張曼，趙學(xué)靖，田人合

（1.蘭州大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,蘭州730000；2.中國科學(xué)院成都文獻情報中心，成都610041；3.中國科學(xué)院大學(xué)，北京100049）

基于中位數(shù)GARCH模型的匯率波動率預(yù)測

張曼1，趙學(xué)靖1，田人合2,3

（1.蘭州大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,蘭州730000；2.中國科學(xué)院成都文獻情報中心，成都610041；3.中國科學(xué)院大學(xué)，北京100049）

自2005年7月21日匯率改革以來，人民幣匯率的波動性發(fā)生了根本的變化。匯率波動越來越頻繁、越來越大。匯率的準確預(yù)測無論是對國內(nèi)還是對國際都有著至關(guān)重要的意義。文章預(yù)測匯率收益率的波動性，在ARCH和GARCH模型的基礎(chǔ)上提出了中位數(shù)GARCH模型，并采用人民幣兌美元的數(shù)據(jù)來檢驗?zāi)Ｐ偷挠行?。由預(yù)測誤差可以看出，中位數(shù)GARCH能很好地減小預(yù)測誤差。

中位數(shù)GARCH模型；GARCH；波動率預(yù)測

0 引言

匯率是兩種貨幣的折算的一個比率數(shù)字，它是衡量一國貨幣價值的重要指標(biāo)。隨著社會的發(fā)展和金融的全球化，資金在國際和地區(qū)間的流動變得越來越頻繁。它不僅影響到國內(nèi)的經(jīng)濟，也在國際間的貨幣收支上起著不可或缺的作用。因此匯率在金融市場的波動性已經(jīng)成為了現(xiàn)代金融理論和金融研究的一個重要課題。匯率的波動帶來的風(fēng)險的變化，大的匯率波動往往帶來的風(fēng)險較大；相反，小的波動帶來的風(fēng)險較小。我國2005年7月21日對匯率進行了調(diào)整，匯率不再是單一的盯住美元，政府放松了對匯率的監(jiān)管，波動越來越頻繁，幅度也越來越大。匯率改革以來，人民幣的累計升值幅度已達25%左右，匯率的不斷變化吸引了部分學(xué)者來進行研究其特性。

匯率作為一種金融數(shù)據(jù)同樣具有非正態(tài)、非平穩(wěn)、異方差的特性，這些特性的存在使得傳統(tǒng)的最小二乘方法極有可能帶來“偽回歸”的結(jié)果。針對金融數(shù)據(jù)的這一特性Engel(1982)提出了自回歸條件異方差(ARCH)模型[1]。Hsieh曾經(jīng)證明了ARCH能夠用來描繪匯率波動的情況[2]。

在ARCH模型的基礎(chǔ)上發(fā)展了GARCH族模型[3]。凱恩克(Koenker)和巴西特(Bassett)于1978年提出的分位數(shù)回模型[4]，分位數(shù)回歸對數(shù)據(jù)沒有太大的要求。

分位數(shù)回歸能夠適應(yīng)數(shù)據(jù)尖峰、厚尾或者顯著異方差的特性，分位數(shù)回歸在數(shù)據(jù)非正態(tài)的情況下穩(wěn)健性要優(yōu)于最小二乘回歸。它是凱恩克(Koenker)和巴西特(Bassett)于1978年提出的[5]。分位數(shù)回歸(QR)利用解釋變量和因變量的條件分位數(shù)進行建模。與普通的最小二乘回歸(OLS)相比，它能夠提供更加充分的模型[5]。

分位數(shù)回歸中每一個分位數(shù)的估計都是基于整體樣本的加權(quán)來完成的，現(xiàn)在分位數(shù)回歸已經(jīng)被應(yīng)用到許多領(lǐng)域來解釋各種問題。例如工資問題、生存分析、財務(wù)分析、經(jīng)濟研究、環(huán)境研究、互聯(lián)網(wǎng)和通信技術(shù)、醫(yī)療保健支出、小型企業(yè)經(jīng)營業(yè)績等[6-9]。本文溢出中位數(shù)GARCH模型，研究匯率波動性即期預(yù)測。

1 相關(guān)理論基礎(chǔ)

1.1 ARCH模型

ARCH(q)模型在形式上是一個回歸模型，其條件波動率（也成為條件方差）是因變量，往期收益率平方值是自變量。ARCH(q)模型假設(shè)收益率序列{} rt由下式生成：

