宋運(yùn)明

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中國(guó)初中數(shù)學(xué)教材中勾股定理內(nèi)容編寫(xiě)特點(diǎn)研究

宋運(yùn)明

（貴州師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，貴州貴安新區(qū) 550025）

教材特色化與核心素養(yǎng)培育是當(dāng)今時(shí)代賦予數(shù)學(xué)教材編寫(xiě)的重任．采用內(nèi)容分析法對(duì)中國(guó)初中數(shù)學(xué)教材中勾股定理內(nèi)容編寫(xiě)特點(diǎn)進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)10個(gè)版本教材既有諸多共性，又各具特色．針對(duì)教材不足，建議完善過(guò)程性內(nèi)容，增強(qiáng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落實(shí)的有效性；適當(dāng)增加論證思路的種類，進(jìn)一步凸顯數(shù)學(xué)教材編寫(xiě)特色；挖掘多元文化素材，適度擴(kuò)大數(shù)學(xué)史的內(nèi)容范圍．

數(shù)學(xué)教材；編寫(xiě)特點(diǎn)；勾股定理；核心素養(yǎng)；內(nèi)容分析法

勾股定理是具有學(xué)科和核心素養(yǎng)發(fā)展雙重價(jià)值的數(shù)學(xué)內(nèi)容，已成為世界上大多數(shù)國(guó)家初中數(shù)學(xué)教材內(nèi)容的必選．定理本身只是一個(gè)直角三角形三邊邊長(zhǎng)之間簡(jiǎn)潔的代數(shù)關(guān)系，但是它所包含的推論卻是無(wú)比深遠(yuǎn)廣泛，它是歐氏空間至精至簡(jiǎn)的主角[1]．它是聯(lián)系數(shù)與形的第一定理；它導(dǎo)致不可公度量的發(fā)現(xiàn)，引發(fā)了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)；它開(kāi)始把數(shù)學(xué)由計(jì)算和測(cè)量的技術(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)檎撟C與推理的科學(xué)；它是證明方法最多的定理，這些證明既驗(yàn)證了勾股定理又大大豐富了研究問(wèn)題的思想和技巧[2]，還具有豐富的數(shù)學(xué)文化價(jià)值．勾股定理對(duì)培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀、推理能力和應(yīng)用意識(shí)等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具有重要作用．

已有不少學(xué)者對(duì)數(shù)學(xué)教材中的勾股定理內(nèi)容進(jìn)行了研究，包括國(guó)內(nèi)外橫向比較，如朱哲等的“中日新數(shù)學(xué)教科書(shū)中的‘勾股定理’”[3]，吳增生等梳理了國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)教材中“勾股定理”的多種呈現(xiàn)方式[4]；國(guó)內(nèi)縱向演變，如王艷青的“中學(xué)數(shù)學(xué)教科書(shū)中勾股定理內(nèi)容編排的演變研究（1949—2011）”[5]；編寫(xiě)與實(shí)驗(yàn)，如朱哲的“數(shù)學(xué)教科書(shū)中勾股定理單元的編寫(xiě)與教學(xué)實(shí)驗(yàn)研究——基于‘?dāng)?shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)課程’理念”[6]，等等．此外還有從數(shù)學(xué)教學(xué)[7~8]、多元文化[9]和教師知識(shí)[10]等視角對(duì)勾股定理進(jìn)行的研究．它們?yōu)榉治隹蚣艿男纬商峁┝藛⑹荆\(yùn)用內(nèi)容分析法，對(duì)國(guó)內(nèi)現(xiàn)行教材中勾股定理內(nèi)容實(shí)施橫向比較的研究較為鮮見(jiàn)．教材特色化與核心素養(yǎng)培育是當(dāng)今時(shí)代賦予數(shù)學(xué)教材編寫(xiě)的重任，教材是教學(xué)的重要依據(jù)．對(duì)中國(guó)現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教材中勾股定理內(nèi)容的編寫(xiě)特點(diǎn)及其核心素養(yǎng)體現(xiàn)進(jìn)行探析，提出有針對(duì)性的建議，這對(duì)優(yōu)化勾股定理內(nèi)容的教材設(shè)計(jì)、改進(jìn)教學(xué)，具有現(xiàn)實(shí)意義．

1 研究設(shè)計(jì)

