馮麗容

(重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，重慶 401331)

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星體的Lp對偶混合亮度積分

馮麗容

(重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，重慶 401331)

引進了所有星體集合上Lp對偶混合亮度積分的概念,同時刻畫了Lp對偶混合亮度積分的一些基本性質(zhì).

星體; 對偶亮度；Lp對偶混合亮度積分；

2006年,R J Gardner[1]引進了支撐函數(shù)：假定K∈κn則K的支撐函數(shù),hK=h(K,·)：Rn→(-∞,∞)即

hK(u)=h(K,u)=max{(u,x)∶x∈Sn-1},u∈Rn,

(1)

其中(u,x)表示u和x在Rn上的內(nèi)積.

上世紀Minkowski[2]介紹了凸體的投影體.若K∈κn投影體K定義為具有支撐函數(shù)的凸體,對于u∈Sn-1,

h(K,u)=voln-1(K|u⊥),

(2)

其中K|u⊥表示K在經(jīng)過原點且垂直u的超平面u⊥上的投影.

(3)

如果Rn上的一個集合是緊集(內(nèi)部是閉的),則稱這個集合是一個體.如果稱一個體關(guān)于原點是星形的即滿足原點與K的邊界點的連線段在K的內(nèi)部.若K是非空,緊的且關(guān)于原點是星形的,那么它的徑向函數(shù)ρK(·)定義[2]如下 ：

ρK(u)=max{λ≥0,λu∈K},

(4)

其中u∈Sn-1使得通過方向的直線u與K相交.

ρ(IK，u)=voln-1(K∩u⊥),u∈Sn-1,

(5)

其中K∩u⊥表示K在經(jīng)過原點且垂直u的的超平面u⊥的截面.

(6)

在本文中,引入了一個新的概念-Lp對偶混合亮度積分,這實際上是關(guān)于Lp亮度積分式(3)的對偶形式.

(7)

1 準備工作

由式(5),K?L當(dāng)且僅當(dāng):

ρ(K,u)≤ρ(L,u),u∈Sn-1.

(8)

顯然,對于φ∈GL(n),

(9)

其中φ-1表示φ的逆.

(10)

(11)

如果K1=K2=…=Kn-i-1=K,Kn-i=Kn-i-1=…=Kn-1=L, 則有:

I(K1,K2,…,Kn-1)=Ii(K,L).

(12)

假如K1=K2=…=Kn-1=B, 則I(B,B,…,B)=B.

星體K1,K2,…,Kn在方向u上的對偶混合亮度記為:

2 星體的對偶混合亮度積分的性質(zhì)

在本節(jié)中,給出了一些星體的對偶混合亮度積分的性質(zhì).

iii)(正齊次性)如果λ1,λ2,…λn?0, 則:

v)(線性變換下的不變性)如果φ∈GL(n), 則:

ii)星體K1,K2,…,Kn混合截面體體體積的極坐標公式：

從混合截面體的連續(xù)性,可以看到的對偶亮度函數(shù)是正的和連續(xù)的.因此,混合亮度積分是一個連續(xù)函數(shù).

v)由式(7),(10)和(6), 有:

vi)它是Jensen不等式的一個直接結(jié)果[13].

[1] GARDNER R J.Geometric Tomography[M].New York:Cambridge University Press,2006.

[2] SCHNEIDER,R.Convex Boides:The Brunn-Minkowski Theory[M].Cambridge:Cambridge University Press,2014.

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[13] Hardy H,LITTLEWOOD J E,POLYA G.Inequality[M].Cambridge:Cambridge University Press,1988.

責(zé)任編輯：時 凌

LpDual Mixed Brightness-integrals of Star Bodies

FENG Lirong

(School of Mathematical Sciences, Chongqing Normal University, Chongqing 401331, China)

TheLpdual mixed brightness-integrals of star bodies are introduced.Some of their basic properties ofLpdual mixed brightness-integrals of star bodies are discussed.

star bodies;dual mixed brightness;Lpdual mixed brightness-integrals；

2016-11-12.

國家基金自然科學(xué)基金面上項目(11271390)

馮麗容(1990-),女,碩士生,主要從事幾何分析的研究.

1008-8423(2017)02-0140-03

10.13501/j.cnki.42-1569/n.2017.06.006

B813

A

zhu和Li[3]最近推出的Lp混合亮度積分的經(jīng)典概念：若K1,K2,…,Kn∈κn,u∈Sn-1,且實數(shù)p≠0,K1,K2,…,Kn的Lp混合亮度積分Dp(K1,K2,…,Kn)定義為: