杭州應(yīng)用聲學(xué)研究所 俞思源浙江工業(yè)大學(xué)光伏電力與微網(wǎng)研究中心 胡雄心浙江機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院 尤光輝

加速特性對(duì)磁懸浮轉(zhuǎn)子瞬態(tài)響應(yīng)的影響

杭州應(yīng)用聲學(xué)研究所 俞思源
浙江工業(yè)大學(xué)光伏電力與微網(wǎng)研究中心 胡雄心浙江機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院 尤光輝

通過建立徑向磁懸浮軸承—Jeffcott轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)模型，為磁懸浮轉(zhuǎn)子瞬態(tài)響應(yīng)分析提供理論指導(dǎo)。并在SAMCEF ROTOR有限元分析軟件中建立Jeffcott轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)模型，定義轉(zhuǎn)子不平衡條件及磁懸浮軸承支撐參數(shù)，分析轉(zhuǎn)子在不同的加速度加速條件下的瞬態(tài)位移及模態(tài)變化規(guī)律。分析結(jié)果為電機(jī)加速方案的優(yōu)化奠定基礎(chǔ)。

磁軸承；模態(tài)分析；瞬態(tài)響應(yīng)

0 前言

磁懸浮軸承具有一系列傳統(tǒng)軸承所無法比擬的優(yōu)點(diǎn)，尤其是在高速旋轉(zhuǎn)機(jī)械中，比傳統(tǒng)的滾動(dòng)和滑動(dòng)軸承更具優(yōu)勢(shì)。但是磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子無論在電機(jī)、飛輪儲(chǔ)能等領(lǐng)域的應(yīng)用中，都對(duì)其加速過程中的動(dòng)態(tài)平衡和瞬態(tài)響應(yīng)提出了高要求，良好的瞬態(tài)響應(yīng)直接影響著磁懸浮轉(zhuǎn)子運(yùn)轉(zhuǎn)的穩(wěn)定性。目前國內(nèi)外大多數(shù)的研究者研究了磁懸浮轉(zhuǎn)子在工作轉(zhuǎn)速以及勻加速過程中由于受到不平衡載荷的作用產(chǎn)生的瞬態(tài)響應(yīng)，并且將研究重點(diǎn)集中在這一過程中不平衡載荷的變化所帶來的影響。而忽略了飛輪轉(zhuǎn)子在不同的加速度加速過程中的瞬態(tài)響應(yīng)。為此本文通過建立磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子的數(shù)學(xué)模型及運(yùn)用SAMCEF ROTOR有限元分析軟件研究加速特性對(duì)磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子瞬態(tài)響應(yīng)的影響。

1 磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)建模[1]

磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子的應(yīng)用領(lǐng)域一般都為超高速，轉(zhuǎn)速都跨越了轉(zhuǎn)子的一階或二階臨界轉(zhuǎn)速，成為柔性轉(zhuǎn)子。因此，對(duì)剛性轉(zhuǎn)子的動(dòng)力學(xué)分析已經(jīng)滿足不了要求。為了更好地分析轉(zhuǎn)子在超高轉(zhuǎn)速下的瞬態(tài)響應(yīng)，本文建立柔性轉(zhuǎn)子模型進(jìn)行分析。

Jeffcott轉(zhuǎn)子是一種典型的極為簡(jiǎn)化的柔性轉(zhuǎn)子，也稱為Laval轉(zhuǎn)子[2]，見圖1。由于其結(jié)構(gòu)特性，它非常適合用來模擬最基本的磁軸承柔性轉(zhuǎn)子模型，從而研究轉(zhuǎn)子的基本力學(xué)特性。

圖1 Jeffcott轉(zhuǎn)子模型

圖2 彈性軸段模型

1.1 轉(zhuǎn)子的運(yùn)動(dòng)方程的確立

在系統(tǒng)模態(tài)分析過程中，建立該系統(tǒng)的動(dòng)力方程有助于從理論上研究其動(dòng)力學(xué)特性。對(duì)于多自由度的運(yùn)動(dòng)而言，一般利用達(dá)朗貝爾定理、牛頓第二定律、哈密兒頓定理和Lagrange方程來建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程[3]。

公式()是一個(gè)N自由度線性系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程，其中：[M]為系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、[C]系統(tǒng)的阻尼矩陣、[K]為系統(tǒng)的剛度矩陣、{x(t)}為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)矢量、{F(t)}為作用在系統(tǒng)上的廣義外力。

