劉尚 安效峰 陳明

（杭州應(yīng)用聲學(xué)研究所杭州310023）

基于壓縮感知的聲納成像信息重建技術(shù)研究

劉尚 安效峰 陳明

（杭州應(yīng)用聲學(xué)研究所杭州310023）

人類對(duì)海洋的探索發(fā)現(xiàn)中，由于水下環(huán)境復(fù)雜使得水下聲數(shù)據(jù)面臨著高速采集、壓縮和圖像重構(gòu)的問題。新興的壓縮感知理論提出，能用低采樣率高概率地重構(gòu)原始信號(hào)。論文研究了DCT和DWT兩種變換基對(duì)聲納圖像進(jìn)行稀疏表示，并改進(jìn)了一種在低采樣率下重建稀疏圖像的測(cè)量矩陣，通過仿真實(shí)驗(yàn)論證了該矩陣相對(duì)其他矩陣在低采樣率下有效提升了重構(gòu)圖像質(zhì)量，為利用少量數(shù)據(jù)重構(gòu)水下圖像提供了便利。

壓縮感知；水下圖像重構(gòu)；測(cè)量矩陣

Class NumberU666

1 引言

眾所周知，海洋面積占地球表面積的百分之七十一。近年來隨著地球人口的與日俱增，陸上資源的不斷消耗，海洋資源成為人類目光聚焦的新空間。不僅如此，海洋在各國(guó)軍事上的戰(zhàn)略地位也愈發(fā)凸顯，沿海國(guó)家對(duì)于維護(hù)國(guó)家安全意識(shí)也更加強(qiáng)烈。聲納是利用水下聲波對(duì)目標(biāo)進(jìn)行探測(cè)和定位的設(shè)備，因而水面艦艇、潛艇、水雷、魚雷、水下暗礁、魚群及其它能發(fā)出聲波或產(chǎn)生回波的水下物體，均可以作為聲納的探測(cè)目標(biāo)，聲納成像技術(shù)通過圖像可以獲得目標(biāo)的特征信息，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行目標(biāo)的識(shí)別和分類。

要實(shí)現(xiàn)水下聲圖像的高速傳輸，急需解決的問題是對(duì)圖像進(jìn)行高效的采集、壓縮和圖像重構(gòu)。壓縮感知（Compressed Sensing，CS）是近年來新興的一個(gè)理論，它打破了奈奎斯特采樣定理的限制，提出用少量數(shù)據(jù)就能重構(gòu)出較為理想的信號(hào)。本文主要研究壓縮感知理論和聲納圖像重構(gòu)技術(shù)的融合，改進(jìn)了一種基于壓縮感知的聲納圖像重構(gòu)的觀測(cè)矩陣，通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該方法在聲納圖像重構(gòu)中的可行性及高效性。

2 壓縮感知理論架構(gòu)

由Doho，Cades［1～2］及華裔科學(xué)家Tao等提出的壓縮感知理論表示：如果信號(hào)通過某種變換（如傅立葉變換，小波變換等）后，是可稀疏表示或可壓縮的，則可設(shè)計(jì)一個(gè)與變換基不相關(guān)的測(cè)量矩陣測(cè)量信號(hào)，對(duì)得到的測(cè)量值求解優(yōu)化，實(shí)現(xiàn)信號(hào)的精確或近似重構(gòu)［3］。聲納成像技術(shù)都需要采集大量的數(shù)據(jù)來進(jìn)行圖像重構(gòu)，而CS理論可以直接獲取少量包含絕大部分目標(biāo)信息的數(shù)據(jù)，經(jīng)過重構(gòu)得到需要的水下圖像。

壓縮感知理論主要包括三部分：一是信號(hào)的稀疏表示；二是設(shè)計(jì)測(cè)量矩陣，要在降低維數(shù)的同時(shí)保證原始信號(hào)x的信息損失最??；三是設(shè)計(jì)信號(hào)恢復(fù)算法，利用M個(gè)觀測(cè)值無失真地恢復(fù)出信號(hào)長(zhǎng)度為N的原始信號(hào)。

2.1 信號(hào)稀疏表示

假設(shè)信號(hào)x∈RN是空間中的一個(gè)N×1維信號(hào)，它可以表示為一組標(biāo)準(zhǔn)正交基的線性組合：式中變換系數(shù)αi=x，ψi，i=1，2，…，N；α=[α1，α2，…，αN]T是一個(gè)Nx1維的變換系數(shù)向量。如果公式中僅有K(K?N)個(gè)非零系數(shù)（或遠(yuǎn)大于零的系數(shù)）αi時(shí)，則稱信號(hào)x在基Ψ上是稀疏的（或是可壓縮的），稱Ψ為信號(hào)x的稀疏基，K為信號(hào)的稀疏度。顯然，向量x和α是同一個(gè)信號(hào)的等價(jià)表示，x是信號(hào)在時(shí)域（如語音信號(hào)）或空域（如圖像信號(hào)）的表示，α則是信號(hào)在Ψ域的表示。

