劉 依,呂雅琪,聶德明

(中國計(jì)量大學(xué) 計(jì)量測試工程學(xué)院，浙江 杭州 310018)

氣泡在剪切作用下的運(yùn)動(dòng)特性研究

劉 依,呂雅琪,聶德明

(中國計(jì)量大學(xué) 計(jì)量測試工程學(xué)院，浙江 杭州 310018)

采用基于自由能模型的格子Boltzmann方法，考慮到毛細(xì)管數(shù)和氣液黏性比的影響，模擬了氣泡在剪切作用下的動(dòng)力特性.結(jié)果表明，無論氣泡半徑大小，總是其長軸被拉伸，中軸和短軸被壓縮，且中軸的長度總大于短軸的長度.隨著毛細(xì)管數(shù)的增加或氣液黏性比的增大，氣泡變形和偏轉(zhuǎn)程度越劇烈.

剪切流場；毛細(xì)管數(shù)；氣液黏性比；格子Boltzmann方法

在化工行業(yè)、水利工程、水上運(yùn)輸、水下探測和環(huán)境污染物防治等領(lǐng)域中，氣泡的動(dòng)力學(xué)特性的研究是人們關(guān)注的熱點(diǎn)之一[1].氣泡處于黏性液體中時(shí)，會(huì)受到黏性流體的剪切和拉拽，氣泡發(fā)生變形或破裂，使得周圍流場也會(huì)發(fā)生相應(yīng)變化.因此研究氣泡在剪切作用下的運(yùn)動(dòng)特性，建立準(zhǔn)確的預(yù)測模型，對工業(yè)設(shè)備的設(shè)計(jì)以及安全、高效、可靠運(yùn)行具有重大的理論意義和工業(yè)價(jià)值.

在理論分析方面，Taylor[2]最早在1934年對剪切流中單個(gè)液滴進(jìn)行理論分析.Taylor[2]的理論認(rèn)為液滴的變形是二維軸對稱的小變形，即液滴從圓形變成標(biāo)準(zhǔn)橢圓性.同時(shí)，引入變形參數(shù)描述氣泡的變形程度，提出變形參數(shù)與毛細(xì)管數(shù)成線性關(guān)系.隨著研究的進(jìn)一步深入，Charles[3]、Cox[4]和Acrivos[5]等學(xué)者分別從不同模型出發(fā)，從理論上推導(dǎo)了液滴傾斜角與毛細(xì)管數(shù)的關(guān)系.

隨著實(shí)驗(yàn)條件的提升，有學(xué)者開始用實(shí)驗(yàn)的方法研究氣泡在剪切流中的運(yùn)動(dòng)特性.Canedo[6]等人在1993年用實(shí)驗(yàn)的方法證明了氣泡發(fā)生小變形時(shí)的變化規(guī)律與Taylor[2]的理論相吻合.Rust和Manga[7]在2002年突破了以往實(shí)驗(yàn)只關(guān)注氣泡在低黏性比、低雷諾數(shù)下氣泡的小變形，關(guān)注氣泡大變形理論，定量研究毛細(xì)管數(shù)和偏轉(zhuǎn)角的關(guān)系.大量的實(shí)驗(yàn)研究表明，在研究氣泡和液滴的變形時(shí)，兩者的理論可以互通.但在研究氣泡破裂時(shí)，液滴破裂的機(jī)理與氣泡破裂的機(jī)理有所不同，兩者不能等同.

