孫曉鵬 洪靖惠

(遼寧師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息技術(shù)學(xué)院 遼寧 大連 116000)

金屬薄片的自適應(yīng)變形

孫曉鵬 洪靖惠

(遼寧師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息技術(shù)學(xué)院 遼寧 大連 116000)

針對(duì)金屬薄片通過彎折、沖壓成型等變形過程，提出關(guān)于金屬薄片變形的快速、有效的自適應(yīng)仿真框架。首先基于金屬薄片材料的幾何及物理特性，修改自適應(yīng)重新網(wǎng)格化的加勁肋約束；并對(duì)網(wǎng)格的最佳尺寸約束進(jìn)行改進(jìn)，以模擬金屬的高延展性；最后給出簡單高效的金屬薄片自適應(yīng)變形仿真的系統(tǒng)框架。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該框架可適用于任何金屬薄殼。

金屬薄片 塑性變形 拉伸彎曲 自適應(yīng)網(wǎng)格 仿真

0 引 言

對(duì)金屬薄片施加外力進(jìn)行彎折，然后解除，金屬薄片恢復(fù)形變的程度非常小。影響因素主要為平面內(nèi)剛度，它一定程度上代表了受外力作用的材料抵抗變形的能力，而金屬薄片的平面內(nèi)剛度比普通彈塑性薄片如報(bào)紙、樹葉等高出許多。平面內(nèi)剛度越大，沿著集中變形區(qū)域周圍受到的影響區(qū)域則比軟性材料更大。在幾何上可以體現(xiàn)為點(diǎn)與點(diǎn)之間力的相互作用更加明顯。另外，金屬相對(duì)其他薄片，有一個(gè)明顯的特征便是金屬的延展性。因此在自適應(yīng)網(wǎng)格的過程中我們需要充分考慮到金屬的這一特性。

1 相關(guān)工作

自適應(yīng)網(wǎng)格技術(shù)在提高有限元方法精度方面有大量的文獻(xiàn)。在1996年Bossen[1]等提出了一種描述了二維各向異性、非結(jié)構(gòu)三角網(wǎng)格生成的新算法，能夠在復(fù)雜的區(qū)域產(chǎn)生高質(zhì)量的網(wǎng)格，但是當(dāng)該算法接收較低質(zhì)量的網(wǎng)格時(shí)，可能會(huì)導(dǎo)致網(wǎng)格不夠平滑。2002年Villard和Borouchaki[2]的工作和2003年Labelle和Shewchuk[3]的研究工作中保證了各向異性網(wǎng)格的質(zhì)量,但是在三維或者多維的網(wǎng)格下無法保證其適用性。2007年Alliez[4]的工作研究了網(wǎng)格細(xì)化應(yīng)用于圖形問題。近些年來，薄片的變形和彎曲的數(shù)學(xué)模型也已得到廣泛的發(fā)展，比如2003年Grinspun等[5]的簡單離散型薄片仿真，這種薄片結(jié)構(gòu)物體包括帽子、樹葉等，該文中的模型主要特點(diǎn)就是簡單易實(shí)現(xiàn)。2015年CC Kao和WC Hsu[5]研究了一種非規(guī)則應(yīng)用的自適應(yīng)異構(gòu)運(yùn)行框架，JGS Paiva、S William Robson等[6]的工作中研究了自動(dòng)數(shù)據(jù)分類是一個(gè)計(jì)算密集型的任務(wù)，提出了可變精度和相當(dāng)敏感的分類配置和數(shù)據(jù)表示，特別是對(duì)不斷變化的數(shù)據(jù)集，自適應(yīng)的思想就便是如此。

2 本文研究算法

本文金屬薄片的變形基于紙張的自適應(yīng)網(wǎng)格更新方法，其基本思想為：根據(jù)受力大小和應(yīng)變大小不斷進(jìn)行網(wǎng)格重劃分，使得受力變形程度大的區(qū)域網(wǎng)格密集，反之，則網(wǎng)格稀疏。具體數(shù)據(jù)處理流程如圖1所示。

圖1 金屬薄片變形仿真算法幀流程圖

同時(shí)，實(shí)現(xiàn)了金屬薄片的彎折、通過對(duì)重新網(wǎng)格化改進(jìn)加勁肋約束，給出了若干金屬薄片沖壓模擬實(shí)驗(yàn)。

2.1 應(yīng) 力

金屬薄片彈塑性模型主要分為兩大部分，幾何模型和物理模型。幾何模型為三角面片組成的有限元網(wǎng)格。參照2008年Eitan Grinspun[7]的幾何模型,在金屬薄片變形前我們定義一個(gè)二維的物質(zhì)參數(shù)空間(u,v)，這個(gè)參數(shù)空間定義了金屬薄片三角面片的每個(gè)頂點(diǎn)的位置u，參數(shù)空間的點(diǎn)的速度v，與世界空間速度相同。每個(gè)頂點(diǎn)同時(shí)也擁有三維空間位置，并已知三角面片的幾何拓?fù)湫畔?。如圖2所示。

