欒 健， 張 繼， 梅 寧

(中國(guó)海洋大學(xué)工程學(xué)院，山東 青島 266100)

表面駐泡顆粒在液相運(yùn)動(dòng)中的特征分析?

欒 健， 張 繼， 梅 寧??

(中國(guó)海洋大學(xué)工程學(xué)院，山東 青島 266100)

基于多相流體動(dòng)力學(xué)的貝賽特(Basset)-鮑瑟內(nèi)斯克(Boussinesq)-奧森(Ossen)方程(BBO方程)研究滑移條件下顆粒在兩相流中的運(yùn)動(dòng)情況。針對(duì)小型浮游生物表面微結(jié)構(gòu)特征建立固-氣-液三相雙滑移模型，運(yùn)用Karman邊界層動(dòng)量定理推導(dǎo)出以氣相銜接的固-氣相和氣-液相層流邊界層速度分布表達(dá)式。通過(guò)參數(shù)分析法確定Basset力、顆粒所受阻力及附加質(zhì)量力對(duì)顆粒運(yùn)動(dòng)的影響，對(duì)BBO方程進(jìn)行簡(jiǎn)化求解，得到顆粒在流場(chǎng)中的軌跡方程。將本文提出的滑移速度分布代入軌跡方程得到有滑移邊界條件下顆粒在流場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)速度隨時(shí)間的變化。通過(guò)分析可以得到，顆粒表面的駐泡結(jié)構(gòu)使得顆粒與流場(chǎng)接觸界面處出現(xiàn)速度滑移，從而提高了顆粒的運(yùn)動(dòng)速度。

駐泡顆粒；固-液-氣三相；邊界滑移；BBO方程；運(yùn)動(dòng)軌跡

符號(hào)表

在海流作用下，超微型浮游生物會(huì)在浸海材料表面形成一層生物黏膜，并與浸海材料一道釋放出化學(xué)物質(zhì)(化學(xué)蹤跡)，隨后浮游生物幼蟲(chóng)極易附著上去并長(zhǎng)大，從而形成生物污損，影響海洋能裝置的相關(guān)生產(chǎn)活動(dòng)[1]。采用間歇性釋放氯氣和涂料防止海洋生物附著雖然有效，但引發(fā)的環(huán)境問(wèn)題一直備受爭(zhēng)論。由于小型浮游生物系統(tǒng)自身存在復(fù)雜性、多樣性，同時(shí)在其運(yùn)動(dòng)過(guò)程中涉及物理過(guò)程和生物過(guò)程間的交互作用，海洋浮游生物的輸運(yùn)行為的理論解釋還不全面[2]。因此，浮游生物在浸海材料壁面附近的擴(kuò)散和質(zhì)遷移機(jī)理研究成為防止浸海材料海洋生物附著新一代技術(shù)的基礎(chǔ)課題。

