周偉建 陳偉球

(浙江大學(xué)工程力學(xué)系，杭州310027)

(浙江大學(xué)流體動力與機(jī)電系統(tǒng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，杭州310027)(浙江省軟體機(jī)器人與智能器件研究重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，杭州310027)

具有表面效應(yīng)的壓電半空間中的表面波1)

周偉建 陳偉球2)

(浙江大學(xué)工程力學(xué)系，杭州310027)

(浙江大學(xué)流體動力與機(jī)電系統(tǒng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，杭州310027)(浙江省軟體機(jī)器人與智能器件研究重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，杭州310027)

納米科技的快速發(fā)展使壓電納米結(jié)構(gòu)在納米機(jī)電系統(tǒng)中得到廣泛應(yīng)用，形成了諸如納米壓電電子學(xué)等新的研究方向.與傳統(tǒng)的宏觀壓電材料相比，在納米尺度下壓電材料往往呈現(xiàn)出不同的力學(xué)特性，而造成這種差異的原因之一便是表面效應(yīng).本文基于Stroh公式、Barnett-Lothe積分矩陣及表面阻抗矩陣，研究計(jì)入表面效應(yīng)的任意各向異性壓電半空間中的表面波傳播問題，導(dǎo)出了頻散方程.針對橫觀各向同性壓電材料，假設(shè)矢狀平面平行于材料各向同性面，發(fā)現(xiàn)Rayleigh表面波和B-G波解耦，并得到各自的顯式頻散方程.結(jié)果表明，Rayleigh表面波的波速小于偏振方向垂直于表面的體波，而B-G波的波速小于偏振方向垂直于矢狀平面的體波.以PZT-5H材料為例，用數(shù)值方法考察表面殘余應(yīng)力和電學(xué)邊界條件對表面波頻散特性的影響發(fā)現(xiàn)：表面殘余應(yīng)力只對第一階Rayleigh波有明顯的影響；電學(xué)開路情形的B-G波比電學(xué)閉路情形的B-G波傳播快.本文工作可為納米表面聲波器件的設(shè)計(jì)或壓電納米結(jié)構(gòu)的無損檢測提供理論依據(jù).

表面波，表面效應(yīng)，壓電材料，Stroh公式，頻散關(guān)系

引言

由于具有優(yōu)良的力電耦合效應(yīng)，壓電納米線、納米梁和納米板等壓電納米結(jié)構(gòu)已應(yīng)用于納米機(jī)電耦合系統(tǒng)，比如濾波器、傳感器、發(fā)電機(jī)和壓電場效應(yīng)晶體管等[14].與傳統(tǒng)的宏觀壓電材料[5]相比，納米尺度下壓電材料往往具有不同的物理性質(zhì)，特別是呈現(xiàn)明顯的尺寸效應(yīng)[67].對材料性能或結(jié)構(gòu)響應(yīng)具有尺寸依賴性的解釋很多[811]，其中之一便是表面效應(yīng).

表面效應(yīng)一般包括表面異質(zhì)性和表面殘余應(yīng)力對體材料的影響.表面異質(zhì)性是指由于所處的環(huán)境不同，物體表面或表面附近的原子排列方式與物體內(nèi)部的原子排列方式不同，從而使表面層與物體內(nèi)部具有不同的物理性質(zhì).在宏觀尺度，表面積與體積之比非常小，表面異質(zhì)性的影響一般可忽略.然而，隨著表面積與體積之比增大，比如在納米尺度，表面異質(zhì)性對力學(xué)響應(yīng)的影響常常就需要予以考慮[12].此外，材料的制備工藝或表面本身的馳豫會導(dǎo)致表面殘余應(yīng)力，而殘余應(yīng)力也對納米材料的力學(xué)響應(yīng)有重要影響[13-14].

對于彈性材料，Gurtin和Murdoch[15]建立了表面彈性理論(即G-M理論)，將彈性體表面異質(zhì)層及殘余應(yīng)力的影響等效為非經(jīng)典邊界條件，從而避免了對表面異質(zhì)層的直接分析，簡化了問題的研究.最近，Chen等[16]基于狀態(tài)空間法建立了各向異性圓柱的表面彈性理論，并用于研究納米尺度圓柱中軸對稱波的傳播.對于壓電材料，Huang和Yu[17]推廣GM理論，建立了表面壓電理論(即H-Y理論)，給出了考慮表面效應(yīng)的等效邊界條件.H-Y理論已被大量應(yīng)用于壓電納米材料/結(jié)構(gòu)的靜/動力學(xué)響應(yīng)研究中，如Yan和Jiang[1820]分析了表面效應(yīng)對壓電納米線、壓電納米梁以及納米曲梁的靜/動力學(xué)響應(yīng)的影響；Zhang等[21]考察了壓電納米板中的反平面剪切波；最近，Zhang等[22]研究了壓電納米板中Lamb波的傳播特性.