實(shí)驗(yàn)方法研究雖然能真實(shí)客觀地反映自然現(xiàn)象，但受制于測量水平，難以分析各參數(shù)的影響，無法全面掌握氣泡運(yùn)動(dòng)規(guī)律及機(jī)理.而數(shù)值模擬方法能克服實(shí)驗(yàn)方法的不足，目前已經(jīng)發(fā)展出多種數(shù)值方法用于模擬氣液兩相流動(dòng)，如Level Set方法[8-10]、VOF (Volume of Fluid) 方法[11-13]和格子Boltzmann方法(LBM)[14-17]等.這些方法在氣泡運(yùn)動(dòng)的研究中獲得了許多成果.Level Set方法[8-10]和VOF方法[11-13]是以連續(xù)介質(zhì)理論為基礎(chǔ)，需要求解復(fù)雜的非線性方程.而LBM是基于微觀尺度上的統(tǒng)計(jì)力學(xué)Boltzmann方程，在計(jì)算中LBM只涉及一系列的碰撞和流過程步驟，對于復(fù)雜結(jié)構(gòu)的無滑移邊界條件很容易實(shí)現(xiàn)，能更合理準(zhǔn)確地描述物理?xiàng)l件，因此非常適合涉及界面運(yùn)動(dòng)的模擬.近二十幾年來已經(jīng)發(fā)展出幾種適用于多相流的格子Boltzmann模型，如顏色模型[18]、偽勢模型[19]和自由能模型[20].顏色模型[18]和偽勢模型[19]在涉及熱力學(xué)方面計(jì)算時(shí)遇到很大的限制.而自由能模型[20]引入對流擴(kuò)散方程來描述氣液界面，該方程求解簡單，易于實(shí)現(xiàn)，且可以較好地與其他熱模型結(jié)合，因此更加適合氣泡運(yùn)動(dòng)的模擬和研究.

目前，針對氣泡運(yùn)動(dòng)的研究主要集中在氣泡融合、破裂以及重力作用下上升等方面.氣泡在流場剪切下會(huì)發(fā)生變形或旋轉(zhuǎn)，這對于流體的宏觀流動(dòng)具有重要影響.可以預(yù)測，氣泡的變形必定與流場條件以及氣泡屬性有關(guān)，這在以往的研究中較為缺乏.因此，本文擬采用Zheng等人[21-22]提出的基于自由能模型的格子Boltzmann方法，在三維情況下探討剪切流場中氣泡的運(yùn)動(dòng)特性，研究毛細(xì)管數(shù)Ca和氣液黏性比對氣泡形態(tài)變化的影響.

1 數(shù)值方法

流體運(yùn)動(dòng)的Navier-Stokes方程和界面演化方程為

(1)

(2)

(3)

其中θM是遷移率，P是壓力，F(xiàn)b是體積力.n是半密度和，φ是半密度差(也叫相序參數(shù))，即n=(ρA+ρB)/2，φ=(ρA-ρB)/2.ρA和ρB代表的是流體A和流體B的密度.μφ是化學(xué)勢能，根據(jù)Zheng等人[21]，μφ可以表示為

(4)

式(4)中，φ*是與平衡狀態(tài)相關(guān)的常數(shù)，即

(5)

式(5)中ρl和ρg分別代表液體的密度和氣體的密度.系數(shù)A定義為

(6)

式(6)中σ為表面張力，W為界面厚度.κ的表達(dá)式為

(7)

1.1 連續(xù)方程和動(dòng)量方程的求解

(8)

為了模擬三維的氣泡運(yùn)動(dòng)，本文采用D3Q15格子模型，其離散速度c方向?yàn)?/p>

(9)

采用如下所示的平衡態(tài)分布函數(shù)

(10)

為了得到式(10)中的系數(shù)Ai和權(quán)系wi，引入質(zhì)量、動(dòng)量和二階速度矩的守恒關(guān)系，即

(11)

(12)

(13)

其中格子速度cs=c2/3，將平衡態(tài)分布函數(shù)式(10)代入式(11)、(12)以及(13)，考慮D3Q15的格子速度矢量式(9)，可以得到對應(yīng)的系數(shù)Ai和權(quán)系數(shù)wi的值

1.2 界面捕捉方程的求解

為了求解界面方程(3)，采用如下形式的格子Boltzmann演化方程[21]

gi(x+ciδt,t+δt)=gi(x,t)+(1-q)·

[gi(x+ciδt,t)-gi(x,t)]+Ωi.

(14)

根據(jù)Huang等人[22]，gi的平衡態(tài)分布函數(shù)為

(15)

采用D3Q7模型，其離散的速度方向?yàn)?/p>

(16)

為了得到式(15)中的系數(shù)Ai、Bi和Ci，引入質(zhì)量、動(dòng)量和二階速度矩的守恒關(guān)系，即

(17)

(18)

(19)

則可以推得各項(xiàng)系數(shù)為

B0=1,Bi=0(i≠0)，

其中Γ與遷移系數(shù)相關(guān).

