程麗娟

（嶺南師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，廣東湛江524048）

基于部分函數(shù)型線性回歸模型的改進

程麗娟

（嶺南師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，廣東湛江524048）

金融市場的交易是不間斷的，價格始終高頻的更新，在金融數(shù)據(jù)的研究中，經(jīng)常遇到函數(shù)型數(shù)據(jù)。文章主要建立部分函數(shù)型線性回歸模型，分析函數(shù)型數(shù)據(jù)在上證指數(shù)預(yù)測中的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)型數(shù)據(jù)分析的原理及其求解主成分分析的方法，使用Matlab對上證指數(shù)進行預(yù)測。

部分函數(shù)型線性回歸模型；函數(shù)型數(shù)據(jù)；預(yù)測

0 引言

傳統(tǒng)的數(shù)據(jù)分析中，數(shù)據(jù)是離散且有限的，但是金融市場的交易是不間斷的，價格始終高頻的更新，金融價格產(chǎn)生的隨機過程一般是非平穩(wěn)的，因而使用傳統(tǒng)的時間序列分析方法在解決金融數(shù)據(jù)的時候往往效果較差。加拿大學(xué)者J.O.Ramsay在1982年首次給出將泛函分析、拓撲學(xué)和統(tǒng)計學(xué)相結(jié)合的設(shè)想，提出“函數(shù)型數(shù)據(jù)”的概念以及函數(shù)型數(shù)據(jù)的分析方法。近年來，函數(shù)型數(shù)據(jù)分析廣泛應(yīng)用在醫(yī)學(xué)、氣象學(xué)、生物學(xué)、金融等領(lǐng)域。由于函數(shù)型數(shù)據(jù)的特殊性，將經(jīng)典多元回歸方法應(yīng)用到函數(shù)型回歸模型上通常不能得到較好的結(jié)果，因此出現(xiàn)了許多處理這類問題的方法，本文主要建立部分函數(shù)型線性回歸模型，根據(jù)文獻[6]通過把L2空間的函數(shù)型數(shù)據(jù)進行K-L展開，得到部分函數(shù)型線性模型中系數(shù)的估計量，給出其在上證指數(shù)預(yù)測中的實證分析，根據(jù)函數(shù)型數(shù)據(jù)分析的原理及其求解主成分分析的方法，使用Matlab軟件對上證指數(shù)進行預(yù)測。

1 函數(shù)型數(shù)據(jù)分析

對于定義在概率空間(Ω，Β，P)上的實值隨機變量Y和(z，X)，滿足如下的線性關(guān)系：

其中εi獨立同分布。從而可得的樣本估計值為

根據(jù)文獻[9]，使用函數(shù)型數(shù)據(jù)主成分分析方法，選擇前m個最大特征值對應(yīng)的主成分將X(t)進行Karhunen-Loève正交展開，使用最小二乘方法得到估計量：

其中：

其中，αn通過廣義Cross-Validation方法求得。

2 實證分析

建立上證指數(shù)的函數(shù)型數(shù)據(jù)預(yù)測模型，F(xiàn)=μ+Y+ε，其中μ為上證指數(shù)的日收益率的均值，Y=βTz+＜θ(t)，X(t)＞+ε為部分函數(shù)型線性回歸模型，本文選取我國上證指數(shù)作為研究對象，其中Y為2015年4月21日至6月8日的日收益率減去其均值后的數(shù)據(jù)，z～N34(0，I)，{X(t)}為2015年4月21日至6月8日的5分鐘收益率減去其均值后的數(shù)據(jù)。這里，z～N34(0，I)，則其為隨機向量，Ez=0， Ezz'存在且有限；為隨機過程，均值為零，與z，X相互獨立，且Eε=0，Varε=σ2；θ(t)∈L2[0，1]，且為p維隨機向量。從而，該模型符合部分函數(shù)型線性回歸模型的條件，可以進行上證指數(shù)預(yù)測。

為了避免“隔夜效應(yīng)”的影響，在進行數(shù)據(jù)分析時，舍棄每天的第一個數(shù)據(jù)（即9：35時刻），把每天的5分鐘收益率數(shù)據(jù)視為其對應(yīng)函數(shù)產(chǎn)生的一組樣本觀測值，使用B樣條插值法對這些樣本觀測值進行擬合，并進行套準和平滑處理，然后根據(jù)得到的光滑曲線求出其變化速度曲線，即一階導(dǎo)數(shù)曲線，如圖1所示。圖1表示的是收益率曲線及其平滑曲線。圖2表示的是B樣條插值法得到曲線的一階導(dǎo)數(shù)曲線。

