張士軍，劉志國

（軍械工程學院基礎(chǔ)部，石家莊050003）

基于貝葉斯理論的小批量產(chǎn)品抽樣檢驗方法

張士軍，劉志國

（軍械工程學院基礎(chǔ)部，石家莊050003）

文章針對小批量產(chǎn)品抽樣檢驗存在的樣本量大、檢驗費用高等問題，研究了基于貝葉斯理論的抽樣檢驗方法，該方法充分利用質(zhì)量的歷史信息，以費用最小為目標，在保證質(zhì)量的前提下，盡可能減少所檢驗樣品的個數(shù)，降低檢驗的工作量和成本。

小批量；貝葉斯理論；抽樣檢驗

0 引言

統(tǒng)計抽樣檢驗是檢驗產(chǎn)品質(zhì)量的一種十分重要的、經(jīng)濟的手段，是質(zhì)量管理和質(zhì)量監(jiān)督的重要組成部分和基本統(tǒng)計技術(shù)。統(tǒng)計抽樣檢驗是標準化程度很高的領(lǐng)域，迄今為止我國已發(fā)布了三十余個統(tǒng)計抽樣檢驗國家標準，這些標準在產(chǎn)品的檢驗驗收中得到了廣泛的應(yīng)用。

隨著社會的發(fā)展和科技的進步，產(chǎn)品的檢驗驗收呈現(xiàn)出一些新的特點：產(chǎn)品的科技含量和價值越來越高，產(chǎn)品的結(jié)構(gòu)越來越復(fù)雜，檢驗的費用和工作量大幅增加；與此同時，產(chǎn)品的批量卻往往很小。而多數(shù)現(xiàn)行的抽樣檢驗標準（如GB/2828）設(shè)計抽樣方案時是基于二項分布或泊松分布的，基本不適于小批量情形。即使是針對小批量的抽樣標準（如GB/T13264）也不適于批量過小的情形。而且，現(xiàn)行的抽樣檢驗標準設(shè)計抽樣方案時均沒有專門考慮費用的因素。因此，對于批量較小、檢驗費用較高的產(chǎn)品檢驗驗收，如果沿用現(xiàn)行的抽樣檢驗標準來設(shè)計抽樣方案，樣本量通常比較大，將耗費大量的人力、物力和財力，既不精確也不經(jīng)濟。小批量產(chǎn)品的檢驗方法是目前迫切需要解決的一個理論問題，由于許多產(chǎn)品的檢驗費用和檢驗工作量很大，對于小批量產(chǎn)品如何在保證質(zhì)量的前提下盡可能減少檢驗的樣本量，也是一個具有重要實用價值的實際問題。

針對小批量產(chǎn)品的檢驗，本文基于貝葉斯理論，充分利用質(zhì)量的歷史信息，以費用最小為目標構(gòu)建了優(yōu)化模型，得到了貝葉斯抽樣方案，在保證質(zhì)量的前提下，盡可能減少了檢驗所需的樣本量，降低了檢驗的工作量和成本。

1 貝葉斯抽樣方案統(tǒng)計原理

1.1 有關(guān)概念及假定

在產(chǎn)品檢驗中，可以采用三種方式：第一，不檢驗（免檢），直接接收產(chǎn)品；第二，全檢（百分之百檢驗），剔除產(chǎn)品中的不合格品，接收其余的合格品；第三，抽檢，利用統(tǒng)計抽樣理論設(shè)計的抽樣方案，從檢驗批中抽取部分產(chǎn)品進行檢驗，根據(jù)檢驗的結(jié)果決定產(chǎn)品的接收與否。在實際的抽檢中，如果按照抽樣方案的判別規(guī)則拒收了，那么需要對產(chǎn)品進行全檢后再接收。如何在這三種方式之間選擇，以使得費用最小，這就是貝葉斯抽樣檢驗所研究的問題。

為便于討論，先給出有關(guān)的概念和假定。

1.1.1出廠費用（A）

出廠費用是指由于不合格品出廠給企業(yè)帶來的各種費用。比如：維修或更換不合格品的費用、產(chǎn)品退貨帶來的損失、不合格品招致的賠款等。上述費用對于單個不合格品的平均值用符號A表示。

1.1.2全檢費用（R）

全檢費用是指對于非破壞性的檢驗，進行全檢的檢驗費用以及由于產(chǎn)品全檢對企業(yè)生產(chǎn)帶來的影響。比如：每個產(chǎn)品的檢驗費、復(fù)式費、檢驗導(dǎo)致的停工損失等。本文用符號R表示單個產(chǎn)品的平均全檢費用。