對(duì)于顆粒物在兩相流中的受力情況，目前大多采用數(shù)值模擬方法進(jìn)行研究。Hu等[3]最先采用有限元ALE方法對(duì)顆粒兩相流進(jìn)行數(shù)值模擬，但由于計(jì)算量大,而只用于一個(gè)或幾個(gè)顆粒的兩相流動(dòng)，最開(kāi)始采用隱式方法不穩(wěn)定，后經(jīng)過(guò)算法改進(jìn)可以模擬顆粒在黏彈性流體中的運(yùn)動(dòng)。由長(zhǎng)福等[4]采用數(shù)值模擬方法計(jì)算了煤粉顆粒所受的Magnus力，考慮顆粒旋轉(zhuǎn)速度、流動(dòng)Re數(shù)對(duì)Magnus力的影響。孫光明、陳臻采用CFD方法對(duì)球形顆粒沉降軌跡進(jìn)行數(shù)值模擬，得到與實(shí)驗(yàn)相符的單顆粒沉降在近壁面的轉(zhuǎn)動(dòng)特點(diǎn)，當(dāng)顆粒與流體的相對(duì)速度較大時(shí)會(huì)產(chǎn)生尾渦，其渦的脫落、配對(duì)對(duì)流場(chǎng)有很大影響[5-7]。Gan等[8]在數(shù)學(xué)模型中引入能量方程，使得有限元ALE方法可以對(duì)熱對(duì)流條件下顆粒兩相流問(wèn)題進(jìn)行研究。仝志輝[9]采用有限元ALE方法對(duì)換熱條件下不同固液密度比范圍內(nèi)的非等溫顆粒的沉降運(yùn)動(dòng)進(jìn)行數(shù)值模擬，結(jié)果表明熱對(duì)流對(duì)顆粒的影響隨著固液密度比的增加而增大熱對(duì)流使顆粒沉降的發(fā)展進(jìn)程加快，顆粒擺動(dòng)幅度增大。近年來(lái)發(fā)展起來(lái)的無(wú)網(wǎng)格迦遼金(EFGM)具有無(wú)需劃分網(wǎng)格、精度高、后處理方便、可消除體積閉鎖、收斂快等優(yōu)點(diǎn)[10]，目前也開(kāi)始用于求解各種流體問(wèn)題[11-12]。仇軼等[13]采用EFGM法對(duì)氣固兩相流進(jìn)行直接數(shù)值模擬，通過(guò)算法研究和求解碰撞問(wèn)題討論無(wú)網(wǎng)格方法對(duì)多相流數(shù)值模擬的適用性。在顆粒運(yùn)動(dòng)理論研究方面，Tchen在前人研究基礎(chǔ)上寫(xiě)出單個(gè)小顆粒在無(wú)邊界影響的均勻紊流場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)方程[14]。邵學(xué)軍[15]利用隨機(jī)過(guò)程的觀點(diǎn)和方法研究顆粒物在兩相流中的運(yùn)動(dòng)情況。綜上所述，可以看出對(duì)顆粒物在流場(chǎng)中的輸運(yùn)過(guò)程主要采用數(shù)值模擬方法，在機(jī)理研究方面較為薄弱，同時(shí)，在有滑移邊界條件基礎(chǔ)上的顆粒輸運(yùn)機(jī)理研究更為少見(jiàn)，所以，對(duì)于顆粒物在流場(chǎng)中的輸運(yùn)機(jī)理的理論研究仍需引起極大重視。

本文基于小型浮游生物表面微結(jié)構(gòu)，建立固-氣-液三相邊界層雙滑移模型，通過(guò)邊界層滑移速度修正邊界條件，運(yùn)用Karman邊界層動(dòng)量定理推導(dǎo)出以氣相銜接的固-氣相和氣-液相層流邊界層速度分布表達(dá)式。并通過(guò)BBO方程建立顆粒與流場(chǎng)之間的耦合關(guān)系，采用參數(shù)方法對(duì)BBO方程進(jìn)行簡(jiǎn)化求解，得到顆粒在均勻流場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡。通過(guò)雙滑移邊界層速度分布對(duì)軌跡方程進(jìn)行修正，得到滑移邊界條件下顆粒在流場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡。為后期小型浮游生物水平輸運(yùn)行為的實(shí)驗(yàn)研究提供一定理論指導(dǎo)。

1 顆粒在固液兩相流中運(yùn)動(dòng)的模型描述

自然界存在一些生物利用納米結(jié)構(gòu)表面超疏水性，使得其表面具備特殊的物理性質(zhì)，最常見(jiàn)的是荷葉的自清潔效應(yīng)。小型海洋浮游生物表面存在凹凸不平的微納米結(jié)構(gòu)[16-17]，當(dāng)流場(chǎng)經(jīng)過(guò)浮游生物表面時(shí)，其表面有些會(huì)形成疏水膜[18-20]，在生物膜與流體之間會(huì)駐留微氣泡[21-23]。圖1是疏水表面與流體之間駐留氣泡的圖片，圖2是根據(jù)疏水表面存在微氣泡的原理描述的顆粒表面駐泡現(xiàn)象示意圖[24-25]。這種特殊微納米結(jié)構(gòu)在其擴(kuò)散和遷移過(guò)程中起到重要作用。通過(guò)分析這駐泡微結(jié)構(gòu)在浮游生物輸運(yùn)過(guò)程中的作用，可以為防止浸海材料海洋生物附著的機(jī)理研究提供新的理論思路。