相較于對壓電納米線、梁和板靜動力響應(yīng)的研究，對考慮表面效應(yīng)的壓電半空間中表面波傳播特性的研究尚少.Chen[23]基于狀態(tài)空間列式方便地建立了平表面的表面壓電理論，并研究了表面效應(yīng)對Bleustein-Gulyaev(B-G)波[2425]傳播特性的影響.該工作局限于橫觀各向同性壓電材料，并且只研究了B-G波.本文基于H-Y表面壓電理論，利用Stroh公式[2627]，Barnett-Lothe積分矩陣[28]及表面阻抗矩陣[2931]，建立了計(jì)入表面效應(yīng)的任意各向異性壓電材料的表面波頻散方程.針對各向同性面與矢狀平面平行的橫觀各向同性壓電半空間，得到了解耦的Rayleigh表面波和B-G波的顯式頻散方程.最后用數(shù)值方法考察了表面殘余應(yīng)力和電學(xué)邊界條件對Rayleigh波和B-G波的頻散特性的影響.

1 基本方程

針對具有表面效應(yīng)的壓電半空間，建立右手笛卡爾坐標(biāo)系，使x1和x3軸位于表面上，x2軸正方向指向半空間內(nèi)部.對于半空間，本構(gòu)方程為[32-33]

其中，下標(biāo)逗號代表對坐標(biāo)求導(dǎo)(即ui,j=?ui/?xj)，σij,ui,Ei和Di分別為應(yīng)力、位移、電場強(qiáng)度和電位移，λijkl,ekij和εij分別為彈性剛度系數(shù)、壓電應(yīng)力系數(shù)和介電常數(shù)，并滿足如下對稱性

若未明確說明，本文小寫拉丁字母下標(biāo)取值1,2,3，大寫拉丁字母下標(biāo)取值1,2,3,4，希臘字母下標(biāo)取值為1或3，而重復(fù)下標(biāo)代表求和.

不計(jì)體力和自由電荷，則半空間內(nèi)任一點(diǎn)的運(yùn)動微分方程和電荷方程分別為

其中,ρ為密度.對于壓電表面，根據(jù)H-Y理論，有如下本構(gòu)方程[17]

壓電表面的力平衡微分方程為[22]

將式(5)代入式(6)，可得如下等效力學(xué)邊界條件

考慮兩種電學(xué)邊界條件，即電學(xué)開路和電學(xué)閉路.若表面電學(xué)開路，則有[22]

將式(5)代入式(8)，可得開路時(shí)的等效電學(xué)邊界條件為

若表面電學(xué)閉路，則有[21]

其中,φ為電勢，且有E1=-φ,1且E3=-φ,3.

2 各向異性壓電彈性體的表面波

2.1 Stroh公式

考慮與x3坐標(biāo)無關(guān)并以波速v沿x1方向傳播的平面波

其中,U=[u1u2u3φ]T為廣義位移(上標(biāo)T代表矩陣轉(zhuǎn)置)，Λ =diag[1,1,1,0]；τ1為 x1(常數(shù))面上的廣義應(yīng)力，τ2為x2(常數(shù))面上的廣義應(yīng)力，即

引入應(yīng)力勢矢量f

使得

則方程(12)自動滿足.

進(jìn)一步將本構(gòu)方程(1)代入式(15)，可得

其中

而GiJKl為廣義動力學(xué)彈性張量，定義如下[28]

其中,δkl為克羅內(nèi)克符號.

將式(16)的兩個(gè)等式合寫為如下特征值方程

分別為廣義基本彈性張量和狀態(tài)矢量ξ，且

2.2 Barnett-Lothe積分矩陣及表面阻抗矩陣

如將坐標(biāo)系以x3為軸旋轉(zhuǎn)θ角度得到新的坐標(biāo)系，重新建立類似式(19)的特征值方程

其中

當(dāng)波速v小于某一臨界波速vL時(shí)，對于任意θ，N(θ)總有4對共軛復(fù)特征值和 4對共軛復(fù)特征矢量；當(dāng)波速大于臨界波速vL時(shí)，其中一對或多對共軛特征值會轉(zhuǎn)變?yōu)橐粚蚨鄬ο喾磳?shí)特征值.

