張士軍，劉志國(guó)

（軍械工程學(xué)院基礎(chǔ)部，石家莊050003）

基于貝葉斯理論的小批量產(chǎn)品抽樣檢驗(yàn)方法

張士軍，劉志國(guó)

（軍械工程學(xué)院基礎(chǔ)部，石家莊050003）

文章針對(duì)小批量產(chǎn)品抽樣檢驗(yàn)存在的樣本量大、檢驗(yàn)費(fèi)用高等問(wèn)題，研究了基于貝葉斯理論的抽樣檢驗(yàn)方法，該方法充分利用質(zhì)量的歷史信息，以費(fèi)用最小為目標(biāo)，在保證質(zhì)量的前提下，盡可能減少所檢驗(yàn)樣品的個(gè)數(shù)，降低檢驗(yàn)的工作量和成本。

小批量；貝葉斯理論；抽樣檢驗(yàn)

0 引言

統(tǒng)計(jì)抽樣檢驗(yàn)是檢驗(yàn)產(chǎn)品質(zhì)量的一種十分重要的、經(jīng)濟(jì)的手段，是質(zhì)量管理和質(zhì)量監(jiān)督的重要組成部分和基本統(tǒng)計(jì)技術(shù)。統(tǒng)計(jì)抽樣檢驗(yàn)是標(biāo)準(zhǔn)化程度很高的領(lǐng)域，迄今為止我國(guó)已發(fā)布了三十余個(gè)統(tǒng)計(jì)抽樣檢驗(yàn)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)，這些標(biāo)準(zhǔn)在產(chǎn)品的檢驗(yàn)驗(yàn)收中得到了廣泛的應(yīng)用。

隨著社會(huì)的發(fā)展和科技的進(jìn)步，產(chǎn)品的檢驗(yàn)驗(yàn)收呈現(xiàn)出一些新的特點(diǎn)：產(chǎn)品的科技含量和價(jià)值越來(lái)越高，產(chǎn)品的結(jié)構(gòu)越來(lái)越復(fù)雜，檢驗(yàn)的費(fèi)用和工作量大幅增加；與此同時(shí)，產(chǎn)品的批量卻往往很小。而多數(shù)現(xiàn)行的抽樣檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)（如GB/2828）設(shè)計(jì)抽樣方案時(shí)是基于二項(xiàng)分布或泊松分布的，基本不適于小批量情形。即使是針對(duì)小批量的抽樣標(biāo)準(zhǔn)（如GB/T13264）也不適于批量過(guò)小的情形。而且，現(xiàn)行的抽樣檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)設(shè)計(jì)抽樣方案時(shí)均沒(méi)有專門考慮費(fèi)用的因素。因此，對(duì)于批量較小、檢驗(yàn)費(fèi)用較高的產(chǎn)品檢驗(yàn)驗(yàn)收，如果沿用現(xiàn)行的抽樣檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)來(lái)設(shè)計(jì)抽樣方案，樣本量通常比較大，將耗費(fèi)大量的人力、物力和財(cái)力，既不精確也不經(jīng)濟(jì)。小批量產(chǎn)品的檢驗(yàn)方法是目前迫切需要解決的一個(gè)理論問(wèn)題，由于許多產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用和檢驗(yàn)工作量很大，對(duì)于小批量產(chǎn)品如何在保證質(zhì)量的前提下盡可能減少檢驗(yàn)的樣本量，也是一個(gè)具有重要實(shí)用價(jià)值的實(shí)際問(wèn)題。

針對(duì)小批量產(chǎn)品的檢驗(yàn)，本文基于貝葉斯理論，充分利用質(zhì)量的歷史信息，以費(fèi)用最小為目標(biāo)構(gòu)建了優(yōu)化模型，得到了貝葉斯抽樣方案，在保證質(zhì)量的前提下，盡可能減少了檢驗(yàn)所需的樣本量，降低了檢驗(yàn)的工作量和成本。

1 貝葉斯抽樣方案統(tǒng)計(jì)原理

1.1 有關(guān)概念及假定

在產(chǎn)品檢驗(yàn)中，可以采用三種方式：第一，不檢驗(yàn)（免檢），直接接收產(chǎn)品；第二，全檢（百分之百檢驗(yàn)），剔除產(chǎn)品中的不合格品，接收其余的合格品；第三，抽檢，利用統(tǒng)計(jì)抽樣理論設(shè)計(jì)的抽樣方案，從檢驗(yàn)批中抽取部分產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，根據(jù)檢驗(yàn)的結(jié)果決定產(chǎn)品的接收與否。在實(shí)際的抽檢中，如果按照抽樣方案的判別規(guī)則拒收了，那么需要對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行全檢后再接收。如何在這三種方式之間選擇，以使得費(fèi)用最小，這就是貝葉斯抽樣檢驗(yàn)所研究的問(wèn)題。