圖2 參數(shù)空間和世界空間

本文的物理模型材質(zhì)為各類金屬片，并定義了實(shí)驗(yàn)金屬對(duì)象的表面密度，拉伸剛度系數(shù)，彎曲剛度系數(shù)，剛度比例阻尼系數(shù)，應(yīng)變條件等。這其中的物理過程涉及到的力主要為局部變形產(chǎn)生兩個(gè)應(yīng)力：拉伸力和彎曲力。

人為給定一個(gè)初始力，通過彈簧質(zhì)點(diǎn)模型來初始化模型物理狀態(tài)。我們把應(yīng)力定義在三角形的面片上。本文以彎折薄片實(shí)驗(yàn)為例進(jìn)行敘述，初始受力狀態(tài)和方向如圖3所示。

圖3 金屬薄片的折疊受力圖

應(yīng)力和應(yīng)變是相輔相成的，通過每個(gè)面片上的每一幀的相對(duì)應(yīng)變，來計(jì)算整個(gè)薄片所有力導(dǎo)致的相對(duì)變形的總和，從而更新金屬薄片的新的坐標(biāo)和幾何狀態(tài)。

2.2 應(yīng) 變

(1)

圖4 變量示意圖

彎曲應(yīng)變，又可分為塑性彎曲應(yīng)變和彈性彎曲應(yīng)變。根據(jù)2013年Narain等[9]的應(yīng)變公式，我們初始化一個(gè)2×2的張量E來表示每個(gè)面片的總彎曲應(yīng)變：

(2)這里的le為邊的長度，te為參數(shù)空間垂直于邊的單位向量。當(dāng)彎曲變形發(fā)生時(shí)，將伴隨著的單元的彈性彎曲應(yīng)變和塑性彎曲應(yīng)變，我們假設(shè)塑性彎曲應(yīng)變?yōu)槌跏蓟癁榱愕?×2張量Ep，則彈性彎曲應(yīng)變可通過公式：Ee=E-Ep。我們通過以下表達(dá)式更新塑性彎曲應(yīng)變：

(3)

金屬薄片的彈塑性物理模型都是建立在以上討論的膜應(yīng)變和彎曲應(yīng)變的基礎(chǔ)上。通過2002年Eitan和Petr等[10]對(duì)于離散線性系統(tǒng)的研究可知，所有一維和二維單元都可表示為一個(gè)線性系統(tǒng)。我們通過1987年的Terzopoulos[11]使用的歐拉-拉格朗日公式來進(jìn)行運(yùn)動(dòng)方程的求解：

(4)

其中，M分別代表質(zhì)量矩陣，D為阻尼矩陣，fext表示物體所受外力。V(x)表示物體形狀為x時(shí)候的彈性勢(shì)能。當(dāng)我們得到每個(gè)單元的變形量和坐標(biāo)位移量，便可以采用2003年的Grinspun[12]中提到的Newmark方法進(jìn)行時(shí)間離散和幾何模型坐標(biāo)的更新，從而得到新的薄片形狀。

2.3 自適應(yīng)網(wǎng)格化

對(duì)幾何模型進(jìn)行重新網(wǎng)格化的目的就是為了能夠夠解決動(dòng)力學(xué)和視覺上的細(xì)節(jié)問題，并且能夠有效地捕捉到金屬薄片變形的細(xì)節(jié)：變形較大的區(qū)域網(wǎng)格細(xì)化，變形較小的地方網(wǎng)格粗化。

1996年Frank[13]在他的研究工作中提到，在黎曼幾何里面，由一個(gè)度量張量M定義距離的各向異性，用來衡量度量空間中距離及角度的二階張量。M是一個(gè)對(duì)稱的2×2的矩陣，不僅可以用來計(jì)算幾何中的兩個(gè)點(diǎn)的距離、角度，還可以計(jì)算三角形面積、三角形剖分等。其中三角剖分在我們的自適應(yīng)網(wǎng)格劃分中起到了很大的作用，它能夠利用各個(gè)條件來限制網(wǎng)格的邊長和大小，從而達(dá)到物理解和網(wǎng)格粗細(xì)程度耦合的效果。

網(wǎng)格尺寸的物理影響條件為：面片的彎曲性，速度梯度，障礙點(diǎn)和加勁肋。根據(jù)2004年Rusinkiewicz等[14]的研究工作中所討論的，速度條件張量：

(5)

根據(jù)Narain在2012年[15]的研究工作中提出的障礙點(diǎn)條件，利用以下公式進(jìn)行計(jì)算：

(6)

其中▽為參數(shù)空間有限元的梯度計(jì)算，di為面的第i個(gè)頂點(diǎn)到最近的障礙點(diǎn)向量。

3 加勁肋條件的優(yōu)化處理

基于物理?xiàng)l件對(duì)網(wǎng)格的影響，我們還考慮到，當(dāng)一個(gè)薄片承受壓力，是明顯不可能彎曲到垂直于現(xiàn)有的曲率的，對(duì)于金屬薄片則更加明顯。在本文模擬的對(duì)象金屬薄片中，我們把加勁肋的作用加在每條三角形的邊上以對(duì)金屬抗彎曲性能的加強(qiáng)。我們利用1997年Lobkovsky等[16]對(duì)加勁肋的研究工作的基礎(chǔ)上，對(duì)公式進(jìn)行了改進(jìn)，計(jì)算公式如下：