1.1.3抽檢費用（S）

抽檢費用是指對產(chǎn)品抽檢所帶來的費用。比如：檢驗設(shè)備費、工時費以及其他費用。本文用符號S表示單個被檢產(chǎn)品的平均抽檢費用。

在上述三種平均費用中，假定R＜A。因為若R＞A，企業(yè)就不必進行檢驗了，在通常情況下，這不符合實際。A,R,S可根據(jù)歷史資料統(tǒng)計得到，在以后的討論中，均假定為已知量。

1.1.4先驗信息

假定產(chǎn)品的不合格品率p（）0≤p≤1是一隨機變量，其概率密度函數(shù)為稱為先驗概率密度函數(shù)，反映了生產(chǎn)過程的質(zhì)量水平的變化情況，f（）p可以通過企業(yè)的歷史數(shù)據(jù)資料得到。根據(jù)概率密度函數(shù)的定義，應(yīng)滿足如下性質(zhì)：

1.2 決策費用分析

下面對各種決策的總費用進行分析，為建立抽樣方案的數(shù)學模型奠定基礎(chǔ)。

設(shè)產(chǎn)品的批量為N，不合格品率為p，由于決策時，每批產(chǎn)品的不合格品率是不知道的，在這種情況下，通常是計算各種決策下的期望總費用。

根據(jù)上面給出的條件及假定：

期望出廠總費用：

期望全檢總費用：

對于抽檢的情形，設(shè)抽檢的樣本量為n（）n＜N,抽檢結(jié)果會有兩種情形：一是接收產(chǎn)品，從而可以出廠；二是拒收產(chǎn)品，這時需要對產(chǎn)品進行全數(shù)檢驗，然后才能出廠。第一種情形下的費用為：nS+（）N-n Ap；第二種情形下的費用為：nS+（）N-n R。設(shè)抽樣方案判定產(chǎn)品接收和拒收的概率分別為P(p)，Q(p)，可以得到：

期望抽檢總費用：

將上述三種決策下相應(yīng)的費用進行比較分析如下：

首先，將全檢和不檢兩種情況進行比較。由式（1）和式（2）不難看出：就全檢和不檢兩種決策而言，當pˉ＞R/A時，由于Apˉ＞R，企業(yè)這時應(yīng)進行全數(shù)檢驗。而如果pˉ＜R/A，由于Apˉ＜R，這時企業(yè)對產(chǎn)品可以免檢，直接出廠；這說明：R/A是企業(yè)選擇不檢和全檢的分界線，記。假定當p變化時，企業(yè)做出的決策都是正確的，在這種理想的狀態(tài)下，企業(yè)產(chǎn)品出廠造成的損失最小。此時企業(yè)的總費用為：

KM表明了在企業(yè)能夠正確地判斷產(chǎn)品的質(zhì)量水平的情況下，至少還需要支出的費用。不難證明：＞KM。事實上，企業(yè)只根據(jù)值來制定策略是一定存在損失的，這個損失值就是，該值即是統(tǒng)計決策理論中的完全情報價值。

記：

則Km表示在理想的狀態(tài)下每個產(chǎn)品出廠的平均費用。

其次，將抽檢情形下的費用與其他情形的費用進行比較。

最終得到：

此外，當0≤p≤pr時，R-Ap＞0，故。而pr≤p≤1時，Ap-R≥0，從而（）N-n

根據(jù)以上分析，由于抽檢造成的損失以及抽檢錯判帶來的損失，導(dǎo)致在抽檢條件下期望總平均費用K總是大于理想狀態(tài)下的總費用KM,從而為優(yōu)化K提供了空間。

1.3 貝葉斯抽樣方案的數(shù)學模型

設(shè)產(chǎn)品的批量為N，不合格品率為p，采用計數(shù)一次抽樣方案進行檢驗。抽樣方案的樣本量為n，接收數(shù)為Ac。根據(jù)上面的討論，期望抽檢總費用為：

不難看出：期望抽檢總費用K是樣本量n與接收數(shù)Ac的函數(shù)。通過前面的費用分析可知：K＞KM。因此，可以通過選擇n和Ac對K進行優(yōu)化。這就要求我們設(shè)計一個抽樣方案，使其期望抽檢總費用K最小。這種抽樣方案依據(jù)了不合格品率的先驗分布，稱為貝葉斯抽樣方案。下面建立優(yōu)化問題的數(shù)學模型。

為了對期望抽檢總費用K進行優(yōu)化，考慮目標函數(shù)K的約束條件，設(shè)抽樣方案的樣本量為n，對于抽檢的n個產(chǎn)品，其相應(yīng)的費用為nS；對于其余的（）N-n個產(chǎn)品，其相應(yīng)的費用至少為。相比直接作出不抽檢的決策，企業(yè)采用抽檢所節(jié)約的費用不超過。由于采用抽樣檢驗的目的就是為了節(jié)約費用，應(yīng)有，由此得到優(yōu)化問題的約束條件為：

這樣，貝葉斯計數(shù)抽樣檢驗方案的優(yōu)化模型可以表示為：

2 貝葉斯抽樣方案的制定

2.1 后驗期望的性質(zhì)