研究方法主要采用內(nèi)容分析法．其核心是根據(jù)既有理論，發(fā)展系統(tǒng)的分析框架，將待分析的教材文本登錄為一定的類屬，再加以統(tǒng)計(jì)，以量化數(shù)據(jù)來(lái)描述該文本特性[11]．

1.1 研究對(duì)象

研究對(duì)象是教育部公布的“2016年義務(wù)教育教學(xué)用書(shū)目錄”[12]中的初中數(shù)學(xué)教材（六三學(xué)制），共10個(gè)版本，全部基于《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱2011課標(biāo)）而編寫(xiě)．它們分別由北京出版社、北京師范大學(xué)出版社、河北教育出版社、湖南教育出版社、華東師范大學(xué)出版社、江蘇鳳凰科學(xué)技術(shù)出版社、青島出版社、人民教育出版社、上?？茖W(xué)技術(shù)出版社和浙江教育出版社出版；相應(yīng)地，將其分別簡(jiǎn)稱為北京版、北師版、冀教版、湘教版、華師版、蘇教版、青島版、人教版、上科版和浙教版，下同．具體內(nèi)容是各版教材中的“勾股定理及其應(yīng)用”[13~22]，不包括勾股定理的逆定理及其應(yīng)用．

1.2 分析框架

分析框架是以教材特色化與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落實(shí)為指導(dǎo)思想，在對(duì)研究對(duì)象與相關(guān)文獻(xiàn)反復(fù)對(duì)照分析的基礎(chǔ)上，將黃榮金分析勾股定理課堂教學(xué)的框架[7]進(jìn)行擴(kuò)充和改編而成．具體包括6個(gè)一級(jí)維度：所在章節(jié)、定理發(fā)現(xiàn)、定理描述、定理論證、定理應(yīng)用和定理歷史．

（1）所在章節(jié)．為刻畫(huà)“勾股定理及其應(yīng)用”在初中數(shù)學(xué)知識(shí)體系中的位置、地位及其在教材中所占篇幅，對(duì)該內(nèi)容有個(gè)大致了解，從所在章名，章引言、前后章名與占小節(jié)數(shù)4個(gè)二級(jí)維度對(duì)教材進(jìn)行分析．其中占小節(jié)數(shù)是指“勾股定理及其應(yīng)用”由幾個(gè)小節(jié)組成．“課堂練習(xí)”在各版本的名稱不盡相同，為研究方便，將具有課堂練習(xí)功能的欄目統(tǒng)稱為“課堂練習(xí)”．小節(jié)的劃分以小節(jié)后的“課堂練習(xí)”為標(biāo)志，即是出現(xiàn)“課堂練習(xí)”，便視為一小節(jié)內(nèi)容結(jié)束．有的小節(jié)內(nèi)容中除“勾股定理及其應(yīng)用”外，還含一些其他內(nèi)容，如勾股定理的逆定理，研究也將該小節(jié)視為“勾股定理及其應(yīng)用”內(nèi)容的一個(gè)小節(jié)．

課堂教學(xué)是學(xué)校教育的主陣地．限于篇幅，后面5個(gè)一級(jí)維度的分析僅限于課堂教學(xué)中使用率較高的教材內(nèi)容，即是“勾股定理及其應(yīng)用”所在的小節(jié)內(nèi)容；不涉及小節(jié)內(nèi)容之外的習(xí)題、閱讀材料等．

（2）定理發(fā)現(xiàn)．通過(guò)特例、直觀推理、邏輯演繹3種途徑發(fā)現(xiàn)定理．所謂直觀推理，指在推理過(guò)程中，對(duì)某些圖形的直觀特征直接加以應(yīng)用，而不進(jìn)行演繹推理．所謂邏輯演繹，指在推理過(guò)程中，對(duì)某些圖形的直觀特征進(jìn)行演繹推理后再加以應(yīng)用．如圖2中的其中一個(gè)四邊形是正方形（但不是已知，已知另一個(gè)四邊形是正方形），若推理過(guò)程中對(duì)此僅從直觀上判斷而不加以演繹推理就當(dāng)作結(jié)論使用，則視該過(guò)程為直觀推理；反之，若對(duì)此演繹推理論證后再使用，則視該推理過(guò)程為邏輯演繹．