圖1 疏水表面駐泡現(xiàn)象

圖2 顆粒表面微納米凹痕結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖

本文以小型浮游生物表面微結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)建立固-氣-液三相雙滑移模型(見(jiàn)圖3)。當(dāng)顆粒在流體中運(yùn)動(dòng)時(shí)，在流場(chǎng)的剪切力帶動(dòng)下，顆粒固體表面會(huì)與微氣泡之間產(chǎn)生邊界滑移，與此同時(shí)，微氣泡與流場(chǎng)也會(huì)產(chǎn)生邊界滑移，從而產(chǎn)生雙滑移效果。采用邊界層滑移速度對(duì)Navier邊界條件進(jìn)行修正，進(jìn)而可得到雙滑移邊界條件下顆粒表面邊界層內(nèi)流場(chǎng)速度分布。此模型在以下假設(shè)中建立：

(1)顆粒在低雷諾數(shù)的均勻流場(chǎng)中流動(dòng)

(2)流場(chǎng)為黏性，不可壓流體

(3)顆粒表面微氣泡小于固-液相邊界層厚度(4)顆粒為球形顆粒，其表面微氣泡為理想氣體，無(wú)黏性

(5)顆粒在流場(chǎng)中初始位置為0，初始速度為0

圖3 顆粒在固液兩相流中的物理模型

2 固-氣-液三相層流邊界層內(nèi)雙滑移速度分布理論計(jì)算

為確定邊界層中的特征量，關(guān)鍵在于合理給出邊界層中的無(wú)量綱速度分布函數(shù)F(η)，針對(duì)層流流動(dòng)，將固-氣相邊界層假設(shè)為經(jīng)典多項(xiàng)式速度分布，氣-液相邊界層假設(shè)為指數(shù)型速度分布，將速度分布代入邊界層動(dòng)量方程后，可解得邊界層厚度、任意點(diǎn)流速、摩擦阻力系數(shù)等。作者在文獻(xiàn)[26]的研究中已經(jīng)對(duì)各相邊界層分布做了分析，現(xiàn)將研究結(jié)果表示如下：

2.1 確定固-氣相層流邊界層分布

固-氣相滑移模型基于小型浮游生物表面微結(jié)構(gòu)，采用邊界層理論中經(jīng)典的三項(xiàng)速度多項(xiàng)式和四項(xiàng)速度多項(xiàng)式的線性組合，以平板邊界層積分方程為基礎(chǔ)，推導(dǎo)得到固-氣相層流邊界層速度分布多項(xiàng)式[26]：

(1)

2.2 確定氣-液相層流邊界層分布

2.2.1 微氣泡與邊界滑移的關(guān)系 根據(jù)Navier邊界條件定義，滑移速度的意義為按照主流區(qū)速度分布的虛擬延長(zhǎng)而在邊界上獲得的速度值，因此滑移長(zhǎng)度為速度分布在邊界處的線性延長(zhǎng)至速度為0的位置與流動(dòng)邊界的距離[27]，最終得到無(wú)量綱滑移長(zhǎng)度為：

(2)

2.2.2 氣-液相層流邊界層速度分布 液體做層流流動(dòng)，根據(jù)Karman邊界層動(dòng)量方程的層流速度分布方程，采用指數(shù)型方程形式進(jìn)行求解：

ul=AηeBη2。

(3)

設(shè)定邊界條件：

由上述邊界條件，得到系數(shù)A、B：

(4)

(5)

2.3 氣-液相層流邊界層速度分布參數(shù)分析

為計(jì)算固-氣相和氣-液相層流邊界層的速度分布，需要設(shè)定初始條件如表1：

表1 初始參數(shù)設(shè)計(jì)

Note:①Bubble height；②Water viscosity；③Air viscosity；④Two-dimensional system characteristic length；⑤Initial flow velocity

根據(jù)已設(shè)計(jì)的數(shù)據(jù)，計(jì)算得到氣-液相速度分布的系數(shù)值分別為：

A=0.206，B=-0.499。

最終得到固-氣相層流邊界層的速度分布為經(jīng)典形式：

(6)

