張鵬杰，鄭曉晨，孟祥用，張珍肖

(石家莊市勘察測(cè)繪設(shè)計(jì)研究院，河北 石家莊 050019)

加權(quán)整體最小二乘在GPS高程擬合中的應(yīng)用

張鵬杰*，鄭曉晨，孟祥用，張珍肖

(石家莊市勘察測(cè)繪設(shè)計(jì)研究院，河北 石家莊 050019)

對(duì)于L=BX的工程問(wèn)題，因?yàn)橄禂?shù)矩陣B和觀測(cè)向量L的元素都是實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，并且有時(shí)候是不等精度獲得的，存在或大或小的誤差，因此在這些地方運(yùn)用加權(quán)整體最小二乘求解是更加適用的。本文給出了加權(quán)整體最小二乘的解法，最后結(jié)合實(shí)例進(jìn)行計(jì)算，得出利用加權(quán)整體最小二乘方法所得到的檢核數(shù)據(jù)的殘差最小的結(jié)論，驗(yàn)證了該理論的可行性，可以在工程應(yīng)用中進(jìn)行推廣。

加權(quán)整體最小二乘；GPS高程擬合；隨機(jī)模型；參數(shù)估計(jì)

1 引 言

GPS高程擬合在實(shí)際工程中應(yīng)用很多，如何準(zhǔn)確地把大地高H轉(zhuǎn)化為正常高h(yuǎn)，一些學(xué)者做出了研究，在文獻(xiàn)[1]和文獻(xiàn)[2]中作者對(duì)高程分區(qū)擬合進(jìn)行了應(yīng)用研究，在文獻(xiàn)[3]中，針對(duì)高程擬合時(shí)多項(xiàng)式容易出現(xiàn)病態(tài)的問(wèn)題，作者給出了解決辦法。通過(guò)上述文獻(xiàn)的案例數(shù)據(jù)，均表明采用多項(xiàng)式對(duì)GPS高程進(jìn)行擬合的方法是可行的，但考慮到水準(zhǔn)測(cè)量和GPS大地高測(cè)量均帶有不同程度的誤差，因此引進(jìn)加權(quán)整體最小二乘的方法是更為適用的。

在文獻(xiàn)[5]、文獻(xiàn)[6]和文獻(xiàn)[8]中，作者對(duì)整體最小二乘的方法進(jìn)行了闡述，證明了在觀測(cè)方程兩邊均含有誤差的情況下，采用整體最小二乘方法對(duì)參數(shù)的估計(jì)更為準(zhǔn)確。在文獻(xiàn)[4]和文獻(xiàn)[9]中，作者在整體最小二乘方法的基礎(chǔ)上加入了權(quán)值，在參數(shù)估計(jì)的結(jié)果上顯現(xiàn)了更大的優(yōu)勢(shì)。

2 加權(quán)整體最小二乘(WTLS)原理

對(duì)于觀測(cè)方程：

(1)

可以列出誤差方程：

(2)

加權(quán)整體最小二乘估計(jì)準(zhǔn)則為：

VTPLV+vec(EB)TPBvec(EB)=min

(3)

以式(2)為條件，按Lagrange乘數(shù)法求解，構(gòu)成目標(biāo)函數(shù)為：

(4)

(5)

(6)

(7)

上式也可寫成：

2KTEB+2KTB=0

(8)

由式(5)、式(6)分別得：

V=QLK

(9)

(10)

將上面兩個(gè)式子代入誤差方程式(2)得：

(11)

式中：

(12)

將式(11)代入式(8)，整理得：

(13)

上式即為未知參數(shù)的加權(quán)整體最小二乘解，我們采用迭代法來(lái)進(jìn)行求解。求解步驟為：

(3)將K代入式(10)，求得vec(EB)，還原成EB；

當(dāng)系數(shù)矩陣結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜時(shí)，單獨(dú)對(duì)系數(shù)矩陣給予權(quán)值，QB的維數(shù)將會(huì)很大，這樣會(huì)對(duì)將來(lái)的計(jì)算造成困難，此時(shí)我們可以對(duì)系數(shù)矩陣按列和行來(lái)給予權(quán)值。QL為觀測(cè)值L的協(xié)因數(shù)陣，Q0為系數(shù)陣B的列向量協(xié)因數(shù)陣，Qx為系數(shù)陣B的行向量協(xié)因數(shù)陣，且有QB=Q0?QX。

