元法進行建模.針對每一軸段,建立2節(jié)點12自由度的Timoshenko梁單元.軸段單元的動力學方程可表示為

(2)

式中,Msh、Csh、Ksh分別為軸段單元的質量矩陣、阻尼矩陣及剛度矩陣,Fsh為軸段外載荷,xsh為軸單元節(jié)點的振動位移.

軸承采用彈簧阻尼單元描述,包含兩個節(jié)點,其動力學方程可表示為

(3)

式中,Cbr、Kbr、Fbr分別為軸承的阻尼矩陣、剛度矩陣、載荷列向量.

軸承剛度矩陣可表示為

(4)

式中,Kbr11=Kbr22=-Kbr12=-Kbr21=diag{kxx,kyy,kzz,kθxθx,kθyθy,0}，kxx、kyy、kzz、kθxθx、kθyθy分別為軸承在x、y、z、θx、θy方向的剛度.

軸承阻尼采用Rayleigh阻尼,即

Cbr=α1Kbr

(5)

式中,α1為剛度系數.

2.2 箱體的動力學模型

圖4為箱體有限元模型,材料為鋼,包含75 906個節(jié)點、315 412個四節(jié)點四面體單元.文中采用子結構法提取其集中質量參數,該方法可以大大減小箱體模型的自由度[11- 13].

圖4 箱體有限元模型

對于無阻尼的子結構系統(tǒng),可得出其動力學方程如下:

(6)

式中,M為質量矩陣,K為剛度矩陣,xm、xs、Fm、Fs、Mmm、Mss、Kmm、Kss分別為主、從節(jié)點的位移向量、載荷向量、質量矩陣、剛度矩陣，Mms、Msm、Kms、Ksm分別為主、從節(jié)點的耦合質量矩陣、耦合剛度矩陣.

將箱體看作一個子結構,通過式(6)可以獲得箱體轉換到邊界節(jié)點以后重新表示的質量矩陣MH和剛度矩陣KH[11].縮聚后的質量矩陣和剛度矩陣分別綜合了原始質量矩陣和剛度矩陣中各分塊矩陣的影響,是整體質量及結構剛度在外部節(jié)點自由度處的綜合體現.

阻尼采用Rayleigh阻尼,即

CH=α0MH+α1KH

(7)

式中，α0為質量系數.

縮聚后箱體自由度大為減小,其動力學方程可表示為

(8)

2.3 基礎的動力學模型

螺栓采用彈簧阻尼單元描述,僅考慮豎直方向的自由度，其動力學方程可表示為

(9)

式中,Cbolt為阻尼矩陣,Kbolt為剛度矩陣,Fbolt為載荷向量.

剛度矩陣可表示為

(10)

式中，kbolt為螺栓剛度.

阻尼采用Rayleigh阻尼,即

Cbolt=α1Kbolt

(11)

基礎通常規(guī)模龐大且結構復雜,難以建立其三維實體模型及有限元模型,僅能通過試驗獲得其導納(頻響函數)數據.加速度導納可由式(12)確定:

(12)

式中,Fp為節(jié)點p的激振力,Xl為節(jié)點l的位移響應.

文中采用簡支板對基礎進行模擬,僅考慮其豎直方向的自由度.在ANSYS軟件中采用Shell單元建立板的有限元模型,網格大小為5mm,材料為鋁,采用四邊簡支方式進行約束,通過有限元諧響應分析,分別在基礎各外部節(jié)點p處施加單位幅值的載荷,讀取外部節(jié)點l的響應,并根據式(12)獲得其導納參數,螺栓孔1處原點導納如圖5所示.由于文中采用導納數據進行物理參數識別,而基礎的導納通?？梢酝ㄟ^試驗測得,因此這種簡化不會喪失方法的通用性.

圖5 基礎加速度導納

通常采用導納矩陣的一列(或一行取轉置)即可完整地描述系統(tǒng)的動態(tài)特性,故可以通過導納矩陣的任意一列識別出基礎的模態(tài)參數[16].