其中：αi，i=1，...，q和w是未知參數(shù)，，并且εt和rt-j，j=1，2，......是相互獨立的。下標(biāo)里的t-1表示以t-1時刻之前的收益率做為條件計算第t期收益率的方差。因為εt被假定為具有單位方差，因此的方差等于。這里可以看出：序列的方差是隨著時間變化的，體現(xiàn)出了異方差性。

RCH(q)的第二個式子表明，這個隨著時間變化的條件方差是序列的滯后有限項的二次方的線性組合。

1.2 GARCH模型

當(dāng)ARCH(q)中的q比較大時，可以在ARCH模型第二個式子中加入過去的條件方差項，這樣就得到了廣義自回歸條件異方差模型(GARCH)。對于序列，如果：

這就是Bollerslev(1986)和Taylor(1986)提出的GARCH (p,q)的模型。式（3）中和βj，j=1，...，p是未知的參數(shù)，，并且εt和rt-m，m=1，2，......是相互獨立的。GARCH(p,q)模型形式上是一種是用滯后q階的的平方和滯后p階條件方差來預(yù)測將來變化的時間序列建模方法。已經(jīng)有很多文獻證明這些模型的預(yù)測效果要比同方差的方法要好很多[10-12]。

1.3 分位數(shù)回歸

式（4）τ表示分位數(shù)，τ的取值可以是(0,1)之間的任意小數(shù)，給定τ就說明在建模的過程中位于擬合線之下的數(shù)據(jù)比例為τ。當(dāng)分位數(shù)為0.5時，分位數(shù)GARCH就是中位數(shù)GARCH模型。

分位數(shù)在系數(shù)估計上與OLS回歸存在明顯的差別。OLS的估計系數(shù)用的是最小二乘法，分位數(shù)回歸系數(shù)估計用的是加權(quán)最小一乘法，他們的目標(biāo)函數(shù)分別為：

1.4 變量選擇準則

Brooks和Burke提出了用信息準則(如AIC,BIC,AICC等)來確定GARCH模型中的p和q[13]。本文模型選擇的時候用AIC信息準則。

AIC是由日本的統(tǒng)計學(xué)家赤池（Akaike）1973年提出的[14]。AIC準則趨向于選擇使AIC=-2log(L)+2k最小的模型。其中L是極大似然估計，-2log(L)表示模型的精確度，k為參數(shù)的數(shù)量表示模型的復(fù)雜度。

2 實證分析

本文數(shù)據(jù)來自國家外匯管理局官方網(wǎng)站(http：//www. safe.gov.cn/)，這里選用的是人民幣兌美元的數(shù)據(jù)，所有的數(shù)據(jù)均是人民幣匯率買賣雙方中間價。這里選取了2011年5月25日至2015年8月10日，從2011年5月25日以后匯率數(shù)據(jù)就穩(wěn)定在了6.5以下，本文研究的是匯率在穩(wěn)定在6.5以下的數(shù)據(jù)。

所以本文以價格對數(shù)的差分表示收益率。收益率基本統(tǒng)計性質(zhì)如表1所示。

表1 數(shù)據(jù)統(tǒng)計量

表1表示的數(shù)據(jù)各個統(tǒng)計量的表格，由表1可以看出均值和中位數(shù)幾乎為0，中位數(shù)大于均值，數(shù)據(jù)是左偏的，這也可以由skewness小于0看出。JB統(tǒng)計量顯示這組數(shù)據(jù)是非正態(tài)的，ADF統(tǒng)計量的p值較小為0.01在置信度為5%的水平下，認為數(shù)據(jù)是平穩(wěn)的；而第四行的最后一個數(shù)據(jù)反應(yīng)的是原始數(shù)據(jù)的ADF統(tǒng)計量，但是這個ADF的p值為0.4892，認為原始數(shù)據(jù)是不平穩(wěn)的，比較兩個ADF值可以看出一階差分能夠消除數(shù)據(jù)的不平穩(wěn)性。

圖1 匯率收益率趨勢圖

圖1是數(shù)據(jù)的趨勢圖，左邊的圖是原始數(shù)據(jù)的趨勢圖，可見所選的美元兌人民幣的匯率數(shù)據(jù)在所選區(qū)間內(nèi)是呈下降趨勢的，這說明我國的貨幣是不斷升值的。右圖是收益率趨勢圖，沒有明顯的增長或減小的趨勢，但是能看出波動集群性，這直觀表明了異方差的存在。

