甘曉云+勞榮旦

幾何中求最值問題是中考的?？碱}，也是同學(xué)們覺得困難的一類題. 其實這類題常以四種形式出現(xiàn)：求線段最值、求線段之和的最小值、求線段之差的最大值、求立體幾何中的最值問題. 平時我們遇到的最值問題其實就是把之前學(xué)過的簡單模型放在一個情境中去考察，只要懂得把問題中相應(yīng)的幾何最值模型抽象出來，問題就會有法可尋，有法可解. 下面結(jié)合幾道中考題進行分類解析，供同學(xué)們參考.

類型一 線段最值——利用“垂線段最短”求最值

例1：如圖1，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2[2]，點D是線段BC上的一個動點，以AD為直徑畫 O分別交AB，AC于E，F(xiàn)，連接EF，則線段EF長度的最小值為（ ）

A. 2 B.[3] C.[5] D.3

【分析】由垂線段的性質(zhì)可知，當(dāng)AD為△ABC的邊BC上的高時，直徑AD最短。我們可以這么添加輔輔線：過點O作EF的垂線，連接OE，OF，如圖2所示。此時線段EF=2EH=2OE·sin∠EOH=2OE·sin60°，因此當(dāng)半徑OE最短時，EF最短，在Rt△ADB中，解直角三角形求直徑AD，由圓周角定理可知∠EOH=[12]∠EOF=∠BAC=60°，在Rt△EOH中，解直角三角形求EH，由垂徑定理可知EF=2EH.

解：由垂線段的性質(zhì)可知，當(dāng)AD為△ABC的邊BC上的高時，直徑AD最短，

連接OE，OF，過O點作OH⊥EF，垂足為H，

∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=2[2]，

∴ AD=BD=2，即圓O的直徑為2，

由圓周角定理可知∠EOH=[12]∠EOF=∠BAC=60°，

∴ 在Rt△EOH中，EH=OE·sin∠EOH=1×sin60°=1×[32]=[32]，

由垂徑定理可知EF=2EH=[3].

故答案為B.

求線段的最值時，若所求線段長可轉(zhuǎn)化為求一點到某一直線的距離，則將之轉(zhuǎn)化為點到直線的距離，再利用“垂線段最短”原理，過該點作此直線的垂線，最后計算垂線段的長即可求解。

類型二 線段和的最小值——利用“兩點之間線段最短”求最值

例2：如圖3，A點是半圓上一個三等分點，B點是弧AN的中點，P點是直徑MN上一動點， O的半徑為1，則AP+BP的最小值為（ ）

A.1 B.[22] C.[2] D.[3]-1

【分析】首先找出點A關(guān)于直徑MN對稱的對稱點A′，那么AP+BP的最

小值就是A′B的長度.

解：如圖4所示，作點A關(guān)于MN的對稱點A′，連接BA′，此時，BA′與直徑MN的交點即為動點P的位置.

∵ A是半圓上一個三等分點，

∴∠AON=∠A′ON=360°÷2÷3=60°，

又∵點B是弧AN的中點，

∴∠BON=[12]∠AON=[12]×60°=30°

∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=60°+30°=90°

在Rt△A′OB中，由勾股定理得：A′B2=A′O2+BO2=1+1=2

得：A′B=[2]，

所以：AP+BP的最小值是[2].

故答案為C.

求線段和最小時，若已知的兩點在動點所在直線的同側(cè)，將動點所在的直線當(dāng)作對稱軸，作出其中一點的對稱點，再將另一點與這個對稱點連接（即三點共線時），則其與直線的交點即為所求動點所在位置，再求出所連接的線段長即為所求。

類型三 線段差的最大值——利用三角形三邊關(guān)系求最值

例3：如圖5所示，已知A[12，y1]，B（2，y2）為反比例函數(shù)y=[1x]圖象上的兩點，動點P（x，0）在x正軸上運動，當(dāng)線段AP與線段BP之差達到最大時，點P的坐標是（ ）

A.[12，0] B.（1，0） C.[32，0] D.[52，0]

【分析】先求出A，B的坐標，接著設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b，把A，B的坐標代入求出直線AB的解析式，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理得出在△ABP中，|AP-BP|

解：∵把A[12，y1]，B（2，y2）代入反比例函數(shù)y=[1x]得：y1=2，y2=[12]，

∴ A[12，2]，B[2，12].

在△ABP中，由三角形的三邊關(guān)系定理得：|AP-BP|

∴延長AB交x軸于P′，當(dāng)P在P′點時，PA-PB=AB，

即此時線段AP與線段BP之差達到最大，

設(shè)直線AB的解析式是y=ax+b（a≠0）

把A，B的坐標代入得：[2=12a+b12=2a+b ，]

解得：[a=-1b=52]，

∴直線AB的解析式是y=-x+[52]，

當(dāng)y=0時，x=[52]，即點P的坐標為[52，0]時，線段AP與線段BP之差達到最大；

故答案為D.

利用軸對稱變換，若已知的兩點在動點所在直線的異側(cè)，需把兩定點放在動點所在直線的同側(cè)，將該直線當(dāng)作對稱軸，作出其中一點的對稱點，再將另一點與這個對稱點連接（即三點共線時），則其與直線的交點即為所求動點所在位置，而連接的兩點間的線段長即為所求，即轉(zhuǎn)化為求線段的長度即可求解。

類型四 立體幾何中的最值問題——轉(zhuǎn)換為平面圖形中的最值問題解決

例4：如圖7，已知圓柱底面的周長為4dm，圓柱高為2dm，在圓柱的側(cè)面上，過點A和點C嵌有一圈金屬絲，則這圈金屬絲的周長最小為（ ）

A.4[2]dm B.2[2]dm C.2[5]dm D.4[5]dm

【分析】要求金屬絲的周長，需將圓柱的側(cè)面展開，進而根據(jù)“兩點之間線段最短”得出結(jié)果，在求線段長時，根據(jù)勾股定理計算即可.

解：如圖，把圓柱的側(cè)面展開，得到矩形，則這圈金屬絲的周長最小為2AC的長度.

∵ 圓柱底面的周長為4dm，圓柱高為2dm，

∴ AB=2dm，BC=BC′=2dm，

∴ AC 2=22+22=8，

∴ AC=2[2]dm.

∴ 這圈金屬絲的周長最小為2AC=4[2]dm.

故答案為A.

求立體圖形中的最值問題時，先將立體圖形的側(cè)面展開成平面圖，再根據(jù)“兩點之間線段最短”找到題意所要求的最短路徑，進而求解。