林東方，朱建軍，宋迎春

1.中南大學地球科學與信息物理學院，湖南 長沙 410083; 2.中南大學有色金屬成礦預測與地質環(huán)境監(jiān)測教育部重點實驗室，湖南 長沙 410083

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顧及截斷偏差影響的TSVD截斷參數(shù)確定方法

林東方1,2，朱建軍1,2，宋迎春1,2

1.中南大學地球科學與信息物理學院，湖南 長沙 410083; 2.中南大學有色金屬成礦預測與地質環(huán)境監(jiān)測教育部重點實驗室，湖南 長沙 410083

TSVD通過截斷參數(shù)截掉較小的奇異值來改善病態(tài)性對估計的影響，其本質是通過引入少量偏差來降低方差，以提高估值的穩(wěn)定性和可靠性。截斷參數(shù)是影響TSVD解算效果的關鍵因素，常用的廣義交叉核實法(GCV法)和L曲線法未從TSVD改善模型參數(shù)估值質量的角度確定截斷參數(shù)，穩(wěn)定性和可靠性不足，而最小MSE法理論依據(jù)充分但受限于MSE計算的準確性。通過分析TSVD由小到大截掉奇異值后，相應的估值方差與偏差變化，本文提出了引入偏差量小于降低方差量來確定截斷參數(shù)的思想，并通過估計出較大奇異值截掉后的偏差引入量建立偏差估值可信區(qū)間，利用可信區(qū)間內偏差估值與方差下降量進行比較，避免較小奇異值截掉后的方差下降量與偏差引入量的直接比較，從而解決參數(shù)真值未知截掉較小奇異值引入偏差量難以準確計算的問題。最后通過試驗驗證了新方法的可行性和有效性，相比于GCV法和L曲線法，新方法確定的截斷參數(shù)穩(wěn)定性和可靠性更高，可有效提高TSVD的解算效果。

TSVD；截斷參數(shù)；有偏估計；方差；偏差

病態(tài)問題常存在于衛(wèi)星定位[1-2]、回歸分析[3-4]、重力場延拓[5-7]、PolInSAR植被參數(shù)反演等測繪領域。由于函數(shù)模型的病態(tài)性，常規(guī)最小二乘估計(least squares，LS)的方差較大，參數(shù)估值極不可靠。這種情況下，LS雖然仍是無偏估計，但已不是最優(yōu)估計[8]。函數(shù)模型的病態(tài)性體現(xiàn)在觀測方程系數(shù)矩陣中出現(xiàn)較小甚至接近于零的奇異值，導致參數(shù)估值的方差被小的奇異值嚴重擴大，造成估值精度的降低。為了提高估值的穩(wěn)定性和精度，學者們提出了一系列改善估計質量的有偏估計方法，如Tikhonov正則化法、嶺估計法、截斷奇異值法(truncated singular value decomposition，TSVD)。Tikhonov正則化法在最小二乘估計準則的基礎上加入穩(wěn)定泛函約束以提高估計的可靠性，并引入正則化參數(shù)調節(jié)兩者的平衡[9,10]。嶺估計法與Tikhonov正則化法的估計準則類似，可看作是Tikhonov正則化法的簡化形式，嶺估計將穩(wěn)定泛函確定為待定參數(shù)的二范約束，即將穩(wěn)定泛函中的正則化矩陣替換為單位矩陣[11-12]。截斷奇異值法則是基于奇異值分解技術的直接解算方法，將嚴重擴大方差的小奇異值截去，僅利用較大奇異值包含的觀測信息進行參數(shù)估計[13-15]。3種有偏估計方法均有效改善了病態(tài)問題參數(shù)估計的可靠性和穩(wěn)定性，是應用較為廣泛的解算方法。