當(dāng)波速 v小于臨界波速 vL時(shí)，令 pI(θ)(I=1,2,3,4)為 N(θ)的虛部為正的4個(gè)特征值，另外4個(gè)特征值為pI+4(θ)=(θ)，這里頂標(biāo)“– ”代表復(fù)共軛.特征值 pI(θ)對應(yīng)的特征矢量為 ξI(θ).當(dāng)波速大于臨界波速 vL時(shí)，取 pI(θ)(I=1,2,3,4)為 N(θ)的虛部為正或正實(shí)數(shù)的4個(gè)特征值.需要指出，虛部為正的特征值對應(yīng)沿厚度方向衰減的偏振波，而實(shí)特征值對應(yīng)不衰減的體偏振波.

定義壓電材料的Φ型表面阻抗矩陣MΦ如下[28]

其中

因此，廣義位移偏振矢量UI(I=1,2,3,4)和廣義應(yīng)力勢偏振矢量VI可通過阻抗矩陣相聯(lián)系，即VI=-iMΦUI.當(dāng)波速v＜vL時(shí)，MΦ也可由積分矩陣S和H計(jì)算得到[28]

其中

當(dāng)邊界由應(yīng)力和電位移表示時(shí)(如表面應(yīng)力自由且電學(xué)開路)，基于Φ型表面阻抗矩陣MΦ的計(jì)算將較為方便；而當(dāng)邊界由應(yīng)力和電勢表示時(shí)(如表面應(yīng)力自由且電學(xué)閉路)，則用按如下定義的F型表面阻抗矩陣計(jì)算更方便[30]

其中

根據(jù)Lothe和Barnett[30]的研究，Φ和F型表面阻抗矩陣具有如下性質(zhì)：

(1)當(dāng)0≤v＜vL時(shí)，MΦ和MF都為厄密共軛矩陣，它們的特征值都是實(shí)數(shù);

(2)當(dāng)0≤v＜vL時(shí),MΦ和MF的特征值都是速度v的單調(diào)遞減函數(shù);

(3)速度為零(v=0)時(shí)，MΦ有3個(gè)正特征值和1個(gè)負(fù)特征值，而MF有4個(gè)正特征值;

(4)MF44＞0且當(dāng)v=vL時(shí)MF44為有限值，因此當(dāng)v=vL時(shí)MF44至少有一個(gè)正特征值;

(5)MΦ和MF之間具有如下轉(zhuǎn)換關(guān)系

式(31)中，1是1,2,3的縮寫，比如MΦ11代表矩陣MΦ的左上3×3子矩陣.

2.3 表面波的頻散方程

考慮沿x1方向傳播并沿x2方向衰減的廣義二維表面波，此時(shí)廣義位移、廣義應(yīng)力勢矢量為廣義基本彈性張量N的特征矢量ξI(I=1,2,3,4)的線性疊加

其中,qI為待定系數(shù)，并且

結(jié)合式(15)和式(32)可得

首先考慮表面應(yīng)力自由且電學(xué)開路的情形.將上式代入等效邊界條件(7)和條件(9)，可得

其中

要使方程(35)有非零解，其系數(shù)矩陣行列式須為零

上式即應(yīng)力自由且電學(xué)開路情形下的表面波頻散方程.

其次考慮表面應(yīng)力自由且電學(xué)閉路的情形.由式(34)可得

其中,u為機(jī)械位移矢量，σ2=[σ21σ22σ23]T.由等效邊界條件(7)和條件(10)可得

結(jié)合式(38)和式(39)有

利用式(30)和F型阻抗矩陣的定義，上式可寫為

有非零解的條件為

上式即應(yīng)力自由且電學(xué)閉路情形下的表面波頻散方程.

3 橫觀各向同性壓電材料中的表面波

本節(jié)考慮以x1-x2平面為各向同性面的橫觀各向同性材料.N的特征值pI(I=1,2,3,4)和對應(yīng)的特征矢量ξI為[34]

并且V2＜V1.需要指出的是，Vi(i=1,2,3)為偏振方向?yàn)閤i的體波波速.

