◇姜榮富

理解概念的關(guān)系把握真實的意義
——帶余除法學(xué)習(xí)難點的突破

◇姜榮富

如何理解帶余除法的數(shù)學(xué)意義？為什么計算時余數(shù)要比除數(shù)小？討論這些問題需要整體地把握數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系，通過模型建構(gòu)理解其數(shù)學(xué)意義。

一 理解帶余與同余概念的關(guān)系

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，帶余除法常常被用于解決周期性問題，如一批彩燈按“紅、黃、藍(lán)、綠、白、紅、黃、藍(lán)、綠、白、紅……”的規(guī)律排列起來，第23盞彩燈是什么顏色？算式是23÷5=4（組）……3（盞），含義是以5為周期（5個為一組），用它去除23，得到4個周期（4組）還余下3盞。在這里，商并不重要，只要關(guān)注余數(shù)就可以了，根據(jù)余數(shù)是3，可以判斷第 23盞彩燈的顏色為藍(lán)色。還有第幾盞燈也是藍(lán)色的呢？運用周期變化的規(guī)律，把23減去或加上若干個5，如第18盞、第13盞、第28盞、第33盞等彩燈的顏色都是一樣的。在數(shù)學(xué)意義上，這些數(shù)除以5的余數(shù)是相同的，就稱它們是“模5同余”。

對于同余的概念，有一個很能說明問題的幾何解釋。如圖1，把一個圓分成5等份，得到5個點。任一整數(shù)被5除時，得到的余數(shù)是0、1、2、3、4中的一個，在幾何上用圓上這些點中的一個來表示。如果兩個數(shù)用同一個點表示，它們就是同余的。

圖1

在小學(xué)數(shù)學(xué)里并不直接教學(xué)同余的概念，但這個概念在用帶余除法解決周期性的問題中有滲透。了解同余的概念，對于深入地理解帶余除法的意義，突破教學(xué)中發(fā)現(xiàn) “余數(shù)要比除數(shù)小”的難點有幫助。

二 把握規(guī)律與規(guī)定真實的意義

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生學(xué)習(xí)帶余除法往往先從分東西的活動開始，從而引出余數(shù)的概念，在初步建立了帶余除法的意義之后，通過圈點子或其他操作活動，得到一組帶余除法的例子，通過觀察這些例子歸納“余數(shù)要比除數(shù)小”的結(jié)論。

通過分析發(fā)現(xiàn)，教師給學(xué)生提供的觀察與歸納的例子，可以分成三種類型：除數(shù)相同被除數(shù)變化，被除數(shù)相同除數(shù)變化，被除數(shù)和除數(shù)同時變化。不同類型的例子討論的問題都是一樣的：觀察這些算式，你發(fā)現(xiàn)了什么？無論是哪一種類型的例子，學(xué)生歸納出“余數(shù)要比除數(shù)小”的結(jié)論都很困難，為什么呢？因為一組算式中變化的因子太多，學(xué)生不容易把思考聚焦到余數(shù)與除數(shù)的大小關(guān)系上。

在探究 “余數(shù)要比除數(shù)小”的規(guī)律時，應(yīng)讓學(xué)生先發(fā)現(xiàn)余數(shù)呈現(xiàn)周期性的變化，借助幾何直觀，推理同余的數(shù)，讓學(xué)生在解決問題的情境中，把握變化的規(guī)律，理解規(guī)定的意義。

師：請同學(xué)們觀察這個圓盤（如圖 1，上面不標(biāo)數(shù)字），說一說你知道了什么。

生：上面有5個圓點。

生：有5個間隔。

師：一個間隔可以叫作1格?，F(xiàn)在我把其中1個點作為起點，標(biāo)上0，下一個點就是1，這5個點表示5個位子。現(xiàn)在我們玩一個“找位子”的數(shù)學(xué)游戲。規(guī)則是：報出一個自己喜歡的數(shù)，然后從0開始，是幾就走幾個間隔，走完以后在位子上 “坐”下來。同桌兩人一人報數(shù)另一人走。報數(shù)的同學(xué)要幫助檢查對方坐的位子對不對。

