張曼，趙學(xué)靖，田人合

（1.蘭州大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,蘭州730000；2.中國科學(xué)院成都文獻(xiàn)情報中心，成都610041；3.中國科學(xué)院大學(xué)，北京100049）

基于中位數(shù)GARCH模型的匯率波動率預(yù)測

張曼1，趙學(xué)靖1，田人合2,3

（1.蘭州大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,蘭州730000；2.中國科學(xué)院成都文獻(xiàn)情報中心，成都610041；3.中國科學(xué)院大學(xué)，北京100049）

自2005年7月21日匯率改革以來，人民幣匯率的波動性發(fā)生了根本的變化。匯率波動越來越頻繁、越來越大。匯率的準(zhǔn)確預(yù)測無論是對國內(nèi)還是對國際都有著至關(guān)重要的意義。文章預(yù)測匯率收益率的波動性，在ARCH和GARCH模型的基礎(chǔ)上提出了中位數(shù)GARCH模型，并采用人民幣兌美元的數(shù)據(jù)來檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷挠行浴Ｓ深A(yù)測誤差可以看出，中位數(shù)GARCH能很好地減小預(yù)測誤差。

中位數(shù)GARCH模型；GARCH；波動率預(yù)測

0 引言

匯率是兩種貨幣的折算的一個比率數(shù)字，它是衡量一國貨幣價值的重要指標(biāo)。隨著社會的發(fā)展和金融的全球化，資金在國際和地區(qū)間的流動變得越來越頻繁。它不僅影響到國內(nèi)的經(jīng)濟(jì)，也在國際間的貨幣收支上起著不可或缺的作用。因此匯率在金融市場的波動性已經(jīng)成為了現(xiàn)代金融理論和金融研究的一個重要課題。匯率的波動帶來的風(fēng)險的變化，大的匯率波動往往帶來的風(fēng)險較大；相反，小的波動帶來的風(fēng)險較小。我國2005年7月21日對匯率進(jìn)行了調(diào)整，匯率不再是單一的盯住美元，政府放松了對匯率的監(jiān)管，波動越來越頻繁，幅度也越來越大。匯率改革以來，人民幣的累計升值幅度已達(dá)25%左右，匯率的不斷變化吸引了部分學(xué)者來進(jìn)行研究其特性。

匯率作為一種金融數(shù)據(jù)同樣具有非正態(tài)、非平穩(wěn)、異方差的特性，這些特性的存在使得傳統(tǒng)的最小二乘方法極有可能帶來“偽回歸”的結(jié)果。針對金融數(shù)據(jù)的這一特性Engel(1982)提出了自回歸條件異方差(ARCH)模型[1]。Hsieh曾經(jīng)證明了ARCH能夠用來描繪匯率波動的情況[2]。

在ARCH模型的基礎(chǔ)上發(fā)展了GARCH族模型[3]。凱恩克(Koenker)和巴西特(Bassett)于1978年提出的分位數(shù)回模型[4]，分位數(shù)回歸對數(shù)據(jù)沒有太大的要求。

分位數(shù)回歸能夠適應(yīng)數(shù)據(jù)尖峰、厚尾或者顯著異方差的特性，分位數(shù)回歸在數(shù)據(jù)非正態(tài)的情況下穩(wěn)健性要優(yōu)于最小二乘回歸。它是凱恩克(Koenker)和巴西特(Bassett)于1978年提出的[5]。分位數(shù)回歸(QR)利用解釋變量和因變量的條件分位數(shù)進(jìn)行建模。與普通的最小二乘回歸(OLS)相比，它能夠提供更加充分的模型[5]。

分位數(shù)回歸中每一個分位數(shù)的估計都是基于整體樣本的加權(quán)來完成的，現(xiàn)在分位數(shù)回歸已經(jīng)被應(yīng)用到許多領(lǐng)域來解釋各種問題。例如工資問題、生存分析、財務(wù)分析、經(jīng)濟(jì)研究、環(huán)境研究、互聯(lián)網(wǎng)和通信技術(shù)、醫(yī)療保健支出、小型企業(yè)經(jīng)營業(yè)績等[6-9]。本文溢出中位數(shù)GARCH模型，研究匯率波動性即期預(yù)測。

1 相關(guān)理論基礎(chǔ)

1.1 ARCH模型

ARCH(q)模型在形式上是一個回歸模型，其條件波動率（也成為條件方差）是因變量，往期收益率平方值是自變量。ARCH(q)模型假設(shè)收益率序列{} rt由下式生成：

