何曉申，田茂再

（1.蘭州財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院，蘭州730020；2.中國(guó)人民大學(xué)a.應(yīng)用統(tǒng)計(jì)科學(xué)研究中心；b.統(tǒng)計(jì)學(xué)院，北京100872）

二項(xiàng)—Gumbel復(fù)合極值分布的參數(shù)估計(jì)

何曉申1，田茂再2a，2b

（1.蘭州財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院，蘭州730020；2.中國(guó)人民大學(xué)a.應(yīng)用統(tǒng)計(jì)科學(xué)研究中心；b.統(tǒng)計(jì)學(xué)院，北京100872）

在金融風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估、事故預(yù)測(cè)、保險(xiǎn)索賠等領(lǐng)域的研究中，極值理論已發(fā)展成為一種重要的統(tǒng)計(jì)學(xué)方法。Gumbel分布是一種常用的極值分布函數(shù)，并逐漸成為了對(duì)于隨機(jī)變量極端變異性建模的重要工具。文章將二項(xiàng)分布與Gumbel分布函數(shù)復(fù)合，提出了一種新的復(fù)合極值分布函數(shù)即二項(xiàng)-Gumbel分布。重點(diǎn)介紹了極值理論以及二項(xiàng)分布與Gumbel分布復(fù)合函數(shù)，運(yùn)用極大似然估計(jì)(MLE)對(duì)二項(xiàng)-Gumbel復(fù)合分布的各種參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，并通過計(jì)算機(jī)模擬得KS檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的臨界值。

二項(xiàng)-Gumbel分布；極大似然法；Monte Carlo模擬；KS檢驗(yàn)

0 引言

極值事件指一種在特定時(shí)間和地區(qū)內(nèi)發(fā)生的罕見事件。該事件發(fā)生的概率較小，然而，一旦發(fā)生將會(huì)對(duì)人類生產(chǎn)、生活造成了很大的影響。為了盡可能減小極值事件給人類生產(chǎn)生活帶來的損失，人們提出了極值理論。極值理論是處理概率分布中值相離極大情況的理論，常被用來分析概率罕見的事件，它最早是由提出Gumbel分布函數(shù)的統(tǒng)計(jì)學(xué)家Emil Julius Gumbel闡述。極值理論旨在通過對(duì)極端事件的統(tǒng)計(jì)分析，從而對(duì)極端事件進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)大小評(píng)估[1]。隨著近年來極值理論的不斷發(fā)展，為進(jìn)一步研究極值問題，人們提出了復(fù)合極值分布的概念。

1922 年，統(tǒng)計(jì)學(xué)家von Bortkiewicz L第一次提出了有關(guān)極值的問題[2]，同時(shí)，文中給出了正態(tài)分布總體樣本的最大值分布函數(shù)；Frechet M[3]在1927年提出了來自不同分布的最大值可以有相同漸進(jìn)分布的理論，但前提是有某種共同性質(zhì)的最大值；統(tǒng)計(jì)學(xué)家Gumbel[4]在1958年發(fā)表的著作奠定了現(xiàn)代極值理論的基礎(chǔ)，Gumbel分布是觀測(cè)值中最大值的概率分布，是極值分布中的第Ⅰ類分布。Gumbel分布逐步發(fā)展成為一種有關(guān)隨機(jī)變量極端變異性的重要建模工具。1968年，F(xiàn)eller[5]第一次提出了復(fù)合極值分布的概念問題。史道濟(jì)[6]在2006年介紹了實(shí)用極值統(tǒng)計(jì)方法。2012年，張香云和程維虎[7]對(duì)二項(xiàng)-廣義Pareto復(fù)合極值分布進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)推斷。彭維[8]在2015年對(duì)幾何-Gumbel復(fù)合極值分布進(jìn)行了參數(shù)估計(jì)。

本文運(yùn)用極值理論構(gòu)建二項(xiàng)分布和Gumbel分布的復(fù)合極值分布類型，對(duì)文中所建立的模型運(yùn)用極大似然法進(jìn)行復(fù)合極值的參數(shù)估計(jì)，并利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行Monte Carlo模擬和計(jì)算KS檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的臨界值。

1 極值理論

設(shè)S(x)和T(x)分別是隨機(jī)變量ξ、η的分布函數(shù)。本文記ξi為ξ的第i次獨(dú)立觀測(cè)值。又設(shè)隨機(jī)變量N的取值范圍為非負(fù)整數(shù)，且與ξ、η相互獨(dú)立。