加速度導納矩陣中的第l行、第p列元素可寫為如下有理分式多項式的形式:

(13)

式中,n=2N,m=2N-2,ai與bi可根據文獻[16]進行計算.求得分母冪基多項式后,可通過求解如下一元多次方程來計算分母多項式的零點:

(14)

固有頻率和阻尼比分別為

(15)

(16)

求出一系列導納函數的留數Alp，r[16],對這些留數進行處理可得到振型向量.對于一個有N個響應測點的結構,首先從這N個導納函數對應于同一階模態(tài)的留數中找出絕對值最大的留數,假設該點為測點m,對應于第r階模態(tài)的歸一化實振型向量的計算公式為

{φr}=(ImA1p,r，ImA2p,r，…，ImANp,r)T/ImAmp,r

(17)

模態(tài)質量及模態(tài)剛度可由下式確定:

(18)

(19)

Cr=2Mrξrωr

(20)

式中,ρr=φl,rφp,r/Alp,r，φl,r、φp,r分別為第r階模態(tài)節(jié)點l及p的振型.

識別出基礎的模態(tài)參數后即可由模態(tài)參數得到其物理參數.如果基礎螺栓孔測點個數nF等于所需擬合的模態(tài)階次r,則系統(tǒng)是完備的,此時振型矩陣是滿秩的,可以直接通過模態(tài)參數得到物理參數;如果nFr,則系統(tǒng)是不完備的,采用隨機數擴充振型矩陣的第nF-r+1列到第r列使其滿秩,并使第nF-r+1階到第r階的固有頻率遠遠超出所關心的頻帶范圍[17].當nF不等于r時,所識別的物理參數是不唯一的,但由于導納可以表示為式(21),隨機擴充的振型不會對基礎邊界節(jié)點自由度處的導納產生影響,僅影響基礎內部自由度的導納,因此不會對基礎的耦合特性產生影響.

(21)

基礎的質量矩陣、剛度矩陣及阻尼矩陣可表示為

M=Φ-Tdiag(Mr)Φ-1

(22)

K=Φ-Tdiag(Kr)Φ-1

(23)

C=Φ-Tdiag(Cr)Φ-1

(24)

式中,Φ=(φ1,φ2,…,φr).

基礎的動力學方程可表示為

(25)

式中,MF為質量矩陣,CF為阻尼矩陣,KF為剛度矩陣,FF為載荷向量.

2.4 耦合動力學模型

分別建立了齒輪副、軸、軸承、箱體、螺栓及基礎的動力學模型之后,聯(lián)立方程(1)-(3)、(8)、(9)及(25),根據界面位移協(xié)調條件及力平衡條件,可獲得整個耦合系統(tǒng)的動力學方程:

K(t)[x(t)-e(t)]=P0+FGs(t)

(26)

式中,M、C、K分別為耦合系統(tǒng)的質量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣,可以直接通過各個子系統(tǒng)的質量、阻尼及剛度矩陣按節(jié)點組裝生成.

式(26)可整理為

(27)

由于靜載荷(均值)及靜位移對系統(tǒng)振動沒有影響,因此去掉均值部分;方程(27)右端項中位移為未知量,使用靜態(tài)傳遞誤差的波動近似代替位移波動,則式(27)可表示為

ΔK[x0+Δxs-e(t)]+FGs(t)=

FGs(t)=Fe(t)+Fk(t)+FGs(t)=F(t)

(28)

采用傅里葉級數法進行求解[2],即可獲得響應Δx以及最終動態(tài)位移x(t).

文中齒輪副嚙合剛度由承載接觸模型計算,詳見文獻[2],暫忽略誤差激勵及嚙合沖擊激勵.

3 系統(tǒng)動態(tài)響應

3.1 齒輪動態(tài)傳遞誤差

求得系統(tǒng)各自由度的動態(tài)位移后,沿嚙合線方向的動態(tài)傳遞誤差為

δ=Vpqm

(29)

式中,qm為嚙合單元節(jié)點的位移列向量,qm=(xp,yp,zp,θxp,θyp,θzp,xg,yg,zg,θxg,θyg,θzg)T.