氣-液相層流邊界層的速度分布：

u1=0.206ηe-0.499η2。

(7)

3 顆粒在固液兩相流中運(yùn)動(dòng)的模型描述

3.1 顆粒在固液兩相流中的受力分析

任意流場(chǎng)條件下顆粒物均受到不同方向的作用力(見(jiàn)圖4)。其中包含與流體和顆粒間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)無(wú)關(guān)的力，包括壓力梯度力、重力及浮力；依賴于流體和顆粒間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)且作用力方向與相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度方向相反的力，包括Stokes力、虛擬質(zhì)量力和Basset力；還有依賴于流體和顆粒間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)但作用方向與相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度方向垂直的力，如Saffman力和Magnus力。

3.2 BBO基本方程

顆粒受力分析對(duì)固液兩相流中顆粒運(yùn)動(dòng)的研究十分關(guān)鍵。Stokes(1851)曾對(duì)單個(gè)球體、圓柱體積無(wú)限長(zhǎng)板在粘性流體中的簡(jiǎn)諧直線運(yùn)動(dòng)做了系統(tǒng)研究，并給流體與顆粒關(guān)系的表達(dá)式。此后，Basset(1888)、Boussineaq(1885)、Oseen(1927)等研究了單個(gè)球形顆粒在黏性流體中的運(yùn)動(dòng)，得出球形顆粒的受力不僅受瞬時(shí)速度和加速度作用，更與顆粒加速運(yùn)動(dòng)的歷史有關(guān)，繼而得到著名的BBO方程。

圖4 顆粒在固液兩相流中的受力模型

在BBO方程基礎(chǔ)上，顆粒在均勻流場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)過(guò)程可表示為[29]：

(8)

由于均勻流場(chǎng)中，流場(chǎng)速度梯度不大，所以壓力梯度力可以省略；考慮球形顆粒在流場(chǎng)中不易計(jì)入顆粒的旋轉(zhuǎn)和側(cè)向運(yùn)動(dòng)特征，所以可以忽略升力，Magnus力和Saffman力的作用。有效重力只與顆粒的粒徑大小有關(guān)，與顆粒運(yùn)動(dòng)無(wú)關(guān)，所以此處主要研究與顆粒運(yùn)動(dòng)緊密相關(guān)的力：Basset力、顆粒所受阻力以及附加質(zhì)量力。

3.2.1 Basset力計(jì)算 在兩相流中，當(dāng)顆粒與流體的相對(duì)速度有加速度存在時(shí)，顆粒會(huì)受到非恒定的氣動(dòng)力作用，即附加質(zhì)量力和Basset力。Basset力是由于相對(duì)速度隨時(shí)間的變化而導(dǎo)致顆粒表面附面層滯后所產(chǎn)生的非恒定氣動(dòng)力，由于該力大小與顆粒的運(yùn)動(dòng)經(jīng)歷有直接關(guān)系，所以該力又稱為“歷史力”[30]。

Basset力的一般表達(dá)式[31]

(9)

Basset力的物理意義表征顆粒相對(duì)流體作非恒定運(yùn)動(dòng)時(shí)受到的附加黏性力的時(shí)間積分。實(shí)際工程中，顆粒相對(duì)流體的運(yùn)動(dòng)速度及其對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)是待求量，Basset力表達(dá)式中被積函數(shù)部分未知，極難得到直接解，因此采用數(shù)值分析方法進(jìn)行求解。

根據(jù)被積函數(shù)未知項(xiàng)的物理意義，設(shè)d(ul-uP)/dτ=g(τ)，若g(τ)用時(shí)間τ的n次多項(xiàng)式來(lái)逼近，則可表示實(shí)際顆粒相對(duì)流體做變速運(yùn)動(dòng)。令

(10)

g(τ)=Kτn。

(11)

本文采用等步長(zhǎng)復(fù)合梯形公式進(jìn)行計(jì)算，將積分區(qū)間分為兩部分，以消除積分的奇異性，即：

(12)

