周明華，周婷婷，張敏凱

(1.浙江工業(yè)大學(xué) 健行學(xué)院，浙江 杭州 310023；2.浙江工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，浙江 杭州 310023)

基于高頻數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)套利組合策略研究

周明華1，周婷婷2，張敏凱2

(1.浙江工業(yè)大學(xué) 健行學(xué)院，浙江 杭州 310023；2.浙江工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，浙江 杭州 310023)

采用滬深300股指期貨當(dāng)月連續(xù)合約與次月連續(xù)合約的1min高頻數(shù)據(jù)，借鑒組合思想，引入伯努利隨機(jī)變量，將GARCH(廣義自回歸條件異方差模型)模型與Ornstein-Uhlenbeck模型進(jìn)行組合，設(shè)計(jì)出新的統(tǒng)計(jì)套利組合策略，并在改進(jìn)的統(tǒng)計(jì)套利策略的基礎(chǔ)上進(jìn)行套利.我們采用動(dòng)態(tài)交易的方式對(duì)改進(jìn)后的交易策略的實(shí)際交易效果和模型的有效性進(jìn)行檢驗(yàn)，實(shí)證檢驗(yàn)結(jié)果表明：對(duì)單一套利模型進(jìn)行組合是必要的，組合后的整體套利收益水平相較單一模型套利收益來說明顯提高了.

高頻數(shù)據(jù)；GARCH；Ornstein-Uhlenbeck；組合策略；伯努利變量

目前，國內(nèi)外針對(duì)統(tǒng)計(jì)套利的很多研究是結(jié)合一些人工智能方法與統(tǒng)計(jì)套利模型.Nikos等[1-2]將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法與GARCH模型結(jié)合設(shè)計(jì)了一個(gè)新的統(tǒng)計(jì)套利模型.Triantafyllopoulos等[3]將時(shí)變狀態(tài)空間模型、貝葉斯方法兩者組合，構(gòu)建了時(shí)變貝葉斯自回歸模型來模擬了價(jià)差的均值回復(fù)過程.伍娟[4]，楊懷東[5]將卡爾曼濾波模型、協(xié)整模型相結(jié)合，提出新的統(tǒng)計(jì)套利模型來解決協(xié)整系數(shù)的時(shí)變性問題.王紅麗[6]基于對(duì)單一波動(dòng)預(yù)測模型的優(yōu)勢和不足進(jìn)行比較分析，同時(shí)考慮時(shí)變性情況，對(duì)單一模型配置變權(quán)重，構(gòu)建提出了時(shí)變組合預(yù)測模型，并將其應(yīng)用于滬深300股指期貨波動(dòng)的預(yù)測中，取得了較好的擬合和預(yù)測效果.張福余[7]將傳統(tǒng)協(xié)整模型和狀態(tài)空間模型結(jié)合，來達(dá)到時(shí)變參數(shù)的要求，并利用卡爾曼濾波算法估計(jì)參數(shù)，然后用時(shí)變的協(xié)整模型來擬合價(jià)差序列，尋找套利機(jī)會(huì).雖然國內(nèi)外一些學(xué)者也利用了組合思想，將一些人工智能算法引入到統(tǒng)計(jì)套利模型中，但很少有學(xué)者對(duì)單一統(tǒng)計(jì)套利模型的組合方法進(jìn)行研究.

針對(duì)某一問題，從不同的角度和建模方式考慮，可以有不一樣的預(yù)測方法.但單一套利模型并不在每一時(shí)段都有最優(yōu)的預(yù)測效果.為此，選取了幾種套利模型，對(duì)期貨的當(dāng)月合約和次月合約在2014年到2015年的1 min高頻數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證分析，發(fā)現(xiàn)各模型在各個(gè)時(shí)間段套利的套利次數(shù)、套利成功次數(shù)、累積收益率、平均單次收益率等都不存在一致變動(dòng)現(xiàn)象，套利結(jié)果在某一時(shí)段效果好，另一時(shí)段效果并不一定好.因此可以考慮各模型的優(yōu)點(diǎn)，將模型組合進(jìn)行套利.在這里選取基于GARCH的統(tǒng)計(jì)套利方法和基于Ornstein-Uhlenbeck的統(tǒng)計(jì)套利方法，利用伯努利隨機(jī)變量，將兩種模型策略有效組合起來，然后在改進(jìn)的統(tǒng)計(jì)套利策略的基礎(chǔ)上進(jìn)行套利，并與僅使用基于GARCH模型的套利結(jié)果和僅使用基于Ornstein-Uhlenbeck模型的套利結(jié)果相比較，發(fā)現(xiàn)采用組合策略進(jìn)行統(tǒng)計(jì)套利時(shí)，其累計(jì)收益率均大于采取單一模型進(jìn)行套利時(shí)的累計(jì)收益率，達(dá)到了增加收益的目的，表明組合策略是有效的.

