牛瑞濤　牛坤

摘要：研究了一類具有無(wú)理非線性恢復(fù)力的幾何非線性系統(tǒng)的Hop盼岔問(wèn)題，首先，應(yīng)用Lagrange方程建立了幾何非線性動(dòng)力學(xué)運(yùn)動(dòng)微分方程，分析了平衡點(diǎn)的分岔及穩(wěn)定性等復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為，利用泰勒級(jí)數(shù)對(duì)原系統(tǒng)逼近并進(jìn)行五次截?cái)?，引A.Van del Pol阻尼擾動(dòng)得到五次非線性Lienard系統(tǒng)，然后利用Hop盼岔理論，得到了系統(tǒng)在分岔突變點(diǎn)附近的三個(gè)Hop盼岔曲面，在分岔曲面上，系統(tǒng)平衡點(diǎn)穩(wěn)定性發(fā)生改變并在平衡點(diǎn)附近出現(xiàn)極限環(huán)。

關(guān)鍵詞：幾何非線性系統(tǒng)；五次非線性；Hopf分岔；極限環(huán)；Runge-Kutta法

幾何非線性是當(dāng)代科學(xué)技術(shù)與工程應(yīng)用中經(jīng)常遇到的重要非線性因素，與材料非線性、接觸非線性構(gòu)成工程應(yīng)用研究中的三大非線性問(wèn)題，基于無(wú)理非線性特性出現(xiàn)了一類嶄新的幾何非線性動(dòng)力系統(tǒng)，并且該系統(tǒng)被命名為SD（Smooth anddiscontinuous）振子及SD吸引子，該振子依賴于系統(tǒng)參數(shù)表現(xiàn)出光滑動(dòng)力學(xué)到不連續(xù)動(dòng)力學(xué)的轉(zhuǎn)遷特性。

文章研究非線性Van del Pol阻尼擾動(dòng)的耦合SD振子的Hopf分岔，理論分析得到系統(tǒng)的多Hopf分岔行為，數(shù)值模擬驗(yàn)證幾何非線性系統(tǒng)的多極限環(huán)共存現(xiàn)象。

1.幾何非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)

1.1力學(xué)模型

基于SD振子力學(xué)模型，我們建立了幾何非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)（或耦合SD振子）的力學(xué)模型，它由一個(gè)質(zhì)量塊m和連接于質(zhì)量塊的一對(duì)傾斜且能夠被拉壓彈簧上構(gòu)成.彈簧的剛度系數(shù)和自然長(zhǎng)度分別為k和L，末端固定在一個(gè)剛性底座上，雖然彈簧提供線性回復(fù)力，但是由于模型幾何非線性構(gòu)型的改變使作用在質(zhì)量塊上的水平方向的力表現(xiàn)為強(qiáng)無(wú)理非線性特性。

幾何非線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為

Hopf分岔理論研究的是自治系統(tǒng)平衡點(diǎn)解分岔產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)周期解的問(wèn)題，基本思想是基于經(jīng)典穩(wěn)定性理論，從方程的攝動(dòng)方程零解穩(wěn)定性來(lái)判別平衡點(diǎn)解的穩(wěn)定性.Hopf證明了系統(tǒng)在分岔值處將從平衡點(diǎn)解分岔出一個(gè)非常量的周期解，即對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的極限環(huán)，系統(tǒng)發(fā)生振蕩或振蕩失穩(wěn)。因此追蹤系統(tǒng)平衡解流形、確定分岔點(diǎn)位置，對(duì)于了解無(wú)理非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性及其變化規(guī)律有重要的意義。

3.結(jié)語(yǔ)

文章分析了未擾動(dòng)幾何非線性系統(tǒng)的光滑與不連續(xù)動(dòng)力學(xué)轉(zhuǎn)遷特性，包括平衡點(diǎn)分岔、恢復(fù)力及勢(shì)能函數(shù)，給出了Vander Pol阻尼擾動(dòng)下系統(tǒng)的HoDf分岔?xiàng)l件.理論結(jié)果為幾何非線性系統(tǒng)的Hopf分岔及穩(wěn)定性的控制與設(shè)計(jì)參數(shù)選取提供理論依據(jù)。