（3）定理描述．從表征類型和有無(wú)變式兩個(gè)方面進(jìn)行分析．

（4）定理論證．包括兩種，一是驗(yàn)證，指通過(guò)直觀推理對(duì)勾股定理進(jìn)行論證．二是證明，指結(jié)合已知條件，運(yùn)用幾何性質(zhì)、定理與代數(shù)運(yùn)算等對(duì)勾股定理進(jìn)行邏輯演繹論證．此維度僅分析小節(jié)正文，不包括“課堂練習(xí)”．

（5）定理應(yīng)用．應(yīng)用問(wèn)題包括例題、“課堂練習(xí)”及小節(jié)正文中具有例題和“課堂練習(xí)”功能的數(shù)學(xué)活動(dòng)或問(wèn)題；分為解釋和探究?jī)煞N認(rèn)知水平．

（6）定理歷史．有的數(shù)學(xué)史主題不止一種功能，如華師版中的“我國(guó)古代對(duì)‘勾股弦’的約定”，即具有定理描述功能，又具有定理論證功能；但下文的論證方法是“趙爽在‘勾股圓方圖注’給出的‘弦圖證法’”，該主題的意圖是為引出弦圖，故其主要功能是定理論證．依據(jù)數(shù)學(xué)史主題主要功能劃分其位置，包括4類：定理發(fā)現(xiàn)、定理描述、定理論證和定理應(yīng)用．如華師版上述主題的位置即為定理論證．

具體分析框架見(jiàn)表1．

表1 “勾股定理及其應(yīng)用”教材內(nèi)容分析框架

圖1 通過(guò)特例發(fā)現(xiàn)勾股定理圖

圖2 發(fā)現(xiàn)或論證勾股定理圖一

圖3 發(fā)現(xiàn)或論證勾股定理圖二

圖4 發(fā)現(xiàn)或論證勾股定理圖三

圖5 發(fā)現(xiàn)或論證勾股定理圖四

2 研究的結(jié)果與分析

2.1 所在章節(jié)

10個(gè)版本教材中，有6個(gè)版本“勾股定理及其應(yīng)用”內(nèi)容處于八年級(jí)上冊(cè)，4個(gè)版本處于八年級(jí)下冊(cè)．該內(nèi)容所在章的章名有5個(gè)版本是“勾股定理”，4個(gè)版本是（特殊或直角）三角形，有一個(gè)版本是“實(shí)數(shù)”．它的前一章有“二次根式”、“軸對(duì)稱”等9種數(shù)學(xué)內(nèi)容，后一章有“一元一次不等式”、“實(shí)數(shù)”等6種內(nèi)容．有4個(gè)版本占一小節(jié)內(nèi)容，兩個(gè)版本2小節(jié)，3個(gè)版本3小節(jié)，一個(gè)版本有4小節(jié)．

在“勾股定理及其應(yīng)用”內(nèi)容所在的冊(cè)別中，10個(gè)版本教材中有4個(gè)版本的教材封面涉及勾股定理，如定理公式、趙爽弦圖等．一般來(lái)說(shuō)，章引言在該章教材內(nèi)容中具有先行組織者的功能．有8個(gè)版本的章引言采用圖形、文字等形式介紹了定理的相關(guān)內(nèi)容．在教材封面或章引言中呈現(xiàn)勾股定理，某種程度上說(shuō)明了定理在本冊(cè)或本章教材數(shù)學(xué)內(nèi)容中具有重要地位．

2011課標(biāo)在“教材編寫(xiě)建議”中指出：課程內(nèi)容是按照學(xué)段制定的，并未規(guī)定學(xué)習(xí)內(nèi)容的呈現(xiàn)順序．教材可以在不違背數(shù)學(xué)知識(shí)體系的基礎(chǔ)上，形成自己的編排體系，體現(xiàn)出自身風(fēng)格和特色[23]．從“勾股定理及其應(yīng)用”的上述編寫(xiě)概況上可以看出，中國(guó)初中數(shù)學(xué)教材在該內(nèi)容的編排上既具多樣性，如所在章的不同前后章內(nèi)容；又有一致性，如均在八年級(jí)．

2.2 定理發(fā)現(xiàn)

10個(gè)版本教材中，浙教版通過(guò)直觀演繹發(fā)現(xiàn)定理，青島版通過(guò)邏輯演繹發(fā)現(xiàn)定理，其它8個(gè)版本則是從特例中發(fā)現(xiàn)定理．在這8個(gè)版本中，僅采用思路①的版本只有北京版，僅采用思路②的是冀教版、湘教版、蘇教版、人教版和上科版，華師版和北師版采用了①和②兩種思路．有7個(gè)版本采用了從特例中發(fā)現(xiàn)定理的思路②．