1 統(tǒng)計(jì)套利模型

1.1 價(jià)差序列的計(jì)算

選取滬深300股指期貨合約的當(dāng)月合約IFL0和次月合約IFL1，設(shè)兩合約在t時(shí)刻的價(jià)格分別為Ft和FT，則價(jià)差為

spreadt=FT-Ft

(1)

為了更方便地查看價(jià)差波動(dòng)情況，對(duì)價(jià)差序列去中心化操作(價(jià)差與價(jià)差平均值的差)，所得殘差序列為

Mspreadt=spreadt-mean(spreadt)

(2)

1.2 基于GARCH模型

對(duì)每一期的滬深300股指期貨去中心化殘差序列Mspreadt進(jìn)行自相關(guān)和偏相關(guān)分析，得出Mspreadt～AR(p1)，即

Mspreadt=α1Mspreadt-1+α2Mspreadt-2+…+αp1Mspreadt-p1+residualt

(3)

再建立條件異方差函數(shù)為

residualt～σtet

(4)

ω>0,ηi≥0,λj≥0

式中et～N(0,1).

由式(3)可知：下一期的殘差residualt+l為

residualt+l=Mspreadt+l-α1Mspreadt+l-1-α2Mspreadt+l-2-…-αp1Msrpeadt+l-p1

(5)

同樣，可以通過式(4)得出下一期的方差σt+l.

1.3 基于Ornstein-Uhlenbeck模型

Ornstein-Uhlenbeck[8-10]是一類隨機(jī)過程，它是平穩(wěn)的，且具有馬爾科夫性質(zhì)和均值回復(fù)性質(zhì)，服從正態(tài)分布.而統(tǒng)計(jì)套利的本質(zhì)就是利用價(jià)差序列的均值回復(fù)特性進(jìn)行對(duì)沖交易而獲利，因此Ornstein-Uhlenbeck過程可以用來刻畫期貨價(jià)差時(shí)間序列的均值回復(fù)特征.假設(shè)每一期的殘差序列Mspreadt服從Ornstein-Uhlenbeck過程，即

d(Mspreadt)=(-ρ·Mspreadt)dt+σdWt

(6)

式中：Wt為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)；ρ，σ分別為常數(shù).

對(duì)式(6)兩邊同乘以eρt并整理得

d(eρtMspreadt)=σeρtdW

(7)

對(duì)式(7)在區(qū)間[t,t+Δt]上積分并整理得

(8)

因?yàn)檠芯康臄?shù)據(jù)為1 min高頻數(shù)據(jù)，故取Δt=1，則由式(8)可得

Mspreadt+1=b·Mspreadt+ξt

(9)

把式(9)看作是Mspreadt的自回歸過程，則可以通過對(duì)Mspreadt做一階自回歸得到b和Var(ξt)，由此得

b=-ln(ρ)

(10)

因此，可以通過Ornstein-Uhlenbeck模型來刻畫殘差序列的均值回復(fù)過程，并設(shè)計(jì)套利交易信號(hào)點(diǎn).

1.4 動(dòng)態(tài)套利交易策略

由于股指期貨數(shù)據(jù)不是一成不變的，隨著套利交易的不斷進(jìn)行，當(dāng)歷史數(shù)據(jù)離當(dāng)前的時(shí)刻越久，它對(duì)于套利預(yù)測的影響就越低，其對(duì)于當(dāng)前時(shí)刻的預(yù)測價(jià)值的影響效果超過處理數(shù)據(jù)的技術(shù)成本.靜態(tài)的統(tǒng)計(jì)套利策略很難滿足現(xiàn)實(shí)交易環(huán)境的需求.為此，采用滾動(dòng)交易的方式[11]，即根據(jù)選定的窗口L，以前L個(gè)數(shù)據(jù)作為第一期，對(duì)其進(jìn)行建模來預(yù)測第L+1個(gè)數(shù)據(jù)的殘差和方差，然后對(duì)第L+1個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行交易.再刪除第一個(gè)數(shù)據(jù)，以第2～(L+1)個(gè)數(shù)據(jù)作為第二期，對(duì)其進(jìn)行建模來預(yù)測第L+2個(gè)數(shù)據(jù)的殘差和方差，然后對(duì)第L+2個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行交易，以此類推.