對(duì)所要研究的Jeffcott轉(zhuǎn)子系統(tǒng)而言，可以將其劃分為各自在結(jié)點(diǎn)處連接的三個(gè)部分：飛輪圓盤、轉(zhuǎn)軸和支撐軸承。在轉(zhuǎn)子系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程的推到中，第一步需要建立飛輪圓盤、轉(zhuǎn)軸和轉(zhuǎn)子不平衡量的動(dòng)能表達(dá)式，包括轉(zhuǎn)軸的勢(shì)能表達(dá)式。然后確立軸承的對(duì)轉(zhuǎn)子作用力的虛功表達(dá)式。最后根據(jù)Lagrange方程得到系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程[4]。

1.2 剛性圓盤的運(yùn)動(dòng)微分方程[5]

在轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)中，通常用剛性飛輪圓盤的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量信息集中質(zhì)量點(diǎn)來模擬整個(gè)圓盤。剛性飛輪圓盤的軸心節(jié)點(diǎn)的位移向量

用廣義坐標(biāo)來定義，得到其動(dòng)能表達(dá)式。

其中md為剛性飛輪圓盤的質(zhì)量。Jd和Jp分別為剛性飛輪圓盤的直徑和極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。結(jié)合拉格朗日方程

原理得到：

其中qk為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)廣義坐標(biāo)，Qk為對(duì)應(yīng)系統(tǒng)廣義坐標(biāo)qk的廣義力。[Md]和Ω[J ]分別為飛輪剛性圓盤的質(zhì)量矩陣和陀螺矩陣。

對(duì)應(yīng)的廣義力{Qd}有兩種不同的情況，當(dāng)圓盤處無支撐且忽略不平衡質(zhì)量時(shí)，廣義力包括圓盤的受到的來自轉(zhuǎn)軸的作用力和力矩。當(dāng)圓盤收到支撐約束時(shí)，還需將支撐處的束縛力和束縛力矩加入考慮。

1.3 彈性軸段的運(yùn)動(dòng)微分方程[4]

用鐵木辛柯梁?jiǎn)卧獊肀硎巨D(zhuǎn)子轉(zhuǎn)軸的小段軸段見圖2。兩端節(jié)點(diǎn)的位移向量可根據(jù)梁?jiǎn)卧膹V義坐標(biāo)表示為：

其中xA、yA分別為A截面在x和y方向的位移。θxA、θYA分別為A截面在X和Y方向的轉(zhuǎn)角，xB、yB分別為B截面X和Y方向上的位移，θxB、θYB分別為B截面X和Y方向上的轉(zhuǎn)角。彈性小段軸的長度為l，設(shè)定軸上隨機(jī)截面與A截面之間的相互位移為s，該截面在X和Y的位移分別為為x和y，在X和Y方向的轉(zhuǎn)角為θx和θy。

用形函數(shù)[N]單元兩端節(jié)點(diǎn)位移向量來表示彈性軸小段任意截面的廣義位移向量。

根據(jù)初始條件，得到形函數(shù)為：

其中Z為截面在距軸段端部的距離，彈性小段軸的動(dòng)能Ts和勢(shì)能V 分別為：

其中ρ為材料的密度，A為軸單元截面積，Id為軸段的直徑慣性矩，Ip為極慣性矩。EI為材料的抗彎剛度。ω為材料切面剪切校正因子。G為材料剪切模量。

根據(jù)Lagrange方程，根據(jù)推導(dǎo)出轉(zhuǎn)軸的運(yùn)動(dòng)微分方程：

其中{Qs}為轉(zhuǎn)軸軸段廣義力向量。[Ms]為移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量一致的質(zhì)量矩陣。Ω[Js]為回轉(zhuǎn)矩陣。[Ks]為剛度矩陣。

因?yàn)閺椥暂S段的結(jié)構(gòu)是軸對(duì)稱的，所以其回轉(zhuǎn)、質(zhì)量和剛度矩陣可以表示為：分別為軸端單方向的移動(dòng)慣性矩陣、轉(zhuǎn)動(dòng)慣性矩陣、回轉(zhuǎn)矩陣和剛度矩陣。

其中

1.4 磁懸浮軸承的運(yùn)動(dòng)微分方程[4]

可以采用剛度阻尼單元來簡(jiǎn)化轉(zhuǎn)子支承系統(tǒng)中的磁軸承，見圖3。設(shè)定軸承的坐標(biāo)是xb、yb。序號(hào)s( j )為其對(duì)應(yīng)的軸頸中心結(jié)點(diǎn)。軸頸中心的坐標(biāo)為xs( j )、ys( j )，則軸頸結(jié)點(diǎn)處受到的廣義力為：為磁軸承的的阻尼矩陣和剛度矩陣。軸頸結(jié)點(diǎn)處的廣義力實(shí)質(zhì)上是由磁軸承產(chǎn)生的支承力。當(dāng)為各向同性磁軸承時(shí)，kxy= kyx、cxy= cyx，則式變?yōu)椋菏街校?/p>

