朱孟萍，耿 磊，陳新龍，李 志

(中國空間技術(shù)研究院錢學(xué)森空間技術(shù)實(shí)驗(yàn)室，北京 100094)

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帶有阻尼機(jī)構(gòu)的多柔體航天器動力學(xué)建模

朱孟萍，耿 磊，陳新龍，李 志

(中國空間技術(shù)研究院錢學(xué)森空間技術(shù)實(shí)驗(yàn)室，北京 100094)

對通過阻尼機(jī)構(gòu)連接的多柔體航天器動力學(xué)問題進(jìn)行研究，考察的系統(tǒng)由航天器本體、若干六自由度剛性阻尼平臺以及固連于阻尼平臺的大柔性附件構(gòu)成，阻尼平臺與航天器本體之間以彈性-阻尼裝置連接，為典型的多柔體系統(tǒng).以混合坐標(biāo)描述系統(tǒng)的運(yùn)動，利用Kane方程建立了具有較強(qiáng)通用性且有利于系統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)的含有約束阻尼的動力學(xué)模型.數(shù)值仿真結(jié)果表明，阻尼器可有效衰減柔性附件的振動，有利于星體受擾后的快速穩(wěn)定. 關(guān)鍵詞： 柔性附件；阻尼器；動力學(xué)；Kane方程

0 引 言

由于現(xiàn)代航天任務(wù)的需要，許多航天器都帶有大型柔性附件，例如大型太陽帆板、大型柔性天線以及天線支撐臂等.由于航天器柔性附件結(jié)構(gòu)阻尼一般很小(0.001～0.005)，其振動自然衰減很慢，使得柔性附件上的一些有效載荷的指向準(zhǔn)確性難以有效保證.

在航天器本體與柔性附件之間使用阻尼器則可以使得柔性附件的振動能量以耗散能的形式釋放，從而使得附件振動有效衰減.美國的SRTM(shuttle radar topography mission)就是在60 m長的柔性支撐臂的根部加裝了阻尼器，從而提高支撐臂端部天線的指向精度以及航天飛機(jī)的姿控精度[1-3].

目前大型應(yīng)用衛(wèi)星的整星動力學(xué)建模方法是混合坐標(biāo)法，基于這種方法針對其構(gòu)形特征所建立的中心剛體加柔性附件類航天器動力學(xué)模型，要求中心體的轉(zhuǎn)動慣量和質(zhì)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于柔性附件的轉(zhuǎn)動慣量和質(zhì)量，其控制對象為星本體的指向與穩(wěn)定度，對柔性附件的處理主要考慮其振動對中心剛體指向和穩(wěn)定度的影響.本文研究的對象背景是帶有長天線支撐臂天基干涉SAR衛(wèi)星，星上帶有大型太陽陣和長度為60～80 m的柔性天線伸展臂，整星規(guī)模龐大，構(gòu)形復(fù)雜，中心體的轉(zhuǎn)動慣量僅占整星轉(zhuǎn)動慣量的百分之五左右.該衛(wèi)星的控制要求不僅是中心剛體的指向與穩(wěn)定度，更重要的是天線支撐臂形成的干涉基線矢量的指向及穩(wěn)定度.因此，基于中心剛體加柔性附件的混合坐標(biāo)法不適用于該類衛(wèi)星的動力學(xué)建模.

此類航天器動力學(xué)屬于多體系統(tǒng)動力學(xué)問題.盡管已有諸多研究者對該類航天器動力學(xué)進(jìn)行了深入廣泛的研究，但研究對象中柔性附件通常是固接或鉸接(三自由度)于航天器本體上[4-7].本文則以更為通用的帶有六自由度柔性附件阻尼器的航天器系統(tǒng)為研究對象，利用Kane方程建立系統(tǒng)的動力學(xué)模型，并對姿態(tài)運(yùn)動受擾后的動力學(xué)響應(yīng)進(jìn)行了數(shù)值仿真與分析.

1 系統(tǒng)描述與坐標(biāo)系定義

為了簡要清晰地論述本文研究的主要問題，圖1 給出了簡化的系統(tǒng)構(gòu)型與坐標(biāo)系示意圖.

