黃金寶，榮乾鋒，歐屹，祖莉(南京理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，南京210094)

雙螺母預(yù)緊滾珠絲杠副軸向靜剛度與扭轉(zhuǎn)變形關(guān)系研究*

黃金寶，榮乾鋒，歐屹，祖莉
(南京理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，南京210094)

為了研究扭轉(zhuǎn)變形對滾珠絲杠副軸向靜剛度影響，對雙螺母預(yù)緊滾珠絲杠副的滾珠進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，并考慮接觸角的變化，建立滾珠絲杠副扭轉(zhuǎn)變形數(shù)學(xué)模型。使用滾珠絲杠副摩擦力矩試驗(yàn)臺、靜剛度試驗(yàn)臺對雙螺母預(yù)緊滾珠絲杠副進(jìn)行摩擦力矩、靜剛度檢測。結(jié)果表明:滾珠絲杠副剛性測量中對絲杠進(jìn)行扭轉(zhuǎn)補(bǔ)償后，測量結(jié)果更加合理、準(zhǔn)確;滾珠絲杠副剛性測量中，絲杠被測長度越長，絲杠產(chǎn)生的扭轉(zhuǎn)變形越大，對滾珠絲杠副軸向靜剛度測量結(jié)果影響越大。

滾珠絲杠副;軸向靜剛度;扭轉(zhuǎn)變形;摩擦力矩

0 引言

滾珠絲杠副為數(shù)控機(jī)床關(guān)鍵滾動(dòng)功能部件，廣泛應(yīng)用于數(shù)控機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)［1-3］。滾珠絲杠副剛性是數(shù)控機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)動(dòng)態(tài)穩(wěn)定、振動(dòng)幅度的重要影響因素［4］。隨著滾珠絲杠副速度和載荷的不斷提高，其振動(dòng)問題愈加突出，嚴(yán)重影響數(shù)控機(jī)床的定位精度，滾珠絲杠副剛度不足嚴(yán)重阻礙數(shù)控機(jī)床向高速化、高精度方向發(fā)展［5］。

目前，滾珠絲杠副剛性的研究大多集中在滾珠絲杠副靜剛度的影響因素分析、靜剛度建模及有限元仿真上。Kazuki TAKAFUJI以雙螺母滾珠絲杠副為研究對象，綜合考慮絲杠軸、螺母、絲杠螺紋的彈性變形等因素，建立新型滾珠絲杠副靜剛度數(shù)學(xué)模型，并通過試驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證分析［6］。陳勇將分析滾珠絲杠副剛度影響因素，考慮接觸角的變化及接觸變形影響，建立聯(lián)合載荷下滾珠絲杠副剛度數(shù)學(xué)模型，并通過試驗(yàn)驗(yàn)證理論模型的可靠性［5］。周福興對力加載系統(tǒng)工裝和位移測量系統(tǒng)工裝的設(shè)計(jì)做了詳細(xì)討論［7］。然而，上述研究在進(jìn)行剛性試驗(yàn)時(shí)并未考慮絲杠的扭轉(zhuǎn)變形對剛性的影響，且絲杠的被測長度不同，其扭轉(zhuǎn)變形量不同。為了研究滾珠絲杠副剛性試驗(yàn)中不同被測長度與扭轉(zhuǎn)變形關(guān)系，本文考慮了接觸角的變化，對雙螺母預(yù)緊滾珠絲杠副的滾珠進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，建立滾珠絲杠副扭轉(zhuǎn)變形模型，并通過試驗(yàn)分析滾珠絲杠副扭轉(zhuǎn)變形對剛性的影響程度。

1 雙螺母預(yù)緊滾珠絲杠副扭轉(zhuǎn)變形數(shù)學(xué)模型

1.1 坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換

為了便于分析，本文采用坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣的理論方法來描述滾珠絲杠副系統(tǒng)中各個(gè)部件之間的相對位置，(x，y，z)為固定坐標(biāo)系，z軸與絲杠軸線所在的方向一致;(xr，yr，zr)為旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系，該坐標(biāo)系與絲杠具有相同的轉(zhuǎn)速，軸也與絲杠軸線所在的方向一致。在滾珠球心處建立Frenet坐標(biāo)系(t，n，b)，t軸方向與球心軌跡螺旋線在球心o處的切線方向重合，n軸方向與絲杠在滾珠球心o徑向方向重合，β表示滾珠絲杠副的螺旋角，θ表示滾珠相對于絲杠旋轉(zhuǎn)的角度，Ω表示旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系(xr，yr，zr)相對于固定坐標(biāo)系(x，y，z)的旋轉(zhuǎn)角度。