異方差的存在說明有ARCH效應(yīng)，ARCH效應(yīng)檢驗用的是McLeod.Li方法，原假設(shè)為H0:σ1=σ2=...=σn，由R語言rugarch包里面的McLeod.Li.test的檢驗結(jié)果可以明顯看出是否有異方差如圖2所示。

圖2 ARCH效應(yīng)檢驗的McLeod.Li.test結(jié)果顯示圖

其中橫軸表示滯后階數(shù)，縱軸表示McLeod.Li檢驗的p值，虛線表示p值為0.05。由圖2可以看出在滯后1～30階的情況下ARCH效應(yīng)都是明顯的，滯后階數(shù)比較大時仍具有ARCH效應(yīng)，所以考慮應(yīng)用GARCH模型。

在GARCH模型中有p,q需要選擇，這里應(yīng)用的是AIC。同時，為了保持一致性MRGARCH中p,q的選擇方法也用AIC，選擇結(jié)果見表2所示。

表2 選擇GARCH(p,q)中p,q的結(jié)果

表2中前三列是中位數(shù)GARCH模型選擇的過程，后三列是GARCH模型的選擇過程。前三列可以看出：選擇分位數(shù)中位數(shù)GARCH(0,1)比較合適，這時模型的解釋變量只有滯后一期的條件方差，同時模型中的系數(shù)通過檢驗，比較顯著。后三列的結(jié)果顯示選擇GARCH(1,1)比較合適，這也驗證了很多文獻中提到的一般選取GARCH(1,1)的說法[15]。

由此可以得到兩種方法下最優(yōu)的模型MGARCH(0,1)和GARCH(1，1)，為了檢驗?zāi)Ｐ偷膬?yōu)劣，下面進行一個預(yù)測相對誤差的比較，這里進行的是一步向前預(yù)測，共預(yù)測了一周的數(shù)據(jù)(5期)。需要注意的是每次預(yù)測是都需要對模型進行選擇，從而得到比較準確的預(yù)測效果。訓(xùn)練數(shù)據(jù)共1015個，得到的預(yù)測結(jié)果見表3所示。

表3 預(yù)測結(jié)果及預(yù)測誤差（窗寬1015）

表3第一列表示中位數(shù)GARCH對條件方差的預(yù)測結(jié)果，第二列表示GARCH模型對條件方差的預(yù)測結(jié)果。第三列是真實值，第四列和第五列是對預(yù)測效果的一個直觀的體現(xiàn)，用的是預(yù)測誤差。由預(yù)測誤差可以看出：分位數(shù)GARCH模型的條件方差的預(yù)測效果要比GARCH的效果要好的多，這一結(jié)論在第四和第五列體現(xiàn)的較為直接。GARCH的預(yù)測誤差在10%左右，而中位數(shù)GARCH的預(yù)測誤差在0.2%～0.3%之間徘徊。在預(yù)測的這五期數(shù)據(jù)里面，每一期的MRGARCH的預(yù)測效果都要比GARCH模型的效果要好很多。

3 結(jié)論

在進行波動率預(yù)測時，用中位數(shù)GARCH模型要比一般的GARCH模型的預(yù)測結(jié)果要精確，這對進一步的收益率預(yù)測和定價的精確預(yù)測帶來了一定的優(yōu)勢。波動率體現(xiàn)金融市場質(zhì)量和效率，因此準確預(yù)測是非常重要的。波動率的準確預(yù)測能夠給投資者一定的投資依據(jù)，能夠?qū)ξ覈膮R率政策的制定帶來一定的理論依據(jù)。

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（責(zé)任編輯/浩天）

O213.9

A

1002-6487（2017）11-0073-03

國家自然科學(xué)基金資助項目（11301237）；教育部留學(xué)回國人員科研啟動基金資助項目（第44批）；蘭州大學(xué)中央高?；鹳Y助項目（lzujbky-2015-80；lzujbky-2013-178；lzujbky-2012-15）

張曼（1989—），女，山東菏澤人，碩士，研究方向：高維數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析。田人合（1988—），男，甘肅隴西人，博士研究生，研究方向：情報研究方法與技術(shù)、數(shù)據(jù)科學(xué)。