傳說(shuō)中畢達(dá)哥拉斯最初發(fā)現(xiàn)勾股定理的情境是“正方形瓷磚鋪地面”——等腰直角三角形及其三邊上的正方形．在定理發(fā)現(xiàn)中，直接采用此情境的版本有華師版、冀教版、人教版，上科版和北師版則把上述情境嵌入單位方格圖中．

2.3 定理描述

10個(gè)版本教材中，浙教版的定理描述處于定理發(fā)現(xiàn)之后，無(wú)定理論證；冀教版和湘教版的處于定理論證之后；其他7個(gè)版本的定理描述均處于定理發(fā)現(xiàn)與定理論證之間．針對(duì)定理的具體內(nèi)容，10個(gè)版本均呈現(xiàn)了兩種表征類型：文字和符號(hào)表征，其文字表征均以不同顏色的黑體字或附帶底紋等特別方式來(lái)顯示．表明這些教材較重視定理的識(shí)記．僅冀教版和湘教版在定理描述中給出了定理的文字變式，即是“已知直角三角形的兩邊，求第三邊”；華師版在例題旁給出了定理的文字變式，北師版在節(jié)引言中有定理的文字變式．除華師版和人教版外，在定理描述中都編寫(xiě)有關(guān)于定理歷史的內(nèi)容，詳見(jiàn)后文．

2.4 定理論證

10個(gè)版本教材中，6個(gè)版本采用了驗(yàn)證的論證方式，3個(gè)版本采用了證明．編寫(xiě)有3種論證思路的有蘇教版，兩種思路的4個(gè)版本，一種思路的4個(gè)版本，無(wú)論證的一個(gè)版本，共出現(xiàn)論證思路15次；半數(shù)版本教材呈現(xiàn)了兩種及其以上的論證思路．然而，所有教材中的思路僅有5個(gè)種類（圖形相同的驗(yàn)證或證明思路被視為一種論證思路）；論證思路多基于圖2和圖3，分別出現(xiàn)7次和4次．教材中的論證思路均用到了“拼圖”方法，與圖4和圖5相比，“拼”圖2和圖3較易．定理發(fā)現(xiàn)思路中的“通過(guò)面積關(guān)系推斷邊的關(guān)系”，求解單位方格圖中非等腰直角三角形斜邊上的正方形面積時(shí)，需用到圖形的“割補(bǔ)”方法；“拼圖”和“割補(bǔ)”兩種方法聯(lián)系緊密，都暗含了“分與合”思想．7個(gè)版本中定理的發(fā)現(xiàn)和論證之間的這種聯(lián)系便于學(xué)生經(jīng)歷連續(xù)的探究過(guò)程，更好地理解定理的論證思路．

趙爽曾給出兩種定理證法，一種在《周髀》“半其一矩”的注文中，稱其為“割補(bǔ)證法”，另一種是在《周髀》首章注文“勾股圓方圖”中，這里稱其為“弦圖證法”，后者是前者的延伸[2]．“弦圖證法”主要基于圖3；“割補(bǔ)證法”指通過(guò)對(duì)圖形的切割、拼接，巧妙地利用面積關(guān)系論證勾股定理，這是中國(guó)古代常用的“出入相補(bǔ)法”[20]．人教版采用了文中所給圖之外的思路，也就是趙爽的“割補(bǔ)證法”．