2 交易信號(hào)的設(shè)計(jì)

2.1 原始統(tǒng)計(jì)套利模型的交易信號(hào)設(shè)計(jì)

通過上述模型計(jì)算得到殘差residualt+1與下一期的方差σt+1，假設(shè)統(tǒng)計(jì)套利的開倉交易閥值λ1，平倉交易閥值λ2，止損交易閥值λ3，其中λ3>λ1>λ2.則在residualt+1≥|λ1σt+1|時(shí)開倉.在residualt+1≤|λ2σt+1|時(shí)平倉，當(dāng)|residualt+1|≥λ3σt+1時(shí)強(qiáng)制平倉.

2.2 改進(jìn)的統(tǒng)計(jì)套利模型的交易信號(hào)設(shè)計(jì)

楊立勇[12]提出了一種統(tǒng)計(jì)套利策略，其原理為當(dāng)價(jià)差超越上邊界時(shí)建立買賣頭寸，待到將來序列波動(dòng)至反向下界以下時(shí)平倉，同時(shí)再建立下一輪套利的頭寸，再到下一個(gè)時(shí)刻序列波動(dòng)至上邊界以上時(shí)，進(jìn)行平倉，同時(shí)再建立下一輪操作的頭寸，以此不斷的持續(xù)下去.該策略的上下邊界的取值只考慮了關(guān)于均衡價(jià)差的對(duì)稱性，在該策略基礎(chǔ)上，提出了改進(jìn)的統(tǒng)計(jì)套利模型交易策略.

圖1 改進(jìn)的統(tǒng)計(jì)套利策略交易信號(hào)示意圖Fig.1 Schematic diagram of trading signals for improved statistical arbitrage strategy

假設(shè)統(tǒng)計(jì)套利的上界閥值λ1，下界閥值λ2，止損交易閥值λ3，其中λ3>λ1>0>λ2.當(dāng)所選的近月遠(yuǎn)月合約的價(jià)差residualt+1>λ1σt+1或(residualt+1<λ2σt+1)時(shí)，可采用買入近月合約賣出遠(yuǎn)月合約(或買入遠(yuǎn)月合約賣出近月合約)的套利策略.當(dāng)實(shí)施跨期套利后，如果發(fā)現(xiàn)residualt+1<λ2σt+1或(residualt+1>λ1σt+1)時(shí)，就將兩份合約同時(shí)平倉，套利終止.同時(shí)在合約平倉時(shí)刻的價(jià)位再次開倉，采取買入遠(yuǎn)月合約賣出近月合約(或買入近月合約賣出遠(yuǎn)月合約)的套利策略.直到遠(yuǎn)近合約組合的最后一個(gè)數(shù)據(jù).另外，為了避免較大虧損，設(shè)置止損信號(hào)，當(dāng)|residualt+1|≥λ3σt+1時(shí)強(qiáng)制平倉.

2.3 計(jì)算最優(yōu)閥值

依據(jù)總收益率最大的原則，建立以總收益率為目標(biāo)函數(shù)的閥值優(yōu)化模型為

s.t.λ3>λ1>λ2

其中：N為交易次數(shù)；Ri為第i次交易所得收益率.該最優(yōu)化問題通過遺傳算法求解.

3 組合套利策略

(11)

定義組合策略選擇函數(shù)為

f(yt)=ytM1+(1-yt)M2

(12)

于是，y1,y2,…,yn的似然函數(shù)為

4 實(shí)證分析

考慮股指期貨的單邊交易成本為0.000 04，保證金比率13%，合約乘數(shù)300.因?yàn)樵谔桌灰走^程中只涉及2張合約，故不考慮隱形成本[14-16].