其中：αi，i=1，...，q和w是未知參數(shù)，，并且εt和rt-j，j=1，2，......是相互獨(dú)立的。下標(biāo)里的t-1表示以t-1時刻之前的收益率做為條件計算第t期收益率的方差。因?yàn)棣舤被假定為具有單位方差，因此的方差等于。這里可以看出：序列的方差是隨著時間變化的，體現(xiàn)出了異方差性。

RCH(q)的第二個式子表明，這個隨著時間變化的條件方差是序列的滯后有限項(xiàng)的二次方的線性組合。

1.2 GARCH模型

當(dāng)ARCH(q)中的q比較大時，可以在ARCH模型第二個式子中加入過去的條件方差項(xiàng)，這樣就得到了廣義自回歸條件異方差模型(GARCH)。對于序列，如果：

這就是Bollerslev(1986)和Taylor(1986)提出的GARCH (p,q)的模型。式（3）中和βj，j=1，...，p是未知的參數(shù)，，并且εt和rt-m，m=1，2，......是相互獨(dú)立的。GARCH(p,q)模型形式上是一種是用滯后q階的的平方和滯后p階條件方差來預(yù)測將來變化的時間序列建模方法。已經(jīng)有很多文獻(xiàn)證明這些模型的預(yù)測效果要比同方差的方法要好很多[10-12]。

1.3 分位數(shù)回歸

式（4）τ表示分位數(shù)，τ的取值可以是(0,1)之間的任意小數(shù)，給定τ就說明在建模的過程中位于擬合線之下的數(shù)據(jù)比例為τ。當(dāng)分位數(shù)為0.5時，分位數(shù)GARCH就是中位數(shù)GARCH模型。

分位數(shù)在系數(shù)估計上與OLS回歸存在明顯的差別。OLS的估計系數(shù)用的是最小二乘法，分位數(shù)回歸系數(shù)估計用的是加權(quán)最小一乘法，他們的目標(biāo)函數(shù)分別為：

1.4 變量選擇準(zhǔn)則

Brooks和Burke提出了用信息準(zhǔn)則(如AIC,BIC,AICC等)來確定GARCH模型中的p和q[13]。本文模型選擇的時候用AIC信息準(zhǔn)則。

AIC是由日本的統(tǒng)計學(xué)家赤池（Akaike）1973年提出的[14]。AIC準(zhǔn)則趨向于選擇使AIC=-2log(L)+2k最小的模型。其中L是極大似然估計，-2log(L)表示模型的精確度，k為參數(shù)的數(shù)量表示模型的復(fù)雜度。

2 實(shí)證分析

本文數(shù)據(jù)來自國家外匯管理局官方網(wǎng)站(http：//www. safe.gov.cn/)，這里選用的是人民幣兌美元的數(shù)據(jù)，所有的數(shù)據(jù)均是人民幣匯率買賣雙方中間價。這里選取了2011年5月25日至2015年8月10日，從2011年5月25日以后匯率數(shù)據(jù)就穩(wěn)定在了6.5以下，本文研究的是匯率在穩(wěn)定在6.5以下的數(shù)據(jù)。

所以本文以價格對數(shù)的差分表示收益率。收益率基本統(tǒng)計性質(zhì)如表1所示。

表1 數(shù)據(jù)統(tǒng)計量

表1表示的數(shù)據(jù)各個統(tǒng)計量的表格，由表1可以看出均值和中位數(shù)幾乎為0，中位數(shù)大于均值，數(shù)據(jù)是左偏的，這也可以由skewness小于0看出。JB統(tǒng)計量顯示這組數(shù)據(jù)是非正態(tài)的，ADF統(tǒng)計量的p值較小為0.01在置信度為5%的水平下，認(rèn)為數(shù)據(jù)是平穩(wěn)的；而第四行的最后一個數(shù)據(jù)反應(yīng)的是原始數(shù)據(jù)的ADF統(tǒng)計量，但是這個ADF的p值為0.4892，認(rèn)為原始數(shù)據(jù)是不平穩(wěn)的，比較兩個ADF值可以看出一階差分能夠消除數(shù)據(jù)的不平穩(wěn)性。

圖1 匯率收益率趨勢圖

圖1是數(shù)據(jù)的趨勢圖，左邊的圖是原始數(shù)據(jù)的趨勢圖，可見所選的美元兌人民幣的匯率數(shù)據(jù)在所選區(qū)間內(nèi)是呈下降趨勢的，這說明我國的貨幣是不斷升值的。右圖是收益率趨勢圖，沒有明顯的增長或減小的趨勢，但是能看出波動集群性，這直觀表明了異方差的存在。

