萬曉云，張潤寧，李 洋，劉 波，眭曉虹，

1.錢學森空間技術(shù)實驗室，北京 100094; 2.北京空間飛行器總體設計部，北京 100094; 3.航天東方紅衛(wèi)星有限公司，北京 100094

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基于球諧函數(shù)的重力異常和垂線偏差誤差匹配關(guān)系

萬曉云1，張潤寧2，李 洋3，劉 波1，眭曉虹1，3

1.錢學森空間技術(shù)實驗室，北京 100094; 2.北京空間飛行器總體設計部，北京 100094; 3.航天東方紅衛(wèi)星有限公司，北京 100094

重力異常和垂線偏差是測高衛(wèi)星非常重要的產(chǎn)品。二者的精度指標對于未來的測高衛(wèi)星方案設計至關(guān)重要。本文利用球諧函數(shù)來對重力異常和垂線偏差的精度指標進行討論，首先從理論上推導了重力異常和垂線偏差誤差的近似匹配關(guān)系，然后通過6個超高階重力場模型驗證了有關(guān)結(jié)論的正確性。數(shù)值試驗表明：垂線偏差誤差和重力異常誤差滿足近似的比例關(guān)系，即若垂線偏差各方位向等精度測量，且假定精度均為1 μrad，則所對應的重力異常精度約為1.4 mGal; 反之，若重力異常的精度為1 mGal，則所對應的垂線偏差的精度約為0.7 μrad。

重力異常; 垂線偏差; 精度; 匹配關(guān)系

海洋測高衛(wèi)星作為空間大地測量一個重要的觀測平臺，可提供高精度和高分辨率的海洋重力異常、垂線偏差數(shù)據(jù)[1-4]。以上數(shù)據(jù)對于軍事(如導航)和經(jīng)濟(如資源勘探)等均具有十分重要的作用。為此，國外發(fā)展了大量的測高衛(wèi)星，數(shù)量超過10顆[5]。我國也成功發(fā)射了HY-2A衛(wèi)星[6]，但有關(guān)的海洋重力場產(chǎn)品暫未發(fā)布。為了彌補在此領(lǐng)域數(shù)據(jù)的不足，我國后續(xù)還將發(fā)展HY-2B和HY-2C衛(wèi)星，以及基于SAR或干涉SAR技術(shù)的新型測高衛(wèi)星[7]。而如何利用這些衛(wèi)星數(shù)據(jù)來得到我們所需要的重力異常產(chǎn)品，在衛(wèi)星設計之初就需要進行細致深入的分析。特別是重力異常產(chǎn)品不是海洋測高衛(wèi)星的直接產(chǎn)品，因此如何由測高精度導出重力異常的精度以及如何由重力異常的目標精度導出測高的精度要求無疑是十分重要的課題。對于如何由測高數(shù)據(jù)得到重力異常，當前常用的方法之一是垂線偏差法[8-11]，即首先由測高數(shù)據(jù)計算得到垂線偏差，然后再進一步計算得到重力異常。由于從測高數(shù)據(jù)到垂線偏差的計算公式相對簡單，所對應的誤差傳播公式十分明確，因此本文將重點討論垂線偏差和重力異常的誤差匹配關(guān)系。

關(guān)于此問題，當前已有一些結(jié)論。文獻[12]基于擾動重力和垂線偏差的傅立葉變換關(guān)系，得出1 μrad的垂線偏差誤差等價于1 mGal的重力異常誤差。文獻[7]基于此結(jié)論給出了精度為1 mGal，分辨率為1′的重力異常精度所對應的基于傳統(tǒng)高度計、SAR高度計和干涉SAR高度計的測高精度要求。然而，文獻[10]在討論測高數(shù)據(jù)偶然誤差對海洋重力異常反演的影響時，所得出的結(jié)論隨著計算方法的不同有較大不同。文獻[11]根據(jù)Vening-Meinesz公式的離散解析公式，通過數(shù)值計算得出的結(jié)論顯示大約4 μrad的垂線偏差誤差對應于1 mGal的重力異常誤差；文獻[13]基于如下的重力誤差δg和垂線偏差誤差δθ估式討論了高程異常的推估及精度

δθ=0.15δg

(1)

式中，δg以mGal為單位；δθ以秒(″)為單位。此式與上述文獻中的結(jié)論均不一致。

以上文獻中結(jié)論不太一致的原因主要可能有以下幾個方面：

(1) 文獻[12]在討論垂線偏差與重力異常的精度匹配關(guān)系時，僅考慮了一個方向的垂線偏差，而文獻[10]和文獻[11]考慮了兩個分量的共同影響，顯然考慮兩個方向更為全面。