分別求得非耦合模型(僅考慮齒輪傳動系統(tǒng))與耦合模型(齒輪傳動系統(tǒng)-箱體-基礎耦合模型)的動態(tài)傳遞誤差,如圖6所示.由圖可知,非耦合模型與耦合模型的動態(tài)傳遞誤差波動量均為0.28 μm,均方根均為0.11 μm,幾乎沒有差異,說明箱體及基礎柔性對齒輪動態(tài)傳遞誤差的影響很小.

圖6 非耦合模型和耦合模型的動態(tài)傳遞誤差

Fig.6 Dynamic transmission errors of uncoupled model and coupled model

3.2 軸承支反力

軸承支反力可由式(3)進行計算.分別計算非耦合模型與耦合模型的軸承支反力,其中軸承1的x方向及y方向的支反力波動如圖7所示.

由圖7(a)可知,耦合箱體及基礎之后,軸承1在x方向的振動加劇了,非耦合模型中軸承支反力波動量為1.83 N,均方根為0.46 N,耦合模型中軸承支反力波動量為3.00 N(增加了64%),均方根為0.81 N(增加了76%).由圖7(b)可知,耦合箱體及基礎之后,軸承1在y方向的振動減小了,非耦合模型中軸承支反力波動量為5.92 N,均方根為1.73 N,耦合模型中軸承支反力波動量為4.34 N(減小了27%),均方根為1.08 N(減小了53%).這說明箱體及基礎柔性對軸承振動有較大的影響,可能使軸承振動減小,也可能加劇,需要根據具體情況確定.

圖7 軸承支反力波動

3.3 箱體振動

箱體軸承孔及機腳螺栓孔處的振動可以直接通過耦合模型求解得到,而箱體表面任意一點的振動需要采用有限元模型求解.由于箱體的邊界可以通過耦合模型確定,因此進行箱體振動分析時僅需建立箱體單獨的有限元模型,并將軸承激振力及機腳螺栓激振力施加到箱體.

對于耦合模型中箱體振動的求解,約束箱體機腳螺栓孔x、z、θx、θy及θz的自由度,僅保留y方向的自由度,將耦合模型軸承激振力及機腳螺栓激振力施加在箱體有限元模型中;對于非耦合模型中箱體振動的求解,采用文獻[18]中方法,將非耦合模型中軸承激振力施加在箱體有限元模型中,將基礎簡化為彈簧單元.

測點1的位置如圖4所示.在ANSYS軟件中計算箱體模態(tài),并在Virtual Lab軟件中去除剛體位移后采用模態(tài)疊加法進行穩(wěn)態(tài)求解,得到測點1在y方向的振動加速度,如圖8所示.從圖可知,耦合模型與非耦合模型相比,測點1齒頻處的加速度減小了29.4%(3.0 dB),2倍頻處的加速度減小了41.4%(4.6 dB).針對文中所采用的模型,耦合模型與非耦合模型的箱體振動加速度有較大的差異,這主要是由兩者激振力的差異造成的.

圖8 箱體振動加速度

4 結論

文中采用子結構法提取了箱體的集中質量參數,采用間接物理參數識別法從基礎導納參數中提取了基礎的集中質量參數,并建立了齒輪-箱體-基礎耦合集中質量模型,在齒輪傳動系統(tǒng)動力學方程中計入了箱體及基礎的影響.通過對比耦合模型與非耦合模型,得到以下結論:

(1)計入箱體與基礎柔性后,齒輪動態(tài)傳遞誤差變化較小,本算例中耦合模型與非耦合模型的齒輪動態(tài)傳遞誤差的差異可忽略;

(2)計入箱體與基礎柔性后,軸承振動變化較大,可能加劇也可能減小,本算例中x方向的軸承支反力波動增加了64%,均方根增加了76%,而y方向的軸承支反力波動減小了27%,均方根減小了53%;

(3)計入箱體與基礎柔性后,箱體振動變化較大,本算例中測點1在豎直方向上的振動加速度在齒頻及2倍頻處分別減小了3.0 dB和4.6 dB.這主要是由于計入箱體與基礎柔性后軸承激振力發(fā)生了改變.