實(shí)證數(shù)據(jù)采用2013年12月23日到2014年12月19日期間的滬深300股指期貨的當(dāng)月合約和次月合約的1min數(shù)據(jù).由于篇幅限制關(guān)系，就考慮股指期貨當(dāng)月合約IF1412和下月合約IF1501的1min數(shù)據(jù)，時(shí)間段為2014年11月24日到2014年12月19日，合計(jì)20d和5 440個(gè)數(shù)據(jù).

4.1 協(xié)整檢驗(yàn)

首先，選取IF1412和IF1501的1min高頻數(shù)據(jù)序列進(jìn)行平穩(wěn)性分析.采用ADF(單位根)檢驗(yàn)的方法，對(duì)兩序列及其一階差分序列進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)，檢驗(yàn)結(jié)果如表1所示.

表1 序列平穩(wěn)性的檢驗(yàn)結(jié)果

由表1可知：IF1412和IF1501的一階差分序列不存在單位根，為平穩(wěn)序列，利用Johansen檢驗(yàn)確定序列IF1412和IF1501之間的協(xié)整關(guān)系.Johansen檢驗(yàn)結(jié)果表明序列IF1412和IF1501是協(xié)整的，可以進(jìn)一步進(jìn)行套利研究.

4.2 套利交易結(jié)果

為了檢驗(yàn)策略的交易效果，從套利次數(shù)，套利成功率，累計(jì)盈利，累積收益率，年化收益率這幾個(gè)指標(biāo)考察策略效果.

首先，為了比較改進(jìn)后的策略和原始的套利策略的優(yōu)劣，先采用原始的套利策略進(jìn)行套利，選取2014年11月24日到2014年12月19日時(shí)間段的當(dāng)月合約IF1412、次月合約IF1501的1 min收盤價(jià)數(shù)據(jù)為研究對(duì)象，共20 d，數(shù)據(jù)總數(shù)5 440個(gè).通過遺傳算法得出GARCH模型的最優(yōu)交易閥值為[1.333 5,-0.741 3,2.752 6]，Ornstein-Uhlenbeck模型的最優(yōu)交易閥值為[0.701 9,-0.145 5,2.988 1]，套利的結(jié)果見表2.

表2 原始策略的套利結(jié)果

接著，對(duì)相同時(shí)間段數(shù)據(jù)，采用改進(jìn)的統(tǒng)計(jì)套利策略進(jìn)行套利，通過遺傳算法得出GARCH模型的最優(yōu)交易閥值為[1.407 5,-0.832 9,2.998 3]，Ornstein-Uhlenbeck模型的最優(yōu)交易閥值為[0.701 9,-0.145 5,2.988 1]，套利結(jié)果見表3.

表3 改進(jìn)策略的套利結(jié)果

由表2，3結(jié)果可知：相比較于原始的套利策略結(jié)果，除了套利成功率這一指標(biāo)外，改進(jìn)后的套利策略在套利次數(shù)，套利成功次數(shù)，累積盈利等方面都比它要好很多.

4.3 組合策略實(shí)證檢驗(yàn)

4.3.1 組合策略的必要性分析

從表4可以看出：采用基于GARCH的套利模型與基于Ornstein-Uhlenbeck的套利模型進(jìn)行套利，各個(gè)時(shí)間段套利的套利次數(shù)、套利成功次數(shù)、累積收益率和平均單次收益率等都不存在一致變動(dòng)現(xiàn)象，累計(jì)收益率方面，這兩種模型運(yùn)用各頻率數(shù)據(jù)進(jìn)行套利時(shí)，兩模型效果存在時(shí)優(yōu)時(shí)劣現(xiàn)象.

表4 三種套利方案的月套利結(jié)果

結(jié)合GARCH模型和Ornstein-Uhlenbeck模型在統(tǒng)計(jì)套利的各自優(yōu)勢，引入單一模型組合思想.由于單一套利模型并不在每一時(shí)段都有最優(yōu)的預(yù)測效果，故有必要進(jìn)行組合策略.

4.3.2 組合策略的交易規(guī)則

為了盡可能多地捕捉到套利機(jī)會(huì)，在目前倉位為空的情況下，只要基于GARCH模型和基于Ornstein-Uhlenbeck模型中的一個(gè)套利滿足開倉條件，即進(jìn)行建倉，當(dāng)兩模型進(jìn)行套利時(shí)同時(shí)滿足各自的開倉條件時(shí)，則根據(jù)式(12)進(jìn)行策略選擇.