(2) 在考慮垂線偏差兩個分量的共同影響時，需要考慮不同分量間的相關(guān)性[14]以及觀測誤差之間的相關(guān)性，這也會對最終的結(jié)論帶來影響。

(3) 在直接利用垂線偏差與重力異常之間的積分公式來討論誤差傳播關(guān)系時，會引入計算誤差的影響，同時積分中的誤差傳播如何通過離散化來討論需要作進一步研究[15]。因此，盡管上述文獻中的結(jié)論不完全一致，但在其特定的前提下都有其合理性，有關(guān)的結(jié)論需要在相同的前提下才能進行比較。

為了從不同的角度來研究垂線偏差和重力異常的精度匹配關(guān)系，本文利用已有的超高階重力場模型來討論1 μrad的垂線偏差誤差所對應的重力異常誤差。首先從重力異常和垂線偏差的球諧函數(shù)計算公式入手，從理論上推導二者受引力位系數(shù)誤差影響所產(chǎn)生的誤差，并討論二者的匹配關(guān)系，然后通過已有的重力場模型來驗證有關(guān)結(jié)論。

1 理論分析

本節(jié)利用球諧函數(shù)來對重力異常和垂線偏差的誤差匹配關(guān)系進行理論分析，然后給出有關(guān)公式。

1.1 重力異常

根據(jù)文獻[16—18]，重力異常的球諧函數(shù)計算公式如下

(2)

(3)

則其在地球表面(地球平均半徑所在的球面，此時r=R)的均值為

(4)

式中，dδ=R2sinθdθdλ。根據(jù)球諧函數(shù)的正交性以及文獻[14]中所給出的重力異常方差-協(xié)方差的計算公式，可得

(5)

1.2 垂線偏差

垂線偏差北向分量(ε)和東向分量(η)的計算公式如下

(6)

令垂線偏差誤差為δε、δη，則有

(7)

和重力異常類似，垂線偏差誤差在地球表面的均值分別為

(8)

下面依次對式(8)積分的最終計算公式進行推導。

1.2.1 北向分量

(9)

根據(jù)文獻[24]，可得

(10)

(11)

當m=0時

(12)

當m=1時

(13)

當1

(14)

當m=n時

(15)

綜合得

(16)

1.2.2 東向分量

當m≠0時，

(17)

因為勒讓德函數(shù)滿足

(18)

所以

對上式兩邊同時積分可得

(19)

由北向分量的推導可得

(20)

所以有(m≠0)

(21)

(22)

最終得

(23)

1.3 重力異常和垂線偏差的誤差匹配關(guān)系

(24)

根據(jù)此式，若垂線偏差各方位向等精度測量，且假定兩個分量垂線偏差精度均為1 μrad，由此對應的重力異常精度約為1.4 mGal;反之，若重力異常的精度為1 mGal，則所對應的垂線偏差的精度約為0.7 μrad。該結(jié)論和式(1)一致，但和文獻[12]所給出的結(jié)論略有不符，原因是文獻[12]僅考慮了一個方向的垂線偏差觀測誤差，而在計算重力異常的過程中，垂線偏差的兩個分量都需要。

2 數(shù)值試驗

傳統(tǒng)衛(wèi)星測高(如HY2高度計)的輸出采樣間隔大約為7 km[7]，根據(jù)采樣定律[26]，其可恢復的地球重力場信號的最小尺度為14 km，所對應的重力場模型的最大階數(shù)為1429。如果對原始高度計數(shù)據(jù)進行重采樣，并融合多顆測高衛(wèi)星數(shù)據(jù)，則可解算的重力場模型的階次將高于1429。當前公開發(fā)布的重力場模型的最高階數(shù)已超過2000階。為了檢核式(24)的正確性，同時也為了使該公式適合于測高衛(wèi)星的指標設計，現(xiàn)選用GFZ(German Research Centre for Geosciences)所發(fā)布的所有階數(shù)大于1000階的重力場模型進行計算分析。所采用的模型的基本信息見表1，誤差階方差RMS(root mean square)[27]如圖1所示。