圖1 收益率曲線及其平滑曲線

圖2 一階導(dǎo)數(shù)曲線

得到平滑函數(shù)后，對該收益率函數(shù)進行函數(shù)型主成分分析，得到主成分權(quán)重函數(shù)，如圖3所示。

圖3 主成分權(quán)重函數(shù)

得到主成分特征值與貢獻率，如表1所示。

表1 主成分特征值與貢獻率

根據(jù)表1中的方差貢獻率，選取前四個最大特征值對應(yīng)的主成分將X(t)進行Karhunen-Loève正交展開，通過廣義Cross-Validation方法求得αn=0.00000001。

使用最小二乘方法得到估計量：將觀測到的真實值、模型估計出的預(yù)測值如表2所示。

表2 真實值與預(yù)測值

將考慮αn的模型估計出的預(yù)測值和不考慮αn的模型估計出的預(yù)測值的誤差百分比如表3所示。

表3 考慮αn的估計和不考慮αn估計的預(yù)測值誤差百分比（單位：%）

由表3可以看出，6月10日和6月11日考慮αn的估計誤差百分比比不考慮αn的誤差百分比小，絕大部分的誤差百分比都較小，而6月9日和6月12日考慮αn的估計誤差百分比比不考慮αn的誤差百分比基本一樣，這是因為當特征值的個數(shù)m≤3兩種估計量的效果幾乎相同，由Shin提出的估計量在m=4時達到最優(yōu)；當m＞4時，由于趨于零的特征值在分母上產(chǎn)生較大波動，不能給出準確的估計。因而對建立的部分函數(shù)型線性回歸模型進行預(yù)測時，考慮αn具有很好的準確性。綜上可知，建立函數(shù)型主成分預(yù)測模型對我國上證指數(shù)收益率進行預(yù)測，考慮αn預(yù)測的準確程度較高。

3 結(jié)論

本文對部分函數(shù)型線性回歸模型在上證指數(shù)中的應(yīng)用進行了研究，介紹了函數(shù)型數(shù)據(jù)分析的研究意義，研究了函數(shù)型數(shù)據(jù)的主成分分析方法以及如何使用部分函數(shù)型線性回歸模型對上證指數(shù)進行預(yù)測。通過對上證指數(shù)收益率進行預(yù)測的實證分析，得到考慮αn的模型建立部分函數(shù)型線性回歸模型對我國上證指數(shù)收益率進行預(yù)測，預(yù)測的準確程度較高。

[1]Ramsay J O.When the Data Are Functions[J].Psychometrika,1982, (47).

[2]Ramsay J O,Hooker G.Functional Data Analysis With R and MATLAB[M].New York:Springer,2009.

[3]Shang H L.Nonparametric Modeling and Forecasting Electricity Demand:An Empirical Study[J].Working Paper,2010.

[4]Mallor F,Leon T,Gaston M.Changes in Power Curve Shapes as an Indicator of Fatigue During Dynamic Contractions[J].Journal of Biomechanics,2010,(43).

[5]Delicado P.Dimensionality Reduction When Data Are Density Functions[J].Computational Statistics and Data Analysis.2011.

[6]Shin H.Partial Functional Linear Regression[J].Journal of Statistical Planning and Inference,2009,139,(10).

[7]Ferraty F,GonzMez-Manteiga W,Martinez-Calvo A,et a1.Presmoothing in Functional Linear Regression[J].Statistica Sinica,2012, (22).

[8]Berrendero J R.Principal Components for Multivariate Functional Data[J].Computational Statistics and Data Analysis.2011.

[9]張雪，田媛，王德輝.部分函數(shù)型線性回歸模型的預(yù)平滑估計[J].吉林大學(xué)學(xué)報:理學(xué)版,2014，(7).

（責(zé)任編輯/浩天）

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A

1002-6487（2017）11-0070-03

嶺南師范學(xué)院自然科學(xué)青年項目（QL1407）

程麗娟（1986—），女，安徽臨泉人，碩士研究生，研究方向：應(yīng)用統(tǒng)計與風(fēng)險決策。