[1] 李潤方,王建軍.齒輪系統(tǒng)動力學 [M].北京:科學出版社,1996.

[2] 常樂浩,劉更,吳立言.齒輪綜合嚙合誤差計算方法及對系統(tǒng)振動的影響 [J].機械工程學報,2015,51(1):123- 130. CHANG Le-hao,LIU Geng,WU Li-yan.Determination of composite meshing errors and its influence on the vibration of gear system [J].Journal of Mechanical Enginee-ring,2015,51(1):123- 130.

[3] ABBES M S,BOUAZIZ S,CHAARIECT F,et al.An acoustic-structural interaction modelling for the evaluation of a gearbox-radiated noise [J].International Journal of Mechanical Sciences,2008,50(3):569- 577.

[4] TAKATSU N,KATO M,INOUE K,et al.Analysis and experiment on the vibration transmission in a single stage gearbox [C]∥Proceedings of the International Confe-rence on Motion and Power Transmissions.Hiroshima:JSME,1991:104- 109.

[5] ABBES M S,FAKHFAKH T,HADDAR M,et al.Effect of transmission error on the dynamic behaviour of gearbox housing [J].The International Journal of Advanced Ma-nufacturing Technology,2007,34(3/4):211- 218.

[6] CHOY F K,TU Y K,ZAKRAJSEK J J,et al.Effects of gear box vibration and mass imbalance on the dynamics of multistage gear transmission [J].Journal of Vibration and Acoustics,1991,113(3):333- 344.

[7] 梁明軒,袁惠群,李巖,等.齒輪箱耦合系統(tǒng)三維接觸非線性動態(tài)特性仿真 [J].東北大學學報(自然科學版),2014,35(1):79- 83. LIANG Ming-xuan,YUAN Hui-qun,LI Yan,et al.Simulation on 3-D contact nonlinear dynamic characteristic in gearbox coupling system [J].Journal of Northeastern University(Natural Science),2014,35(1):79- 83.

[8] 朱才朝,陸波,徐向陽,等.大功率船用齒輪箱傳動系統(tǒng)和結構系統(tǒng)耦合特性分析 [J].船舶力學,2011,15(11):1315- 1321. ZHU Cai-chao,LU Bo,XU Xiang-yang,et al.Analysis of coupling characteristic of transmission and structure system of large-power marine gearbox [J].Journal of Ship Mechanics,2011,15(11):1315- 1321.

[9] 林騰蛟,蔣仁科,李潤方,等.船用齒輪箱動態(tài)響應及抗沖擊性能數值仿真 [J].振動與沖擊,2007,26(12):14- 17,22. LIN Teng-jiao,JIANG Ren-ke,LI Run-fang,et al.Numeri-cal simulation of dynamic response and shock resistance of marine gearbox [J].Journal of Vibration and Shock,2007,26(12):14- 17,22.

[10] 林騰蛟,何澤銀,鐘聲,等.船用齒輪箱多體動力學仿真及聲振耦合分析 [J].湖南大學學報(自然科學版),2015,42(2):22- 28. LIN Teng-jiao,HE Ze-yin,ZHONG Sheng,et al.Multi-body dynamic simulation and vibro-acoustic coupling analysis of marine gearbox [J].Journal of Hunan University(Natural Sciences),2015,42(2):22- 28.

[11] 賀朝霞,常樂浩,劉嵐.耦合箱體振動的行星齒輪傳動系統(tǒng)動態(tài)響應分析 [J].華南理工大學學報(自然科學版),2015,43(9):128- 134. HE Zhao-xia,CHANG Le-hao,LIU Lan.Dynamic response analysis of planetary gear transmission system coupled with gearbox vibrations [J].Journal of South China University of Technology(Natural Science Edition),2015,43(9):128- 134.

