◇姜榮富

理解概念的關(guān)系把握真實(shí)的意義
——帶余除法學(xué)習(xí)難點(diǎn)的突破

◇姜榮富

如何理解帶余除法的數(shù)學(xué)意義？為什么計(jì)算時(shí)余數(shù)要比除數(shù)??？討論這些問(wèn)題需要整體地把握數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，通過(guò)模型建構(gòu)理解其數(shù)學(xué)意義。

一 理解帶余與同余概念的關(guān)系

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，帶余除法常常被用于解決周期性問(wèn)題，如一批彩燈按“紅、黃、藍(lán)、綠、白、紅、黃、藍(lán)、綠、白、紅……”的規(guī)律排列起來(lái)，第23盞彩燈是什么顏色？算式是23÷5=4（組）……3（盞），含義是以5為周期（5個(gè)為一組），用它去除23，得到4個(gè)周期（4組）還余下3盞。在這里，商并不重要，只要關(guān)注余數(shù)就可以了，根據(jù)余數(shù)是3，可以判斷第 23盞彩燈的顏色為藍(lán)色。還有第幾盞燈也是藍(lán)色的呢？運(yùn)用周期變化的規(guī)律，把23減去或加上若干個(gè)5，如第18盞、第13盞、第28盞、第33盞等彩燈的顏色都是一樣的。在數(shù)學(xué)意義上，這些數(shù)除以5的余數(shù)是相同的，就稱它們是“模5同余”。

對(duì)于同余的概念，有一個(gè)很能說(shuō)明問(wèn)題的幾何解釋。如圖1，把一個(gè)圓分成5等份，得到5個(gè)點(diǎn)。任一整數(shù)被5除時(shí)，得到的余數(shù)是0、1、2、3、4中的一個(gè)，在幾何上用圓上這些點(diǎn)中的一個(gè)來(lái)表示。如果兩個(gè)數(shù)用同一個(gè)點(diǎn)表示，它們就是同余的。

圖1

在小學(xué)數(shù)學(xué)里并不直接教學(xué)同余的概念，但這個(gè)概念在用帶余除法解決周期性的問(wèn)題中有滲透。了解同余的概念，對(duì)于深入地理解帶余除法的意義，突破教學(xué)中發(fā)現(xiàn) “余數(shù)要比除數(shù)小”的難點(diǎn)有幫助。

二 把握規(guī)律與規(guī)定真實(shí)的意義

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生學(xué)習(xí)帶余除法往往先從分東西的活動(dòng)開始，從而引出余數(shù)的概念，在初步建立了帶余除法的意義之后，通過(guò)圈點(diǎn)子或其他操作活動(dòng)，得到一組帶余除法的例子，通過(guò)觀察這些例子歸納“余數(shù)要比除數(shù)小”的結(jié)論。

通過(guò)分析發(fā)現(xiàn)，教師給學(xué)生提供的觀察與歸納的例子，可以分成三種類型：除數(shù)相同被除數(shù)變化，被除數(shù)相同除數(shù)變化，被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)變化。不同類型的例子討論的問(wèn)題都是一樣的：觀察這些算式，你發(fā)現(xiàn)了什么？無(wú)論是哪一種類型的例子，學(xué)生歸納出“余數(shù)要比除數(shù)小”的結(jié)論都很困難，為什么呢？因?yàn)橐唤M算式中變化的因子太多，學(xué)生不容易把思考聚焦到余數(shù)與除數(shù)的大小關(guān)系上。

在探究 “余數(shù)要比除數(shù)小”的規(guī)律時(shí)，應(yīng)讓學(xué)生先發(fā)現(xiàn)余數(shù)呈現(xiàn)周期性的變化，借助幾何直觀，推理同余的數(shù)，讓學(xué)生在解決問(wèn)題的情境中，把握變化的規(guī)律，理解規(guī)定的意義。

師：請(qǐng)同學(xué)們觀察這個(gè)圓盤（如圖 1，上面不標(biāo)數(shù)字），說(shuō)一說(shuō)你知道了什么。

生：上面有5個(gè)圓點(diǎn)。

生：有5個(gè)間隔。

師：一個(gè)間隔可以叫作1格?，F(xiàn)在我把其中1個(gè)點(diǎn)作為起點(diǎn)，標(biāo)上0，下一個(gè)點(diǎn)就是1，這5個(gè)點(diǎn)表示5個(gè)位子?，F(xiàn)在我們玩一個(gè)“找位子”的數(shù)學(xué)游戲。規(guī)則是：報(bào)出一個(gè)自己喜歡的數(shù)，然后從0開始，是幾就走幾個(gè)間隔，走完以后在位子上 “坐”下來(lái)。同桌兩人一人報(bào)數(shù)另一人走。報(bào)數(shù)的同學(xué)要幫助檢查對(duì)方坐的位子對(duì)不對(duì)。