其中Δt=t/n是積分步長(zhǎng)，n是子區(qū)間數(shù)。將公式第二項(xiàng)進(jìn)行變形：

(13)

(14)

其中h=Δt=t/n，h的大小由給定的計(jì)算精度決定，與積分上限t有關(guān)。

3.2.2 單個(gè)顆粒所受阻力的計(jì)算 在均勻流場(chǎng)中，顆粒會(huì)受到重力以及流體對(duì)顆粒運(yùn)動(dòng)阻力(曳力)的作用。當(dāng)不同粒徑的顆粒同時(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí)，顆粒之間的碰撞需要加以考慮。本文主要考慮單個(gè)顆粒在流場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)特性，所以單個(gè)顆粒在流場(chǎng)中所受的阻力公式[32]:

FD=3πηldPf(ul-uP)，

(15)

其中：

(16)

3.2.3 附加質(zhì)量力的計(jì)算 附加質(zhì)量力的產(chǎn)生來(lái)自于顆粒周?chē)黧w的加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)顆粒相對(duì)流體做變速運(yùn)動(dòng)時(shí)，顆粒將會(huì)帶動(dòng)周?chē)黧w作相同加速度的非恒定運(yùn)動(dòng)，并且這些被加速的流體體積恰好等于顆粒體積的一半，其公式可以表示為[23]：

(17)

3.3 顆粒在兩相流中受力分析

本文采用參數(shù)分析方法，比較直觀得到對(duì)顆粒運(yùn)動(dòng)軌跡影響較大的力，從而對(duì)顆粒在兩相流中運(yùn)動(dòng)的BBO控制方程進(jìn)行簡(jiǎn)化，最終得到顆粒在均勻流場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)方程。定義速度的松弛時(shí)間為顆粒與流體之間松弛過(guò)程的快慢，則有：

(18)

顆粒物和液體的物性參數(shù)如表2。

根據(jù)物性參數(shù)值，設(shè)未知被積項(xiàng)g(τ)=τ3，說(shuō)明顆粒此時(shí)相對(duì)流體作非周期變加速運(yùn)動(dòng)。采用數(shù)值方法得到Basset力，相間阻力以及附加質(zhì)量力的數(shù)值解，并用數(shù)值方法進(jìn)行比較(見(jiàn)圖5)。

表2 物性參數(shù)

Note：①Water viscosity；②Water density；③Particle density；④Particle radius；⑤Temperature

圖5 顆粒在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中各主要作用力隨時(shí)間的變化趨勢(shì)

從圖5中可以看出在對(duì)顆粒運(yùn)動(dòng)影響較大的各項(xiàng)作用力中，Basset力和附加質(zhì)量力相對(duì)于顆粒所受阻力來(lái)說(shuō)比較小，為簡(jiǎn)化顆粒運(yùn)動(dòng)的BBO方程，在以后的計(jì)算中可以忽略。

4 顆粒在均勻流場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡方程確定

利用BBO方程表達(dá)均勻流場(chǎng)中顆粒的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，即[33]：

(19)

根據(jù)上文受力分析，忽略控制方程第一項(xiàng)壓力梯度項(xiàng)、第三項(xiàng)虛擬質(zhì)量力項(xiàng)和Basset力項(xiàng)，引入松弛時(shí)間τ，最終簡(jiǎn)化得到：

(20)

設(shè)顆粒在初始時(shí)刻的軌跡位置為0,初始速度為0，設(shè)水的流速u(mài)l保持不變，求解微分方程(4)可得顆粒位移公式為：

(21)

將本文提出的有滑移層流邊界層內(nèi)速度分布公式代入式(21)，得到有滑移條件下顆粒表面邊界層的流場(chǎng)速度分布：

(22)

將本文參數(shù)分析得到的固-氣-液三相邊界層內(nèi)速度分布數(shù)值表達(dá)式代入式(22)，得到有滑移邊界條件下，一定邊界層厚度處，顆粒隨時(shí)間的運(yùn)動(dòng)軌跡(見(jiàn)圖6)。