(1)當(dāng)p0=0，明顯有；

于N、ξ隨機(jī)變量的不同分布，復(fù)合分布又具有幾種不同的具體形式。隨機(jī)變量N服從Poisson、幾何和二項(xiàng)分布等，ξ可以服從Weibull分布和Gumbel分布等。本文將N和ξ不同分布形式兩兩結(jié)合，可以得到六種不同的復(fù)合分布形式。本文重點(diǎn)討論的是二項(xiàng)分布和Gumbel分布的復(fù)合分布情況。N服從參數(shù)為(m，p)的二項(xiàng)分布，其中，m是正整數(shù)，p是常數(shù)且0＜p＜1，ξ服從極值I型分布即Gumbel分布，記通常記為其中，μ和σ是位置和尺度參數(shù)。為了問題的分析方便，本文假設(shè)Q(x)服從Gumbel分布。由此可得二項(xiàng)-Gumbel復(fù)合極值分布函數(shù)：

2 參數(shù)估計(jì)

在復(fù)合極值參數(shù)估計(jì)中傳統(tǒng)的做法往往是使用矩估計(jì)法，因?yàn)榫毓烙?jì)方法較為簡(jiǎn)單。但是，矩估計(jì)往往只涉及到總體的一些數(shù)字特征，并未用到總體的分布。因此，矩估計(jì)量實(shí)際上只能集中總體信息的一部分并不是全部信息，往往在體現(xiàn)總體分布特征上表現(xiàn)不佳。本文僅使用極大似然法（MLE）進(jìn)行參數(shù)的估計(jì)。

設(shè)Xi(i=1，…，n)是服從二項(xiàng)-Gumbel復(fù)合極值分布的獨(dú)立同分布樣本。二項(xiàng)-Gumbel復(fù)合分布函數(shù)如下：

又

求得二項(xiàng)--Gumbel分布的密度函數(shù)為：

對(duì)數(shù)似然函數(shù)

3 KS檢驗(yàn)

統(tǒng)計(jì)學(xué)家Kolmogorov-Smirnov[10]在1933年提出的檢驗(yàn)方法如下：

4 MonteCarlo模擬

隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)-Gumbel復(fù)合極值分布：

取樣本容量N=100，m=2，p=0.1，0.5，0.8，μ=1，σ=0.5為位置、刻度參數(shù)。給定樣本容量N=50，100，500，進(jìn)行Monte Carlo模擬。本文是根據(jù)極大似然法估計(jì)參數(shù)的偏差、標(biāo)準(zhǔn)差以及均方誤差的大小來評(píng)價(jià)估計(jì)效果。其中，估計(jì)參數(shù)的均方誤差越小，說明估計(jì)效果越佳。

標(biāo)準(zhǔn)差

偏差：

均方誤差：

根據(jù)條件產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，按照二項(xiàng)-Gumbel復(fù)合極值分布參數(shù)極大似然估計(jì)進(jìn)行參數(shù)估計(jì),模擬運(yùn)行3000次，即J=3000。表1至表3分別為p=0.1，0.5，0.8時(shí)的模擬結(jié)果。

表1 二項(xiàng)-Gumbel復(fù)合分布(μ=1，σ=0.5，p=0.1)

表2 二項(xiàng)-Gumbel復(fù)合分布(μ=1，σ=0.5，p=0.5)

樣本容量N=50增加到N=1000的過程中，極大似然估計(jì)結(jié)果參數(shù)的均方誤差、偏差和標(biāo)準(zhǔn)差都隨之減小。其中，當(dāng)位置參數(shù)μ與刻度參數(shù)σ固定，p=0.5時(shí)，極大似然法對(duì)于樣本容量的變化估計(jì)結(jié)果表現(xiàn)最為穩(wěn)定。

表3 二項(xiàng)-Gumbel復(fù)合分布(μ=1，σ=0.5，p=0.8)

KS檢驗(yàn)過程中，需要比較KS檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Dn與D0的大小，其中，D0是顯著性水平α下的臨界值。本文通過Monte Carlo模擬方法，得出二項(xiàng)-Gumbel復(fù)合極值分布的臨界值表。以樣本容量N=10，50，100，200，m=2，p=0.2，位置、刻度參數(shù)分別為μ=1和σ=0.1，進(jìn)行1000次模擬。模擬結(jié)果見表4。