相比于Tikhonov正則化法和嶺估計法，TSVD僅需要考慮截斷小奇異值對估計的影響，是一種更為簡單直接的解算方法，在大地測量各領域得到了廣泛應用。影響TSVD解算效果的關鍵因素是截斷參數(shù)的選擇[16]。目前，確定奇異值截斷參數(shù)的方法主要有廣義交叉核實法[17-18](generalized cross-validation，GCV)和L曲線法[19-20]。GCV法通過交叉驗證的方式選取截斷參數(shù)使檢驗集觀測值的殘差平方和最小[17]。然而對于有偏估計，觀測值殘差平方和最小并不能保證參數(shù)估值的均方誤差最小。L曲線法通過計算TSVD參數(shù)估值二范數(shù)與觀測值殘差二范數(shù)變化曲線的拐點來確定截斷參數(shù)[20]，這種方式對于階梯型變化的奇異值效果較好，而對于均勻下降型的奇異值，曲線拐點不明顯，常導致L曲線法得不到可靠的截斷參數(shù)。

本文針對TSVD截斷參數(shù)的選取問題，首先分析了較小的奇異值對估值方差的不利影響；其次分析了截掉奇異值后參數(shù)估值方差與偏差的變化，當截掉奇異值后的方差下降量大于偏差引入量時，TSVD可提高估值的精度；進而研究提出了一種通過判斷截掉奇異值后方差下降量與偏差引入量大小來確定截斷參數(shù)的方法，更合理可靠地確定截斷參數(shù)，提高TSVD估計精度。

1 病態(tài)性的影響及TSVD解算方法

1.1 病態(tài)性對LS的影響

測量數(shù)據(jù)處理常用的G-M模型表示為[21]

L+V=AX

(1)

式中，L為觀測值向量；V為觀測值殘差向量；A為設計矩陣；X為未知參數(shù)向量。根據(jù)最小二乘準則

Φ=VTPV=min

(2)

求得參數(shù)的估值為

(3)

其方差-協(xié)方差矩陣為

(4)

式中，P為權矩陣。對式(1)作如下變換

(5)

(6)

因此，為了方便推導，可設權矩陣P為單位陣，對系數(shù)矩陣A進行奇異值分解[22]

(7)

(8)

式中，U為左奇異向量矩陣；S為奇異值矩陣；γ1>γ2>…>γn為其奇異值；G為右奇異向量矩陣。協(xié)方差矩陣的跡是各參數(shù)估值的方差之和，可以整體上反映參數(shù)估計方差的大小，由式(4)、式(8)得LS估值的方差之跡為

(9)

式中，tr(·)為矩陣的跡運算。如果方程病態(tài)，γ1遠大于γn，γn為接近于零的較小值。由式(9)可以看出，較小的奇異值會對估值的方差造成嚴重影響，導致LS估計極不可靠。

1.2 解算病態(tài)問題的TSVD方法

TSVD法是基于奇異值分解技術的病態(tài)方程的一種直接解法，其原理是截斷放大方差的較小的奇異值[13]，保留較大的奇異值不變，來消除較小的奇異值對方差的影響，以降低估值的方差。

TSVD法通過截斷參數(shù)保留較大的奇異值，截掉較小的奇異值。對設計矩陣A進行奇異值分解，得到奇異值矩陣S，如式(7)、式(8)。設由截斷參數(shù)保留的奇異值為奇異值矩陣S的前k個，截掉的奇異值為S中的后n-k個，將奇異值矩陣S中保留的奇異值求逆，截掉的奇異值取零得

(10)

則病態(tài)方程的截斷奇異值解法為[13]

(11)

式中，Xα為TSVD參數(shù)估值，由式(10)可以看出，截斷奇異值法認為設計矩陣A較大的奇異值不會對估計方差造成不良影響，而較小的奇異值則會擴大方差。截掉較小的奇異值，可消除其對估值方差的放大影響，但改變了原設計矩陣的結構，導致估值有偏。因此，截斷奇異值法是一種有偏估計方法，在改善矩陣病態(tài)性的同時引入了偏差。偏差的大小與截斷參數(shù)息息相關，截掉的小奇異值越多，方差下降越大，而模型偏離也越大，引起的偏差越大，因而截斷參數(shù)起到平衡估計方差與偏差的作用，是影響TSVD解算效果的關鍵因素。