2.5 定理應(yīng)用

10個(gè)版本教材中，定理應(yīng)用的問(wèn)題共100道（大題中有小題，按小題個(gè)數(shù)計(jì)算）．解釋水平的數(shù)學(xué)問(wèn)題有46道，占46%，探究水平的問(wèn)題占54%．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)科背景的問(wèn)題占63%（據(jù)分析，需運(yùn)用發(fā)現(xiàn)或論證定理思路解決的問(wèn)題情境屬于數(shù)學(xué)學(xué)科背景），生活背景的數(shù)學(xué)問(wèn)題占37%．“在數(shù)學(xué)學(xué)科背景中，直接給定直角三角形的兩邊長(zhǎng)，求第三邊長(zhǎng)”問(wèn)題占比31%，“在生活背景中，通過(guò)尋找或構(gòu)造直角三角形應(yīng)用勾股定理”問(wèn)題占比22%，這兩類問(wèn)題占比較高．北師版、冀教版、人教版和蘇教版編寫(xiě)有需運(yùn)用發(fā)現(xiàn)或論證定理思路解決的問(wèn)題，蘇教版最多，有4道；此類題可以促進(jìn)學(xué)生對(duì)論證思路的理解．全部版本中，僅華師版有5道不良結(jié)構(gòu)的問(wèn)題；編寫(xiě)解釋性水平問(wèn)題類型①時(shí)，僅華師版有一道對(duì)直角三角形直角的名稱做變式的問(wèn)題，即是∠=90°，其他同類型的問(wèn)題均是∠=90°．不良結(jié)構(gòu)問(wèn)題適于不同程度的學(xué)生并利于他們探究能力的增強(qiáng)，變式題利于學(xué)生從多角度理解勾股定理的應(yīng)用．

2.6 定理歷史

10個(gè)版本教材中，定理發(fā)現(xiàn)中出現(xiàn)定理歷史主題5次，定理描述中出現(xiàn)14次，定理論證中7次，定理應(yīng)用中4次，共30次，平均每個(gè)版本出現(xiàn)3次定理歷史．這里的論證思路均具有一定的數(shù)學(xué)史淵源，與定理論證思路出現(xiàn)的次數(shù)相比，定理論證中出現(xiàn)歷史主題的次數(shù)不到它的一半，且僅有3個(gè)版本．出現(xiàn)次數(shù)最多的主題是“我國(guó)古代對(duì)‘勾股弦’的約定”，達(dá)8次，即是10個(gè)版本中有8個(gè)版本出現(xiàn)了這個(gè)主題．出現(xiàn)3次的主題是“國(guó)內(nèi)將定理稱勾股定理，國(guó)外稱畢達(dá)哥拉斯定理”、“趙爽與弦圖的關(guān)系”和“2002年國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)”．出現(xiàn)兩次的主題是“《周髀算經(jīng)》中商高對(duì)定理的觀點(diǎn)”和“《九章算術(shù)》中的‘引葭赴岸’問(wèn)題”．蘇教版共出現(xiàn)6次數(shù)學(xué)史主題，在10個(gè)版本中最多；出現(xiàn)次數(shù)最少的是冀教版，僅一次．

此外，10個(gè)版本中，僅青島版教材在小節(jié)正文中編寫(xiě)有數(shù)學(xué)史欄目“史海漫游”，欄目主題名稱是“漫話勾股定理”．上述4類主題的分析沒(méi)將該欄目包括的8個(gè)數(shù)學(xué)史主題計(jì)入其中．在數(shù)學(xué)史主題出現(xiàn)的38次中，國(guó)內(nèi)主題出現(xiàn)29次，國(guó)外出現(xiàn)5次（四類位置中出現(xiàn)3次），同時(shí)具有國(guó)內(nèi)外題材的主題有4次，也即是“國(guó)內(nèi)將定理稱勾股定理，國(guó)外稱畢達(dá)哥拉斯定理”出現(xiàn)3次，“定理的證法多達(dá)370多種”出現(xiàn)一次．國(guó)內(nèi)主題出現(xiàn)頻率明顯高于國(guó)外主題的頻率．

3 研究的主要結(jié)論與反思

3.1 主要結(jié)論

依據(jù)上述結(jié)果，可以提煉出中國(guó)初中數(shù)學(xué)教材中勾股定理內(nèi)容的主要編寫(xiě)特點(diǎn)：

（1）該內(nèi)容所處的知識(shí)編排體系，即具多樣性，又有一致性．

（2）7個(gè)版本采用了從特例中發(fā)現(xiàn)定理的思路②，即通過(guò)面積關(guān)系推斷邊的關(guān)系．

（3）定理描述中，全部教材強(qiáng)調(diào)定理識(shí)記的引導(dǎo)，8成注重?cái)?shù)學(xué)史的呈現(xiàn)．

（4）6個(gè)版本的論證方式是驗(yàn)證，半數(shù)教材采用了兩種及其以上的思路，但論證思路種類少且集中．

（5）定理應(yīng)用的問(wèn)題在認(rèn)知水平和情境類型上分布較均衡，但不良結(jié)構(gòu)問(wèn)題的數(shù)量較少．

（6）全部版本融入了數(shù)學(xué)史，但定理論證中呈現(xiàn)的歷史主題較少，國(guó)外的定理歷史主題出現(xiàn)頻率較低．

（7）各版本均為學(xué)生提供了積淀數(shù)學(xué)操作活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的素材，9個(gè)版本的教材展現(xiàn)了完整的定理發(fā)現(xiàn)、描述和論證過(guò)程．