1.3 模型驗(yàn)證

根據(jù)Jacqmin[24]，關(guān)于球形氣泡的相序參數(shù)即氣液界面的理論值為

(20)

式(20)中xc、yc和zc是氣泡中心的坐標(biāo)值.式(20)可以用來表示氣液的界面曲線.為了驗(yàn)證本文的方法，采用式(20)進(jìn)行驗(yàn)證.

設(shè)置計(jì)算區(qū)域?yàn)镹3=64×64×64，表面張力σ=1.0，界面寬度W=3.5.對以下兩種情況進(jìn)行模擬:①氣泡半徑R=10，ρl=1000，ρg=1；②氣泡半徑R=15，ρl=500，ρg=1.結(jié)果如圖1，圖1中符號表示的是本文D3Q15對應(yīng)的數(shù)值解，實(shí)線和虛線對應(yīng)的是理論解即式(20).可以看到，本文采用的方法準(zhǔn)確地捕捉到了氣液的界面曲線.

圖1 氣液界面的數(shù)值解與理論解的比較Figure 1 Comparison of analytical solution and numerical results for gas-liquid interface profile

Zheng等人[21]通過研究表明，界面厚度W對模擬的結(jié)果有影響，若選取的W較小時(shí)會(huì)出現(xiàn)明顯的誤差.我們分別選取W=1.5,2.0,2.5,3.5和4.5，通過計(jì)算可以得到氣泡內(nèi)外的壓力差Δp.再通過內(nèi)外壓力差和表面張力的平衡方程Δp=2σ/R，可以計(jì)算表面張力.計(jì)算結(jié)果表明隨著界面厚度W的增大，計(jì)算所得的表面張力逐漸靠近理論值.當(dāng)W=4.5時(shí)，計(jì)算值與理論值的誤差小于5%，因此在后續(xù)的計(jì)算中界面厚度均采用W=4.5.

2 計(jì)算結(jié)果及討論

初始形狀為球形的氣泡發(fā)生橢球形變形，如圖2所示變形后氣泡長軸、中軸及短軸的半徑分別為R1、R2和R3，定義變形率ε1=(R1-R)/R、ε2=(R2-R)/R和ε3=(R3-R)/R，ε>0為拉伸，ε<0為壓縮.圖3(a) 、(b)分別為橢球形氣泡的正視圖和側(cè)視圖，定義氣泡長軸與x軸的夾角θ為氣泡偏轉(zhuǎn)角，定義初始球形氣泡的偏轉(zhuǎn)角為45°.

圖2 流場示意圖和邊界條件Figure 2 Geometry and boundary condition

圖3 橢球形氣泡的正視圖和側(cè)視圖Figure 3 Front view and side view of ellipsoidal bubble

在剪切流場中，氣泡變形是非線性的動(dòng)力學(xué)過程，通常伴隨氣泡的變形、流體之間的對流和表面張力等復(fù)雜的相互作用.在剪切流場中通常用毛細(xì)管數(shù)Ca和雷諾數(shù)Re這兩個(gè)無量綱量描述流場的運(yùn)動(dòng)情況.毛細(xì)血管數(shù)Ca表征的是流場剪切強(qiáng)度與表面張力之比，流場的剪切力對氣泡產(chǎn)生變形拉伸作用，而氣泡的表面張力讓氣泡保持原狀，可見Ca數(shù)越大，對氣泡變形的作用強(qiáng)度越大.

(21)

雷諾數(shù)Re表征的是慣性力與黏性力之比，表達(dá)式如下:

(22)

式(22)中d為氣泡初始直徑.

計(jì)算區(qū)域設(shè)置為N3=130×100×130，上壁面和下壁面采用速度邊界，前壁面和后壁面采用固定壁面邊界條件，左邊界和右邊界采用周期性邊界條件.其他參數(shù)設(shè)置為液體密度ρl=1000，氣體密度ρg=1，氣泡表面張力σ=0.2，遷移系數(shù)Γ=800，無量綱時(shí)間因子τn=0.6、τφ=0.7以及界面厚度W=4.5.在格子Boltzmann方法中，液體黏性是無量綱時(shí)間因子的函數(shù)，關(guān)系如下:

(23)

計(jì)算結(jié)果將分三種情況討論.