所研究的系統(tǒng)由剛性航天器本體、n個(gè)六自由度剛性阻尼平臺以及固連于阻尼平臺的柔性附件構(gòu)成.剛性阻尼平臺與航天器本體之間以若干彈性-阻尼裝置連接，相對本體可具有六個(gè)運(yùn)動自由度.柔性附件固連于阻尼平臺上.在后續(xù)的動力學(xué)建模與仿真中忽略彈性-阻尼裝置的質(zhì)量和慣量特性，僅考慮其作用力.

為描述系統(tǒng)運(yùn)動，定義如下坐標(biāo)系：

(1)慣性坐標(biāo)系FI(OXYZ)：

原點(diǎn)位于地球中心O，Z軸沿地球極軸指向北極，X軸指向春分點(diǎn)，Y軸與X、Z軸構(gòu)成右手坐標(biāo)系，其單位基向量為eI=[eIxeIyeIz]T；

(2)航天器本體坐標(biāo)系Fb(obxbybzb)：

原點(diǎn)位于航天器本體質(zhì)心ob，xb、 yb軸與zb軸為本體慣性主軸，且構(gòu)成右手坐標(biāo)系，其單位基向量為eb=[ebxebyebz]T；

(3)阻尼平臺i體坐標(biāo)系Fdi(odixdiydizdi)：

原點(diǎn)位于阻尼平臺i的質(zhì)心odi，xdi、 ydi軸與zdi軸為阻尼平臺i的慣性主軸，且構(gòu)成右手坐標(biāo)系，其單位基向量為edi=[edixediyediz]T；

(4)柔性附件i體坐標(biāo)系Fai(oaixaiyaizai)：

原點(diǎn)oai位于柔性附件i與阻尼平臺i的連接處，xai、 yai軸與zai軸與柔性附件i固連，且構(gòu)成右手坐標(biāo)系，其單位基向量為eai=[eaixeaiyeaiz]T.

2 系統(tǒng)的運(yùn)動學(xué)關(guān)系

首先定義下述矢徑：

定義下述角速度矢量：

由上述各矢徑定義可知，各體質(zhì)量參考點(diǎn)在慣性坐標(biāo)系中的矢徑分別為

(1)航天器本體

(1)

(2)阻尼平臺i(i=1,2,…,n)

(2)

(3)柔性附件i(i=1,2,…,n)

(3)

對式(1)～式(3)分別求時(shí)間導(dǎo)數(shù)可得各體質(zhì)量參考點(diǎn)相對慣性系的速度為:

(1)航天器本體

(4)

(2)阻尼平臺i(i=1,2,…,n)

(5)

(3)柔性附件i(i=1,2,…,n)

(6)

進(jìn)一步對式(4)～(6)求時(shí)間導(dǎo)數(shù)可得各體質(zhì)量參考點(diǎn)相對慣性系的加速度為

(1)航天器本體

(7)

(2)阻尼平臺i(i=1,2,…,n)

(8)

(3)柔性附件i(i=1,2,…,n)

(9)

以3-1-2旋轉(zhuǎn)順序的歐拉角描述航天器本體相對慣性坐標(biāo)系的姿態(tài)，則其運(yùn)動學(xué)關(guān)系為

(10)

式中

其中φ、θ和ψ分別為航天器相對慣性系的滾動角、俯仰角和偏航角.若以同樣旋轉(zhuǎn)順序的歐拉角描述阻尼平臺i相對其標(biāo)稱位置的方位角，則有

(11)

式中Θdi、Tdi(Θdi)分別與Θ、Tb(Θ)具有類似的形式.

3 Kane方程的基本形式

Kane方程可以寫為如下形式：

(12)

對于連續(xù)彈性體B，以上各量的計(jì)算過程如下[8]：

(13)

則

(14)

(15)

(16)

對于本文所研究的多體系統(tǒng)，也要先按各體分別計(jì)算，然后再求和.例如對于廣義慣性力，應(yīng)為：

(17)

式中各下標(biāo)的含義是：第一個(gè)下標(biāo)“I”表示廣義慣性力，第二個(gè)下標(biāo)表示它是與偏速度Wh對應(yīng)的第h階廣義慣性力，第三個(gè)下標(biāo)則是表示它是屬于哪個(gè)體的.