信號(hào)的稀疏表示是CS理論應(yīng)用的基礎(chǔ)和前提，只有選擇合適的稀疏基來表示信號(hào)，才能保證信號(hào)的稀疏性，從而保證重構(gòu)精度。目前常用的稀疏變換［4］有離散傅里葉變換（DFT），離散余弦變換（DCT），離散小波變換（DWT），過完備冗余字典［5］等。

2.2 非相關(guān)測(cè)量

壓縮感知理論中對(duì)稀疏信號(hào)x的測(cè)量并不是直接測(cè)量信號(hào)x本身，而是通過非相關(guān)矩陣將高維信號(hào)x投影到低維空間上。設(shè)與信號(hào)x或是與變換基Ψ不相關(guān)的測(cè)量矩陣為Φ，維數(shù)為M×N(M＜＜N)，則CS理論的采樣過程可以表示為：

將式（1）代入式（2）中得到

式中，Θ=ΦΨ是M×N的矩陣，又稱為感知矩陣。構(gòu)造測(cè)量矩陣時(shí)最重要的是保證圖像投影時(shí)能盡可能多地把結(jié)構(gòu)信息等投影到測(cè)量矩陣上［6～7］，信

目前常用的重構(gòu)算法可以簡(jiǎn)略歸納為3類：最小l1范數(shù)法，貪婪算法，迭代閾值法。其中貪婪算法主要思想是通過迭代計(jì)算x的支撐集獲得重構(gòu)信號(hào)，具有低復(fù)雜度和簡(jiǎn)單幾何運(yùn)算的優(yōu)點(diǎn)。文獻(xiàn)［11，13］中描述了主要常用的貪婪算法，包括匹配追蹤MP算法（Matching Pursuit，MP），正交匹配追蹤OMP算法（Orthogonal Matching Pursuit，OMP），壓縮采樣匹配追蹤C(jī)OSAMP算法（Compressive Sampling Matching Pursuit，COSAMP），子空間追蹤SP（Subspace Pursuit）算法以及它們的改進(jìn)方法。息越完整重建圖像的質(zhì)量越好［8～9］。同時(shí)，選定圖像具有稀疏表達(dá)的稀疏基Ψ，且Φ與Ψ越不相關(guān)，圖像重建質(zhì)量越好。文獻(xiàn)［3］給出了兩種隨機(jī)測(cè)量矩陣：高斯隨機(jī)測(cè)量矩陣和貝努里測(cè)量矩陣。比較常用的還有稀疏測(cè)量矩陣、部分哈達(dá)瑪測(cè)量矩陣、托普利茲矩陣和循環(huán)矩陣等。

2.3 信號(hào)重構(gòu)算法

信號(hào)的重建［11］是從M維的測(cè)量信號(hào)y恢復(fù)N維原始信號(hào)x，由于直接解式（2）的逆問題是一個(gè)病態(tài)問題，無法求解。但是如果信號(hào)x具有稀疏性，式（3）的α中僅有K個(gè)非零系數(shù)，只要滿足M≥K，即可以通過求解式（3）的逆問題得到稀疏變換信號(hào)α，再代回式（1）就可以進(jìn)一步恢復(fù)出原始信號(hào)x，重構(gòu)算法過程如式（4）。

3 隨機(jī)測(cè)量矩陣研究

一般的托普利茲和循環(huán)矩陣具有以下的形式：

其中，T矩陣代表的是托普利茲矩陣，C矩陣表示的是循環(huán)矩陣，矩陣元素t是隨機(jī)的±1。

這兩種矩陣存在下面的缺點(diǎn)：1）矩陣的組成元素都是隨機(jī)向量產(chǎn)生的±1，且獨(dú)立的服從貝努利分布，利用行向量通過循環(huán)移位生成整個(gè)矩陣，元素的重復(fù)出現(xiàn)概率較大，容易造成列向量直接具有較大的相關(guān)性；2）構(gòu)造過程采用單一行循環(huán)的方式，列向量難以體現(xiàn)矩陣的獨(dú)立隨機(jī)性。

本文通過改變隨機(jī)向量的元素組成和調(diào)整部分元素的系數(shù)以提高列向量間的非相關(guān)性和獨(dú)立隨機(jī)性，改進(jìn)和構(gòu)造了新的測(cè)量矩陣——廣義穩(wěn)健循環(huán)矩陣。矩陣的構(gòu)造過程為：首先隨機(jī)生成長(zhǎng)度為N、元素為-1和1之間的隨機(jī)數(shù)向量u=[]

r1，r2，…，rn-1，rn作為測(cè)量矩陣的第一行，采用依次循環(huán)的方式獲得第二行至第M行，并且在構(gòu)造過程中剩余的M-1行對(duì)每次移到前端的元素乘以一個(gè)固定的系數(shù)a＞1，保證了列向量之間的線性獨(dú)立性。最后對(duì)M×N矩陣的列向量歸一化。如此優(yōu)化處理后的矩陣相比循環(huán)矩陣的列向量獨(dú)立隨機(jī)性增強(qiáng)、而其相關(guān)性大大降低。具體形式如式（6）式：