2.1 不同初始半徑的氣泡

為了研究氣泡大小對氣泡變形的影響，設(shè)上壁面速度為U=0.013，下壁面速度為U=-0.013，氣液黏性比μl/μg=1000，分別取氣泡半徑R=8、10、12和14.計(jì)算結(jié)果表明，無論氣泡半徑大小，氣泡在x、y和z方向的速度和位移均為零.

圖4 (a)～(h)分別表示氣泡半徑為8、10、12和14時(shí)，氣泡在xoz面和yoz面上隨時(shí)間步變化的示意圖.從圖中可以看出，氣泡初始形狀為圓球形，在剪切流場的作用下，氣泡在x方向受到上下壁面朝相反運(yùn)動(dòng)方向的拉伸，從xoz面上看，圓形氣泡逐漸變?yōu)闄E圓形并于x軸成一定夾角.從yoz面上看，圓形氣泡逐漸變?yōu)榕cz軸平行的橢圓形.隨著時(shí)間步推移，氣泡長軸拉伸越來越大，中軸和短軸壓縮越來越明顯，且短軸的壓縮強(qiáng)度比中軸的壓縮強(qiáng)度強(qiáng).當(dāng)氣泡達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，氣泡半徑越大，氣泡變形越強(qiáng)烈，偏轉(zhuǎn)角越小，氣泡傾斜程度越明顯.下面定量分析氣泡初始半徑分別對氣泡最終穩(wěn)定時(shí)的長軸、中軸、短軸的變形率和偏轉(zhuǎn)角的影響.

圖4 不同半徑氣泡隨時(shí)間步的變形形態(tài)正視圖Figure 4 Time evolution of bubble shape at different radius in front view

圖5描述的是不同初始半徑的氣泡長軸的變形率隨時(shí)間步的變化，長軸的變形率從0開始增長為正值，說明長軸被拉伸.且隨著初始半徑的增大，拉伸率也在增大，說明初始半徑越大，氣泡長軸被拉伸的幅度也越大.圖6描述的是不同初始

圖5 不同半徑氣泡的長軸隨時(shí)間步的拉伸率Figure 5 Time evolution of major axis stretch ratio at different radius

圖6 不同半徑氣泡的中軸和短軸隨時(shí)間步的壓縮率Figure 6 Time evolution of mean axis and minor axis compression ratio at different radius

半徑的氣泡中軸和短軸的變形率隨時(shí)間步的變化，中軸和短軸的變形率從0開始遞減為負(fù)值，說明中軸和短軸被壓縮.

圖7描述的是不同初始半徑氣泡在剪切流場穩(wěn)定時(shí)的偏轉(zhuǎn)角，定義初始角度為45°，隨著時(shí)間步的增加，偏轉(zhuǎn)角逐漸減小最后趨于穩(wěn)定.但是若氣泡半徑較小(R=8)，偏轉(zhuǎn)角呈震蕩趨勢，最后趨于穩(wěn)定.

圖7 不同氣泡半徑下對應(yīng)的偏轉(zhuǎn)角Figure 7 Time evolution of deflection angle at different radius

可見隨著氣泡半徑的增加，即Ca數(shù)的增加，氣泡變形率的絕對值越來越大，氣泡變形強(qiáng)度也越大，但氣泡偏轉(zhuǎn)角越來越小.

2.2 不同剪切強(qiáng)度流場下的氣泡

為了研究不同剪切強(qiáng)度流場對氣泡變形的影響，固定氣泡半徑R=12，氣液黏性比μl/μg=1000，上壁面速度和下壁面速度分別取為U=±0.003、U=±0.005、±0.007和±0.010，即流場的剪切強(qiáng)度Gs分別為2.3×10-5(1/s)、3.8×10-5(1/s) 、5.4×10-5(1/s)和7.7×10-5(1/s).圖8描述的是在不同剪切強(qiáng)度下氣泡穩(wěn)定時(shí)的xoz面二維形態(tài)，隨著剪切強(qiáng)度的增強(qiáng)，偏轉(zhuǎn)角越小，傾斜程度越大.下面定量分析剪切流場強(qiáng)度分別對氣泡最終穩(wěn)定時(shí)的長軸、中軸、短軸的變形率和偏轉(zhuǎn)角的影響.