師：我請(qǐng)一位同學(xué)跟我搭檔先來(lái)玩一玩。我報(bào)8，請(qǐng)你幫我走。

（學(xué)生1格1格地?cái)?shù)，從0開始數(shù)到5時(shí)，教師喊暫停）

師：走了 1圈，歇會(huì)兒。（學(xué)生歇后）好，繼續(xù)前進(jìn)。

（學(xué)生走到3停下來(lái)）

師：位子找到了！我們就在這個(gè)位子上記上8。好，就像剛才一樣，從0開始，走1圈就歇會(huì)兒。你報(bào)的數(shù)在哪個(gè)位子上，就在哪個(gè)位子上把這個(gè)數(shù)記下來(lái)。

（展示兩個(gè)同學(xué)在圓盤上記錄的數(shù)，如圖2）

圖2

師：看這組同學(xué)記錄的數(shù)，你們有什么問(wèn)題嗎？

生：0號(hào)位子上為什么沒有其他數(shù)？

師：如果要占到0號(hào)位子，必須報(bào)什么數(shù)？

生：5、10、15。

生：這些數(shù)是有規(guī)律的，都相差5。

生：其他位子上的數(shù)也是這個(gè)規(guī)律，都相差5。

師：是嗎？我們?cè)倏纯础?號(hào)位子上，1與6相差5。2號(hào)位子上，2與12相差——

生：相差10，就是兩個(gè)5。就是轉(zhuǎn)了2圈。

師：還有問(wèn)題嗎？

生：我覺得 14不應(yīng)該在 2號(hào)位子上。

師：你是怎么想的？

生：按照剛才的規(guī)律，在同一個(gè)位子上的數(shù)都相差5，14與12相差 2，17在這個(gè)位子上是對(duì)的。

師：想個(gè)辦法幫14找到正確的位子。

生：12在2號(hào)位子上，14就是再走2格，所以14在4號(hào)位子上。

生：我用算式表示：14÷5= 2……4。

師：這個(gè)式子是什么意思？

生：14除以 5，表示走 14格，轉(zhuǎn)1圈是5格，轉(zhuǎn)完2圈之后，還余下4格。所以14就在4號(hào)位子上。

師：現(xiàn)在它們都準(zhǔn)確地找到位子了。我們研究2號(hào)位子上的數(shù)，像前面那樣用帶余除法表示出來(lái)。如下：

2÷5=0……2；

7÷5=1……2；

17÷5=3……2。

師：選擇一個(gè)算式，說(shuō)一說(shuō)它的意思。

師：觀察這些算式，你們有什么話想說(shuō)的？

生：按規(guī)律，中間還缺一個(gè)12÷5。

師：好，補(bǔ)上一個(gè)，商是多少？余數(shù)是多少？

生：商是2，余數(shù)也是2。

師：你是怎么想的？

生：你們看，被除數(shù)相差5，除數(shù)都是5，商是 0、1、2、3這樣慢慢大起來(lái)的，余數(shù)都是2。

生：就是從0開始，轉(zhuǎn)2圈到10，余下2格，所以余數(shù)是2。

師：現(xiàn)在我們知道，2、7、12、17這些數(shù)“都是一家的”。在 0~40的數(shù)線上還有很多數(shù)，你能圈出這一家的其他成員嗎？

生：22、27、32、37。

師：有規(guī)律？有什么規(guī)律？

生：是有規(guī)律的，每隔 5個(gè)數(shù)，就會(huì)出現(xiàn)余數(shù)相同的。

生：被除數(shù)每增加 5，就是多轉(zhuǎn)了1圈，這樣就回到原來(lái)的位子上了。

師：用三角形符號(hào)在數(shù)線上畫出3號(hào)位子上的數(shù)。

（學(xué)生畫出3、8、13、18、23、28、33、38）

師：3號(hào)位子上的這些數(shù)，除以5，有什么特點(diǎn)？

生：余數(shù)都是3。

“找位子”的游戲，不僅有利于學(xué)生理解帶余除法的意義，而且可以把余數(shù)比除數(shù)大直觀地解釋為還能再轉(zhuǎn)1圈。在數(shù)線上找出同余的數(shù)，實(shí)際上是運(yùn)用規(guī)律推理同余的數(shù)。

