■福建省龍巖市永定區(qū)城關(guān)中學(xué) 童其林(特級(jí)教師)

計(jì)數(shù)原理、二項(xiàng)式定理單元過(guò)關(guān)測(cè)試

■福建省龍巖市永定區(qū)城關(guān)中學(xué) 童其林(特級(jí)教師)

一、選擇題(共12小題,每小題5分,共60分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)

1.n∈N*,則(20-n)(21-n)…(100-n)等于( )。

A.A80100-nB.A20-n100-n

C.A81100-nD.A8120-n

2.將甲、乙、丙、丁、戊5本不同的書(shū)擺成一排,若甲書(shū)與乙書(shū)必須相鄰,而丙書(shū)與丁書(shū)不能相鄰,則不同的擺法種數(shù)為( )。

A.48 B.24 C.20 D.12

3.一個(gè)盒子里有3個(gè)分別標(biāo)有號(hào)碼1,2, 3的小球,每次取出1個(gè),記下它的標(biāo)號(hào)后再放回盒子中,共取3次,則取得小球標(biāo)號(hào)最大值是3的取法有( )。

A.12種 B.15種

C.17種 D.19種

4.將5位同學(xué)分別保送到北京大學(xué)、上海交通大學(xué)、廈門(mén)大學(xué)這3所大學(xué)就讀,每所大學(xué)至少保送1人,則不同的保送方法共有( )。

A.150種 B.180種

C.240種 D.540種

5.若(2x-1)2016=a0+a1x+a2x2+… +a2016x2016,x∈R,則

6.有10個(gè)乒乓球,將它們?nèi)我夥殖蓛啥?求出這兩堆乒乓球個(gè)數(shù)的乘積,再將每堆乒乓球任意分成兩堆并求出這兩堆乒乓球個(gè)數(shù)的乘積,如此下去,直到不能再分為止,則所有乘積的和為( )。

A.45 B.55 C.10! D.1010

7.若x10=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a10(x-1)10,則a8的值為( )。

A.-45 B.-9 C.10 D.45

圖1

8.如圖1所示,平面α中有梯形ABCD與梯形A1B1C1D1分別在直線l的兩側(cè),它們與l無(wú)公共點(diǎn),并且關(guān)于l對(duì)稱,現(xiàn)將α沿l折成一個(gè)直二面角,則A,B,C,D,A1,B1,C1,D18個(gè)點(diǎn)可以確定平面的個(gè)數(shù)是( )。

A.56 B.44 C.42 D.40

10.已知函數(shù)f(x),x∈1,2,3{},其函數(shù)值在集合1,2,3{}中,且滿足f(f(x))= f(x),則這樣的函數(shù)的共有( )。

A.1個(gè) B.4個(gè)

C.8個(gè) D.10個(gè)

11.我們把各位數(shù)字之和為6的四位數(shù)稱為“六合數(shù)”(如2013是“六合數(shù)”),則“六合數(shù)”中首位為2的“六合數(shù)”共有( )。

A.18個(gè) B.15個(gè)

C.12個(gè) D.9個(gè)

12.已知m是一個(gè)給定的正整數(shù),如果兩個(gè)整數(shù)a,b除以m所得的余數(shù)相同,則稱a與b對(duì)模m同余,記作a≡b(modm)。例如,5≡13(mod4)。若22015≡r(mod7),則r可能等于( )。

A.2013 B.2014

C.2015 D.2016

二、填空題(本大題共四小題,每小題5分,共20分)

13.有3張標(biāo)號(hào)分別為1,2,3的紅色卡片,3張標(biāo)號(hào)分別為1, 2,3的藍(lán)色卡片,現(xiàn)將全部的6張卡片放在2行3列的格內(nèi)(如圖2所示)。若顏色相同的卡片放在同一行,則不同的放法種數(shù)為_(kāi)___。(用數(shù)字作答)

圖2

14.已知(1+x)+(1+x)2+…+(1+ x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,若a1+a2+…+an-1=29-n,則n=_____。