[12] 常樂浩.平行軸齒輪傳動系統(tǒng)動力學通用建模方法與動態(tài)激勵影響規(guī)律研究 [D].西安:西北工業(yè)大學,2014.

[13] ZHU C C,XU X,LIU H,et al.Research on dynamical characteristics of wind turbine gearboxes with flexible pins [J].Renewable Energy,2014,68:724- 732.

[14] 蔣立冬,岳彥炯,尹素格.星型齒輪箱動響應的分析與計算 [J].機械傳動,2012,36(8):51- 53. JIANG Li-dong,YUE Yan-jiong,YIN Su-ge.The analysis and calculation of dynamic response of star gearbox [J].Journal of Mechanical Transmission,2012,36(8):51- 53.

[15] 高維金,王亮,劉永光.箱式動力結構的振動傳遞特性分析 [J].北京航空航天大學學報,2015,41(3):509- 516. GAO Wei-jin,WANG Liang,LIU Yong-guang.Analysis on vibration transmission characteristics of box-like power structure [J].Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics,2015,41(3):509- 516.

[16] 傅志方.振動模態(tài)分析與參數識別 [M].北京:機械工業(yè)出版社,1990.

[17] Jr ROSS R G.Synthesis of stiffness and mass matrices from experimental vibration modes [R].Detroit:SAE International,1971:2627- 2635.

[18] 周建星,劉更,吳立言.含彈性支撐的船用減速器箱體動態(tài)特性 [J].哈爾濱工業(yè)大學學報,2012,44(7):97- 101. ZHOU Jian-xing,LIU Geng,WU Li-yan.Vibration analysis of marine planetary reducer with elastic support [J].Journal of Harbin Institute of Technology,2012,44(7):97- 101.

Vibration Analysis of Gear-Housing-Foundation Coupled System

RENYa-feng1CHANGShan1,2LIUGeng1WULi-yan1ZHAOChen-qing1CHANGLe-hao3

(1.Shaanxi Engineering Laboratory for Transmissions and Controls, Northwestern Polytechnical University, Xi’an 710072, Shaanxi, China;2.Harbin No.703 Research Institute of CSIC,Harbin 150078,Heilongjiang,China;3.Key Laboratory of Road Construction Technology and Equipment of the Ministry of Education,Chang’an University,Xi’an 710064,Shaanxi,China)

Proposed is a lumped parameter model of gear transmission systems. In this model,firstly,lumped parameters of the housing are extracted from housing’s finite element model via a sub-structure method. Secondly,the modal parameters of the foundation are extracted from foundation’s acceleration by means of indirect physical parameter identification. Then,the extracted modal parameters are transformed into lumped parameters,and a dynamic model of the gear-housing-foundation coupled system is established according to interface coordination conditions. Finally,by taking a single-stage helical gear system for example,the gear’s dynamic transmission error,the bearing’s reaction force and the housing’s vibration of the coupled system are simulated under the excitation of time-varying mesh stiffness. The system dynamic analyses before and after the coupling of housing and foundation show that both housing and foundation only have limited influence on gear’s dynamic transmission error,but significantly affect the bearing’s reaction force fluctuation and the housing’s vibration;and that the proposed coupling model can predict the system’s dynamic characteristics than the uncoupled one more precisely.

gear dynamics;sub-structure method;physical parameter identification;coupled vibration;vibration analysis

2016- 11- 02

國家自然科學基金重點項目(51535009);高等學校學科創(chuàng)新引智計劃項目(B13044);國家自然科學基金資助項目(51605040) Foundation items: Supported by the State Key Program of National Natural Science Foundation of China(51535009) and the National Natural Science Foundation of China(51605040)

任亞峰(1990-),男,博士生,主要從事齒輪系統(tǒng)動力學研究.E-mail:renyafeng_ych@163.com

?通信作者: 劉更(1961-),男,教授,博士生導師,主要從事機械系統(tǒng)動力學研究.E-mail:liug@nwpu.edu.cn

1000- 565X(2017)05- 0038- 07

TH 113.1

10.3969/j.issn.1000-565X.2017.05.006