為便于討論，先給出有關(guān)的概念和假定。

1.1.1出廠費(fèi)用（A）

出廠費(fèi)用是指由于不合格品出廠給企業(yè)帶來(lái)的各種費(fèi)用。比如：維修或更換不合格品的費(fèi)用、產(chǎn)品退貨帶來(lái)的損失、不合格品招致的賠款等。上述費(fèi)用對(duì)于單個(gè)不合格品的平均值用符號(hào)A表示。

1.1.2全檢費(fèi)用（R）

全檢費(fèi)用是指對(duì)于非破壞性的檢驗(yàn)，進(jìn)行全檢的檢驗(yàn)費(fèi)用以及由于產(chǎn)品全檢對(duì)企業(yè)生產(chǎn)帶來(lái)的影響。比如：每個(gè)產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)、復(fù)式費(fèi)、檢驗(yàn)導(dǎo)致的停工損失等。本文用符號(hào)R表示單個(gè)產(chǎn)品的平均全檢費(fèi)用。

1.1.3抽檢費(fèi)用（S）

抽檢費(fèi)用是指對(duì)產(chǎn)品抽檢所帶來(lái)的費(fèi)用。比如：檢驗(yàn)設(shè)備費(fèi)、工時(shí)費(fèi)以及其他費(fèi)用。本文用符號(hào)S表示單個(gè)被檢產(chǎn)品的平均抽檢費(fèi)用。

在上述三種平均費(fèi)用中，假定R＜A。因?yàn)槿鬜＞A，企業(yè)就不必進(jìn)行檢驗(yàn)了，在通常情況下，這不符合實(shí)際。A,R,S可根據(jù)歷史資料統(tǒng)計(jì)得到，在以后的討論中，均假定為已知量。

1.1.4先驗(yàn)信息

假定產(chǎn)品的不合格品率p（）0≤p≤1是一隨機(jī)變量，其概率密度函數(shù)為稱為先驗(yàn)概率密度函數(shù)，反映了生產(chǎn)過(guò)程的質(zhì)量水平的變化情況，f（）p可以通過(guò)企業(yè)的歷史數(shù)據(jù)資料得到。根據(jù)概率密度函數(shù)的定義，應(yīng)滿足如下性質(zhì)：

1.2 決策費(fèi)用分析

下面對(duì)各種決策的總費(fèi)用進(jìn)行分析，為建立抽樣方案的數(shù)學(xué)模型奠定基礎(chǔ)。

設(shè)產(chǎn)品的批量為N，不合格品率為p，由于決策時(shí)，每批產(chǎn)品的不合格品率是不知道的，在這種情況下，通常是計(jì)算各種決策下的期望總費(fèi)用。

根據(jù)上面給出的條件及假定：

期望出廠總費(fèi)用：

期望全檢總費(fèi)用：

對(duì)于抽檢的情形，設(shè)抽檢的樣本量為n（）n＜N,抽檢結(jié)果會(huì)有兩種情形：一是接收產(chǎn)品，從而可以出廠；二是拒收產(chǎn)品，這時(shí)需要對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行全數(shù)檢驗(yàn)，然后才能出廠。第一種情形下的費(fèi)用為：nS+（）N-n Ap；第二種情形下的費(fèi)用為：nS+（）N-n R。設(shè)抽樣方案判定產(chǎn)品接收和拒收的概率分別為P(p)，Q(p)，可以得到：

期望抽檢總費(fèi)用：

將上述三種決策下相應(yīng)的費(fèi)用進(jìn)行比較分析如下：

首先，將全檢和不檢兩種情況進(jìn)行比較。由式（1）和式（2）不難看出：就全檢和不檢兩種決策而言，當(dāng)pˉ＞R/A時(shí)，由于Apˉ＞R，企業(yè)這時(shí)應(yīng)進(jìn)行全數(shù)檢驗(yàn)。而如果pˉ＜R/A，由于Apˉ＜R，這時(shí)企業(yè)對(duì)產(chǎn)品可以免檢，直接出廠；這說(shuō)明：R/A是企業(yè)選擇不檢和全檢的分界線，記。假定當(dāng)p變化時(shí)，企業(yè)做出的決策都是正確的，在這種理想的狀態(tài)下，企業(yè)產(chǎn)品出廠造成的損失最小。此時(shí)企業(yè)的總費(fèi)用為：