為通過求解貝葉斯計數(shù)抽樣檢驗方案的數(shù)學模型制定抽樣方案，首先給出不合格品率p的后驗期望值的概念并討論其性質(zhì)。

當不合格品率p一定時，在容量為n的樣本中出現(xiàn)x個不合格品的概率服從二項分布，這個概率密度可視為已知p時的條件概率密度，記為，從而：

由于產(chǎn)品不合格品率p的先驗概率密度為f（）p，因此，樣本中出現(xiàn)x個不合格品的邊際概率密度為：b（）x,n

產(chǎn)品不合格品率p關(guān)于后驗概率密度的期望稱為后驗期望，記為.即：

由以上三個性質(zhì)，容易得到遞推的關(guān)系式：

2.2 模型求解

對目標函數(shù)K的表達式作變化，最后可以得到：

均為常量，因此，當Ac取上述值時，K也達到最小。

對于給定的N，在滿足優(yōu)化模型約束條件的樣本量n中，進而驗證

是否成立，如果滿足上述兩個條件，對于這樣的N和n，即可按上述原則求得相應(yīng)的Ac以及總平均費用K。在不同的樣本量n所求得的總平均費用中取最小者，即可得到優(yōu)化問題的最小費用，而相應(yīng)的樣本量n和接收數(shù)Ac即是總平均費用最小的貝葉斯計數(shù)抽檢方案。

3 應(yīng)用案例

設(shè)某型產(chǎn)品作為某大型裝備的關(guān)鍵部件，其生產(chǎn)由外協(xié)制作加工，其質(zhì)量對裝備的整體效果具有重要影響。其結(jié)構(gòu)復(fù)雜、價格昂貴、檢驗費用高，但生產(chǎn)的批量較小，一般在100以內(nèi)，是典型的小批量生產(chǎn)。如何在保證質(zhì)量的前提下節(jié)約檢驗費用，一直是困擾檢驗部門的一個難題。

設(shè)該產(chǎn)品的批量N=100,有關(guān)費用指標為：S= 2000,R=1500,A=10000。通過對該產(chǎn)品歷史數(shù)據(jù)資料的統(tǒng)計分析，將其不合格率p的先驗分布取為β（）8,64。若抽取容量為n的樣本中出現(xiàn)x個不合格品的概率服從二項分布，不難得到p的后驗分布為β(7+x,n+x+63)。

其后驗期望：

將上述數(shù)據(jù)代入1.3中的優(yōu)化模型，利用后驗期望的性質(zhì)可以得到貝葉斯抽樣方案為：樣本量n=8，接收數(shù)Ac=4，最小費用為15400元。而在同樣條件下的期望出廠費用為111111元，期望全檢費用為150000元?？梢姡捎秘惾~斯方案能夠大幅節(jié)儉費用。

4 結(jié)論

對于批量較小、費用高昂的產(chǎn)品檢驗問題，本文研究了基于先驗信息的貝葉斯抽樣檢驗方法，該方法充分利用產(chǎn)品質(zhì)量的歷史資料，以尋找最小期望總平均費用為目標。與目前常見的抽檢方案相比，貝葉斯計數(shù)抽樣抽檢方案具有減少抽檢量以及使期望總平均費用支出最少的優(yōu)點，具有廣泛的推廣應(yīng)用價值。在實際使用過程中，要結(jié)合產(chǎn)品的特點和企業(yè)的情況，充分發(fā)揮貝葉斯計數(shù)抽樣抽檢方案的優(yōu)勢，積極使用貝葉斯計數(shù)抽樣抽檢的方法。

[1]馬毅林等.產(chǎn)品質(zhì)量抽樣檢驗[M].北京：中國標準出版社，1998.

[2]白先光，張春曉等.小批量產(chǎn)品抽樣檢驗方法的運用[J].中國質(zhì)量，2012,(1).

（責任編輯/亦民）

Sampling Inspection Method for Small-Batch Products Based on Bayesian Theory

Zhang Shijun,Liu Zhiguo
(Department of Fundamental Courses,Ordnance Engineering College PLA,Shijiazhuang 050003,China）

Aiming at such problems as vast samples and high cost in sampling inspection for small amount of products,this paper studies the sampling inspection method based on Bayesian theory.With the minimum cost as its aim,the method makes full use of the historical information about quality,and with quality guarantee as the precondition,reduces the number of the inspected items as well as the workload and cost of inspection as much as possible.

small batch;Bayesian theory;sampling inspection

F212

A

1002-6487（2017）11-0024-03

張士軍（1968—），男，河北新樂人，博士，副教授，研究方向：統(tǒng)計抽樣檢驗。劉志國（1984—），男，黑龍江哈爾濱人，碩士研究生，研究方向：軍事運籌學。