1.3 常用截斷參數(shù)確定方法

1.3.1 廣義交叉核實法(GCV)

GCV法是由文獻[17]提出的截斷參數(shù)確定方法。從統(tǒng)計檢驗的角度確定截斷參數(shù)，文獻[17]給出了GCV函數(shù)，通過計算GCV函數(shù)最小值確定截斷參數(shù)[17]。

對于函數(shù)模型

AX=L+V

(12)

GCV函數(shù)表示為

(13)

1.3.2 L曲線法

(14)

式中，ρ′、η′表示一階導數(shù)；ρ″、η″表示二階導數(shù)；計算式(14)的最大值即可得到曲線上的最大曲率kmax、kmax對應的α即為確定的截斷參數(shù)。L曲線法在病態(tài)方程解算中得到了廣泛應用，針對階梯型變化的奇異值效果顯著，然而對于非階梯型奇異值，容易發(fā)散或陷于局部最優(yōu)。

目前，常用的截斷參數(shù)確定方法GCV法和L曲線法未從TSVD改善模型參數(shù)估值質量的角度出發(fā)，穩(wěn)定性和可靠性較差。文獻[13]提出了基于均方誤差最小的截斷參數(shù)確定方法，理論依據(jù)更為充分，有效確定了截斷參數(shù)，然而由于待定參數(shù)真值未知，均方誤差估值的可靠性受限于參數(shù)的LS估計或嶺估計的可靠性。本文基于文獻[13]提出的均方誤差最小確定截斷參數(shù)的思想，通過分析截掉奇異值后方差與偏差的變化，嘗試提出一種可靠的截斷參數(shù)確定方法。

2 TSVD參數(shù)估計的方差與偏差分析及截斷參數(shù)確定新方法

2.1 TSVD法的方差與偏差分析

TSVD是均方誤差(MSE)優(yōu)于LS估計的有偏估計方法，其均方誤差反映了參數(shù)估值與參數(shù)真值之間的差異，其均方誤差表示為[13,23]

(15)

由式(11)結合協(xié)方差傳播律可得TSVD協(xié)方差矩陣跡為

(16)

(17)

由式(11)可得TSVD的估計偏差與偏差平方和為

(18)

(19)

2.2 病態(tài)方程奇異值截斷新方法

由最小二乘估計可得觀測值的殘差為

(20)

對式(20)中的系數(shù)矩陣A進行奇異值分解，化簡得觀測值殘差與單位權方差估計量為

(21)

(22)

(23)

(24)

式中

(25)

因此

(26)

(27)

3 試驗分析

3.1 模擬試驗分析

Fredholm第一類積分方程是一類典型的病態(tài)問題，大地測量中的重力場延拓問題本質上就是對該方程的解算[24-25]，該積分方程的表達式為

(28)

本文取其核函數(shù)為

(29)

精確解函數(shù)為

(30)

在采樣間隔為Δx=Δy=0.02，對式(28)積分方程進行離散化可得

(31)

圖1反映了設計矩陣的奇異值大小變化情況，由圖中可以看出，奇異值由大到小呈均勻下降，未出現(xiàn)明顯斷層，需應用合理的截斷參數(shù)確定方法獲取可靠的截斷參數(shù)。

圖1 奇異值大小變化圖Fig.1 Change of each singular value size

圖3反映了偏差引入量估值與偏差引入量真值的對比情況。由圖3可以看出，各奇異值對應的偏差引入量真值在一定區(qū)間內波動，并非隨著奇異值的增大而增大。而偏差引入量的估值在前端波動平緩，后端隨著奇異值的變小，估值不斷增大，可見小奇異值對應的偏差估值會受小奇異值的影響而被高估。前端波動平緩處的偏差估值與偏差真值基本在同一波動區(qū)間內，在此波動區(qū)間前端較大的奇異值，其偏差估值與真值相近，后端的奇異值偏差估值略有高估。因此，在實際計算中，可設定方差下降量大于平緩處偏差估值中50%以上數(shù)值時，確定截斷參數(shù)，截掉后續(xù)的小奇異值。