KM表明了在企業(yè)能夠正確地判斷產(chǎn)品的質(zhì)量水平的情況下，至少還需要支出的費(fèi)用。不難證明：＞KM。事實(shí)上，企業(yè)只根據(jù)值來(lái)制定策略是一定存在損失的，這個(gè)損失值就是，該值即是統(tǒng)計(jì)決策理論中的完全情報(bào)價(jià)值。

記：

則Km表示在理想的狀態(tài)下每個(gè)產(chǎn)品出廠的平均費(fèi)用。

其次，將抽檢情形下的費(fèi)用與其他情形的費(fèi)用進(jìn)行比較。

最終得到：

此外，當(dāng)0≤p≤pr時(shí)，R-Ap＞0，故。而pr≤p≤1時(shí)，Ap-R≥0，從而（）N-n

根據(jù)以上分析，由于抽檢造成的損失以及抽檢錯(cuò)判帶來(lái)的損失，導(dǎo)致在抽檢條件下期望總平均費(fèi)用K總是大于理想狀態(tài)下的總費(fèi)用KM,從而為優(yōu)化K提供了空間。

1.3 貝葉斯抽樣方案的數(shù)學(xué)模型

設(shè)產(chǎn)品的批量為N，不合格品率為p，采用計(jì)數(shù)一次抽樣方案進(jìn)行檢驗(yàn)。抽樣方案的樣本量為n，接收數(shù)為Ac。根據(jù)上面的討論，期望抽檢總費(fèi)用為：

不難看出：期望抽檢總費(fèi)用K是樣本量n與接收數(shù)Ac的函數(shù)。通過(guò)前面的費(fèi)用分析可知：K＞KM。因此，可以通過(guò)選擇n和Ac對(duì)K進(jìn)行優(yōu)化。這就要求我們?cè)O(shè)計(jì)一個(gè)抽樣方案，使其期望抽檢總費(fèi)用K最小。這種抽樣方案依據(jù)了不合格品率的先驗(yàn)分布，稱為貝葉斯抽樣方案。下面建立優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。

為了對(duì)期望抽檢總費(fèi)用K進(jìn)行優(yōu)化，考慮目標(biāo)函數(shù)K的約束條件，設(shè)抽樣方案的樣本量為n，對(duì)于抽檢的n個(gè)產(chǎn)品，其相應(yīng)的費(fèi)用為nS；對(duì)于其余的（）N-n個(gè)產(chǎn)品，其相應(yīng)的費(fèi)用至少為。相比直接作出不抽檢的決策，企業(yè)采用抽檢所節(jié)約的費(fèi)用不超過(guò)。由于采用抽樣檢驗(yàn)的目的就是為了節(jié)約費(fèi)用，應(yīng)有，由此得到優(yōu)化問(wèn)題的約束條件為：

這樣，貝葉斯計(jì)數(shù)抽樣檢驗(yàn)方案的優(yōu)化模型可以表示為：

2 貝葉斯抽樣方案的制定

2.1 后驗(yàn)期望的性質(zhì)

為通過(guò)求解貝葉斯計(jì)數(shù)抽樣檢驗(yàn)方案的數(shù)學(xué)模型制定抽樣方案，首先給出不合格品率p的后驗(yàn)期望值的概念并討論其性質(zhì)。

當(dāng)不合格品率p一定時(shí)，在容量為n的樣本中出現(xiàn)x個(gè)不合格品的概率服從二項(xiàng)分布，這個(gè)概率密度可視為已知p時(shí)的條件概率密度，記為，從而：

由于產(chǎn)品不合格品率p的先驗(yàn)概率密度為f（）p，因此，樣本中出現(xiàn)x個(gè)不合格品的邊際概率密度為：b（）x,n

產(chǎn)品不合格品率p關(guān)于后驗(yàn)概率密度的期望稱為后驗(yàn)期望，記為.即：

由以上三個(gè)性質(zhì)，容易得到遞推的關(guān)系式：

2.2 模型求解

對(duì)目標(biāo)函數(shù)K的表達(dá)式作變化，最后可以得到：

均為常量，因此，當(dāng)Ac取上述值時(shí)，K也達(dá)到最小。

對(duì)于給定的N，在滿足優(yōu)化模型約束條件的樣本量n中，進(jìn)而驗(yàn)證

是否成立，如果滿足上述兩個(gè)條件，對(duì)于這樣的N和n，即可按上述原則求得相應(yīng)的Ac以及總平均費(fèi)用K。在不同的樣本量n所求得的總平均費(fèi)用中取最小者，即可得到優(yōu)化問(wèn)題的最小費(fèi)用，而相應(yīng)的樣本量n和接收數(shù)Ac即是總平均費(fèi)用最小的貝葉斯計(jì)數(shù)抽檢方案。

