劉 帥， 韓 勇， 閆鋒剛， 金 銘

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)(威海)信息與電氣工程學(xué)院, 山東 威海 264209)

錐面共形陣列極化-DOA估計(jì)的降維MUSIC算法

劉 帥， 韓 勇， 閆鋒剛， 金 銘

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)(威海)信息與電氣工程學(xué)院, 山東 威海 264209)

針對傳統(tǒng)MUSIC(multiple signal classification)算法在錐面共形陣列極化-DOA(direction of arrival)參數(shù)聯(lián)合估計(jì)過程中計(jì)算復(fù)雜度較高的問題，利用單極化陣元構(gòu)造極化敏感錐面共形陣列，并建立陣列接收信號模型. 通過構(gòu)造同極化接收子陣，將導(dǎo)向矢量中空域信息和極化域信息去“耦合”，在考慮陣元遮擋效應(yīng)的條件下，結(jié)合秩損原理實(shí)現(xiàn)了基于降維MUSIC算法的極化-DOA多參數(shù)估計(jì)，減小了極化-DOA參數(shù)估計(jì)的計(jì)算量. 通過計(jì)算機(jī)仿真證明了方法的有效性.

錐面共形陣列；降維MUSIC；極化-DOA估計(jì); 秩損原理；遮擋效應(yīng)

based on dimension reduced MUSIC

共形陣列[1-5]是由共形載體上共形輻射單元構(gòu)成的天線陣列. 作為共形陣列的典型代表，錐面共形陣列具有利用孔徑充分、節(jié)省空間、滿足空氣動(dòng)力學(xué)要求、對極化信息敏感等特點(diǎn)，在電子偵察、電子對抗、航空航天及通信等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用前景.

目前對共形陣列的研究主要包括：共形輻射單元設(shè)計(jì)及輻射特性研究[1-2]，共形天線陣列的分析和綜合優(yōu)化[3-5]，以及共形陣列參數(shù)估計(jì)[6-13]. 在共形陣列參數(shù)估計(jì)方面，文獻(xiàn)[6]考慮共形陣列天線的多極化特性，基于四階累積量和對陣列結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)，結(jié)合ESPRIT(estimation of signal parameters via rotational invariance techniques)算法實(shí)現(xiàn)三種(柱面、錐面、球面)共形陣列條件下的盲極化DOA估計(jì)；文獻(xiàn)[7]針對共形陣列流形中DOA與極化參數(shù)的“耦合”，利用偶極子陣元在錐面和柱面共形載體上合理布陣，使用ESPRIT算法實(shí)現(xiàn)了DOA和極化參數(shù)的聯(lián)合估計(jì)；文獻(xiàn)[8]將任意基線算法擴(kuò)展到三維陣列，結(jié)合虛擬基線方法，利用子陣分割和矩陣求逆的方法實(shí)現(xiàn)了共形陣列條件下的二維DOA估計(jì)；文獻(xiàn)[9]利用虛擬內(nèi)插變換將共形陣列轉(zhuǎn)換為虛擬的線性陣列，并結(jié)合經(jīng)典聯(lián)合迭代自校正算法，實(shí)現(xiàn)了陣列誤差的自校正以及DOA的估計(jì)；文獻(xiàn)[10]利用MUSIC算法實(shí)現(xiàn)了共形陣列的極化-DOA的聯(lián)合估計(jì)；文獻(xiàn)[11]利用柱面共形陣列的對稱性，結(jié)合ESPRIT實(shí)現(xiàn)了DOA和極化參數(shù)的估計(jì)；文獻(xiàn)[12]針對陣元互耦和遮擋效應(yīng)，通過模式空間變換和秩損理論，實(shí)現(xiàn)了柱面共形陣列的DOA估計(jì). 在共形陣列參數(shù)估計(jì)性能分析方面，文獻(xiàn)[13]推導(dǎo)了MUSIC算法在共形陣列中的DOA參數(shù)估計(jì)方差和克拉美-羅界，并通過仿真對比研究了MUSIC算法在面陣和共形陣列中的DOA估計(jì)精度.

在共形陣列的參數(shù)估計(jì)方面已有算法主要分為兩類：不同背景下的DOA參數(shù)估計(jì)[6,8-9,12]以及極化和DOA參數(shù)的聯(lián)合估計(jì)[7,10-11]. 在極化和DOA聯(lián)合估計(jì)算法方面，已有文獻(xiàn)主要通過ESPRIT算法和MUSIC算法實(shí)現(xiàn)，其中ESPRIT算法對陣列形式有一定限制且需要進(jìn)行參數(shù)配對，MUSIC算法對陣列形式限制較少，但需要進(jìn)行四維參數(shù)搜索，計(jì)算復(fù)雜度較高. 針對以上問題，本文提出一種基于錐面共形陣列的降維MUSIC算法，算法通過構(gòu)造同極化接收子陣，將導(dǎo)向矢量中的空域信息和極化信息去耦合，結(jié)合“秩損”原理實(shí)現(xiàn)了極化-DOA估計(jì)的降維MUSIC算法，與文獻(xiàn)[10]方法相比大大降低了極化-DOA估計(jì)算法的計(jì)算復(fù)雜度，且不需要進(jìn)行參數(shù)配對.

1 錐面共形陣列信號模型

1.1 錐面共形陣列結(jié)構(gòu)

錐面共形陣列的結(jié)構(gòu)如圖1所示，陣列由單極化陣元構(gòu)成，在圓錐頂點(diǎn)處存在一個(gè)陣元，其下有若干圓環(huán)陣. 定義β為1/2圓錐頂角，信號入射方向θ、φ定義如圖1所示，n為由上至下的圓環(huán)陣序號，d為圓環(huán)陣的間距，過圓錐頂點(diǎn)沿錐面分布的S1、S2、S3等直線定義為錐面的母線，每層圓環(huán)陣共含8個(gè)陣元，均位于相應(yīng)的母線上，每層圓環(huán)陣中陣元序號m以X正軸為起點(diǎn)，按逆時(shí)針方向排列.

圖1 錐面共形陣列示意

圖1所示的錐面共形陣列，其陣元坐標(biāo)為

xnm=nd×tanβ×cos[2π(m-1)/8],

ynm=nd×tanβ×sin[2π(m-1)/8],

znm=-nd.

1.2 錐面共形陣列信號模型

考慮如圖1所示的錐面共形陣列：圓錐頂點(diǎn)處有1個(gè)陣元，其他陣元分布在L條母線上，每條母線有K個(gè)陣元，陣元數(shù)為N=L×K+1. 假設(shè)有M個(gè)信號入射到錐面共形陣列上，則其接收信號模型可以表示為

(1)

ap(θi,φi,γi,ηi)=[p0,pS(1,i),…,pS(1,i),pS(2,i),…,pS(2,i),…,pS(L,i),…,pS(L,i)]T.

由陣列的建模過程可知，陣元受共形陣列曲率影響，使其具有不同的極化狀態(tài)，但同一條母線上的陣元由于在方向圖旋轉(zhuǎn)變換過程中具有相同的歐拉旋轉(zhuǎn)角，因此具有相同的極化狀態(tài)[10]，對入射信號的極化響應(yīng)相同. 本文正是利用同母線陣元的同極化特性實(shí)現(xiàn)了極化-DOA估計(jì)的降維算法.

2 基于降維MUSIC的極化-DOA聯(lián)合估計(jì)

2.1 錐面共形陣列的MUSIC算法原理

定義單極化陣元共形陣列的協(xié)方差矩陣為

Rx=E{X(t)XH(t)},

對Rx進(jìn)行特征值分解有

〈S〉=span{Us}=span{u1,u2,…uM},

〈N〉=span{UN)}=span{uM+1,…uN}.

進(jìn)一步由子空間原理可知，信號導(dǎo)向矢量與噪聲空間正交，即

(2)

由式(2)可定義極化-DOA聯(lián)合譜表達(dá)式為

(3)

對式(3)進(jìn)行四維搜索，得到M個(gè)極大值所對應(yīng)的參數(shù)值即為對信號參數(shù)(θ,φ,γ,η)的估計(jì). 由于在參數(shù)估計(jì)過程中需要進(jìn)行四維搜索，算法的計(jì)算復(fù)雜度較高，不利于工程實(shí)現(xiàn). 針對此問題，本文從導(dǎo)向矢量中極化信息和DOA信息解耦合的角度出發(fā)，通過秩損原理實(shí)現(xiàn)了極化-DOA參數(shù)估計(jì)的降維算法，大大降低了算法的計(jì)算復(fù)雜度.

2.2 錐面共形陣列的降維MUSIC算法原理

由式(1)可知，導(dǎo)向矢量可重寫為

(4)

其中

(5)

(6)

將式(4)代入到式(6)中，整理可得

aΣ(θi,φi)×aL(θi,φi,γi,ηi)=0,

i=1,2,…,M,

(7)

其中

).

(8)

由式(8)顯然有Q(θi,φi)=QH(θi,φi)，此時(shí)式(7)的左端為矩陣Q(θi,φi)的二次型表示. 由式(5)可知，aL(θi,φi,γi,ηi)為各條母線陣元對入射信號的極化響應(yīng)，由于各母線間陣元的極化形式不同，因此在L條母線中最多只有1條母線陣元的極化狀態(tài)與入射信號極化正交，即aL(θi,φi,γi,ηi)中元素不全為零，aL(θi,φi,γi,ηi)非零向量，aL(θi,φi,γi,ηi)≠0.

由以上討論可知，Q(θ,φ)為半正定矩陣，當(dāng)且僅當(dāng)(θ,φ)=(θi,φi),i=1,2,…,M時(shí)，Q(θ,φ)為奇異矩陣. 即Q(θ,φ)在信源的真實(shí)入射方向(θi,φi)處奇異，此時(shí)對矩陣Q(θ,φ)有

det[Q(θi,φi)]=0,i=1,2,…,M.

需要注意的是，由于共形載體對陣元的遮擋效應(yīng)，使得aΣ(θi,φi)的對角線存在部分元素為0的現(xiàn)象[10]，在這種情況下，即使(θ,φ)與信號的真實(shí)入射方向不對應(yīng)，也會(huì)使矩陣Q奇異. 因此需要對由陣列遮擋效應(yīng)造成矩陣Q的奇異性進(jìn)行處理. 由文獻(xiàn)[10]中討論可知，在有遮擋效應(yīng)的情況下，未受遮擋陣元對應(yīng)的導(dǎo)向矢量仍然與噪聲空間中相應(yīng)的元素正交. 因此在按照式(8)構(gòu)造Q后，將Q中全為0的行和列去掉得到Q′陣，此時(shí)對Q′陣有

det[Q′(θi,φi)]=0,i=1,2,…,M.

根據(jù)矩陣行列式與矩陣特征值關(guān)系，可得對入射信源的二維DOA估計(jì)為

(9)

式中，λmin{·}表示矩陣的最小特征值.

(10)

對式(10)分別作極化參數(shù)的二維估計(jì)，可得與DOA參數(shù)相對應(yīng)的極化參數(shù)估計(jì)結(jié)果.

降維MUSIC算法步驟：

1)計(jì)算陣列協(xié)方差矩陣，并作特征值分解，得到噪聲子空間UN；

2)根據(jù)式(8)構(gòu)造矩陣Q，并去掉其中全為零的行和列，得到Q′陣；

3)根據(jù)式(9)進(jìn)行角度域的二維搜索，得到DOA參數(shù)的估計(jì)；

4)將DOA估計(jì)值代入到式(10)中，在極化域進(jìn)行二維搜索，得到極化參數(shù)估計(jì).

綜上，通過對導(dǎo)向矢量中極化信息和DOA信息的剝離，算法實(shí)現(xiàn)了參數(shù)估計(jì)的降維處理，先由式(9)估計(jì)信號的DOA參數(shù)，然后通過式(10)估計(jì)信號的極化參數(shù). 可以看出降維算法將傳統(tǒng)MUSIC算法所需的四維參數(shù)搜索轉(zhuǎn)化為2個(gè)二維參數(shù)搜索，大大降低了計(jì)算復(fù)雜度；同時(shí)在參數(shù)估計(jì)過程中實(shí)現(xiàn)了估計(jì)參數(shù)的自動(dòng)配對，避免了ESPRIT算法所需的參數(shù)配對問題.

2.3 降維算法計(jì)算復(fù)雜度分析

在計(jì)算復(fù)雜度方面，降維MUSIC算法與傳統(tǒng)MUSIC算法的計(jì)算量均可分為陣列協(xié)方差矩陣計(jì)算、特征值分解和譜函數(shù)計(jì)算三部分. 為方便比較，假設(shè)兩種算法對應(yīng)的導(dǎo)向矢量通過正余弦查表得到，暫不考慮其計(jì)算量；與計(jì)算量有關(guān)的參數(shù)為陣元個(gè)數(shù)N、入射的信號源個(gè)數(shù)M、母線個(gè)數(shù)L、快拍數(shù)P；不失一般性，假設(shè)極化和DOA參數(shù)的搜索范圍為各自的值域范圍，即θ為0°～90°，φ為0°～360°，γ為0°～90°，η為0°～360°，各參數(shù)的搜索步長均為1°. 2.3.1 陣列協(xié)方差矩陣計(jì)算

兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘的計(jì)算量為(4m+2a)(m表示乘法，a表示加法，下同)，因此其單快拍自相關(guān)矩陣的計(jì)算量為N×N×(4m+2a)，對P個(gè)快拍，陣列自相關(guān)矩陣的計(jì)算量為P×N2×(4m+2a)+P×N2×2a. 兩種算法均是對N個(gè)陣元的協(xié)方差矩陣進(jìn)行計(jì)算，因此本部分的計(jì)算量二者相同.

2.3.2 特征值分解

在特征子空間計(jì)算過程中，兩種算法均需要對N維陣列協(xié)方差矩陣Rxx進(jìn)行特征值分解，因此在本部分二者的計(jì)算量相同. 由文獻(xiàn)[14]知，采用Lanczos算法計(jì)算N維矩陣的特征子空間分解時(shí)，其計(jì)算量主要為N3次的復(fù)數(shù)乘法，即文中陣列協(xié)方差矩陣特征分解的計(jì)算量為N3×(4m+2a).

2.3.3 譜函數(shù)計(jì)算

譜函數(shù)部分的計(jì)算量由需要計(jì)算的譜函數(shù)點(diǎn)數(shù)和每點(diǎn)所需的計(jì)算量確定.

傳統(tǒng)MUSIC：算法需要完成1次四維參數(shù)搜索，所需計(jì)算的譜函數(shù)點(diǎn)數(shù)為90×360×90×360，每個(gè)函數(shù)點(diǎn)涉及的計(jì)算為導(dǎo)向矢量與噪聲子空間相乘得到的行向量au以及計(jì)算au的模. 計(jì)算au所需的計(jì)算量為[N×(4m+2a)+N×2a]×(N-M)，計(jì)算向量au的模需要的計(jì)算量為(N-M)×(4m+2a)+(N-M)×2a，整理后得傳統(tǒng)MUSIC所需計(jì)算量為90×360×90×360×[(N-M)×(N+1)×(4m+4a)].

降維MUSIC：算法需要完成1次二維DOA搜索，以及M次二維極化參數(shù)搜索.

1)DOA搜索所需的譜函數(shù)點(diǎn)數(shù)為90×360，每個(gè)函數(shù)點(diǎn)需要的計(jì)算為：矩陣Q的構(gòu)造以及矩陣Q的特征值分解，其中計(jì)算矩陣Q所需的計(jì)算量為(L+1)×(N-M)×N×(4m+4a)+(L+1)3×(4m+2a)，矩陣Q的特征值分解所需的計(jì)算量為(L+1)3×(4m+2a). 整理后可得降維算法計(jì)算二維DOA搜索需要的計(jì)算量為

90×360×{[(L+1)×(N-M)×N+(L+1)3]×(4m+4a)+(L+1)3×(4m+2a)}.

2)極化參數(shù)搜索需要進(jìn)行M次二維極化參數(shù)計(jì)算，需要計(jì)算的譜函數(shù)點(diǎn)數(shù)為M×90×360，每個(gè)譜函數(shù)點(diǎn)所需的計(jì)算量與傳統(tǒng)MUSIC相同，為[(N-M)×(N+1)×(4m+4a)]，因此可得極化參數(shù)搜索需要的計(jì)算量為M×90×360×[(N-M)×(N+1)×(4m+4a)].

整理可得降維MUSIC算法所需的計(jì)算量為

90×360×{[(L+1)×(N-M)×N+(L+

1)3]×(4m+4a)+(L+1)3×(4m+2a)}+

M×90×360×[(N-M)×(N+1)×

(4m+4a)].

由于目前的數(shù)字信號處理芯片一般具有獨(dú)立的加法和乘法運(yùn)算單元，可認(rèn)為乘法和加法占用的指令周期相同. 若取陣元個(gè)數(shù)N=25，入射的信號源個(gè)數(shù)M=2，母線個(gè)數(shù)L=6，快拍數(shù)P=500，傳統(tǒng)MUSIC算法和降維MUSIC算法所需的計(jì)算量對比如表1所示.

表1 傳統(tǒng)MUSIC算法和降維MUSIC算法計(jì)算量比較(乘加次數(shù))
Tab.1 Compute complexity comparison between MUSIC and dimension reduced MUSIC(multiplicatio times)

算法陣列協(xié)方差矩陣特征值分解多維參數(shù)搜索傳統(tǒng)MUSIC算法2.5×1069.375×1044.6357×1012降維MUSIC算法2.5×1069.375×1041.4850×109

由表1可以看出，傳統(tǒng)算法與降維算法在陣列協(xié)方差矩陣計(jì)算和特征值分解部分的計(jì)算量相同，在多維參數(shù)搜索過程中，由于降維算法將四維的遍歷搜索過程改進(jìn)為二維DOA與二維極化參數(shù)的搜索計(jì)算，因此降低了極化-DOA估計(jì)算法的計(jì)算量，二種算法在參數(shù)搜索部分的計(jì)算量之比約為3 121∶1.

3 仿真實(shí)驗(yàn)

本節(jié)通過Matlab仿真研究降維MUSIC算法的有效性以及參數(shù)估計(jì)精度. 仿真中所取錐面共形陣列形式如圖1所示，具體參數(shù)為：β=20°，圓錐頂點(diǎn)處布有一個(gè)陣元，其下共有4個(gè)圓環(huán)陣，每個(gè)圓環(huán)陣有6個(gè)陣元，均勻分布在圓環(huán)上，圓環(huán)陣之間距離為2.75λ.

3.1 降維MUSIC算法有效性驗(yàn)證

仿真條件：信噪比20 dB，快拍數(shù)500，取極化和DOA參數(shù)均不同的兩個(gè)信源，參數(shù)分別為(θ1,φ1,γ1,η1)=(25°, 200°, 45°, 90°)，(θ2,φ2,γ2,η2)=(35°, 50°, 45°, 0°)，降維MUSIC算法所得仿真結(jié)果如圖2所示.

(a)降維算法DOA參數(shù)估計(jì)結(jié)果

(b)信源1極化參數(shù)估計(jì)結(jié)果

(c)信源2極化參數(shù)估計(jì)結(jié)果

由圖2(a)可以看出，雖然兩個(gè)入射信源的極化參數(shù)不同，但降維MUSIC算法通過在二維DOA域的搜索實(shí)現(xiàn)了對2個(gè)信源DOA參數(shù)的估計(jì)，避免了傳統(tǒng)MUSIC算法所需的四維搜索，大大降低了參數(shù)估計(jì)算法的計(jì)算復(fù)雜度. 由圖2(b)、(c)可以看出，在得到信源DOA參數(shù)估計(jì)結(jié)果后，將其分別代入到式(10)給出的極化參數(shù)譜估計(jì)表達(dá)式中，即可分別得到與DOA參數(shù)相匹配的極化參數(shù)估計(jì)結(jié)果. 圖2所示的仿真結(jié)果證明了降維MUSIC算法實(shí)現(xiàn)極化-DOA參數(shù)估計(jì)的有效性.