師：我們?cè)偻嬉淮巍皳屛蛔印钡挠螒?，?guī)則是我報(bào)一個(gè)數(shù)，請(qǐng)你很快地說(shuō)出它在哪個(gè)位子上。

師：5。

生：0號(hào)位子。

師：你是怎么想的？

生：5除以 5，商是 1，余數(shù)是0。

師：6。

生：1號(hào)位。

師：算式是——

生：6÷5=1……1。

……

師：你們是不是發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律了？

5÷5=1……0；

6÷5=1……1；

7÷5=1……2；

8÷5=1……3；

9÷5=1……4。

生：被除數(shù)一個(gè)比一個(gè)大，余數(shù)也一個(gè)比一個(gè)大。

師：如果被除數(shù)繼續(xù)變大，余數(shù)會(huì)怎么樣？

生：也繼續(xù)變大。

師：確定嗎？

生：確定。

師：舉出例子。

生：10÷5=1……5。

師：有不同意見嗎？

生：10÷5=2。

師：這兩個(gè)算式分別是什么意思？

生：第一個(gè)算式表示轉(zhuǎn)1圈再轉(zhuǎn)5格，第二個(gè)算式表示轉(zhuǎn)2圈。

生：轉(zhuǎn)1圈再轉(zhuǎn)5格就是轉(zhuǎn)2圈呀。

師：正好轉(zhuǎn)2圈，如果要寫上余數(shù)，怎么寫？

生：10÷5=2……0。

師：一個(gè)算式，兩種答案，這在數(shù)學(xué)上是不允許的?，F(xiàn)在只能選一種，你們認(rèn)為哪一種好？

（學(xué)生意見不一）

師：我們先別急著下結(jié)論。照著兩種方法接著往下寫。

生：11÷5=1……6，11÷5= 2……1。

生：12÷5=1……7，12÷5= 2……2。

生：13÷5=1……8，13÷5= 2……3。

生：14÷5=1……9，14÷5= 2……4。

師：照這樣的規(guī)律寫下去，下一個(gè)算式是什么？余數(shù)是什么？

生：15÷5=1……10，15÷5= 3……0。

師：你喜歡哪一種表示方法？

生：右邊的，因?yàn)槿?15，它的答案就是3。

生：右邊的，左邊余數(shù)越來(lái)越大，不好判斷它在哪個(gè)位子上。

師：按左邊的方法，余數(shù)一直在變大；按右邊的方法，余數(shù)是有規(guī)律的，你們發(fā)現(xiàn)了嗎？

生：是 0、1、2、3、4，接下去又是0、1、2、3、4。

師：按右邊的方法，余數(shù)有沒有可能是5或6呢？

生：不可能，因?yàn)槌^(guò) 5了就可以再轉(zhuǎn)1圈，6的話就是再轉(zhuǎn)1圈又到1了。

師：數(shù)學(xué)上，我們采用右邊的方法記錄帶余除法。照上面這樣寫下去，被除數(shù)、商、余數(shù)是怎樣變化的呢？

生：被除數(shù)和商都慢慢變大，但余數(shù)變大了還會(huì)變小。

生：被除數(shù)和商都會(huì)一直大下去， 但余數(shù)是 0、1、2、3、4、0、1、2、3、4，再回到0。

師：對(duì)照0~40的數(shù)線，說(shuō)一說(shuō)數(shù)線上的數(shù)除以5余數(shù)是多少。

師：你們發(fā)現(xiàn)的這個(gè)規(guī)律，其實(shí)是數(shù)學(xué)上的一個(gè)規(guī)定：在帶余除法中，余數(shù)要比除數(shù)小。

“余數(shù)要比除數(shù)小”的數(shù)學(xué)規(guī)定，如果是硬生生地塞給學(xué)生，那么學(xué)生學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)就像是人體的X光片，既沒有血肉，也沒有靈魂。上面的教學(xué)，通過(guò)“找位子”和“搶位子”的游戲活動(dòng)，把直觀操作提升為數(shù)學(xué)方法，通過(guò)觀察和比較兩組算式，結(jié)合問(wèn)題情境與數(shù)線直觀，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)規(guī)律：一是同余的數(shù)周期性地出現(xiàn)，二是余數(shù)總是循環(huán)反復(fù)。這兩個(gè)規(guī)律豐富了學(xué)生的認(rèn)識(shí)，使學(xué)生真正理解了“余數(shù)要比除數(shù)小”的規(guī)定。

（作者單位：浙江省新思維教育科學(xué)研究院）