表4 二項(xiàng)-Gumbel分布的KS檢驗(yàn)臨界值表

本文取樣本容量N=100，m=2，p=0.2，位置、刻度參數(shù)為μ=1，σ=0.1，可以得到參數(shù)估計(jì)分別是μ?=1.02315，σ?=0.12271，統(tǒng)計(jì)量Dn=0.87408均小于表4中N=100時(shí)在顯著性水平α=0.01，0.05，0.1，0.25下的臨界值D0，即該樣本服從二項(xiàng)-Gumbel復(fù)合分布。

5 結(jié)論

本文介紹了極值理論以及二項(xiàng)分布與Gumbel分布復(fù)合函數(shù)，運(yùn)用極大似然估計(jì)(MLE)對(duì)二項(xiàng)-Gumbel復(fù)合分布的各種參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，并通過計(jì)算機(jī)模擬得KS檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的臨界值。模擬結(jié)果顯示：樣本容量N=50增加到N=1000的過程中，極大似然估計(jì)結(jié)果參數(shù)的均方誤差、偏差和標(biāo)準(zhǔn)差都隨之減小。其中，當(dāng)位置參數(shù)μ與刻度參數(shù)σ固定，p=0.5時(shí)，極大似然法對(duì)于樣本容量的變化估計(jì)結(jié)果表現(xiàn)最為穩(wěn)定。

[1]陳立文,王元明,劉金霞.極值分布在建設(shè)項(xiàng)目自然風(fēng)險(xiǎn)預(yù)測(cè)中的應(yīng)用[J].自然災(zāi)害學(xué)報(bào),2009,18(1).

[2]Von Bortkiewicz L.Variationsbreite and Mittlerer Fehler[J].Sitzungsber.Berli.Math.Ges,1922,（21）.

[3]Frehet M.Sur La Loi de Probabilite de 1'Ecart Maximum.Ann.Soc. Polon.Math.Cracovie,1927,（6）.

[4]Gumbel E J.Statistics of Extremes[M].New York:Columbia University Press,1958.

[5]Feller W.An Introduction to Probability Theory and Its Applications [M].New York:John Willey,1968.

[6]史道濟(jì).實(shí)用極值統(tǒng)計(jì)方法[M].天津:天津科學(xué)技術(shù)出版社,2006.

[7]張香云,程維虎.二項(xiàng)-廣義Pareto復(fù)合極值分布模型的統(tǒng)計(jì)推斷[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2012,35(3).

[8]彭維,呂曉星,劉祿勤.二項(xiàng)-Gumbel復(fù)合極值分布的參數(shù)估計(jì)[J].統(tǒng)計(jì)與決策,2015,(9).

[9]Liu T F,Ma F S,Prediction of Extreme Wave Heights and Wind Velocities[J].Journal of the Waterway Port Coastal and Ocean Division. ASCE,1980.

[10]楊振海,程維虎,高軍艦.擬合優(yōu)度檢驗(yàn)[M].北京：科學(xué)出版社, 2011.

（責(zé)任編輯/亦民）

Parameter Estimation of Binomial-Gumbel Compound Extreme Value Distribution

He Xiaoshen1,Tian Maozai2a，2b
（1.School of Statistics,Lanzhou University of Finance and Economics,Lanzhou 730020,China;a.Research Center for Applied Statistics;b.School of Statistics;2.Renmin University of China,Beijing 100872,China）

Extreme value theory has evolved into an important statistical method in the research fields such as the financial risk assessment,the prediction of the accident in communication and the estimation of insurance claims and so on.Gumbel distribution is a commonly-used extreme value distribution function,and it has gradually become an important tool for modeling extreme variability of random variables.This paper proposes a new compound extreme value distribution,which is based on the binomial distribution and the Gumbel distribution,namely the Binomial-Gumbel distribution.The paper emphatically introduces the extreme value theory,the binomial distribution and Gumbel distribution compound function,and uses the maximum likelihood estimation(MLE)to estimate the parameters.Finally the critical value of Kolmogorov-Smirnov(KS)test statistic is obtained through computer simulation.

binomial-Gumbel distribution;maximum likelihood method;Monte Carlo simulation;KS test

O21

A

1002-6487（2017）11-0017-03

何曉申（1990—），男，山東菏澤人，碩士研究生，研究方向：數(shù)理統(tǒng)計(jì)。田茂再（1969—），男，北京人，博士，教授，研究方向：非參數(shù)估計(jì)。