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        一道預賽題的再探究

        2017-06-28 15:47:23廣東省珠海市實驗中學高中部519090唐生萬
        中學數(shù)學研究(江西) 2017年6期
        關鍵詞:外心預賽珠海市

        廣東省珠海市實驗中學高中部 (519090) 唐生萬

        一道預賽題的再探究

        廣東省珠海市實驗中學高中部 (519090)
        唐生萬

        上述問題1為2012年全國高中數(shù)學聯(lián)賽湖北省預賽試題.本文在此將給出上述問題的一般化探究,同時對三角形的外心、重心、垂心等類似問題作進一步探究,希望對讀者有所幫助.

        ΔABC中,AB=c,BC=a,AC=b,我們不妨提出如下更一般性的問題:

        事實上,對于問題2,我們有如下結論:

        圖1

        大家知道,三角形的四心(重心、內(nèi)心、外心、垂心)常常作為各級各類考試的熱點問題,類似于問題2,我們不禁提出如下問題:

        對于上述問題,類似于結論2,我們也可得到如下結果:

        證明:若O為ΔABC的重心,不難求得x∶y∶z=1∶1∶1.

        若b2+c2≠a2,則由(*)式方程組解得

        綜上所述,若O為ΔABC的外心,則x∶y∶z=a2(b2+c2-a2)∶b2(c2+a2-b2)∶c2(a2+b2-c2).

        故(**)式可轉(zhuǎn)化為

        不難驗證此時x∶y∶z=[a4-(b2-c2)2]∶[b4-(c2-a2)2]∶[c4-(a2-b2)2].

        綜上所述,若O為ΔABC的垂心,則x∶y∶z=

        [a4-(b2-c2)2]∶[b4-(c2-a2)2]∶[c4-(a2-b2)2].

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