圖1 滾珠絲杠副空間坐標(biāo)系

固定坐標(biāo)系(x，y，z)與旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系(xr，yr，zr)轉(zhuǎn)換關(guān)系為:

旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系(xr，yr，zr)與Frenet坐標(biāo)系(t，n，b)之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為:

式中:θN中N=L時(shí)表示左側(cè)螺母中滾珠，N=R表示右側(cè)螺母中滾珠;

1.2 滾珠與滾道間的接觸角

根據(jù)國際標(biāo)準(zhǔn)BS ISO3408-4規(guī)定，滾珠絲杠副剛性檢測時(shí)，外加軸向載荷Fa=30%Ca，(Ca為滾珠絲杠副額定動(dòng)載荷)。經(jīng)檢測，國內(nèi)外滾珠絲杠副預(yù)緊力皆小于其30%Ca，當(dāng)外加軸向載荷Fa=30%Ca時(shí)，雙螺母預(yù)緊滾珠絲杠副滾珠受力分析如圖2所示。由于滾珠絲杠副各個(gè)部件為材料性能相近的鋼材，因此絲杠滾道與螺母滾道結(jié)構(gòu)參數(shù)可近似看成相同，則同一螺母滾道中滾珠與絲杠滾道、螺母滾道接觸變形量近似相等，且接觸角也近似相等，αL表示左側(cè)螺母1滾珠與滾道間的接觸角，αR表示右側(cè)螺母2與滾道間的接觸角;δ表示滾珠接觸變形量(N表示螺母;S表示絲杠;L表示左側(cè)滾珠;R表示右側(cè)滾珠)。

圖2 雙螺母預(yù)緊滾珠絲杠副滾珠受力分析

假設(shè)螺母固定不動(dòng)，當(dāng)絲杠受到軸向力Fa時(shí)，螺母1受到的預(yù)緊力減小量為F1，螺母2受到的預(yù)緊力增加量為F2。同時(shí)滾珠受到的法向載荷也發(fā)生了變化，Q表示絲杠副僅受預(yù)緊力Fp時(shí)滾珠受到的法向載荷，P1、P2分別表示絲杠在軸向載荷作用下滾珠1、滾珠2受到的法向載荷。設(shè)左側(cè)滾珠1所受法向載荷為QL，右側(cè)滾珠2所受法向載荷為QR，則有:

式中:FL表示左側(cè)螺母1受到的預(yù)緊力;FR表示右側(cè)螺母2受到的預(yù)緊力。

當(dāng)雙螺母預(yù)緊滾珠絲杠副僅受預(yù)緊力作用時(shí)，設(shè)滾珠1、滾珠2與螺母1、螺母2的初始接觸角為α0，取α0=45°。由絲杠軸線方向受力平衡關(guān)系可得:

式中:N取L或R。

滾珠絲杠副預(yù)緊力與摩擦力矩之間的關(guān)系式為［8］:

式中:μ為摩擦系數(shù);rs為絲杠半徑;rb為滾珠半徑; Mtest為實(shí)際檢測的摩擦力矩。

滾珠與滾道間的接觸變形滿足赫茲接觸理論，則有:

式中:、k'、a是Hertz系數(shù);μ1、μ2是兩接觸彈性體的泊松比;E1、E2為兩接觸彈性體的彈性模量;Σρj為兩彈性接觸體在接觸點(diǎn)處的綜合曲率;QN表示滾珠受到的法向載荷(N=L表示滾珠1所受法向載荷，N=R表示滾珠2所受法向載荷);δN表示滾珠與滾道接觸變形量(N=L表示滾珠1與滾道接觸變形量，N=R時(shí)表示滾珠2與滾道接觸變形量)。

根據(jù)絲杠和螺母滾道中心螺旋線的半徑不變，并結(jié)合式(1)、(2)可列出如下關(guān)于αj、r、βi的3元非線性方程組［9］:

式中:Cθ表示cos(θ)，Cαj表示cos(αj)，Sβj表示sin(βj)，Sαj表示sin(αj)，Sθ表示sin(θ)，Tβj表示tan(βj);rs、rn分別表示絲杠、螺母滾道半徑;rcs、rcn分別表示絲杠、螺母滾道中心螺旋線底圓半徑;rb表示滾珠半徑;r表示絲杠公稱半徑;Ph為絲杠導(dǎo)程。

隨著軸向載荷的不斷增加，滾道和滾珠局部的幾何參數(shù)均發(fā)生變化，從而導(dǎo)致接觸角的變化。接觸區(qū)域幾何參數(shù)變化如下:

式中:N取L或R。

聯(lián)立公式(5)～公式(8)，采用Newton非線性迭代法可求出變化的αj、P1、P2。

1.3 絲杠扭轉(zhuǎn)變形

由圖2知，滾珠1、滾珠2受到的法向載荷QL、QR在Frenet坐標(biāo)系中表示為:

設(shè)滾珠與絲杠的接觸點(diǎn)到絲杠軸線的距離為l［8］，則:

由于滾珠絲杠副剛性測量過程中，螺母固定不動(dòng)，絲杠與螺母之間不發(fā)生相對旋轉(zhuǎn)，所以Ω=0。而不同的滾珠對應(yīng)不同的θ(第1個(gè)滾珠對應(yīng)的θ為0，第2個(gè)滾珠對應(yīng)的θ為2×2π/z1，第n個(gè)滾珠對應(yīng)的θ為n×2π/z1)，左右螺母中滾珠作用于絲杠上的力對絲杠產(chǎn)生的扭矩分別為:

式中:Q'Lyr

、Q'Ryr分別表示Q'L、Q'R在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系yr軸上的分量。

滾珠作用于絲杠上的力對絲杠產(chǎn)生的總扭矩為:

滾珠絲杠受到扭矩T作用產(chǎn)生的扭轉(zhuǎn)角為:

式中:G為滾珠絲杠材料剪切彈性模量;T為左右螺母中所有滾珠作用于絲杠上的力產(chǎn)生的扭矩;l'為螺母中心到絲杠軸端受力處距離;Ip為滾珠絲杠極慣性矩，Ip=πd4/32，d為滾珠絲杠螺紋內(nèi)徑，d=33.65mm。

扭轉(zhuǎn)變形角φ引起的軸向位移為:

考慮絲杠扭轉(zhuǎn)補(bǔ)償后，滾珠絲杠副軸向靜剛度為:

式中:λno表示為無扭轉(zhuǎn)補(bǔ)償時(shí)絲杠相對于螺母的軸向位移。

2 試驗(yàn)

本次試驗(yàn)選取的雙螺母預(yù)緊滾珠絲杠副(型號為R40-10k4-FDC)具體參數(shù)如表1所示。

表1 滾珠絲杠副參數(shù)表

2.1 滾珠絲杠副摩擦力矩測量原理

目前，滾珠絲杠副預(yù)緊力無法直接測量獲得，一般通過測量摩擦力矩來計(jì)算預(yù)緊力。目前，出廠后的滾珠絲杠副的摩擦力矩標(biāo)稱值僅僅只是其摩擦力矩平均值。由于滾珠絲杠副行程誤差的影響，不同位置處的摩擦力矩均不相同，對應(yīng)的預(yù)緊力和剛性值也均不相同。因此，為了準(zhǔn)確獲得剛性測量位置處的摩擦力矩和預(yù)緊力，需要測量滾珠絲杠副有效行程內(nèi)的摩擦力矩變化曲線。摩擦力矩測量原理如圖3所示，絲杠一端與伺服電機(jī)相連，另一端固定在尾座中心。螺母的圓周運(yùn)動(dòng)受到連桿①與懸臂②的約束，支撐單元與絲杠滾道相接觸，當(dāng)絲杠轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，螺母和工作臺可同時(shí)沿絲杠軸線方向往返運(yùn)動(dòng)。試驗(yàn)前，先對壓力傳感器③進(jìn)行標(biāo)定，然后使用100號潤滑油讓絲杠跑合5min，確保滾珠絲杠副充分潤滑;試驗(yàn)過程中，絲杠以100r/min的轉(zhuǎn)速進(jìn)行摩擦力矩測量。