3.2 反 思

3.2.1 完善過(guò)程性內(nèi)容增強(qiáng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落實(shí)的有效性

研究結(jié)論顯示，中國(guó)絕大多數(shù)初中數(shù)學(xué)教材為學(xué)生經(jīng)歷定理發(fā)現(xiàn)、描述、論證和應(yīng)用的完整過(guò)程提供了良好的學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)，較好地落實(shí)了引導(dǎo)學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的要求，進(jìn)而可以促進(jìn)學(xué)生的幾何直觀、推理（包括合情推理和演繹推理）能力和應(yīng)用意識(shí)等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育．特別地，定理發(fā)現(xiàn)和論證中的諸多畫(huà)圖、觀察、計(jì)算和拼圖等活動(dòng)可以發(fā)展學(xué)生的幾何直觀．

但是，某些版本在落實(shí)核心素養(yǎng)方面還有提升空間，需完善有關(guān)過(guò)程性內(nèi)容．在定理發(fā)現(xiàn)中，湘教版教材只編寫(xiě)了一個(gè)發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊上正方形面積關(guān)系的例子，沒(méi)有提供變式，這對(duì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)定理是不夠的，可能會(huì)影響他們合情推理能力的提高．此外，可以參考一些優(yōu)秀成果來(lái)優(yōu)化該部分教材內(nèi)容，如吳增生等通過(guò)兩項(xiàng)“剪拼”任務(wù)引導(dǎo)學(xué)生“再發(fā)現(xiàn)”趙爽“割補(bǔ)證法”的做法，增強(qiáng)了學(xué)生“發(fā)現(xiàn)感”進(jìn)而發(fā)展了他們的發(fā)現(xiàn)、提出問(wèn)題與分析、解決問(wèn)題的能力[4]．

2011課標(biāo)在“教學(xué)建議”中指出，在第三學(xué)段中應(yīng)把證明作為探索活動(dòng)的自然延續(xù)和必要發(fā)展，使學(xué)生知道合情推理與演繹推理是相輔相成的兩種推理形式[23]．對(duì)于定理論證，浙教版教材缺少這個(gè)過(guò)程，可能會(huì)影響學(xué)生對(duì)合情推理與演繹推理的關(guān)系的理解．為實(shí)施探究水平的教學(xué)，勾股定理在教學(xué)設(shè)計(jì)上存在一個(gè)難解的困惑：證明有難度，一般來(lái)說(shuō)學(xué)生很難自行探究、尋得解決的方法[24]．多數(shù)教材盡管在定理發(fā)現(xiàn)和論證思路中都內(nèi)隱“分與合”思想，卻對(duì)此聯(lián)系揭示不夠，從而會(huì)導(dǎo)致某些教師不能發(fā)現(xiàn)它，設(shè)計(jì)不出解決上述困惑的探究教學(xué)，影響學(xué)生推理能力和幾何直觀的發(fā)展．因而建議在定理論證前增加一些提示語(yǔ)，如“為驗(yàn)證定理，你能應(yīng)用探索定理中的思想方法嗎？”，以增強(qiáng)學(xué)生對(duì)論證思路的“發(fā)現(xiàn)感”．此外，大多版本教材的不良結(jié)構(gòu)問(wèn)題的數(shù)量偏少，可能會(huì)減少學(xué)生發(fā)展應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)的機(jī)會(huì)．

3.2.2 適當(dāng)增加論證思路的種類進(jìn)一步凸顯數(shù)學(xué)教材編寫(xiě)特色

2011課標(biāo)在“課程內(nèi)容”中針對(duì)“勾股定理及其應(yīng)用”指出：探索勾股定理，并能運(yùn)用它解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題[23]．由上述研究可知，10個(gè)版本教材對(duì)該內(nèi)容的編寫(xiě)，在遵循課標(biāo)基本要求的基礎(chǔ)上，既有定理內(nèi)容處于八年級(jí),強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)積累，重視定理識(shí)記，問(wèn)題類型分布均衡等共性特點(diǎn)，又各具特色，如人教版較重視揭示勾股定理的數(shù)學(xué)史背景，蘇教版較注重論證思路的多樣化，華師版強(qiáng)調(diào)不良結(jié)構(gòu)問(wèn)題的設(shè)置等．