圖6 顆粒隨時(shí)間變化的運(yùn)動(dòng)軌跡

由圖6可以看出，根據(jù)本文設(shè)計(jì)的初始參數(shù)，初始靜止的顆粒在較低流速的流場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡隨時(shí)間成線性變化。在雙滑移邊界條件的基礎(chǔ)上，有滑移時(shí)顆粒表面邊界層內(nèi)流場(chǎng)速度比無(wú)滑移時(shí)大，從而有滑移條件下顆粒運(yùn)動(dòng)速度相應(yīng)較大。當(dāng)流場(chǎng)經(jīng)歷顆粒表面微氣泡時(shí)，微氣泡會(huì)產(chǎn)生局部減阻的效果，從而使流場(chǎng)速度有明顯增大。因此相同時(shí)間內(nèi)，表面駐泡顆粒運(yùn)動(dòng)速度增大，顆粒運(yùn)動(dòng)路程較大。

5 結(jié)語(yǔ)

本文以小型浮游生物在海洋流中的輸運(yùn)過(guò)程為基礎(chǔ)，針對(duì)浮游生物表面微氣泡結(jié)構(gòu)建立固-氣-液三相雙滑移模型，通過(guò)邊界層滑移速度修正邊界條件，運(yùn)用Karman邊界層動(dòng)量定理推導(dǎo)出以氣相銜接的固-氣相和氣-液相層流邊界層速度分布表達(dá)式。以雙滑移邊界層速度分布為基礎(chǔ)，采用BBO方程研究顆粒與流體之間的耦合作用，得到顆粒在固液兩相的運(yùn)動(dòng)軌跡。通過(guò)理論分析，顆粒在均勻流場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)隨時(shí)間基本呈線性變化，在雙滑移邊界條件的基礎(chǔ)上，有滑移時(shí)顆粒表面邊界層內(nèi)流場(chǎng)速度較大，相同時(shí)間內(nèi)顆粒運(yùn)動(dòng)路程較大。

本文從理論上推導(dǎo)滑移條件下，球形顆粒在固液兩相流中的運(yùn)動(dòng)軌跡，采用BBO方程對(duì)顆粒與流體的耦合作用進(jìn)行研究。后期將會(huì)設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)對(duì)本文的理論進(jìn)行驗(yàn)證，同時(shí)會(huì)深入研究顆粒自身因素，環(huán)境因素等對(duì)影響顆粒運(yùn)動(dòng)的影響，為顆粒在兩相流中的耦合分析提供一定的理論思路，為小型浮游生物的輸運(yùn)過(guò)程研究開(kāi)拓新途徑，從而促進(jìn)海洋能源的開(kāi)發(fā)利用，增強(qiáng)對(duì)海洋環(huán)境的保護(hù)。

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Abstract: In this paper, the movement of particles in two-phase flow under the condition of double slips was studied based on Basset-Boussinesq-Ossen equation. As to the special micro-structure on the surface of the marine-beings, the velocity distributions both in the solid-gas boundary layer and in the gas-liquid boundary layer were deduced with Karman boundary layer momentum theorem. Basset force, added mass force and drag for particles were determined through parameter method. The BBO equation was simplified and trajectory equation of particles in flow field was obtained. The slip velocity distribution was put in the particle trajectory equation and the velocity change curve under slip boundary conditions was obtained. The results indicate that the micro bubbles on the particle surface can lead slip within the boundary layer. The flow field velocity near the solid phase can be increased by micro-bubbles and the particle velocity can be increased.

Key words: particles with bubbles； solid-gas-liquid phase； boundary slip； BBO equation； movement trajectory

責(zé)任編輯 陳呈超

Characteristic Study About the Particle with Gas on the Surface in the Liquid Phase

LUAN Jian， ZHANG Ji， MEI Ning

(College of Engineering, Ocean University of China, Qingdao 266100, China)

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(50676086)資助 Supported by National Natural Science Foundation of China(50676086)

2015-04-27；

2016-05-15

欒 健(1990-)，女，碩士。E-mail:550360699@qq.com

?? 通訊作者：E-mail：nmei@ouc.edu.cn

TK121

A

1672-5174(2017)09-119-07

10.16441/j.cnki.hdxb.20150168

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