異方差的存在說明有ARCH效應(yīng)，ARCH效應(yīng)檢驗(yàn)用的是McLeod.Li方法，原假設(shè)為H0:σ1=σ2=...=σn，由R語言rugarch包里面的McLeod.Li.test的檢驗(yàn)結(jié)果可以明顯看出是否有異方差如圖2所示。

圖2 ARCH效應(yīng)檢驗(yàn)的McLeod.Li.test結(jié)果顯示圖

其中橫軸表示滯后階數(shù)，縱軸表示McLeod.Li檢驗(yàn)的p值，虛線表示p值為0.05。由圖2可以看出在滯后1～30階的情況下ARCH效應(yīng)都是明顯的，滯后階數(shù)比較大時仍具有ARCH效應(yīng)，所以考慮應(yīng)用GARCH模型。

在GARCH模型中有p,q需要選擇，這里應(yīng)用的是AIC。同時，為了保持一致性MRGARCH中p,q的選擇方法也用AIC，選擇結(jié)果見表2所示。

表2 選擇GARCH(p,q)中p,q的結(jié)果

表2中前三列是中位數(shù)GARCH模型選擇的過程，后三列是GARCH模型的選擇過程。前三列可以看出：選擇分位數(shù)中位數(shù)GARCH(0,1)比較合適，這時模型的解釋變量只有滯后一期的條件方差，同時模型中的系數(shù)通過檢驗(yàn)，比較顯著。后三列的結(jié)果顯示選擇GARCH(1,1)比較合適，這也驗(yàn)證了很多文獻(xiàn)中提到的一般選取GARCH(1,1)的說法[15]。

由此可以得到兩種方法下最優(yōu)的模型MGARCH(0,1)和GARCH(1，1)，為了檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷膬?yōu)劣，下面進(jìn)行一個預(yù)測相對誤差的比較，這里進(jìn)行的是一步向前預(yù)測，共預(yù)測了一周的數(shù)據(jù)(5期)。需要注意的是每次預(yù)測是都需要對模型進(jìn)行選擇，從而得到比較準(zhǔn)確的預(yù)測效果。訓(xùn)練數(shù)據(jù)共1015個，得到的預(yù)測結(jié)果見表3所示。

表3 預(yù)測結(jié)果及預(yù)測誤差（窗寬1015）

表3第一列表示中位數(shù)GARCH對條件方差的預(yù)測結(jié)果，第二列表示GARCH模型對條件方差的預(yù)測結(jié)果。第三列是真實(shí)值，第四列和第五列是對預(yù)測效果的一個直觀的體現(xiàn)，用的是預(yù)測誤差。由預(yù)測誤差可以看出：分位數(shù)GARCH模型的條件方差的預(yù)測效果要比GARCH的效果要好的多，這一結(jié)論在第四和第五列體現(xiàn)的較為直接。GARCH的預(yù)測誤差在10%左右，而中位數(shù)GARCH的預(yù)測誤差在0.2%～0.3%之間徘徊。在預(yù)測的這五期數(shù)據(jù)里面，每一期的MRGARCH的預(yù)測效果都要比GARCH模型的效果要好很多。

3 結(jié)論

在進(jìn)行波動率預(yù)測時，用中位數(shù)GARCH模型要比一般的GARCH模型的預(yù)測結(jié)果要精確，這對進(jìn)一步的收益率預(yù)測和定價的精確預(yù)測帶來了一定的優(yōu)勢。波動率體現(xiàn)金融市場質(zhì)量和效率，因此準(zhǔn)確預(yù)測是非常重要的。波動率的準(zhǔn)確預(yù)測能夠給投資者一定的投資依據(jù)，能夠?qū)ξ覈膮R率政策的制定帶來一定的理論依據(jù)。

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（責(zé)任編輯/浩天）

O213.9

A

1002-6487（2017）11-0073-03

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11301237）；教育部留學(xué)回國人員科研啟動基金資助項(xiàng)目（第44批）；蘭州大學(xué)中央高?；鹳Y助項(xiàng)目（lzujbky-2015-80；lzujbky-2013-178；lzujbky-2012-15）

張曼（1989—），女，山東菏澤人，碩士，研究方向：高維數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析。田人合（1988—），男，甘肅隴西人，博士研究生，研究方向：情報研究方法與技術(shù)、數(shù)據(jù)科學(xué)。