為了比較分析新方法確定截斷參數(shù)的可靠性和有效性，分別應用GCV法、L曲線法、LS估計偏差的最小MSE法和新方法確定截斷參數(shù)，采用LS估計和TSVD方法進行解算的統(tǒng)計結果見表1。

表1 參數(shù)估計誤差統(tǒng)計結果Tab.1 Statistical results of estimation error

表中AD(absolute difference)表示絕對誤差；RMSE(root mean square error)表示均方根誤差。由表1可以看出，由于病態(tài)性，最小二乘估計已不是參數(shù)的有效估計方法，參數(shù)估值嚴重偏離真值。采用TSVD方法進行解算，估計結果得到有效改善，參數(shù)估值接近真值，但截斷參數(shù)的選取嚴重影響TSVD的解算效果。由表1可以看出，采用GCV法可得到有效的截斷參數(shù)，但估計誤差的最大值較大，表明GCV法穩(wěn)定性較差，常得到不合理的截斷參數(shù)，導致誤差較大，影響估計的可靠性。采用L曲線法確定的截斷參數(shù)穩(wěn)定性較好，估計誤差的最大值與最小值相差較小，但估計誤差的最小值與平均值明顯大于其他方法，表明L曲線法容易發(fā)散，得到的截斷參數(shù)非最優(yōu)的截斷參數(shù)。LS估計偏差的最小MSE法在本試驗中未能有效的確定截斷參數(shù)，估值誤差較大。采用新方法確定的截斷參數(shù)在估計誤差的最大值、最小值和均值上均優(yōu)于GCV法和L曲線法，且誤差最大值與最小值相差較小，表明新方法具有較高的穩(wěn)定性和可靠性，是一種有效的截斷參數(shù)確定方法。3種截斷參數(shù)確定方法的各次試驗均方根誤差情況繪于圖4。

由圖4(a)可以看出，GCV法確定截斷參數(shù)穩(wěn)定性較差，常給出不合理的截斷參數(shù)，導致TSVD估計誤差曲線波動較大，參數(shù)估值不可靠。L曲線法確定的截斷參數(shù)具有較高的穩(wěn)定性，給出的截斷參數(shù)使TSVD估計誤差曲線變化平緩，然而L曲線法確定的截斷參數(shù)明顯非最優(yōu)的截斷參數(shù)，表明L曲線法容易發(fā)散，尤其針對均勻下降型奇異值，難以得到合理的截斷參數(shù)。相比于GCV法和L曲線法，新方法確定的截斷參數(shù)具有較高的穩(wěn)定性和可靠性，TSVD估計誤差曲線變化平緩，波動幅度明顯低于GCV法，且估計誤差顯著小于L曲線法。由圖4(b)可知，LS估計偏差的最小MSE法在本例中未能有效改善TSVD估計。因此，新方法是一種可行且合理的截斷參數(shù)確定方法，可有效提高TSVD解算病態(tài)問題的可靠性和穩(wěn)定性。

3.2 實測試驗分析

利用PolInSAR數(shù)據(jù)進行植被高度反演時常會出現(xiàn)病態(tài)問題，嚴重影響了植被高反演的精度和可靠性[26-27]。為了驗證本文方法的可行性和有效性，選取了BioSAR2008項目的E-SAR全極化數(shù)據(jù)進行植被高度反演，應用TSVD方法解算反演中的病態(tài)問題，并分別采用GCV法、L曲線法、LS估計偏差的最小MSE法和新方法確定截斷參數(shù)進行對比分析。