由特征矢量(43)可得Φ型表面阻抗矩陣MΦ的解析表達(dá)式

利用Φ型和F型阻抗矩陣間的轉(zhuǎn)換關(guān)系式(31)，可得

假設(shè)表面參數(shù)是對應(yīng)體參數(shù)的標(biāo)量倍[21]，即

其中,上標(biāo)B代表體參數(shù)，l0為材料內(nèi)稟尺度.這樣，對于橫觀各向同性壓電材料，有

將式(49)代入式(36)，得

將式(45)和式(50)代入式(37)可得表面應(yīng)力自由且電學(xué)開路的表面波頻散方程

及

式(51)為Rayleigh表面波的頻散方程，而式(52)為B-G波的頻散方程.若不計(jì)表面效應(yīng)，則式(52)退化為

容易知道上式的解為體波波速；所以，若沒有表面效應(yīng)，表面應(yīng)力自由且電學(xué)開路的壓電半空間不存在B-G波.

將式(47)和式(50)代入式(42)可得表面應(yīng)力自由且電學(xué)開路的Rayleigh表面波和B-G波的頻散方程.Rayleigh表面波的頻散方程依然為式(51)，即Rayleigh波不受表面電學(xué)邊界條件的影響，而B-G波的頻散方程則變?yōu)?/p>

若忽略表面效應(yīng)，則式(54)退化為

上式與電學(xué)閉路時(shí)的經(jīng)典B-G波頻散方程[24]完全一致.

需要指出，當(dāng)式(51)成立時(shí)，位移場為

其中，X1和X2為待定系數(shù).要使式(56)為Rayleigh表面波解，即能量聚集于表面附近而不泄露，則需v＜V2.

當(dāng)式(52)或式(54)成立時(shí)，位移場為

其中，X3和X4為待定系數(shù).要使得式(57)為B-G波解，則需v＜V3.所以，Rayleigh波的波速范圍為0＜v＜V2，而B-G波的波速范圍為0＜v＜V3.特別地，B-G波的頻散方程(52)和方程(54)顯示表面殘余應(yīng)力對B-G波無影響.

4 數(shù)值算例

設(shè)壓電半空間材料為 PZT-5H，其材料常數(shù)為[35]：λ11=126GPa，λ12=79.5GPa，λ44=23GPa，e15= 17C/m2，e31= -6.5C/m2，ε11= 1500 ×10-11F/m，ρ=7500kg/m3.對于壓電表面，采用Huang和 Yu[17]給出的值：=7.56N/m，=-3×10-8C/m，σ=1N/m.另外，取 ρS=7.5×10-6kg/m2[21]，而其他表面參數(shù)按如下方式取值[22]

圖1為Rayleigh表面波的頻散曲線，其橫坐標(biāo)為無量綱波數(shù)κ=kl0(設(shè)內(nèi)稟尺寸l0=1nm)，縱坐標(biāo)為無量綱波速v0=v/V2.由圖1可見二階Rayleigh表面波：第一階Rayleigh波(即FRW)和第二階Rayleigh波(即SRW，也稱為Sezawa波[36])，并且隨著波長的減小或內(nèi)稟尺度的增大,它們的波速都減小.在長波范圍內(nèi)，只有FRW可傳播；當(dāng)波數(shù)大于某一臨界值后，也能傳播SRW.還可觀察到表面殘余應(yīng)力能提高Rayleigh波的波速，其中FRW對殘余應(yīng)力更加敏感，而Sezawa波則幾乎不受影響.

圖1 Rayleigh表面波的頻散曲線Fig.1 Dispersion curves of Rayleigh waves

圖2為B-G波的頻散曲線，其中黑色線對應(yīng)電學(xué)開路，而紅色線對應(yīng)電學(xué)閉路.隨著波數(shù)的增大或內(nèi)稟尺度的增大，B-G波波速減小.在波數(shù)為零時(shí)，電學(xué)開路情形下無駐波形式的B-G波，而在電學(xué)閉路情形下B-G波以波速vBG＜V3傳播.電學(xué)開路情形的B-G波波速大于電學(xué)閉路情形的B-G波波速，且隨著波數(shù)的增大或內(nèi)稟尺度的增大,兩者之間的差別增大.特別地，正如第3節(jié)所指出的，B-G波的波速大于體波波速V2而小于體波波速V3.

