趙建學(xué)，俞 翔，柴 凱，楊慶超

（1.海軍工程大學(xué) 動(dòng)力工程學(xué)院，武漢 430033； 2.海軍工程大學(xué) 科研部，武漢 430033）

柔性基礎(chǔ)準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)全局性態(tài)分析

趙建學(xué)1，俞 翔2，柴 凱1，楊慶超2

（1.海軍工程大學(xué) 動(dòng)力工程學(xué)院，武漢 430033； 2.海軍工程大學(xué) 科研部，武漢 430033）

以具有柔性基礎(chǔ)的準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)為對象，建立非線性隔振系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，并在大參數(shù)范圍內(nèi)分析其分岔特性。利用點(diǎn)映射方法并選取多個(gè)分析平面研究系統(tǒng)吸引子及其吸引域等全局特性，分析周期吸引子共存現(xiàn)象。研究表明，準(zhǔn)零剛度非線性隔振系統(tǒng)隨激勵(lì)力幅值的變化呈現(xiàn)出非常復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)特性，多處出現(xiàn)吸引子共存現(xiàn)象，周期3運(yùn)動(dòng)的出現(xiàn)使得系統(tǒng)已經(jīng)對初始條件具有了一定的敏感性。

振動(dòng)與波；準(zhǔn)零剛度；全局性態(tài)；分岔；周期吸引子共存

準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)因具有良好的低頻隔振效果[1–2]，在艦船動(dòng)力設(shè)備振動(dòng)噪聲控制領(lǐng)域有著廣闊的應(yīng)用前景。然而，非線性系統(tǒng)的多值性本質(zhì)使得準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)可能存在多個(gè)吸引子，系統(tǒng)運(yùn)行在不同的吸引子時(shí)具有不同的隔振效果，因此有必要對準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的吸引子及其吸引域進(jìn)行詳細(xì)分析，這對于準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)設(shè)計(jì)和基于準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的主動(dòng)控制算法研究具有重要意義。

自Alabuzhev[3]提出準(zhǔn)零剛度的概念以來，很多學(xué)者對準(zhǔn)零剛度隔振器進(jìn)行了研究工作，包括準(zhǔn)零剛度隔振器的設(shè)計(jì)及動(dòng)力學(xué)分析[4–11]。準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析方法大致有兩大類，一是求出系統(tǒng)近似解的定量分析法，比如諧波平衡法[5]、平均法[6]、多尺度法[7]等，分析系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性。二是可直觀表示解的主要性質(zhì)及特征的數(shù)值分析方法[9–11]，主要用于系統(tǒng)吸引子、相軌跡和相平面等性質(zhì)的分析。孟令帥等設(shè)計(jì)了一種由碟形彈簧負(fù)剛度機(jī)構(gòu)與線性正剛度彈簧并聯(lián)的準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)，分別建立了系統(tǒng)在簡諧力和簡諧位移激勵(lì)下的非線性動(dòng)力學(xué)方程，并運(yùn)用平均法進(jìn)行動(dòng)力學(xué)特性研究[6]。韓彥偉建立了5階準(zhǔn)零剛度非線性隔振系統(tǒng)，并定性分析了激勵(lì)幅值、阻尼比及激勵(lì)頻率對系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)行為的影響，研究了系統(tǒng)的倍周期分岔和混沌等復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為[9]。張?jiān)掠⒔⒘藴?zhǔn)零剛度系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，并定性分析了簡諧激勵(lì)作用下準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的分岔特性[11]。

本文針對具有柔性基礎(chǔ)的準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)，建立了系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，運(yùn)用數(shù)值分析方法研究了系統(tǒng)在較大參數(shù)范圍內(nèi)的分岔特性，并利用點(diǎn)映射方法得到了典型參數(shù)下系統(tǒng)的全局性態(tài)。

1 柔性基礎(chǔ)準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)模型

艦船動(dòng)力設(shè)備隔振系統(tǒng)基座應(yīng)是具有一定機(jī)械阻抗的柔性基礎(chǔ)，若按照經(jīng)典隔振理論以絕對剛性基礎(chǔ)來計(jì)算和分析，則會(huì)使得計(jì)算得到的隔振效果有所降低[12]。并且對于準(zhǔn)零剛度這樣的非線性系統(tǒng)來說，還會(huì)使得其非線性動(dòng)力學(xué)特性與實(shí)際的艦船動(dòng)力設(shè)備隔振系統(tǒng)有較大差別。為更合理地描述和分析艦船動(dòng)力設(shè)備準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)全局性態(tài)，首先建立具有柔性基礎(chǔ)的準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)模型。