表1 所選用的重力場模型信息表Tab.1 Information of the selected gravity field models

注：Data:S=satellite tracking data; G=gravity data; A=altimetry data。

圖1 誤差階方差RMSFig.1 Error degree variance RMS

由表1可知，以上模型均使用了測高衛(wèi)星數(shù)據(jù)。同時從空間分辨率來看，以上模型能滿足測高衛(wèi)星的設計要求，因此適合用于討論測高衛(wèi)星所得垂線偏差和重力異常的精度匹配關(guān)系。從圖1可看出，以上模型的誤差分布互不相同，若以上結(jié)果均滿足式(24)，則可證明上節(jié)所得結(jié)論的正確性。為此利用上述模型進行如下計算：

(1) 選用以上模型所有階位系數(shù)誤差值按式(3)計算全球1°×1°格網(wǎng)點的重力異常誤差，其均值令為δΔg；

(25)

表2 重力異常誤差統(tǒng)計Tab.2 Statistics of gravity anomaly errors

由表2可知：由式(24)利用垂線偏差誤差推算出的重力異常誤差與利用式(3)計算得到的重力異常誤差近似相等，差值小于0.05 mgal，相對誤差小于1%。因此驗證了本文所推導的垂線偏差和重力異常誤差匹配關(guān)系的正確性。

3 結(jié) 論

值得說明的是，在利用實際測高數(shù)據(jù)計算重力異常的過程中，無法避免會受到計算誤差的影響，例如在使用Vening-Meinesz公式時，積分中的離散化網(wǎng)格大小、奇異因子的處理方法等均會導致最終所計算的重力異常誤差有所不同。這正是文獻[10—11]所得出的結(jié)論與本文所得結(jié)論不一致的原因。

綜上所述，筆者建議若要根據(jù)重力異常產(chǎn)品的指標來確定衛(wèi)星載荷的設計精度時，可考慮采用本文的結(jié)論，而若利用實際的衛(wèi)星測高數(shù)據(jù)，來計算最終的重力異常產(chǎn)品時，可參考文獻[10—11]有關(guān)的工作來選擇精度較高的計算方法。

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(責任編輯：陳品馨)

Matching Relationship between Precisions of Gravity Anomaly and Vertical Deflections in terms of Spherical Harmonic Function

WAN Xiaoyun1,ZHANG Running2,LI Yang3,LIU Bo1,SUI Xiaohong1,3

1.Qian Xuesen Laboratory of Space Technology，Beijing 100094,China; 2.Beijing Institute of Spacecraft System Engineering,Beijing 100094,China; 3.DFH Satellite Co.Ltd.,Beijing 100094,China

Gravity anomalies and vertical deflections are important products of altimetry satellites.The precision indexes of them are essential for the design of future altimetry satellites.In this paper,the spherical harmonic function is used to discuss the precisions of gravity anomaly and vertical deflections.Firstly,the approximate matching relationship between gravity anomaly and vertical deflection error is deduced theoretically.Then,six ultra-high degree gravity field models are used to verify the correctness of the conclusions.The results of numerical experiments show that the errors of vertical defections and gravity anomaly satisfy the approximate proportional relation,that is,if the precision of vertical deflection is 1 μrad,the precision of gravity anomaly is about 1.4 mGal.Conversely,if the precision of the gravity anomaly is 1 mGal,the precision of the corresponding vertical deflection is about 0.7 μrad.

gravity anomaly; vertical deflections; precision; matching relationship

The National Natural Science Foundation of China (Nos.41404019；41674026)；The Open Fund of Key Laboratory of Space Utilization,Chinese Academy of Sciences (No.CSU-WX-A-KJ-2016-044)

WAN Xiaoyun(1985—)，male,PhD,senior engineer,majors in theory and methods of satellite gravity measurement.

ZHANG Running

萬曉云，張潤寧，李洋，等.基于球諧函數(shù)的重力異常和垂線偏差誤差匹配關(guān)系[J].測繪學報，2017,46(6)：706-713.

10.11947/j.AGCS.2017.20160414.WAN Xiaoyun,ZHANG Running,LI Yang,et al.Matching Relationship between Precisions of Gravity Anomaly and Vertical Deflections in terms of Spherical Harmonic Function[J].Acta Geodaetica et Cartographica Sinica,2017,46(6):706-713.DOI:10.11947/j.AGCS.2017.20160414.

P228

A

1001-1595(2017)06-0706-08

國家自然科學基金(41404019；41674026)；中國科學院太空應用重點實驗室開放基金(CSU-WX-A-KJ-2016-044)

2016-08-22

修回日期：2017-05-18

萬曉云(1985—)，男，博士，高級工程師，研究方向為衛(wèi)星重力測量的理論與方法。

E-mail：wxy191954@126.com

張潤寧

E-mail：13661051645@139.com