15.定義“自傳數(shù)”為滿足以下條件的自然數(shù):第一位數(shù)(從左到右)是所有數(shù)位中“0”的個(gè)數(shù),第二位數(shù)是所有位數(shù)中“1”的個(gè)數(shù),第三位數(shù)是所有數(shù)位中“2”的個(gè)數(shù),…(例6210001000是一個(gè)“自傳數(shù)”)。則最小的“自傳數(shù)”等于____。

16.已知n,k∈N*,且k≤n,,則可推出:

由此,可推出C1n+22C2n+32C3n+…+ k2Ckn+…+n2Cnn=____。

三、解答題(解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟,共70分)

17.(本小題滿分10分)

已知集合M={-3,-2,-1,0,1,2}, P(a,b)表示平面上的點(diǎn),a,b∈M,問(wèn):

(1)P可表示平面上多少個(gè)不同的點(diǎn)?

(2)P可表示平面上多少個(gè)在第二象限內(nèi)的點(diǎn)?

(3)P可表示多少個(gè)不在直線y=x上的點(diǎn)?

18.(本小題滿分12分)

解答下列各題:

(2)求證:3n>(n+2)·2n-1(n∈N*,n>2)。

19.(本小題滿分12分)

有4個(gè)不同的球,4個(gè)不同的盒子,把球全部放入盒內(nèi)。

(1)共有多少種放法?

(2)如果恰有1個(gè)盒子不放球,有多少種放法?

(3)如果恰有1個(gè)盒子內(nèi)放2個(gè)球,有多少種放法?

(4)恰有2個(gè)盒子不放球,有多少種放法?

20.(本小題滿分12分)

21.(本小題滿分12分)

已知數(shù)列{an}通項(xiàng)公式為an=Atn-1+ Bn+1,其中A,B,t為常數(shù),且t>1,n∈N*。等式(x2+2x+2)10=b0+b1(x+1)+ b2(x+1)2+…+b20(x+1)20,其中bi(i=0, 1,2,…,20)為實(shí)常數(shù)。

22.(本小題滿分12分)

設(shè)A,B均為非空集合,且A∩B=?,A∪B=1,2,3,…,n

{ },n≥3,n∈N*。

記A,B中元素的個(gè)數(shù)分別為a,b,所有滿足“a∈B,且b∈A”的集合對(duì)(A,B)的個(gè)數(shù)為an。

(1)求a3,a4的值;

(2)求an。

1.C 2.B 3.D 4.A 5.C 6.A 解析:積為定值,可取特殊情況分析,10分為1和9,9再分為1和8,…,2再分為1和1,計(jì)算得值為45。

7.D 8.B 9.D

10.D 解析:當(dāng)f(x)=x時(shí),顯然滿足f(f(x))=f(x),此時(shí)有一個(gè)這樣的函數(shù),即若f(1),f(2),f(3)中有兩個(gè)為同一個(gè)值,一個(gè)為f(1)=1,或f(2)=2,或f(3)=3,也滿足:

11.B 12.A 13.72 14.4 15.1210 16.n(n+1)·2n-2

17.(1)確定平面上的點(diǎn)P(a,b)可分兩步完成:第一步確定a的值,共有6種確定方法;第二步確定b的值,也有6種確定方法。根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理,得到所求點(diǎn)的個(gè)數(shù)是6×6=36(個(gè))。

(2)確定第二象限的點(diǎn),可分兩步完成:第一步確定a,由于a<0,所以有3種確定方法;第二步確定b,由于b>0,所以有2種確定方法。由分步計(jì)數(shù)原理,得到第二象限的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是3×2=6(個(gè))。

(3)點(diǎn)P(a,b)在直線y=x上的充要條件是a=b。因此a和b必須在集合M中取同一元素,共有6種取法,即在直線y =x上的點(diǎn)有6個(gè)。結(jié)合(1)可得不在直線y=x上的點(diǎn)共有36-6=30(個(gè))。

18.(1)由組合數(shù)的性質(zhì)可得:

4=x+2-1,x=3。經(jīng)檢驗(yàn)知x=3符合題意,所以x=3。

(2)證明:因?yàn)閚∈N*,且n>2,所以3n=(2+1)n展開(kāi)后至少有4項(xiàng)。

(2+1)n=2n+C1n·2n-1+…+Cn-1n· 2+1≥2n+n·2n-1+2n+1>2n+n·2n-1=(n+2)·2n-1,故3n>(n+2)·2n。

19.(1)1個(gè)球1個(gè)球地放到盒子里去,每只球都可有4種獨(dú)立的放法,由分步乘法計(jì)數(shù)原理,放法共有:44=256(種)。

(2)為保證“恰有1個(gè)盒子不放球”,先從4個(gè)盒子中任意拿出1個(gè),即將4個(gè)球分成2,1,1的三組,有C24種分法;然后再?gòu)?個(gè)盒子中選1個(gè)放2個(gè)球,其余2個(gè)球,2個(gè)盒子,全排列即可。共有放法: C14C24C13A22=144(種)。

(3)“恰有1個(gè)盒內(nèi)放2個(gè)球”,即另外3個(gè)盒子中恰有1個(gè)空盒。因此,“恰有1個(gè)盒內(nèi)放2球”與“恰有1個(gè)盒子不放球”是一回事,也有144種放法。

(4)先從4個(gè)盒子中任意拿走2個(gè),有C24種方法,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為:“4個(gè)球,2個(gè)盒子,每盒必放球,有幾種放法?”從放球數(shù)目看,可分為(3,1),(2,2)兩類。第一類:可從4個(gè)球中先選3個(gè),然后放入指定的1個(gè)盒子中即可,有C34C12種放法;第二類:有C24(種)放法。因此共有C34C12+C24=14種。由分步乘法計(jì)數(shù)原理得“恰有2個(gè)盒子不放球”的放法有:C24·14=84(種)。也可這樣求解:確定2個(gè)空盒有C24種方法。4個(gè)球放進(jìn)2個(gè)盒子可分成(3,1),(2,2)兩類,第一類為有序不均勻分組,有C34C11A22種放法,第二類為有序均勻分組,有種放法,故共有84(種)放法。

20.由題意知,22n-2n=992。

即(2n-32)(2n+31)=0。

解2n=32,得n=5。

(2)設(shè)第r+1項(xiàng)的系數(shù)最大。

因?yàn)閞∈N*,所以r=3。故系數(shù)最大的項(xiàng)是第4項(xiàng),T4=15360x4。

21.(1)(x2+2x+2)10=(1+(x+1)2)10

=C010+C110x+1()2+C210x+1()4+…+ C1010x+1()20

=b0+b1x+1()+b2x+1()2+…+ b20x+1()20。

比較可知:b2n=Cn10,n=1,2,…,10。

而A=0,B=1時(shí),an=n+1。

(2)當(dāng)A=1,B=0時(shí),an=Atn-1+Bn+ 1=tn-1+1,結(jié)合①中結(jié)論可知:

因?yàn)棰跒殛P(guān)于t的遞增的式子,所以關(guān)于t的方程最多只有一解,而觀察③可知,有一解t=2,綜上可知t=2。

22.(1)當(dāng)n=3時(shí),A∪B={1,2,3},且A∩B=?。若a=1,b=2,則1∈B,2∈A,有C01種情況;若a=2,b=1,則2∈B,1∈A,共有1種情況,所以a3=2。

當(dāng)n=4時(shí),A∪B={1,2,3,4},且A∩ B=?,若a=1,b=3,則1∈B,3∈A,有種情況;若a=2,b=2,則2∈B,2∈A,這與A∩B=?矛盾;若a=3,b=1,則3∈B,1∈A,共有C22種情況,所以a4=C02+C22=2。

(2)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),A∪B={1,2,3,…, n},且A∩B=?。

若a=1,b=n-1,則1∈B,n-1∈A,共C0n-2種(考慮A);

若a=2,b=n-2,則2∈B,n-2∈A,共C1n-2種(考慮A);

…

A∩B=?矛盾;

…

(責(zé)任編輯 徐利杰)