圖9描述的是不同剪切流場強(qiáng)度下氣泡長軸的變形率隨時(shí)間步的變化，當(dāng)剪切流場強(qiáng)度較小時(shí)，剪切流場強(qiáng)度Gs為2.3×10-5(1/s)，長軸的變形率在數(shù)值0上下小幅波動(dòng)，最終穩(wěn)定為0，即長軸沒有被拉伸也沒有被壓縮，而是保持與初始半徑一樣的長度.當(dāng)剪切流場強(qiáng)度增大時(shí)，長軸會(huì)被拉伸.且隨著剪切強(qiáng)度的增大，拉伸率也在增大，氣泡長軸被拉伸的幅度也越大.

圖8 不同剪切流場下氣泡的最終形態(tài)Figure 8 Final deformed shapes at different sheer rate

圖9 不同剪切流場強(qiáng)度下氣泡長軸隨時(shí)間步的拉伸率Figure 9 Time evolution of major axis stretch ratio at different sheer rate

圖10描述的是不同剪切流場強(qiáng)度下氣泡中軸和短軸的變形率隨時(shí)間步的變化，可見中軸和短軸被壓縮.隨著剪切流場強(qiáng)度的增大，壓縮率也在增大，壓縮程度更劇烈.

圖10 不同剪切流場強(qiáng)度下氣泡的中軸和短軸隨時(shí)間步的壓縮率Figure 10 Time evolution of mean axis and minor axis compression ratio at different sheer rate

從數(shù)據(jù)中我們可以看出，隨著流場剪切程度增強(qiáng)，即隨著Ca數(shù)的增加，氣泡最終穩(wěn)定時(shí)的偏轉(zhuǎn)角在減小，即偏轉(zhuǎn)程度增強(qiáng).結(jié)合2.1的四個(gè)算例和2.2的四個(gè)算例，Ca數(shù)與氣泡穩(wěn)定時(shí)最終偏轉(zhuǎn)角的關(guān)系如圖11所示.Stefano等人[25]用實(shí)驗(yàn)的方法測量Ca<0.3時(shí)，氣泡穩(wěn)定時(shí)最終偏轉(zhuǎn)角，認(rèn)為Ca與偏轉(zhuǎn)角呈線性關(guān)系.LBM數(shù)值模擬的數(shù)據(jù)顯示，隨著Ca數(shù)的增大，偏轉(zhuǎn)角減小，模擬的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)值的趨勢一致.最大的誤差出現(xiàn)在Ca=0.23時(shí)，誤差為6.6%，誤差在可接受的范圍內(nèi).

2.3 不同氣液黏性比的氣泡

為了研究不同氣液黏性比對氣泡變形的影響，固定上壁面速度為U=0.013，下壁面速度為U=-0.013，氣泡半徑R=12，氣液黏性比μl/μg分別取20、50、100和500.下面將定量分析不同氣液黏性比對氣泡變形及偏轉(zhuǎn)的影響.

圖11 Ca與氣泡穩(wěn)定時(shí)偏轉(zhuǎn)角的關(guān)系Figure 11 Linear relationship between Ca and deflection angle

不同氣液黏性比下氣泡長軸的拉伸率，如圖12.拉伸率曲線的趨勢與長軸長度變化的趨勢是一致的.當(dāng)氣液黏性比小于50時(shí)，氣泡長軸拉伸率隨時(shí)間步先增加后減小，呈往復(fù)振蕩后趨于穩(wěn)定值.當(dāng)氣液黏性比大于50時(shí)，氣泡長軸拉伸率隨時(shí)間步增加趨于穩(wěn)定值.從圖中可以看出，氣液黏性比越大，氣泡變形穩(wěn)定后氣泡長軸的拉伸率越大，氣泡的形變程度越明顯.圖13描述的是不同氣液黏性比下氣泡中軸和短軸的壓縮率.氣泡中軸和短軸的壓縮率變化趨勢相似，當(dāng)氣液黏性比較小時(shí)，壓縮率隨時(shí)間步出現(xiàn)往復(fù)增加最后穩(wěn)定的變化趨勢.當(dāng)氣液黏性比大于100時(shí)，氣泡中軸和短軸的壓縮率隨時(shí)間步逐漸增加最后穩(wěn)定.無論氣液黏性比大小，短軸的壓縮率比中軸的壓縮率大，變形程度更劇烈.