3 GPS高程擬合

用于GPS高程擬合的數(shù)學(xué)模型很多，我們用最常用的是曲面擬合法。當(dāng)GPS點(diǎn)布設(shè)成一定區(qū)域面時(shí)，可以采用曲面擬合法進(jìn)行擬合，原理是：根據(jù)測(cè)區(qū)中公共點(diǎn)的平面坐標(biāo)x、y和高程異常值ξ，用數(shù)值擬合法，擬合出測(cè)區(qū)的似大地水準(zhǔn)面，再內(nèi)插出待求點(diǎn)的高程異常值，從而求出待定點(diǎn)的正常高。

多項(xiàng)式曲面擬合法在擬合似大地水準(zhǔn)面上較為準(zhǔn)確，尤其是二次多項(xiàng)式曲面數(shù)學(xué)模型最為常用。即對(duì)于公共點(diǎn)上的高程異常值與平面坐標(biāo)之間假定存在如下數(shù)學(xué)模型：

(14)

式中，a0、a1、a2、a3、a4、a5為模型待定參數(shù)。因此，區(qū)域內(nèi)至少需有6個(gè)公共點(diǎn)。當(dāng)公共點(diǎn)多于6個(gè)時(shí)，可組成誤差方程：

V=BX-L

(15)

式中：

按最小二乘原理解求出模型待定參數(shù)a0、a1、a2、a3、a4、a5的數(shù)值。該擬合方法適合于平原與丘陵地區(qū)，實(shí)踐表明，在一定范圍內(nèi)擬合精度可優(yōu)于 3 cm。二次曲面擬合還可進(jìn)一步擴(kuò)展為多項(xiàng)式曲面擬合法，這時(shí)數(shù)學(xué)模型為：

寫成矩陣形式，列誤差方程表示與式(15)相同。

在實(shí)際應(yīng)用中，如果把測(cè)區(qū)的似大地水準(zhǔn)面假定為平面擬合模型，一般取式的前三項(xiàng)，對(duì)于測(cè)區(qū)面積不是很大，特別是測(cè)區(qū)內(nèi)高程異常的變化有規(guī)律且地形變化平緩，已知點(diǎn)分布均勻的情況下，把測(cè)區(qū)的似大地水準(zhǔn)面看成是一個(gè)二次曲面，則更為符合對(duì)似大地水準(zhǔn)面的描述，根據(jù)過(guò)去的計(jì)算經(jīng)驗(yàn)，能夠達(dá)到比較理想的精度，所以在本文中我們采用二次曲面擬合法。

4 加權(quán)整體最小二乘在GPS高程擬合中的應(yīng)用

為研究加權(quán)整體最小二乘(WTLS)的可行性和有效性，我們使用黃河某公路大橋數(shù)據(jù)來(lái)進(jìn)行分析。該大橋處在黃河流經(jīng)的平原上，橋址所處地區(qū)地勢(shì)平坦，海拔在 1 200 m左右，橋址兩端相對(duì)高差不到兩米，兩岸河床寬度在 1 000 m左右，交通便利，測(cè)區(qū)范圍內(nèi)的國(guó)家三角點(diǎn)和大地水準(zhǔn)點(diǎn)資料都已收集齊全。點(diǎn)位分布如圖1所示：

圖1 某黃河大橋測(cè)區(qū)控制點(diǎn)分布圖

測(cè)區(qū)內(nèi)GPS點(diǎn)的高程異常值和平面坐標(biāo)的數(shù)據(jù)列于表1。

原始數(shù)據(jù) 表1

表中，x、y為GPS點(diǎn)的平面坐標(biāo)，ξ為經(jīng)水準(zhǔn)聯(lián)測(cè)得到的該點(diǎn)處高程異常值。

現(xiàn)在我們?nèi)PS點(diǎn)1、2、3、4、5、6、7、11、13、14、15、16、17、20、21來(lái)進(jìn)行建立模型計(jì)算參數(shù)，GPS點(diǎn)8、9、10、12、18、19六個(gè)點(diǎn)來(lái)做外部檢核。采用二次多項(xiàng)式曲面擬合方法進(jìn)行擬合，公式為：