本試驗采用文獻[26]提出的觀測值選取方法，選取HH、HV、VV、HHpVV、HHmVV、MCD(相干最大分離算法：opt1、opt2、opt3)與PD(相位分離算法：PDhigh、PDlow)10種極化方式對應的復相干性作為觀測值。數(shù)據(jù)解算中每個像素需要估計的參數(shù)為13個，觀測方程20個，則觀測方程系數(shù)矩陣的奇異值為13個。各奇異值對應的方差下降量與偏差引入量估值情況見表2。

表2 方差下降量與偏差引入量估值情況Tab.2 The reduced variances and introduced biases by truncating singular value

由表2可以看出，第13個奇異值為過小的奇異值，由于其對方差的嚴重影響，無論偏差引入多少都需要截掉。前10個奇異值的偏差引入量估值在同一區(qū)間內波動，未出現(xiàn)明顯增大，因此可設定方差上限為0.2，選擇方差小于0.2的偏差估值建立向量J，當方差下降量增大到大于J中50%以上的元素時，確定截斷參數(shù)，截掉后續(xù)的小奇異值。由于同一數(shù)據(jù)源的觀測精度大致相同，各像素可設定同一方差上限，對解算效果的影響較小。

圖2 方差下降量與偏差引入量情況Fig.2 Reduced variances and introduced biases of each truncated singular value

圖3 偏差引入量估值與真值對比圖Fig.3 Comparison of estimated biases and true values of biases

圖4 3種截斷參數(shù)確定方法的TSVD參數(shù)估計誤差曲線Fig.4 Estimation error curve of each truncation parameter determination method

圖5中給出了不同方法反演的植被高結果。為了便于分析，圖5(a)給出了PolInSAR植被高反演常用的三階段算法的反演結果，圖5(f)給出了LiDAR植被高測量結果作為植被高真值進行對比分析。由圖5(b)可以看出，截斷參數(shù)由L曲線法確定時，TSVD反演結果與三階段法的反演結果相似，有效改善了病態(tài)性的影響，但未能提高反演精度。而圖5(c)和圖5(d)的植被高反演結果均在右端出現(xiàn)了過度高估。相比于其他結果，圖5(e)中植被高反演結果更接近于LiDAR結果，表明采用新方法確定截斷參數(shù)可有效改善TSVD的解算效果，提高參數(shù)估計精度。

圖5 不同方法植被高反演結果Fig.5 Vegetation height inversion results of each method

由于LiDAR結果為平滑后的植被高度，筆者選取了800個30×30像素的樣地植被高反演結果與LiDAR結果進行比較，統(tǒng)計結果見表3。

由表3可以看出4種TSVD解算結果均要優(yōu)于傳統(tǒng)三階段方法結果，表明TSVD方法有效解決了文獻[26]方法中出現(xiàn)的病態(tài)問題。其中由新方法確定截斷參數(shù)的TSVD植被高反演結果最優(yōu)，表明新方法有效改善了TSVD的解算效果，提高了植被高的反演精度。

表3 反演誤差情況統(tǒng)計Tab.3 Statistical results of estimation error of each method m

由植被高反演誤差分布統(tǒng)計圖6可以看出，三階段法以及L曲線確定截斷參數(shù)的TSVD法相比于其他3種方法，誤差分布較為分散，多分布于-8～3 m，表明兩種方法反演植被高的穩(wěn)定性較差。而截斷參數(shù)由GCV法和LS估計偏差的最小MSE法確定時，估計誤差集中分布于1～5 m，表明植被高被過度高估。在截斷參數(shù)由新方法確定時，估計誤差集中分布于-1～3 m，可見新方法有效提高了植被高反演的可靠性和穩(wěn)定性。因此，新方法是選取TSVD截斷參數(shù)的一種可行有效方法。