圖12 不同氣液黏性比下氣泡的長軸隨時(shí)間步的拉伸率Figure 12 Time evolution of major axis stretch ratio at different liquid-gas viscosity ratio

圖13 不同氣液黏性比下氣泡的中軸和短軸隨時(shí)間步的壓縮率Figure 13 Time evolution of mean axis and minor axis compression ratio at different liquid-gas viscosity ratio

圖14 不同氣液黏性比下氣泡對應(yīng)的偏轉(zhuǎn)角Figure 14 Time evolution of deflection angle at different liquid-gas viscosity ratio

圖14描述的是不同氣液黏性比下氣泡在剪切流場穩(wěn)定時(shí)的偏轉(zhuǎn)角，定義初始角度為45°，隨著時(shí)間步的增加，偏轉(zhuǎn)角逐漸減小最后趨于穩(wěn)定.若氣液黏性比較小，如圖所示μl/μg=20和μl/μg=50時(shí)，氣泡的偏轉(zhuǎn)角有小幅振蕩，最后趨于穩(wěn)定.

3 結(jié) 語

本文主要研究球形氣泡在剪切流場中發(fā)生橢球形變形的過程，研究毛細(xì)管數(shù)Ca與氣液黏性比μl/μg對球形氣泡變形形態(tài)的影響.毛細(xì)管數(shù)Ca與氣泡半徑和流場剪切強(qiáng)度相關(guān)，即分別研究氣泡半徑、流場剪切強(qiáng)度和氣液黏性比這三個(gè)影響量對球形氣泡變形形態(tài)的影響，得出如下結(jié)論:

1)對于不同初始半徑的氣泡，初始半徑越大，氣泡變形和偏轉(zhuǎn)程度越劇烈.無論氣泡半徑大小，總是長軸被拉伸，中軸和短軸被壓縮，且中軸的長度總大于短軸的長度.

2)對于不同剪切強(qiáng)度流場下的氣泡，流場剪切程度越強(qiáng)，氣泡變形和偏轉(zhuǎn)程度越劇烈.

3)隨著Ca數(shù)的增加，氣泡偏轉(zhuǎn)角在減小.本文計(jì)算的算例Ca數(shù)值范圍在0.05～0.23，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果在Ca<0.3時(shí)，Ca數(shù)與偏轉(zhuǎn)角呈線性遞減關(guān)系相吻合.

4)對于不同氣液黏性比的氣泡，隨著氣液黏性比的增大，氣泡變形和偏轉(zhuǎn)程度越劇烈.

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Numerical research on bubble motion in shear flow

LIU Yi, LYU Yaqi, NIE Deming

(College of Metrology and Measurement Engineering, China Jiliang University, Hangzhou 310018, China)

The deformation dynamic characteristic of single bubble in shear flow was simulated by using the Boltzmann method based on the free energy model. Results show that the main axis of the bubble is always stretched while the mean axis and the minor axis are compressed when the bubble is subjected to shear flow. Furthermore, with the increase of the capillary number or the liquid-gas viscosity ratio, the deformation and deflection of bubble becomes severe.

shear flow; capillary number; liquid-gas viscosity ratio; lattice Boltzmann method

2096-2835(2017)02-0159-10

10.3969/j.issn.2096-2835.2017.02.005

2017-03-02 《中國計(jì)量大學(xué)學(xué)報(bào)》網(wǎng)址：zgjl.cbpt.cnki.net

浙江省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(No. LY15A020004).

劉依(1992-)，女，浙江省嘉興人，碩士研究生，主要研究方向?yàn)閮上嗔?E-mail:liuyi19921101@163.com 通信聯(lián)系人：聶德明，男，教授. E-mail: nieinhz@cjlu.edu.cn

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