3.2 降維MUSIC算法參數(shù)估計(jì)精度仿真

仿真條件：陣列接收快拍數(shù)500，單信源入射，參數(shù)為(θ1,φ1,γ1,η1)=(15°, 200°, 45°, 100°)，信噪比從0dB變化到20dB，蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)次數(shù)500，統(tǒng)計(jì)算法參數(shù)估計(jì)的均方根誤差，仿真結(jié)果如圖3所示.

(a) θ估計(jì)結(jié)果 (b)φ估計(jì)結(jié)果

(c)γ估計(jì)結(jié)果 (d)η估計(jì)結(jié)果

Fig.3 Parameter estimation precision of dimension reduced MUSIC

由圖3所示的仿真結(jié)果可以看出，本文方法對DOA參數(shù)和極化參數(shù)的估計(jì)精度略遜于MUSIC算法，在信噪比低于10 dB時(shí)，兩種算法的參數(shù)估計(jì)精度相差較大. 隨著信噪比的逐漸增加，本文方法與MUSIC算法的估計(jì)精度差逐漸變小.

綜合仿真實(shí)驗(yàn)1和2的結(jié)果，以及2.3節(jié)計(jì)算量的討論可以看出，降維算法在犧牲部分精度的前提下，有效降低了極化-DOA聯(lián)合估計(jì)算法的計(jì)算量. MUSIC算法四維空間搜索所需計(jì)算量巨大，不利于工程實(shí)現(xiàn); 若在實(shí)際工程應(yīng)用中，允許對錐面共形陣列構(gòu)造同極化接收子陣，則降維算法可有效降低計(jì)算復(fù)雜度，有利于工程的實(shí)現(xiàn).

4 結(jié) 論

在建立單極化陣元錐面共形陣列信號模型的基礎(chǔ)上，通過構(gòu)造同極化接收子陣，完成了空域信息和極化域信息的去耦合，根據(jù)秩損原理實(shí)現(xiàn)了極化-DOA估計(jì)的降維MUSIC算法，并通過仿真實(shí)驗(yàn)研究了降維算法的估計(jì)精度. 仿真結(jié)果表明，本文方法可以有效實(shí)現(xiàn)極化-DOA參數(shù)的降維估計(jì)，大大降低了聯(lián)合估計(jì)算法的計(jì)算量，為共形陣列在工程上的應(yīng)用提供了一個(gè)可選擇的方案. 同時(shí)，也可以看到本文方法在參數(shù)估計(jì)精度的仿真結(jié)果遜色于MUSIC算法，另外降維MUSIC算法參數(shù)估計(jì)精度的理論分析也尚未進(jìn)行，相信隨著更多同行的研究，以上問題將最終得到解決.

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(編輯 王小唯， 苗秀芝)

Polarization-DOA estimation for conical conformal array

LIU Shuai, HAN Yong, YAN Fenggang, JIN Ming

(School of Information and Electrical Engineering, Harbin Institute of Technology (Weihai), Weihai 264209，Shangdong, China)

Focusing on the problem of high computation complexity of MUSIC algorithm which is used for joint polarization-DOA estimation of conical conformal array, the signal model of conical conformal array is established and is built by single polarizative elements. Through the building of same polarizative sub-array, the polarization and DOA information of steering vector is de-coupled, considering the shadow effectors of conformal array, dimension reduced MUSIC is derived by rank reduction theory, which realizes polarization-DOA estimation by less computation complexity. The method has been verified by computer simulations.

conical conformal array; dimension reduced MUSIC; polarization-DOA estimation; rank reduction theory; shadow effectors

10.11918/j.issn.0367-6234.201607115

2016-07-28

中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金(HIT.NSRIF.201724)

劉 帥(1980—)，男，博士，副教授; 金 銘(1968—)，男，教授，博士生導(dǎo)師

劉 帥, liu_shuai_boy@163.com

TN911.7

A

0367-6234(2017)05-0036-06