圖3 滾珠絲杠副摩擦力矩測量原理

2.2 滾珠絲杠副靜剛度測量原理

目前，滾珠絲杠副靜剛度測量過程中沒有考慮絲杠的扭轉(zhuǎn)變形。因此，本文對滾珠絲杠副靜剛度測量系統(tǒng)進(jìn)行了優(yōu)化，優(yōu)化后的測量系統(tǒng)主要由移動(dòng)橫梁、壓力傳感器、絲杠防轉(zhuǎn)裝置、剛度測量裝置組成，如圖4所示。針對滾珠絲杠副靜剛度測量過程中絲杠發(fā)生旋轉(zhuǎn)的現(xiàn)象，設(shè)計(jì)了絲杠防轉(zhuǎn)裝置，結(jié)構(gòu)如圖5所示。上壓盤1與連桿4通過螺釘連接，連桿4與下壓盤2中對應(yīng)的孔相配合，絲杠5與下壓盤2之間通過平鍵6連接，鋼球3起到軸向負(fù)載的傳遞作用。因此，當(dāng)移動(dòng)橫梁緩慢加載時(shí)，通過連桿4與平鍵6的作用，可以防止絲杠發(fā)生旋轉(zhuǎn)。為了測量絲杠的扭轉(zhuǎn)變形量，設(shè)計(jì)新型剛度測量裝置，該裝置中設(shè)有4個(gè)接觸式位移傳感器(型號:Pretec 2940N)，其中3個(gè)傳感器檢測絲杠受外加軸向力狀態(tài)下的軸向變形，3個(gè)傳感器成120°均勻分布。剩余的1個(gè)傳感器用來檢測絲杠受外加軸向力狀態(tài)下的扭轉(zhuǎn)變形，通過該傳感器可得到靜剛度測量過程中絲杠發(fā)生的扭轉(zhuǎn)變形量。

圖4 滾珠絲杠副靜剛度測量系統(tǒng)

圖5 滾珠絲杠副防轉(zhuǎn)裝置

為了研究不同位置處絲杠扭轉(zhuǎn)變形對滾珠絲杠副軸向靜剛度的影響，根據(jù)國際標(biāo)準(zhǔn)BS ISO3408-4規(guī)定，使用30%Ca的力對絲杠軸端進(jìn)行加載(螺母固定)，最終利用最小二乘法對外加載荷與軸向變形進(jìn)行剛度曲線擬合。本試驗(yàn)中，在滾珠絲杠副有效行程內(nèi)選取5個(gè)測量點(diǎn)，每個(gè)位置點(diǎn)進(jìn)行5次軸向靜剛度檢測。

3 結(jié)果分析與討論

由于滾珠絲杠副存在加工誤差，其有效行程內(nèi)的摩擦力矩存在波動(dòng)。型號為R40-10k4-FDC的滾珠絲杠副摩擦力矩如圖6所示，摩擦力矩波動(dòng)范圍為1.19N·m～1.33N·m。由于滾珠絲杠副靜剛度測量時(shí)，測量裝置在安裝時(shí)存在一定誤差，因此，不同位置處的摩擦力矩值取該位置點(diǎn)左右10mm范圍內(nèi)的平均值，根據(jù)公式(6)即可得到雙螺母預(yù)緊滾珠絲杠副不同位置點(diǎn)處的預(yù)緊力值。

圖6 滾珠絲杠副摩擦力矩

滾珠絲杠副靜剛度試驗(yàn)中檢測到的旋轉(zhuǎn)變形包括防轉(zhuǎn)裝置中平鍵的周向變形、絲杠副自身間隙引起的旋轉(zhuǎn)變形及絲杠扭轉(zhuǎn)變形，它們的關(guān)系為:

式中:φtest表示試驗(yàn)中檢測到的旋轉(zhuǎn)變形;φ1表示平鍵的周向變形;φ2表示絲杠副自身間隙引起的旋轉(zhuǎn)變形;φ表示絲杠扭轉(zhuǎn)變形計(jì)算值。不考慮絲杠扭轉(zhuǎn)變形量時(shí)絲杠的旋轉(zhuǎn)變形量，φ1+φ2。結(jié)合施加的軸向載荷便可求得滾珠絲杠副不同位置的軸向靜剛度。扭轉(zhuǎn)補(bǔ)償后，滾珠絲杠副軸向靜剛度較之補(bǔ)償前更加接近于理論值(根據(jù)BS ISO3408-4計(jì)算獲得)，測量數(shù)據(jù)更加合理、準(zhǔn)確，如圖7所示。且隨著測量距離(螺母中心到絲杠軸端受力處的距離)增加，軸向靜剛度的變化幅度也增加，如圖7所示，變化幅度從100mm處的2.5%到300mm處的7.7%，變化趨勢基本成線性關(guān)系。試驗(yàn)表明，滾珠絲杠副軸向靜剛度檢測時(shí)，絲杠螺母中心距離絲杠軸端受力處越遠(yuǎn)，扭轉(zhuǎn)變形對軸向靜剛度的影響越大。

圖7 扭轉(zhuǎn)補(bǔ)償前后滾珠絲杠副軸向靜剛度及其變化幅度

需要說明的是，在位置250mm處，滾珠絲杠副軸向靜剛度與其他位置處相比較低，可能由于該段處絲杠的導(dǎo)程誤差或材料等原因(見圖7)，導(dǎo)致此處的滾珠產(chǎn)生的軸向變形較大，使得絲杠相對于螺母的整體軸向位移較大，最終使得該點(diǎn)的軸向靜剛度較低。

4 結(jié)論

本文通過對雙螺母預(yù)緊滾珠絲杠副滾珠進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，考慮接觸角的變化，建立滾珠絲杠副扭轉(zhuǎn)變形數(shù)學(xué)模型，并通過試驗(yàn)分析絲杠扭轉(zhuǎn)變形對滾珠絲杠副軸向靜剛度的影響。試驗(yàn)結(jié)果表明:

(1)考慮扭轉(zhuǎn)變形，對滾珠絲杠副剛性測量進(jìn)行扭轉(zhuǎn)補(bǔ)償后，測量結(jié)果更加合理、準(zhǔn)確;

(2)滾珠絲杠副剛性測量中，絲杠被測長度越長，絲杠產(chǎn)生的扭轉(zhuǎn)變形越大，對滾珠絲杠副軸向靜剛度影響越大;本文研究結(jié)論不僅適用于雙螺母預(yù)緊滾珠絲杠副，同樣也適用于單螺母滾珠絲杠副。該研究結(jié)論對滾珠絲杠副軸向靜剛度測量具有十分重要的意義。

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(編輯李秀敏)

Investigation of the Correlation between the Axial Static Stiffness and the Torsional Deformation of the Double-nut Preloaded Ball Screw Mechanism

HUANG Jin-bao，RONG Qian-feng，OU Yi，ZU Li
(School of Mechanical Engineering，Nanjing University of Science and Technology，Nanjing 210094，China)

In order to study the influence of the torsional deformation on the axial static stiffness of the ball screw mechanism，the kinetics of the double-nut preloaded ball screw mechanism w as analyzed firstly，and then taking the changes of contact angle into consideration，the mathematical model based on the torsional deformation of the ball screw mechanism was established.The friction torques of the double-nut preload ball screw mechanism was measured on the ballscrew friction torque testbench.And the axialstatic stiffness of the ball screw was also measured on the ball screw stiffness test bench.The test results agree well with our theoretical analysis and the results showed that，w ith the compensation of the torsional deformation，the measurement results are more reasonable and accurate.And in the process of rigidity measurement of the ball screw mechanism，with the increasing of the measured length of the screw，the torsional deformation is also increased，w hich has a greater impacton the measurementresults of the ballscrew axialstatic stiffness.

ball screw;the axial static stiffness;torsional deformation;friction torque

TH166;TG506

A

1001－2265(2017)04－0034－04

10.13462/j.cnki.mmtamt.2017.04.009

2016－07－20;

2016－07－30

國家科技重大專項(xiàng)(2014ZX04011031)

黃金寶(1987—)，男，江蘇沭陽人，南京理工大學(xué)碩士研究生，研究方向?yàn)闈L珠絲杠副剛性與綜合性能測評，(E－mail)459252447@qq.com;通訊作者:歐屹(1982—)，男，南京人，南京理工大學(xué)講師，博士，研究方向?yàn)闈L動(dòng)功能部件性能檢測，(E－mail)ouyi3281289@163.com。