圖3 簡(jiǎn)化的磁軸承單元模型

圖4 SAMCEF中轉(zhuǎn)子模型

1.5 磁懸浮軸承支撐的轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)方程

通過前訴的分析得到了飛輪圓盤和轉(zhuǎn)軸的質(zhì)量、剛度和陀螺矩陣。同時(shí)轉(zhuǎn)子受到的支承力為磁懸浮軸承作用在對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)處的廣義力?，F(xiàn)在可以通過有限元法對(duì)磁軸承柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)進(jìn)行求解。綜合將各部分的質(zhì)量、剛度和陀螺矩陣以及外力向量，則可得到磁懸浮軸承柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的總體運(yùn)動(dòng)微分方程。

[M]為系統(tǒng)質(zhì)量矩陣，Ω[J ]為系統(tǒng)回轉(zhuǎn)矩陣，[K]為系統(tǒng)剛度矩陣。{Q}為轉(zhuǎn)子所受的廣義力，一般只包括軸承的支撐力和轉(zhuǎn)子不平衡激勵(lì)產(chǎn)生的廣義力。通過求解總體微分方程則可以得到各節(jié)點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。

2 有限元仿真分析

本文主要目的是分析轉(zhuǎn)子在加速過程中，采用不同的加速度對(duì)轉(zhuǎn)子瞬態(tài)響應(yīng)的影響。由于磁懸浮轉(zhuǎn)子受外界干擾較小，設(shè)定轉(zhuǎn)子的不平衡載荷主要由轉(zhuǎn)子本身的質(zhì)量不均勻產(chǎn)生的質(zhì)量偏心引起的，通過有限元仿真分析其瞬態(tài)響應(yīng)[6][7]。

根據(jù)前面分析的Jeffcott轉(zhuǎn)子，在SAMCEF里建立轉(zhuǎn)子模型，如圖4所示。

在固定的支撐條件下，首先求得飛輪轉(zhuǎn)子前4階臨界轉(zhuǎn)速，見表1。

表1 飛輪轉(zhuǎn)子前4階臨界轉(zhuǎn)速(r/min)

設(shè)定轉(zhuǎn)子在加速過程中跨越前三階臨界轉(zhuǎn)速，速度由0r/min到10000r/min。為了使研究結(jié)果更準(zhǔn)確，所設(shè)定的加速度變化范圍要足夠大。根據(jù)要求設(shè)計(jì)加速時(shí)間分別為5秒、10秒和20秒，意味著加速度分別為120000r/min2、60000r/min2和30000r/min2。

為了使位移瞬態(tài)響應(yīng)結(jié)果更清晰，記錄轉(zhuǎn)子位移變化最大的軸端及飛輪中心的位移瞬態(tài)響應(yīng)變化，得到圖5和圖6中所示的位移瞬態(tài)變化圖。

圖5 轉(zhuǎn)子軸端加速過程中位移瞬態(tài)響應(yīng)

圖6 轉(zhuǎn)子中心加速過程中位移瞬態(tài)響應(yīng)

從轉(zhuǎn)子軸端和轉(zhuǎn)子中心在不同加速度下加速過程中的位移瞬態(tài)響應(yīng)來看，從總加速時(shí)間的12%左右時(shí)刻開始，轉(zhuǎn)子軸端和中心都出現(xiàn)位移瞬態(tài)變化。根據(jù)時(shí)間和速度比例關(guān)系，在各加速過程中12%左右的時(shí)間點(diǎn)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速正好達(dá)到一階臨界轉(zhuǎn)速。從圖中還可以看出轉(zhuǎn)子的最大瞬態(tài)位移發(fā)生在約65%的時(shí)間點(diǎn)，同樣根據(jù)時(shí)間和速度比例關(guān)系，可以知道這個(gè)時(shí)間點(diǎn)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速正好在第三節(jié)臨界轉(zhuǎn)速附近。其余轉(zhuǎn)速下位移瞬態(tài)響應(yīng)比較平穩(wěn)。

對(duì)比轉(zhuǎn)子軸端和中心在不同加速度下位移響應(yīng)的可以看出，隨著加速度減小，轉(zhuǎn)子軸端和中心處的位移變化幅度增大，在最大位移處變化最為明顯。圖7顯示了不同加速度下，轉(zhuǎn)子最大瞬態(tài)位移值以及相應(yīng)的振型。