圖2 B-G波的頻散曲線Fig.2 Dispersion curves of B-G waves

5 結(jié)論

基于Stroh公式和表面阻抗矩陣建立了考慮表面效應(yīng)的任意各向異性壓電半空間表面波的控制方程.以橫觀各向同性壓電材料為例，得到了Rayleigh波和B-G波的頻散方程，形式簡潔.分析表明，對于橫觀各向同性壓電材料，當(dāng)矢狀平面平行于材料各向同性面時(shí)，電學(xué)邊界條件對Rayleigh表面波無影響，Rayleigh波波速小于x2方向體波波速V2，而B-G波波速小于x3方向的體波波速V3.數(shù)值結(jié)果表明：(1)隨著波數(shù)的增大或內(nèi)稟尺度的增大，表面效應(yīng)增強(qiáng)，表面波波速減小；(2)表面殘余應(yīng)力使Rayleigh波波速增大，且表面殘余應(yīng)力對第一階Rayleigh波影響明顯，而對第二階Rayleigh波(即Sezawa波)影響甚微；(3)電學(xué)邊界條件對B-G波有明顯影響：電學(xué)開路情形的B-G波比電學(xué)閉路情形的B-G波傳播快，而且隨著表面效應(yīng)的增強(qiáng)(波數(shù)增大或內(nèi)稟尺度增大)，兩者傳播速度之間的差別將拉大.本文所建立的考慮表面效應(yīng)的任意各向異性壓半空間表面波的理論研究框架以及所得到的理論和數(shù)值結(jié)果有助于深入理解納米尺度的表面波特性，可為納米聲波器件的設(shè)計(jì)提供思路，并為壓電納米結(jié)構(gòu)的無損檢測提供理論依據(jù).

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SURFACE WAVES IN A PIEZOELECTRIC HALF-SPACE WITH SURFACE EFFECT1)

Zhou Weijian Chen Weiqiu2)
(Department of Engineering Mechanics，Zhejiang University，Hangzhou 310027，China)(State Key Lab of Fluid Power and Mechatronic Systems，Zhejiang University，Hangzhou 310027，China)(Key Laboratory of Soft Machines and Smart Devices of Zhejiang Province，Hangzhou 310027，China)

The fast developments in nanotechnology enable the wide applications of piezoelectric nano-structures in nano-electromechanical systems,forming new research directions such as nanopiezotronics.Compared with the traditional macroscopic piezoelectric materials,nano-scaled piezoelectric materials present di ff erent mechanical properties,possibly due to the existence of surface e ff ect,one of the main reasons for explaining the di ff erence.This paper concerns the propagation of surface waves in a generally anisotropic piezoelectric half-space with surface e ff ect.Stroh formalism,Barnett-Lothe integral matrices,and surface impedance matrices are adopted to theoretically derive the dispersion equations of surface waves.For transversely isotropic piezoelectric materials with the isotropic basal plane parallel with the sagittal plane,Rayleigh waves and B-G waves are found to be decoupled from each other,and their dispersion equations are derived in an explicit and compact form.It is rigorously shown that the velocity of Rayleigh waves should be smaller than that of the bulk waves polarized in the depth direction,whilst the velocity of B-G waves should be smaller than thatof the bulk waves polarized in the direction perpendicular to the sagittal plane.In the numerical simulations,PZT-5H is taken as an example to numerically illustrate the influence of surface residual stress and electrical boundary conditions on the dispersion properties of surface waves.It is found that surface residual stress has a significan e ff ect only on the first-orde Rayleigh wave,and the B-G wave under the electric open-circuit condition propagates faster than under the electric closed-circuit condition.The theoretical predictions and numerical results presented in the paper should be helpful in understanding size-dependent dynamic behaviors of piezoelectric structures with surface e ff ect and may provide a solid basis for the design of nano-sized surface acoustic wave devices as well as for the nondestructive testing of nano-sized piezoelectric structures.

surface waves,surface e ff ect,piezoelectric material,Stroh formlism,dispersion relation

O343

：A

10.6052/0459-1879-17-152

2017–05–02 收稿，2017–05–23 錄用,2017–05–23 網(wǎng)絡(luò)版發(fā)表.

1)國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11532001,11621062).

2)陳偉球，教授，主要研究方向：新型材料的力學(xué)，軟材料與結(jié)構(gòu)的振動與波動.E-mail：chenwq@zju.edu.cn

周偉建,陳偉球.具有表面效應(yīng)的壓電半空間中的表面波.力學(xué)學(xué)報(bào),2017,49(3)：597-604

Zhou Weijian,Chen Weiqiu.Surface waves in a piezoelectric half-space with surface e ff ect.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2017,49(3)：597-604