策略平倉規(guī)則為：當(dāng)目前倉位非空時(shí)，先判斷是通過哪個(gè)模型進(jìn)行建倉的，然后判斷下一時(shí)刻的殘差是否滿足該模型的平倉條件.止損規(guī)則也是如此.

4.3.3 組合策略套利結(jié)果

對(duì)組合套利策略有效性進(jìn)行分析，將GARCH模型套利結(jié)果、Ornstein-Uhlenbeck模型套利結(jié)果與組合策略的套利結(jié)果相比較，使用相同時(shí)間段的當(dāng)月合約、次月合約的1 min歷史數(shù)據(jù)，通過遺傳算法得出，當(dāng)GARCH模型的交易閥值為[1.593 0,-0.842 9,2.994 4],Ornstein-Uhlenbeck模型的交易閥值為組合策略最優(yōu)閥值為[0.512 4,-0.215 4,2.941 5]，組合策略收益達(dá)到最優(yōu)，其套利結(jié)果見表5.

表5 三種統(tǒng)計(jì)套利策略的套利結(jié)果

由表5可知：采取組合策略進(jìn)行套利時(shí)，各時(shí)段的累計(jì)收益率均大于僅采取單一模型套利的累計(jì)收益率，可見該策略達(dá)到了提高整體收益率的目的，組合策略是有效的.

2014年1月—12月時(shí)間段，三種套利方案的統(tǒng)計(jì)套利結(jié)果如表4所示.由表4可知：2014年1月—12月時(shí)間段，采用組合策略進(jìn)行統(tǒng)計(jì)套利時(shí)，其累計(jì)收益率均大于采取單一模型進(jìn)行套利時(shí)的累計(jì)收益率，組合策略具有普遍適用性.

5 結(jié) 論

在改進(jìn)的統(tǒng)計(jì)套利策略的基礎(chǔ)上，將組合思想引入到統(tǒng)計(jì)套利策略中，并利用1min的高頻數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證分析.采用滬深300股指期貨近月遠(yuǎn)月合約的1 min真實(shí)數(shù)據(jù)，用動(dòng)態(tài)的交易方式對(duì)改進(jìn)的套利交易策略和模型進(jìn)行檢驗(yàn)分析.與原始的統(tǒng)計(jì)策略相比較，改進(jìn)的套利策略從套利次數(shù)、套利成功次數(shù)、累計(jì)盈利和年化收益率等方面都比它要好很多.在改進(jìn)的統(tǒng)計(jì)套利策略基礎(chǔ)上，結(jié)合GARCH模型和Ornstein-Uhlenbeck模型在統(tǒng)計(jì)套利的各自優(yōu)勢，引入伯努利隨機(jī)變量將兩模型進(jìn)行組合，并進(jìn)行實(shí)證檢驗(yàn).通過將GARCH模型套利結(jié)果、Ornstein-Uhlenbeck模型套利結(jié)果與組合策略的套利結(jié)果進(jìn)行比較分析，發(fā)現(xiàn)總體收益均提高了，采用組合策略進(jìn)行統(tǒng)計(jì)套利顯著優(yōu)于采取單一模型的策略.

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(責(zé)任編輯：劉 巖)

Research on the combination strategy of statistical arbitrage based on high-frequency data

ZHOU Minghua1, ZHOU Tingting2, ZHANG Minkai2

(1.Jianxing Honors College, Zhejiang University of Technology, Hangzhou 310023, China; 2.College of Science, Zhejiang University of Technology, Hangzhou 310023, China)

On the basis of the thought of combination strategy, a new combination strategy of statistical arbitrage which combine GARCH(generalized autoregressive conditional heteroskedastic) model and Ornstein-Uhlenbeck model by introducing into Bernoulli random variable is developed, then we arbitrage on the basis of the improved statistical arbitrage strategy. The validity of the model and the actual trading effects has been tested by the dynamic methods. The results of empirical test show that it is necessary to combine the single arbitrage models, and the overall income level of the combination strategy compared to that of single strategy is significantly improved.

high-frequency data; GARCH; Ornstein-Uhlenbeck; combination strategy; Bernoulli variable

2016-10-13

周明華(1959—)，男，浙江紹興人，教授，研究方向?yàn)榻鹑跀?shù)學(xué)，E-mail：mhzhou@zjut.edu.cn.

F832.48

A

1006-4303(2017)03-0336-06