若僅考慮柔性基礎(chǔ)的第一階模態(tài)（模態(tài)綜合法）或者1階基函數(shù)（里茲—瑞利法），則可將柔性基礎(chǔ)等效為一個(gè)由彈簧和阻尼支撐的質(zhì)量塊，其剛度、質(zhì)量分別為1階等效剛度和一階等效質(zhì)量，阻尼則取較小的阻尼值。假設(shè)只考慮豎直方向上的振動(dòng)，柔性基礎(chǔ)準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為了兩自由度隔振系統(tǒng)，如圖1所示。

圖1 準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)示意圖

以向上為正方向，可得

kqzs、k2分別表示準(zhǔn)零剛度隔振器非線性剛度，基座等效剛度；c1、c2分別表示非線性準(zhǔn)零剛度隔振器阻尼，基座等效阻尼；Y1、Y2分別表示被隔振設(shè)備位移，基座位移；m1、m2分別表示被隔振設(shè)備質(zhì)量，基座等效質(zhì)量；FcosΩT表示加在隔振設(shè)備上的激勵(lì)。

令

則（1）式轉(zhuǎn)化為無量綱非線性系統(tǒng)模型

2 分岔特性分析

為獲取柔性基礎(chǔ)準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)全局性態(tài)，需對其在較大參數(shù)范圍內(nèi)以及整個(gè)相空間中的分岔特性進(jìn)行詳細(xì)分析。由于篇幅所限，本文僅對系統(tǒng)隨激勵(lì)力幅值變化的分岔特性進(jìn)行研究，即固定系統(tǒng)式（2）的激勵(lì)力頻率ω=1.6，而以激勵(lì)力幅值f為分岔分析的控制參數(shù)。

采用延拓算法，即將在fn求得的解直接作為fn+1=fn+Δf時(shí)的初始條件。令w=0.5，G=0.1，ξ1=0.05，ξ2=0.15，取初始值為x1=0，x?1=0，x2=0，x?2=0，將f在0～50 Hz范圍內(nèi)向前延拓得到所有的解枝在分岔圖上表示出來。

圖2所示為f在0～50范圍內(nèi)所有的解枝，從圖2可以看出系統(tǒng)存在周期運(yùn)動(dòng)（包括周期1，周期2，周期3等）、準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)以及混沌運(yùn)動(dòng)。下面分區(qū)域?qū)ο到y(tǒng)分岔特性進(jìn)行討論與分析。

圖2 系統(tǒng)隨激勵(lì)力幅值變化的分岔圖(0≤f≤50)

0≤f≤5時(shí)，分岔情況如圖3所示。

f＜1.43時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)為周期1運(yùn)動(dòng)。f=1.43時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)由周期1運(yùn)動(dòng)突變?yōu)榱硪粋€(gè)周期1運(yùn)動(dòng)。f=4.14時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)通過Hopf分岔變?yōu)闇?zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)。f=4.57時(shí)，系統(tǒng)進(jìn)入混沌狀態(tài)。f=4.86時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)變?yōu)橹芷?運(yùn)動(dòng)。4≤f≤5范圍內(nèi)最大Lyapunov指數(shù)如圖4所示。

從圖上可以清楚地看到，系統(tǒng)處于準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)時(shí)，其最大Lyapunov指數(shù)為零。

5≤f≤9時(shí)，分岔情況如圖5所示。f＜6.04時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)仍為周期3運(yùn)動(dòng)。f=6.04時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)由一個(gè)周期3運(yùn)動(dòng)變?yōu)榱硪粋€(gè)周期3運(yùn)動(dòng)。f=7.04時(shí)，系統(tǒng)由周期3運(yùn)動(dòng)變?yōu)橹芷?運(yùn)動(dòng)。

圖3 系統(tǒng)隨激勵(lì)力幅值變化的分岔圖(0≤f≤5)

圖4 最大Lyapunov指數(shù)與分岔圖(4≤f≤5)

圖5 系統(tǒng)隨激勵(lì)力幅值變化的分岔圖(5≤f≤9)

9≤f≤19時(shí)，分岔情況如圖6所示。

圖6 系統(tǒng)隨激勵(lì)力幅值變化的分岔圖(9≤f≤19)

f＜9.84時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)為周期1運(yùn)動(dòng)。f=9.84時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)由周期1運(yùn)動(dòng)通過Hopf分岔變?yōu)闇?zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)，并于f=10.02時(shí)，系統(tǒng)進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。f=10.88時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)由一個(gè)混沌運(yùn)動(dòng)變?yōu)榱硪粋€(gè)混沌運(yùn)動(dòng)。f=12.59時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)由混沌運(yùn)動(dòng)變成周期1運(yùn)動(dòng)。f=16.77時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)由周期1分岔為周期2運(yùn)動(dòng)。9≤f≤13范圍內(nèi)的最大Lyapunov指數(shù)圖如圖7所示?？梢钥闯?，當(dāng)系統(tǒng)處于準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)時(shí)，最大Lyapunov指數(shù)等于零。

