陳曉玲

摘 要：非緊性測(cè)度是非緊集合喪失緊性程度的一種數(shù)值刻畫。文章利用非緊性測(cè)度討論了有界線性算子的本性譜，并指出了文獻(xiàn)[3]和文獻(xiàn)[6]中的相關(guān)證明錯(cuò)誤。

關(guān)鍵詞：非緊性測(cè)度；本性譜；譜半徑公式

中圖分類號(hào)：O177.2 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：2095-2945（2017）20-0033-02

1 概述

非緊性測(cè)度是非緊集合喪失緊性程度的一種數(shù)值刻畫。目前有多種非緊性測(cè)度的定義，其中Hausdorff球-非緊性測(cè)？茁是由Goldenstein，Gohberg和Markus在文獻(xiàn)[1]中引入的，定義如下：設(shè)X為實(shí)Banach空間，Q為X中非空有界集，則Q的非緊性測(cè)度為？茁（Q）：=inf{r>0：Q可被有限個(gè)半徑？燮r的開(kāi)球所覆蓋}。

此定義等價(jià)于？茁（Q）=inf{r>0：Q在X中有有限r(nóng)-網(wǎng)}，也等價(jià)于？茁（Q）=inf{r>0：Q？奐K+rBX}，其中K為X中緊集，BX為X中閉單位球。顯然，當(dāng)Q為緊集時(shí)，？茁（Q）=0。由等價(jià)定義知非緊性測(cè)度？茁可用來(lái)度量非空有界集Q和緊集之間“相距”多遠(yuǎn)，這里的“距”是Hausdorff距離。非空有界集A與B的非對(duì)稱Hausdorff距離定義為：d（A，B）=inf{r>0：A？奐B+rBX}。同樣地，可用非緊性測(cè)度來(lái)衡量Banach空間中一個(gè)有界線性算子與緊算子之間的“偏差”。設(shè)X為無(wú)窮維Banach空間，B（X）為X上有界線性算子全體，T∈B（X），算子T的非緊性測(cè)度定義為[2]：？茁（T）：=？茁（TBX）。顯然，？茁（T）=0等價(jià)于T是緊算子。

2 主要結(jié)果

參考文獻(xiàn)：

[1]I.T.Gohberg， L.S.Goldenstein， A.S.Markus.Investigation of some propertied of bounded linear operators in connection with their q-norms [J]. Ufien.Zap.Kishinev. Un-ta，1957，29：29-36（in Russian）.

[2]Edmunds，D.E. and Triebel，H.，Entropy numbers for non-compact self-adjoint operators[J]. Math.Nachr.，1981，100：213-219.

[3]李紹寬.關(guān)于緊算子序列與非緊性測(cè)度[J].數(shù)學(xué)年刊，1984，5A（4）：511-522.

[4]V.Istratesku， On a measure of noncompactness， Bull.Math.Soc.Sci.Math.R.S， Romanie（N.S），1972，16：195-197.

[5]N.A.Erzakova， On a measure of noncompactness. Approximative Methods in the Study of Differential Equations and Their Applications， Kuibyshev， 1982：58-61.

[6]李紹寬.關(guān)于算子序列[J].數(shù)學(xué)年刊，1986，7A（1）：33-38.

[7]A.G.Aksoy.The Radius of the Essential Spectrum [J].J.Math.Anal.Appl.， 1987，128：101-107.

[8]鐘懷杰.巴拿赫空間結(jié)構(gòu)和算子理想[M].北京：科學(xué)出版社，2005.

[9]劉培德.拓?fù)渚€性空間與算子譜理論[M].北京：高等教育出版社， 2013.

[10]Kurbatov， V.G. The Spectral radii and Fredholm radii of certain linear operators on the space of functions continuous and bounded on the real line，in：Collection of Papers by Postgraduates，Vol.2， Voronezh.Gos.Univ.，Vorollczh，1972：47-52（in Russian）.

[11]潘興斌.算子序列與非緊性測(cè)度[J].數(shù)學(xué)年刊，1990，11A（2）：147-153.