然而，教材中論證思路種類少且集中，與勾股定理的數(shù)百種證法不大相稱，也失去了教材多樣化的應(yīng)有之義，進(jìn)而對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)個(gè)性發(fā)展產(chǎn)生不利．故建議在教材小節(jié)正文中適當(dāng)增加論證思路的種類，進(jìn)一步凸顯各版教材編寫(xiě)特色．因?yàn)榻滩氖浅踔修r(nóng)村教師發(fā)展數(shù)學(xué)知識(shí)的主要來(lái)源之一[10]，這也有利于他們豐富關(guān)于勾股定理論證思路的數(shù)學(xué)知識(shí)．

3.2.3 挖掘多元文化素材適度擴(kuò)大數(shù)學(xué)史的內(nèi)容范圍

2011課標(biāo)在“教材編寫(xiě)建議”中指出：數(shù)學(xué)文化作為教材的組成部分，應(yīng)滲透在整套教材中．為此，教材可以適時(shí)地介紹有關(guān)背景知識(shí)，包括數(shù)學(xué)發(fā)展史的有關(guān)材料等[23]．10個(gè)版本教材均接受了此建議，并將其落實(shí)到了教材的編寫(xiě)中．

勾股定理曾先后在不同地區(qū)或國(guó)家被不同民族所發(fā)現(xiàn)，往往成為一種標(biāo)志性的文化事件而載入這些地區(qū)或國(guó)家的文明史．據(jù)統(tǒng)計(jì)，歷史上不同時(shí)代，不同國(guó)別的不同人士曾先后給出過(guò)四百多種勾股定理的證明[25]．這些人士包括數(shù)學(xué)家、藝術(shù)家、政治家、中學(xué)生、盲童等[26]．為促使學(xué)生更好地從多元文化視角看待數(shù)學(xué)，建議適度增添定理歷史的國(guó)外題材．論證思路的編寫(xiě)中，歷史主題出現(xiàn)的頻率偏低會(huì)一定程度上削弱學(xué)生的“發(fā)現(xiàn)感”和對(duì)勾股定理豐富數(shù)學(xué)史內(nèi)涵的體驗(yàn)，因而可以適度加大數(shù)學(xué)史滲透力度；特別地，建議采用合適的途徑將有關(guān)中學(xué)生或盲童的定理論證方面的內(nèi)容納入其中，進(jìn)而為學(xué)生提供數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的榜樣．

[1] 項(xiàng)武義．幾何學(xué)在文明中所扮演的角色——紀(jì)念陳省身先生的輝煌幾何人生[M]．北京：高等教育出版社，2009．

[2] 蔡宗熹．千古第一定理——勾股定理[M]．北京：高等教育出版社，2009．

[3] 朱哲，張維忠．中日新數(shù)學(xué)教科書(shū)中的“勾股定理”[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2011，20（1）：84-87．

[4] 吳增生，鄭燕紅，李宏彥，等．勾股定理教學(xué)實(shí)驗(yàn)研究——讓學(xué)生真正經(jīng)歷勾股定理的“再發(fā)現(xiàn)”過(guò)程[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2017，26（1）：50-54．

[5] 王艷青．中學(xué)數(shù)學(xué)教科書(shū)中勾股定理內(nèi)容編排的演變研究（1949—2011）[D]．內(nèi)蒙古師范大學(xué)，2012．

[6] 朱哲．?dāng)?shù)學(xué)教科書(shū)中勾股定理單元的編寫(xiě)與教學(xué)實(shí)驗(yàn)研究——基于“數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)課程”理念[D]．西南大學(xué)，2010．

[7] 黃榮金．變異理論下的數(shù)學(xué)課堂研究[M]．南寧：廣西教育出版社，2010．

[8] 馮振舉，王惠揚(yáng)子．職前數(shù)學(xué)教師教學(xué)設(shè)計(jì)信念轉(zhuǎn)變的個(gè)案研究——以HPM視角下的勾股定理教學(xué)為例[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2016，25（2）：59-65．

[9] 王芳，張維忠．多元文化下的勾股定理[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2004，13（4）：34-36．

[10] 李渺，萬(wàn)新才，楊田．初中農(nóng)村教師數(shù)學(xué)知識(shí)狀況及來(lái)源的調(diào)查研究——以勾股定理為例[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2011，20（5）：47-51．

[11] 張倩，黃毅英．教科書(shū)研究之方法論構(gòu)建[J]．課程·教材·教法，2016，（8）：41-47．

[12] 中華人民共和國(guó)教育部．教育部辦公廳關(guān)于2016年中小學(xué)教學(xué)用書(shū)有關(guān)事項(xiàng)的通知[EB/OL]．http://www.moe.gov. cn/srcsite/A26/moe_714/201604/t20160428_241261.html.