圖7 最大Lyapunov指數(shù)與分岔圖(9≤f≤13)

19≤f≤32時(shí)，分岔情況如圖8所示。

圖8 系統(tǒng)隨激勵(lì)力幅值變化的分岔圖(19≤f≤32)

f＜19.36時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)仍為周期 2運(yùn)動(dòng)。f=19.36時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)由周期2運(yùn)動(dòng)變?yōu)榛煦邕\(yùn)動(dòng)。f=20.40時(shí)，系統(tǒng)由混沌運(yùn)動(dòng)變?yōu)闇?zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)，并于f=23.11時(shí)變?yōu)榱硪粋€(gè)混沌運(yùn)動(dòng)。f=29.10時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)由混沌運(yùn)動(dòng)變?yōu)橹芷?運(yùn)動(dòng)。19≤f≤30范圍內(nèi)的最大Lyapunov指數(shù)圖如圖9所示?？梢钥闯?，系統(tǒng)處于準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)時(shí)，最大Lyapunov指數(shù)等于零。

圖9 最大Lyapunov指數(shù)與分岔圖(19≤f≤30)

32≤f≤50時(shí) ，分岔情況如圖 10所示。f＜38.78時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)仍為周期1運(yùn)動(dòng)。f=38.78時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)由一個(gè)周期1運(yùn)動(dòng)變?yōu)榛煦邕\(yùn)動(dòng)。f=48.48時(shí)，系統(tǒng)由混沌運(yùn)動(dòng)變?yōu)橹芷?運(yùn)動(dòng)。

38≤f≤50范圍內(nèi)最大Lyapunov指數(shù)如圖11所示。可以看到，系統(tǒng)響應(yīng)是混沌運(yùn)動(dòng)時(shí)，最大Lyapunov指數(shù)大于零。

圖10 系統(tǒng)隨激勵(lì)力幅值變化的分岔圖(32≤f≤50)

圖11 最大Lyapunov指數(shù)與分岔圖(38≤f≤50)

3 全局性態(tài)分析

上面詳細(xì)描述了f在0～50 Hz范圍內(nèi)向前延拓得到的分岔圖，實(shí)際上，非線性系統(tǒng)在多個(gè)參數(shù)區(qū)間將出現(xiàn)多個(gè)吸引子共存現(xiàn)象，為分析系統(tǒng)在0≤f≤50的全部吸引子共存情況，為全局性態(tài)分析提供依據(jù)，將向前延拓和向后延拓得到的分岔情況畫在同一個(gè)圖上，如圖12所示。向前延拓表示f由小變大，向后延拓表示f由大變小。

圖12 系統(tǒng)隨激勵(lì)力幅值變化的分岔圖(0≤f≤50)

從圖12中可以清楚地看到系統(tǒng)存在吸引子共存現(xiàn)象，且系統(tǒng)在混沌或準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)附近時(shí)，更容易出現(xiàn)吸引子共存。如，當(dāng)f=1和f=30時(shí)，都存在兩個(gè)周期1吸引子；當(dāng)f=5.5和f=6.5時(shí)，都存在一個(gè)周期3吸引子和一個(gè)周期1吸引子。為進(jìn)一步得到這些共存的吸引子及吸引域，利用點(diǎn)映射方法（PMM）進(jìn)行計(jì)算。

選取f=1。由分岔圖可看到，此時(shí)系統(tǒng)存在兩個(gè)周期1吸引子，如圖13(a)、圖13(b)所示。

分析平面選為-2≤x1≤1，-1≤x?1≤2，其它初始條件固定為x2=0，x?2=0得到吸引子及其吸引域圖。如圖14(a)所示，灰色區(qū)域表示周期1運(yùn)動(dòng)的吸引域，白色“+”為周期1吸引子。黑色區(qū)域表示另一個(gè)周期1運(yùn)動(dòng)的吸引域，白色“o”表示其吸引子。

同樣是選取f=1。分析平面選為-1≤x2≤1.5，-1≤x?2≤1，其它初始條件固定為x1=0，x?1=0，得到吸引子及其吸引域圖。如圖14 (b)所示，灰色區(qū)域表示周期1運(yùn)動(dòng)的吸引域，白色“+”為周期1吸引子。黑色區(qū)域表示另一個(gè)周期1運(yùn)動(dòng)的吸引域，白色“o”表示其吸引子。