圖6 樣地植被高反演誤差統(tǒng)計圖Fig.6 Statistical results of estimation error of each stand

4 結 語

TSVD方法是一種簡單有效的病態(tài)問題解算方法，相比于正則化方法，僅需考慮截斷參數(shù)的影響，解算病態(tài)問題更直觀高效，在大地測量各領域得到了廣泛應用。然而，常用的截斷參數(shù)確定方法GCV法和L曲線法均未從TSVD改善參數(shù)估值質量的角度出發(fā)，所確定的截斷參數(shù)穩(wěn)定性和可靠性較差，影響了TSVD解算效果，文獻[13]提出的最小MSE法理論依據(jù)較為充分，但受限于參數(shù)真值未知，MSE難以準確計算。本文分析了TSVD由小到大依次截掉奇異值后估計方差與偏差的變化情況，提出了依據(jù)降低方差量小于引入偏差量確定截斷參數(shù)的思想，理論依據(jù)充分。針對參數(shù)真值未知截掉奇異值所引入的偏差難以準確計算的問題，提出通過估計出較大奇異值截掉后的偏差引入量建立偏差估值可信區(qū)間，利用可信區(qū)間內偏差引入量與各奇異值截掉后的方差下降量進行比較，從而避免了較小奇異值截掉后的偏差引入量的計算，實現(xiàn)了任意奇異值截掉后的方差下降量與偏差引入量的合理比較。試驗表明，相比于GCV法、L曲線法和最小MSE法，新方法確定的截斷參數(shù)具有更高的穩(wěn)定性和可靠性，可有效改善TSVD解算病態(tài)問題的效果。

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(責任編輯：陳品馨)

Truncation Method for TSVD with Account of Truncation Bias

LIN Dongfang1,2,ZHU Jianjun1,2,SONG Yingchun1,2

1.School of Geosciences and Info-physics,Central South University,Changsha 410083,China; 2.Key Laboratory of Metallogenic Prediction of Nonferrous Metals and Geological Environment Monitoring,Central South University,Changsha 410083,China

TSVD truncate small singular values by truncation parameter to improve the parameter estimation of ill-posed model.From the perspective of MSE (mean squared error),TSVD introduce biases to reduce variances,therefore the stability and reliability of the solution can be improved.Truncation parameter is key factor of TSVD,but it is difficult to determine in case of the gently declined singular values.The parameter determined by GCV (generalized cross-validation) and L-curve often unstable and unreliable.And the minimum MSE method is limited by the accuracy of the estimated MSE.This paper compares the changes of variance and bias produced by truncating the singular values in turn and determines the truncation parameter when the reduced variance is less than the introduced bias.In order to avoid the comparison between reduced variance and introduced bias of truncating small singular values,the confidence domain of bias is established through estimating the introduced bias of truncating big singular values that are proved to be reliable.The comparisons are replaced by comparing the reduced variance with the bias in the confidence domain.Therefore,the issue of introduced bias of truncating small singular values cannot be calculated without true values of unknown parameters is solved.Numerical examples proves the feasibility and effectiveness of the new method.Truncation parameters determined by new method are more stable and reliable than GCV and L-curve and improve the TSVD solution effectively.

TSVD; truncation parameter; biased estimation; variance; bias

The National Natural Science Foundation of China (Nos.41531068；41474008；41574006；41674012)

LIN Dongfang(1986—),male,PhD candidate,majors in surveying adjustment and data processing.

ZHU Jianjun

林東方，朱建軍，宋迎春.顧及截斷偏差影響的TSVD截斷參數(shù)確定方法[J].測繪學報，2017,46(6)：679-688.

10.11947/j.AGCS.2017.20160268.LIN Dongfang,ZHU Jianjun,SONG Yingchun.Truncation Method for TSVD with Account of Truncation Bias[J].Acta Geodaetica et Cartographica Sinica,2017,46(6):679-688.DOI:10.11947/j.AGCS.2017.20160268.

P207

A

1001-1595(2017)06-0679-10

國家自然科學基金(41531068；41474008；41574006；41674012)

2016-06-12

修回日期：2017-05-11

林東方(1986—)，男，博士生，研究方向為測量平差數(shù)據(jù)處理及應用。

E-mail：Lindongfang223@163.com

朱建軍

E-mail：zjj@csu.edu.cn