圖7 不同加速度下轉(zhuǎn)子最大位移響應(yīng)與振型

從圖7的可以看出，在5s、10s和20s加速時(shí)轉(zhuǎn)子的最大位移分別為101.04mm、140.53mm和187.13mm。結(jié)合圖3-14和3-15的位移瞬態(tài)響應(yīng)圖可以分析出，轉(zhuǎn)子在加速過程中，不同的加速度所產(chǎn)生的瞬態(tài)位移響應(yīng)也不一樣。最大瞬態(tài)位移都會(huì)發(fā)生在彎曲臨界轉(zhuǎn)速附近。隨著加速度的減小，瞬態(tài)位移會(huì)變大，在跨越臨界轉(zhuǎn)速時(shí)，特別是跨越彎曲臨界轉(zhuǎn)速時(shí)，瞬態(tài)位移的會(huì)變更大。

3 結(jié)束語

本文研究了磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子在加速過程中，不同加速度加速特性對(duì)其瞬態(tài)響應(yīng)的影響。從理論模型和仿真結(jié)果可以得出：

(1)轉(zhuǎn)子在加速過程中，最大瞬態(tài)位移發(fā)生在彎曲臨界轉(zhuǎn)速附近。

(2)不同的加速度加速特性下轉(zhuǎn)子產(chǎn)生的瞬態(tài)位移響應(yīng)不同。隨著加速度的減小，瞬態(tài)位移會(huì)變大，在跨越臨界轉(zhuǎn)速時(shí)，特別是跨越彎曲臨界轉(zhuǎn)速時(shí)，瞬態(tài)位移的會(huì)變更大。

根據(jù)此結(jié)論，可以根據(jù)轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速結(jié)合電機(jī)加速特性，設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)子的加速方案，使轉(zhuǎn)子具有更好的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。其基本原則是在轉(zhuǎn)子跨越彎曲臨界轉(zhuǎn)速時(shí)，充分提高加速度，來減小轉(zhuǎn)子跨越彎曲臨界轉(zhuǎn)速時(shí)的最大位移和位移響應(yīng)持續(xù)時(shí)間，從而降低振動(dòng)損害風(fēng)險(xiǎn)，并且簡(jiǎn)化磁軸承的控制難度。在轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速處于非臨界轉(zhuǎn)速階段，可以減小加速度，從而減小電機(jī)功耗。此結(jié)論對(duì)磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子的加速動(dòng)態(tài)性能設(shè)計(jì)具有重要的指導(dǎo)作用。

[1]謝振宇,徐龍祥,李迎等．磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性及動(dòng)態(tài)特性分析[J]．機(jī)械科學(xué)與技術(shù),2004,23(7)．

[2]Seok-Myeong Jang,Un-Ho Lee．Design and analysis of thrust active[J]．magnetic bearing．JOURNAL OF APPLIED PHYSICS 103,07F122(2008)．

[3]王彥濤．分子泵磁軸承的模態(tài)辨識(shí)與試驗(yàn)研究[D]．黑龍江:哈爾濱工業(yè)大學(xué),2009．

[4]楊志軼．飛輪電池儲(chǔ)能關(guān)鍵技術(shù)研究[D]．安徽:合肥工業(yè)大學(xué),2002．

[5]Lrich Schonhoff,Jihao Luo,Guoxin Li,etc．Implementation Result of u-synthesis Control for an Energy Storage Flywheel Test Rig[A]．Proceedings of the 7th International symposium on Magnetic Bearings．ETH zurich,Switzerland,August23-25,2000．

[6]張保強(qiáng)．磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的有限元模型修正及相關(guān)問題研究[M]．江蘇:南京航空航天大學(xué),2009．

[7]謝振宇,徐龍祥,李迎等．磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的實(shí)驗(yàn)研究[J]．航空動(dòng)力學(xué)報(bào),2004,19(1),30-37．

The Effects of Acceleration Characteristic on The Transient Response of Magnetic Suspension Rotor

YU Si-yuan1,HU Xiong-xin2,YOU Guang-hui3（1.Hangzhou Applied Acoustics Research Institute，Hangzhou 310023，China；2.Photovoltaic Power and Micro-Grid Research Institute，Zhejiang
University of Technology，Hangzhou 310014,China；3.Zhejiang Institute of Mechanical & Electrical Engineering，Hangzhou 310053，China）

Establishing the rotor dynamics model of Jeffcott rotor as the theoretical guidance of transient response analysis of Magnetic Suspension Rotor.And making the structural model of Jeffcott Rotor by the finite element software named SAMCEF ROTOR.Then analyzing the transient displacement and modality variation regularity of the rotor under different acceleration conditions by def i ning the unbalanced condition and support parameters of magnetic bearing on the rotor.The analysis results lay a foundation for the acceleration program optimization of the motor.

magnetic bearing；modal analysis；transient response

俞思源（1988—），男，浙江杭州人，碩士研究生，主要從事水聲行業(yè)機(jī)械結(jié)構(gòu)等相關(guān)方面的研究。