圖13 共存吸引子的相圖以及Poincare映射點(diǎn)(f=1)

圖14 吸引子及其吸引域圖（f=1）

選取f=6.5。由分岔圖可看到，此時(shí)系統(tǒng)存在一個(gè)穩(wěn)定的周期3吸引子和一個(gè)周期1吸引子，如圖15所示。

分析平面選為-5≤x1≤5，-18≤x?1≤18，其它初始條件固定為x2=0，x?2=0得到吸引子及其吸引域圖。如圖16(a)所示，黑色區(qū)域表示周期1運(yùn)動(dòng)的吸引域，白色“o”為周期1吸引子?；疑珔^(qū)域表示周期3運(yùn)動(dòng)的吸引域，白色“+”表示周期3吸引子。將圖19(a)上黑色邊框標(biāo)識(shí)的區(qū)域放大，即將分析區(qū)域選為-3.5≤x1≤-3，-8.1≤x?1≤-5.1，得到圖16(b)，可清晰地看到吸引域邊界。

對比圖14(a)、圖16(a)，當(dāng)可以看出f=6.5時(shí)，其吸引域邊界比f=1時(shí)要復(fù)雜得多，兩個(gè)吸引子的吸引域相互交織在一起，這說明周期3運(yùn)動(dòng)的出現(xiàn)，使得系統(tǒng)已經(jīng)對初始條件具有了一定的敏感性。

同樣是f=6.5，選取-6≤x2≤6，-15≤x?2≤15為分析平面，其它初始條件固定為x1=0，x?1=0，得到吸引子及其吸引域圖。如圖17所示。

黑色區(qū)域表示周期1運(yùn)動(dòng)的吸引域，白色“o”為周期1吸引子?；疑珔^(qū)域表示周期3運(yùn)動(dòng)的吸引域，白色“+”表示周期3吸引子。與圖16(a)相比，可以看出吸引子的吸引域有很大變化。

圖15 共存吸引子的相圖以及Poincare映射點(diǎn)(f=6.5)

圖16 吸引子及其吸引域圖（f=6.5）

圖17 吸引子及吸引域圖(x2x?2分析平面)

4 結(jié)語

通過建立柔性基礎(chǔ)準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)模型，分析了其在較大參數(shù)區(qū)域內(nèi)的分岔特性，并利用點(diǎn)映射方法對其吸引子和吸引域進(jìn)行了分析，可以得到如下結(jié)論：

（1）以上分析表明，準(zhǔn)零剛度非線性隔振系統(tǒng)隨激勵(lì)力幅值的變化呈現(xiàn)出非常復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)特性，多處出現(xiàn)吸引子共存現(xiàn)象。

（2）周期3運(yùn)動(dòng)的出現(xiàn)，使得系統(tǒng)已經(jīng)對初始條件具有了一定的敏感性。

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Global BehaviorAnalysis of the Quasi-zero Stiffness Vibration Isolation System with Flexible Foundation

ZHAO Jian-xue1,YU Xiang2,Chai Kai1,YANG Qing-chao2
(1.College of Power Engineering,Naval University of Engineering,Wuhan 430033,China; 2.Office of Research and Development,Naval University of Engineering,Wuhan 430033,China)

With the quasi-zero stiffness isolation system on a flexible foundation as an object,the dynamic model of the nonlinear vibration isolation system is established and its bifurcation characteristics are analyzed in a large range of parameters.The attractor and its attracting basins are investigated by using the point mapping method and selecting several analytical planes.The coexistence of periodic attractors is analyzed.The results show that the quasi-zero stiffness nonlinear vibration isolation system exhibits a very complicated dynamic behavior with the change of amplitude of the excitation force,and the coexisting of attractors.The occurrence of motion of period 3 makes the system to have some sensitivity to the initial conditions.

vibration and wave;quasi-zero stiffness;global behavior;bifurcation;coexisting of periodic attractor

O328

：A DOI編碼：10.3969/j.issn.1006-1355.2017.03.004

1006-1355(2017)03-0019-05+51

2017-01-04

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51679245)；國家自然科學(xué)基金青年科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51509253)

趙建學(xué)（1992－），男，河北省保定市人，碩士生，主要研究方向?yàn)檎駝?dòng)與噪聲控制。

俞翔（1978－），男，高級工程師，主要研究方向?yàn)檎駝?dòng)與噪聲控制。E-mail：:yuxiang898@sina.com