4 偏速度與系統(tǒng)動力學(xué)方程

將柔性附件i的質(zhì)量參考點(diǎn)的彈性位移寫為如下形式：

dai=Naiqai

(18)

其中，Nai為相應(yīng)的變形基函數(shù)矩陣，與柔性體各點(diǎn)位置有關(guān)，一般可取為彈性體的模態(tài)函數(shù)，qai為柔性體的廣義坐標(biāo)列陣，與時(shí)間有關(guān)，一般則可取為與模態(tài)函數(shù)對應(yīng)的模態(tài)坐標(biāo).相應(yīng)的彈性變形的速度和加速度則為:

(19)

選取各階偏速度如下：

Wn+3=ωd1，…，W2n+2=ωdn，

根據(jù)如上選取的偏速度，結(jié)合系統(tǒng)中各體參考點(diǎn)的速度與加速度表達(dá)式，按照Kane方程的推導(dǎo)過程，最后可得到對應(yīng)于各偏速度的動力學(xué)方程如下

(20)

(2)航天器本體轉(zhuǎn)動方程(對應(yīng)于偏速度ω)

(21)

(22)

(4)阻尼平臺i的轉(zhuǎn)動方程(對應(yīng)于偏速度ωdi)

(23)

(24)

式中,Fb為作用于航天器本體的力，Tb為作用于航天器本體的力矩，均在航天器本體坐標(biāo)系中描述；Fdi和Tdi則分別為阻尼平臺i受到的彈性-阻尼裝置的力和力矩，F(xiàn)di在航天器本體坐標(biāo)系中描述，Tdi在阻尼平臺i的體坐標(biāo)系中描述.各方程右端的Q*項(xiàng)為非線性耦合項(xiàng).方程左端各系數(shù)矩陣及方程右端的各非線性耦合項(xiàng)的表達(dá)式不再一一給出.

式(20)～式(24)還可以寫為如下的統(tǒng)一形式：

(25)

式中，

X=[RΘS1Θd1qa1…SnΘdnqan]T，

F=[AIbFbTbFd1Td10 …FdnTdn0]T，

Q=[QRQΘQSd1QΘd1Qqa1…QSdn

QΘdnQqan]T.

M為系統(tǒng)的質(zhì)量陣，為對稱正定陣；K為系統(tǒng)的剛度陣.Fdi和Tdi的表達(dá)式與阻尼裝置的具體結(jié)構(gòu)相關(guān).依據(jù)不同阻尼裝置的具體結(jié)構(gòu)可建立Fdi和Tdi的不同表達(dá)式，以應(yīng)用于不同的系統(tǒng).若阻尼平臺在六個(gè)運(yùn)動自由度上均具有線性解耦的剛度和阻尼形式，則有

(26)

(27)

其中KSdi和CSdi分別為平動剛度和阻尼對角陣，KΘdi和CΘdi分別為轉(zhuǎn)動剛度和阻尼對角陣.

從以上系統(tǒng)的質(zhì)量陣可以看出，加入阻尼平臺后，質(zhì)量陣除主對角元素以外的元素增多，整個(gè)系統(tǒng)，除了柔性附件與航天器本體之間的耦合外，還增加了阻尼平臺與航天器、阻尼平臺與柔性附件之間的耦合，整星耦合系數(shù)增大.當(dāng)阻尼平臺的剛度和阻尼如式(26)(27)所示時(shí)，系統(tǒng)的剛度矩陣等效為：

K′=

該等效剛度矩陣K′和系統(tǒng)質(zhì)量陣M直接決定了整個(gè)航天器的系統(tǒng)頻率，因此，在引入阻尼平臺后，通過調(diào)節(jié)其剛度系數(shù)KSdi和阻尼系數(shù)KΘdi來調(diào)節(jié)整個(gè)航天器的系統(tǒng)頻率，與姿態(tài)控制系統(tǒng)協(xié)調(diào)，共同實(shí)現(xiàn)整個(gè)系統(tǒng)的控制任務(wù)要求.

5 數(shù)值仿真與分析

數(shù)值仿真中采用的航天器模型由衛(wèi)星本體、一個(gè)六自由度剛性阻尼平臺和一個(gè)柔性梁結(jié)構(gòu)組成，如圖2所示.表1給出了系統(tǒng)中各體的質(zhì)量及慣量參數(shù).

阻尼平臺標(biāo)稱位置為rb,d=[0 0.5 1.3]Tm，柔性梁的安裝位置為rd,a=[0 0.5 0]Tm.利用有限元方法對柔性梁進(jìn)行了模態(tài)分析，其基頻為0.099Hz.仿真中取其前六階模態(tài)，經(jīng)計(jì)算可知，前六階模態(tài)的模態(tài)質(zhì)量占其總質(zhì)量的86.56%，模態(tài)慣量占其總慣量的99.58%，因此前六階模態(tài)已具有很高的慣性完備性.