在WTLS的算法中，對(duì)系數(shù)矩陣B的權(quán)值按行和列來(lái)分別給予。列方程L=BX，其中：

PL為觀測(cè)值權(quán)陣，Q0為系數(shù)陣列向量協(xié)因數(shù)陣，Qx為系數(shù)陣行向量協(xié)因數(shù)陣，In為n階單位陣。

用最小二乘(LS)、一般整體最小二乘(TLS)和加權(quán)整體最小二乘(WTLS)三種方法分別對(duì)參數(shù)進(jìn)行求取，并對(duì)外部檢核數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，列于表2，然后計(jì)算其與測(cè)量值的殘差，并繪圖表示于圖2。

外符合數(shù)據(jù) 表2

圖2 檢核點(diǎn)殘差(單位/mm)

根據(jù)實(shí)際工程項(xiàng)目獲得的數(shù)據(jù)，利用GPS高程擬合原理和方法，采用二次擬合模型來(lái)進(jìn)行擬合，并用最小二乘、整體最小二乘和加權(quán)整體最小二乘來(lái)進(jìn)行解算參數(shù)，求得高程異常值，將GPS測(cè)量得到的大地高轉(zhuǎn)化為工程項(xiàng)目中需要的正常高，對(duì)結(jié)果進(jìn)行比較分析。最后得出結(jié)論：從圖2中可以很直觀地看出，對(duì)于6個(gè)外部檢核數(shù)據(jù)，加權(quán)整體最小二乘所計(jì)算的結(jié)果得到的殘差均是最小的。通過(guò)與規(guī)范中水準(zhǔn)等級(jí)限差進(jìn)行比較，加權(quán)整體最小二乘可以達(dá)到三等水準(zhǔn)精度要求，一般整體最下二乘可以達(dá)到四等水準(zhǔn)精度要求，而最小二乘剛好也可以達(dá)到四等水準(zhǔn)精度要求。這就說(shuō)明加權(quán)整體最小二乘可以大大提高似大地水準(zhǔn)面的擬合精度，為GPS高程數(shù)據(jù)的實(shí)際應(yīng)用提供了有力的保證。

5 結(jié) 論

由于整體最小二乘方法建立的模型對(duì)方程的兩邊都進(jìn)行了最小化約束，因此它比假設(shè)系數(shù)矩陣無(wú)誤差的最小二乘方法更加合理，而加權(quán)整體最小二乘則是在整體最小二乘的基礎(chǔ)上考慮了權(quán)值的問(wèn)題，把對(duì)方程影響程度大的因子賦予了較大的權(quán)值，因此它又比一般整體最小二乘方法更加合理。計(jì)算結(jié)果說(shuō)明了加權(quán)整體最小二乘法在高程擬合中的優(yōu)勢(shì)，該方法具有較好的理論研究?jī)r(jià)值和實(shí)用價(jià)值，應(yīng)將這種方法廣泛地應(yīng)用于工程實(shí)際中來(lái)。

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Weighted Total Least Squares Theory with Applications in GPS Elevation Fitting

Zhang Pengjie ，Zheng Xiaochen ，Meng Xiangyong ，Zhang Zhenxiao

(Investigation and Surveying Institute of Shijiazhuang City，Shijiazhuang 050019，China)

For the engineering problems of L=BX，the elements of coefficient matrix B and the observation vector L were measured data，and sometimes they were unequal precision obtained，exsisting error or big or small，so in these areas using the weighted total least squares solution was more suitable . This paper gave a method of weighted total least squares，finally calculated with examples，came to conclusion that the residuals of checking data by using the weighted total least squares method was least ，verified the feasibility of theory，could be applied in engineering application.

weighted total least squares；GPS elevation fitting；stochastic model；parameter estimation

1672-8262(2017)03-86-04

P228

B

2016—10—22

張鵬杰(1986—)，男，工程師，碩士，主要從事城市測(cè)量技術(shù)工作。