3 應(yīng)用案例

設(shè)某型產(chǎn)品作為某大型裝備的關(guān)鍵部件，其生產(chǎn)由外協(xié)制作加工，其質(zhì)量對(duì)裝備的整體效果具有重要影響。其結(jié)構(gòu)復(fù)雜、價(jià)格昂貴、檢驗(yàn)費(fèi)用高，但生產(chǎn)的批量較小，一般在100以內(nèi)，是典型的小批量生產(chǎn)。如何在保證質(zhì)量的前提下節(jié)約檢驗(yàn)費(fèi)用，一直是困擾檢驗(yàn)部門的一個(gè)難題。

設(shè)該產(chǎn)品的批量N=100,有關(guān)費(fèi)用指標(biāo)為：S= 2000,R=1500,A=10000。通過(guò)對(duì)該產(chǎn)品歷史數(shù)據(jù)資料的統(tǒng)計(jì)分析，將其不合格率p的先驗(yàn)分布取為β（）8,64。若抽取容量為n的樣本中出現(xiàn)x個(gè)不合格品的概率服從二項(xiàng)分布，不難得到p的后驗(yàn)分布為β(7+x,n+x+63)。

其后驗(yàn)期望：

將上述數(shù)據(jù)代入1.3中的優(yōu)化模型，利用后驗(yàn)期望的性質(zhì)可以得到貝葉斯抽樣方案為：樣本量n=8，接收數(shù)Ac=4，最小費(fèi)用為15400元。而在同樣條件下的期望出廠費(fèi)用為111111元，期望全檢費(fèi)用為150000元。可見(jiàn)，采用貝葉斯方案能夠大幅節(jié)儉費(fèi)用。

4 結(jié)論

對(duì)于批量較小、費(fèi)用高昂的產(chǎn)品檢驗(yàn)問(wèn)題，本文研究了基于先驗(yàn)信息的貝葉斯抽樣檢驗(yàn)方法，該方法充分利用產(chǎn)品質(zhì)量的歷史資料，以尋找最小期望總平均費(fèi)用為目標(biāo)。與目前常見(jiàn)的抽檢方案相比，貝葉斯計(jì)數(shù)抽樣抽檢方案具有減少抽檢量以及使期望總平均費(fèi)用支出最少的優(yōu)點(diǎn)，具有廣泛的推廣應(yīng)用價(jià)值。在實(shí)際使用過(guò)程中，要結(jié)合產(chǎn)品的特點(diǎn)和企業(yè)的情況，充分發(fā)揮貝葉斯計(jì)數(shù)抽樣抽檢方案的優(yōu)勢(shì)，積極使用貝葉斯計(jì)數(shù)抽樣抽檢的方法。

[1]馬毅林等.產(chǎn)品質(zhì)量抽樣檢驗(yàn)[M].北京：中國(guó)標(biāo)準(zhǔn)出版社，1998.

[2]白先光，張春曉等.小批量產(chǎn)品抽樣檢驗(yàn)方法的運(yùn)用[J].中國(guó)質(zhì)量，2012,(1).

（責(zé)任編輯/亦民）

Sampling Inspection Method for Small-Batch Products Based on Bayesian Theory

Zhang Shijun,Liu Zhiguo
(Department of Fundamental Courses,Ordnance Engineering College PLA,Shijiazhuang 050003,China）

Aiming at such problems as vast samples and high cost in sampling inspection for small amount of products,this paper studies the sampling inspection method based on Bayesian theory.With the minimum cost as its aim,the method makes full use of the historical information about quality,and with quality guarantee as the precondition,reduces the number of the inspected items as well as the workload and cost of inspection as much as possible.

small batch;Bayesian theory;sampling inspection

F212

A

1002-6487（2017）11-0024-03

張士軍（1968—），男，河北新樂(lè)人，博士，副教授，研究方向：統(tǒng)計(jì)抽樣檢驗(yàn)。劉志國(guó)（1984—），男，黑龍江哈爾濱人，碩士研究生，研究方向：軍事運(yùn)籌學(xué)。