(7)

加勁肋對(duì)于邊的作用效果主要體現(xiàn)在不同的彎曲剛度系數(shù)kb。我們以條狀薄片為幾何模型做了彎曲實(shí)驗(yàn)，分別采取不同材料，產(chǎn)生如圖5所示的對(duì)比效果圖。

圖5 不同材質(zhì)薄片的彎折仿真效果圖

通過圖5，我們可以觀察到由于紙質(zhì)薄片材料偏軟，對(duì)其進(jìn)行彎折會(huì)產(chǎn)生一處折痕并且主要集中在中間，即網(wǎng)格加密處集中且密集程度大，因其抵抗變形的能力弱。而對(duì)于鋁制金屬材料，我們對(duì)其加勁肋做了加強(qiáng)處理，使得彎折的效果和網(wǎng)格變化與紙制材料相比產(chǎn)生了明顯的金屬變形特性：不容易在一處集中變形，其彎折也不會(huì)產(chǎn)生明顯的折痕，網(wǎng)格也不在一處集中加密。圖6為三種材料彎折后的三視圖。

圖6 三種材質(zhì)薄片彎折三視圖

4 重新網(wǎng)格化的優(yōu)化處理

(8)

5 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

本文設(shè)計(jì)了仿金屬?zèng)_壓實(shí)驗(yàn)，利用不同的沖壓模具，如三角板、球、四角板等，使薄片相對(duì)于模具以一個(gè)較大的初始力快速壓向模具，得到變化如圖7-圖9所示。

圖7 仿角鋼沖壓效果圖

圖8 仿槽鋼沖壓效果圖

圖9 仿易拉罐壓底效果圖

圖10分別為金屬薄片模型的參數(shù)空間網(wǎng)格圖、世界空間網(wǎng)格圖，以及渲染成型效果圖。對(duì)于上述實(shí)驗(yàn)結(jié)果，我們已經(jīng)從仿真結(jié)果圖上得到了部分較好的判斷，但在數(shù)據(jù)上，我們的評(píng)價(jià)和分析主要針對(duì)其形成的網(wǎng)格質(zhì)量。為此，我們對(duì)幾何模型點(diǎn)數(shù)據(jù)較龐大的模型的數(shù)據(jù)抽取將近4 000個(gè)點(diǎn)進(jìn)行網(wǎng)格質(zhì)量計(jì)算，然后把它們分成20個(gè)組，第一組為從中隨機(jī)抽取100個(gè)網(wǎng)格進(jìn)行計(jì)算取平均數(shù)，第二組為從中隨機(jī)抽取200個(gè)網(wǎng)格取平均數(shù)……依次類推，我們將這20個(gè)組里的每個(gè)數(shù)據(jù)繪制成兩個(gè)折線圖，如圖11和圖12所示。

圖10 金衣

圖11 Aspect Ratio統(tǒng)計(jì)折線圖

圖12 Edge Ratio統(tǒng)計(jì)折線圖

從折線統(tǒng)計(jì)圖可以看出，通過隨機(jī)抽取的大量網(wǎng)格數(shù)值的平均值，結(jié)果逐漸趨于平穩(wěn)，數(shù)值逐漸趨近于1，即生成的網(wǎng)格質(zhì)量接近于優(yōu)秀。雖然也有不夠優(yōu)秀的網(wǎng)格產(chǎn)生，但沒有產(chǎn)生不合格的網(wǎng)格。

6 結(jié) 語

針對(duì)金屬薄片通過彎折、沖壓成型等變形過程，給出了快速、有效的自適應(yīng)仿真框架。首先基于金屬薄片材料的幾何及物理特性，修改了自適應(yīng)重新網(wǎng)格化的加勁肋約束。然后對(duì)網(wǎng)格的最佳尺寸約束進(jìn)行了改進(jìn)，以模擬金屬的高延展性。最后給出了簡單高效的金屬薄片自適應(yīng)變形仿真的系統(tǒng)框架。

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ADAPTIVE DEFORMATION OF SHEET METAL

Sun Xiaopeng Hong Jinghui

(SchoolofComputerandInformationTechnology,LiaoningNormalUniversity,Dalian116000,Liaoning,China)

Aiming at the deformation process of sheet metal by bending and stamping, this paper proposes a fast and effective adaptive simulation framework for sheet metal deformation. Firstly, based on the geometrical and physical properties of the metal foil material, the adaptive re-meshed the stiffening rib restraint is modified. Then, the optimal size constraint of the mesh is modified to simulate the high ductility of the metal. Finally, a simple and efficient system framework for adaptive deformation simulation of sheet metal is presented. The experimental results show that the framework can be applied to any metal shell.

Sheet metal Plastic deformation Stretching bending Adaptive mesh Simulation

2016-04-18。國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(60873110)。孫曉鵬，教授，主研領(lǐng)域：計(jì)算機(jī)圖形學(xué)。洪靖惠，碩士生。

TP39

A

10.3969/j.issn.1000-386x.2017.05.012