4 聲納圖像的實(shí)驗(yàn)仿真

本實(shí)驗(yàn)中選擇典型的256*256聲納沉船灰度圖像，如圖1所示。對(duì)圖像分別采用DCT和DWT變換基Ψ進(jìn)行稀疏變換，采用高斯隨機(jī)矩陣作為測(cè)量矩陣Φ對(duì)圖像進(jìn)行測(cè)量得到測(cè)量值y，采用正交匹配追蹤OMP算法求解出α后重構(gòu)出原始圖像。圖1～2是在采樣率為M/N=0.8，M/N=0.5時(shí)，利用DCT和DWT變換基對(duì)聲納圖像的重構(gòu)結(jié)果。

對(duì)于圖像的重建效果，通常采用峰值信噪比（PSNR）作為衡量的標(biāo)準(zhǔn)，PSNR是最普遍，使用最廣泛的評(píng)價(jià)圖像重建效果的客觀標(biāo)準(zhǔn)，它的定義為

其中，MSE是原圖像和處理圖像之間的均方誤差。由圖1～2及表1可以看出，DCT和DWT變換基在采樣率為0.8時(shí)可以高精度的重構(gòu)出原始聲納圖像。隨著采樣率變小，重構(gòu)圖像的信息量也隨之減少，重構(gòu)精度也變小。

表1 聲納圖像重構(gòu)誤差比較

由初步的聲納圖像重構(gòu)誤差比較數(shù)據(jù)可知，DCT變換較DWT變換的重構(gòu)誤差小。接下來的仿真實(shí)驗(yàn)對(duì)源圖像采用DCT變換基Ψ進(jìn)行稀疏變換，通過采用高斯隨機(jī)矩陣、托普利茲矩陣、部分正交矩陣、廣義穩(wěn)健循環(huán)矩陣、哈達(dá)瑪矩陣、隨機(jī)觀測(cè)矩陣等不同測(cè)量矩陣Φ得到圖像觀測(cè)值，再采用正交匹配追蹤OMP算法重構(gòu)出原始聲納圖像。具體重構(gòu)結(jié)果如圖3～圖4所示。

仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，諸多測(cè)量矩陣中托普利茲矩陣和廣義穩(wěn)健循環(huán)矩陣重建后的峰值信噪比略高于其他測(cè)量矩陣。隨著采樣率提高，重建圖像的峰值信噪比也增高，重構(gòu)誤差隨之減小。同時(shí)，在低采樣率條件下，本文改進(jìn)的廣義穩(wěn)健循環(huán)矩陣的圖像重建效果略高于托普利茲矩陣和其他測(cè)量矩陣，這為水下圖像稀疏采樣及高速傳輸，壓縮編碼時(shí)去冗余信息的方式上提供了新的方向。由試驗(yàn)數(shù)據(jù)可知將壓縮感知理論應(yīng)用于聲納圖像壓縮傳輸和存儲(chǔ)是一項(xiàng)可行的技術(shù)，通過改進(jìn)構(gòu)造合適的隨機(jī)測(cè)量矩陣，在少量投影值中包含足夠的原始圖像信息，即可高概率的重建原圖像。

5 結(jié)語

制約成像系統(tǒng)發(fā)展的瓶頸問題主要是信息采樣，壓縮感知理論為其提供了一種新的思路。本文將壓縮感知的方法運(yùn)用到聲納圖像的低采樣率重建中，研究了在離散余弦變換和離散小波變換基下聲納圖像的重建效果比較。并根據(jù)測(cè)量矩陣的隨機(jī)性原則，改進(jìn)了一種稀疏聲納圖像壓縮感知的測(cè)量矩陣。通過性能分析和仿真實(shí)驗(yàn)，從視覺效果和圖像PSNR方面可見，稀疏圖像的重建效果和精度都得到一定提高。

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Research for Sonar Image Information Reconstruction Based on Compressed Sensing

LIU ShangAN XiaofengCHEN Ming
（Hangzhou Applied Acoustics Institute，Hangzhou310023）

Humans are faced the problems with high-speed sampling，compressing and image reconstruction due to complex underwater environment in the process of the discovery for oceans.Recently the new theory of compressed sensing is proposed，in which the signal can be reconstructed in high-probability by a low sampling rate.This paper has researched the sparse representation for the sonar image by the conversion called DCT and DWT.It improves a measurement matrix when the sparse image can be reconstructed.Simulation results demonstrate that the matrix can obviously enhance the sparse image reconstruction quality against others，which provides convenience for the reconstruction by using less data.

compressed sensing，under image reconstruction，measurement matrix

U666

10.3969/j.issn.1672-9730.2017.06.030

2016年12月19日，

2017年1月23日

劉尚，男，碩士，助理工程師，研究方向：聲納信息處理。