[13] 王燕春．義務(wù)教育教科書(shū)數(shù)學(xué)（八年級(jí)上冊(cè)）[M]．北京：北京出版社，2014．

[14] 馬復(fù)．義務(wù)教育教科書(shū)數(shù)學(xué)（八年級(jí)上冊(cè)）[M]．北京：北京師范大學(xué)出版社，2014．

[15] 楊俊英．義務(wù)教育教科書(shū)數(shù)學(xué)（八年級(jí)上冊(cè)）[M]．石家莊：河北教育出版社，2013．

[16] 嚴(yán)士健，黃楚芳．義務(wù)教育教科書(shū)數(shù)學(xué)（八年級(jí)下冊(cè)）[M]．長(zhǎng)沙：湖南教育出版社，2015．

[17] 王建磐．義務(wù)教育教科書(shū)數(shù)學(xué)（八年級(jí)上冊(cè)）[M]．上海：華東師范大學(xué)出版社，2013．

[18] 楊裕前，董林偉．義務(wù)教育教科書(shū)數(shù)學(xué)（八年級(jí)上冊(cè)）[M]．南京：江蘇鳳凰科學(xué)技術(shù)出版社，2013．

[19] 展?jié)x務(wù)教育教科書(shū)數(shù)學(xué)（八年級(jí)下冊(cè)）[M]．青島：青島出版社，2013．

[20] 林群．義務(wù)教育教科書(shū)數(shù)學(xué)（八年級(jí)下冊(cè)）[M]．北京：人民教育出版社，2013．

[21] 吳之季，蘇淳．義務(wù)教育教科書(shū)數(shù)學(xué)（八年級(jí)下冊(cè)）[M]．上海：上海科學(xué)技術(shù)出版社，2013．

[22] 范良火．義務(wù)教育教科書(shū)數(shù)學(xué)（八年級(jí)上冊(cè)）[M]．杭州：浙江教育出版社，2013．

[23] 中華人民共和國(guó)教育部．義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M]．北京：北京師范大學(xué)出版社，2012．

[24] 張奠宙，宋乃慶．?dāng)?shù)學(xué)教育概論（第三版）[M]．北京：高等教育出版社，2016．

[25] 李文林．從趙爽弦圖談起[M]．北京：高等教育出版社，2008．

[26] 汪曉勤．?dāng)?shù)學(xué)文化透視[M]．上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，2013．

[責(zé)任編校：周學(xué)智]

Research on Writing Features of the Content “Pythagorean Theorem” of Junior High School Mathematical Textbooks in China

SONG Yun-ming

(School of Mathematical Sciences, Guizhou Normal University, Guizhou Guian New District 550025, China)

Characteristics of textbooks and cultivating core literacy were important tasks of compiling mathematics textbooks entrusted by the times. Writing features of the content “Pythagorean Theorem” of junior high school mathematical textbooks in China had been analyzed by content analysis. Some common features were found in the 10 editions of the textbook. Moreover, they also had their own characteristics. For the shortage of teaching materials, some suggestions had been put forward: improving the content of processes in order to enhance the effectiveness of the implementation of the core quality, increasing the types of argumentation appropriately in order to further highlight writing features, mining multicultural material in order to expand the scope of the history of mathematics appropriately.

mathematical textbook; writing feature; Pythagorean Theorem; core literacy; content analysis

G423.3

A

1004–9894（2017）03–0044–05

2017–03–14

貴州省教育科學(xué)規(guī)劃課題——初中數(shù)學(xué)教材中變式素材編寫(xiě)特點(diǎn)研究（2016B272）

宋運(yùn)明（1980—），男，山東曹縣人，副教授，教育學(xué)博士，碩士生導(dǎo)師，主要從事數(shù)學(xué)教材研究．