仿真中假定阻尼平臺具有如式(26)和(27)所示的線性解耦的剛度和阻尼形式，相關(guān)參數(shù)取為

KSd=diag{233，120，233} N/m，KΘd=diag{161，161，101} (N·m)/radCSd=diag{270，150，270} (N·s)/m，CΘd=diag{298，298，177} (N·m·s)/rad表1 各體質(zhì)量及慣量參數(shù)Tab.1 The mass and inertia parameters of each body

仿真中不考慮軌道運(yùn)動，對衛(wèi)星本體滾動軸和偏航軸施加如圖3所示的正弦擾動力矩，考察系統(tǒng)的動力學(xué)響應(yīng).圖4～8給出了系統(tǒng)的動力學(xué)響應(yīng)結(jié)果.

圖3所示的擾動力矩所積累的角動量為零，但在衛(wèi)星本體受到的擾動結(jié)束后，由于所激勵(lì)的阻尼平臺的運(yùn)動和柔性梁的振動，姿態(tài)運(yùn)動仍然會持續(xù)一段時(shí)間.隨著阻尼平臺平動和轉(zhuǎn)動運(yùn)動的衰減，星體姿態(tài)角速度逐漸穩(wěn)定于零，且柔性梁的彈性振動也隨之衰減.

為了進(jìn)一步驗(yàn)證阻尼平臺在衰減柔性附件振動方面的作用，現(xiàn)將阻尼平臺從系統(tǒng)去除，柔性梁直接固支在星本體上，其它仿真條件與帶有阻尼平臺的情形一致，得到的仿真結(jié)果如下所示.由此組仿真結(jié)果可以看出，未加入阻尼平臺時(shí)，在同樣的外部激勵(lì)下，星體角速度呈持續(xù)震蕩趨勢，柔性附件振動幅度遠(yuǎn)高于加入阻尼平臺的情況.

對比兩組仿真結(jié)果可以看出，阻尼器的引入可有效地衰減柔性附件的振動，起到隔振效果，同時(shí)能夠有效抑制星體角速度的變化.顯然，此類航天器盡管在結(jié)構(gòu)和動力學(xué)上較中心剛體固接柔性附件的航天器要復(fù)雜，但在提高姿態(tài)控制響應(yīng)速度和姿態(tài)控制精度方面則具有潛在的優(yōu)勢.

6 結(jié) 論

本文以帶有柔性附件六自由度阻尼器的航天器系統(tǒng)為研究對象，利用多體建模理論中的Kane方程建模方法建立了系統(tǒng)的動力學(xué)方程.該方程具有較強(qiáng)的通用性，可用于系統(tǒng)控制器的設(shè)計(jì).數(shù)值仿真結(jié)果表明，阻尼器能夠有效衰減柔性附件的振動，有利于星體受擾后的快速穩(wěn)定.

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Dynamic Modeling of Flexible Multi-Body Spacecraft withDamping Mechanism

ZHU Mengping, GENG Lei, CHEN Xinlong, LI Zhi

(QianXuesenLaboratoryofSpaceTechnology，ChinaAcademyofSpaceTechnology，Beijing100094，China)

The dynamics of spacecraft with root damper of antenna mast is investigated. The system consists of a spacecraft main-body, several six-freedom rigid damper platforms and flexible appendages which are connected with the damper platforms. The damper platforms are connected with the main-body by elasticity-damp mechanisms. Hybrid coordinates are used to describe the system motion. System dynamics which are established via using Kane’s equations have better versatility and are advantageous to controller design. Numerical simulation results show that the damper can efficiently attenuate elastic vibration of the appendages, which is beneficial for spacecraft rapid stabilization after disturbance.

flexible appendage; damper; dynamics; Kane’s equation

2016-08-24

朱孟萍(1983—)，女，工程師，研究方向?yàn)楹教炱髯藨B(tài)動力學(xué)與控制；耿 磊(1985—)，男，工程師，研究方向?yàn)轱w行器控制；陳新龍(1976—)，男，高級工程師，研究方向?yàn)轱w行器總體設(shè)計(jì)；李 志(1966—)，男，研究員，研究方向?yàn)轱w行器設(shè)計(jì).

V448.22

A

1674-1579(2017)03-0034-07

10.3969/j.issn.1674-1579.2017.03.006