師：我請一位同學(xué)跟我搭檔先來玩一玩。我報8，請你幫我走。

（學(xué)生1格1格地數(shù)，從0開始數(shù)到5時，教師喊暫停）

師：走了 1圈，歇會兒。（學(xué)生歇后）好，繼續(xù)前進(jìn)。

（學(xué)生走到3停下來）

師：位子找到了！我們就在這個位子上記上8。好，就像剛才一樣，從0開始，走1圈就歇會兒。你報的數(shù)在哪個位子上，就在哪個位子上把這個數(shù)記下來。

（展示兩個同學(xué)在圓盤上記錄的數(shù)，如圖2）

圖2

師：看這組同學(xué)記錄的數(shù)，你們有什么問題嗎？

生：0號位子上為什么沒有其他數(shù)？

師：如果要占到0號位子，必須報什么數(shù)？

生：5、10、15。

生：這些數(shù)是有規(guī)律的，都相差5。

生：其他位子上的數(shù)也是這個規(guī)律，都相差5。

師：是嗎？我們再看看。1號位子上，1與6相差5。2號位子上，2與12相差——

生：相差10，就是兩個5。就是轉(zhuǎn)了2圈。

師：還有問題嗎？

生：我覺得 14不應(yīng)該在 2號位子上。

師：你是怎么想的？

生：按照剛才的規(guī)律，在同一個位子上的數(shù)都相差5，14與12相差 2，17在這個位子上是對的。

師：想個辦法幫14找到正確的位子。

生：12在2號位子上，14就是再走2格，所以14在4號位子上。

生：我用算式表示：14÷5= 2……4。

師：這個式子是什么意思？

生：14除以 5，表示走 14格，轉(zhuǎn)1圈是5格，轉(zhuǎn)完2圈之后，還余下4格。所以14就在4號位子上。

師：現(xiàn)在它們都準(zhǔn)確地找到位子了。我們研究2號位子上的數(shù)，像前面那樣用帶余除法表示出來。如下：

2÷5=0……2；

7÷5=1……2；

17÷5=3……2。

師：選擇一個算式，說一說它的意思。

師：觀察這些算式，你們有什么話想說的？

生：按規(guī)律，中間還缺一個12÷5。

師：好，補上一個，商是多少？余數(shù)是多少？

生：商是2，余數(shù)也是2。

師：你是怎么想的？

生：你們看，被除數(shù)相差5，除數(shù)都是5，商是 0、1、2、3這樣慢慢大起來的，余數(shù)都是2。

生：就是從0開始，轉(zhuǎn)2圈到10，余下2格，所以余數(shù)是2。

師：現(xiàn)在我們知道，2、7、12、17這些數(shù)“都是一家的”。在 0~40的數(shù)線上還有很多數(shù)，你能圈出這一家的其他成員嗎？

生：22、27、32、37。

師：有規(guī)律？有什么規(guī)律？

生：是有規(guī)律的，每隔 5個數(shù)，就會出現(xiàn)余數(shù)相同的。

生：被除數(shù)每增加 5，就是多轉(zhuǎn)了1圈，這樣就回到原來的位子上了。

師：用三角形符號在數(shù)線上畫出3號位子上的數(shù)。

（學(xué)生畫出3、8、13、18、23、28、33、38）

師：3號位子上的這些數(shù)，除以5，有什么特點？

生：余數(shù)都是3。

“找位子”的游戲，不僅有利于學(xué)生理解帶余除法的意義，而且可以把余數(shù)比除數(shù)大直觀地解釋為還能再轉(zhuǎn)1圈。在數(shù)線上找出同余的數(shù)，實際上是運用規(guī)律推理同余的數(shù)。

師：我們再玩一次“搶位子”的游戲，規(guī)則是我報一個數(shù)，請你很快地說出它在哪個位子上。

師：5。

生：0號位子。

師：你是怎么想的？

生：5除以 5，商是 1，余數(shù)是0。

師：6。

生：1號位。

師：算式是——

生：6÷5=1……1。

……

師：你們是不是發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律了？

5÷5=1……0；

6÷5=1……1；

7÷5=1……2；

8÷5=1……3；

9÷5=1……4。

生：被除數(shù)一個比一個大，余數(shù)也一個比一個大。

師：如果被除數(shù)繼續(xù)變大，余數(shù)會怎么樣？

生：也繼續(xù)變大。

師：確定嗎？

生：確定。

師：舉出例子。

生：10÷5=1……5。

師：有不同意見嗎？

生：10÷5=2。

師：這兩個算式分別是什么意思？

生：第一個算式表示轉(zhuǎn)1圈再轉(zhuǎn)5格，第二個算式表示轉(zhuǎn)2圈。

生：轉(zhuǎn)1圈再轉(zhuǎn)5格就是轉(zhuǎn)2圈呀。

師：正好轉(zhuǎn)2圈，如果要寫上余數(shù)，怎么寫？

生：10÷5=2……0。

師：一個算式，兩種答案，這在數(shù)學(xué)上是不允許的。現(xiàn)在只能選一種，你們認(rèn)為哪一種好？

（學(xué)生意見不一）

師：我們先別急著下結(jié)論。照著兩種方法接著往下寫。

生：11÷5=1……6，11÷5= 2……1。

生：12÷5=1……7，12÷5= 2……2。

生：13÷5=1……8，13÷5= 2……3。

生：14÷5=1……9，14÷5= 2……4。

師：照這樣的規(guī)律寫下去，下一個算式是什么？余數(shù)是什么？

生：15÷5=1……10，15÷5= 3……0。

師：你喜歡哪一種表示方法？

生：右邊的，因為三五 15，它的答案就是3。

生：右邊的，左邊余數(shù)越來越大，不好判斷它在哪個位子上。

師：按左邊的方法，余數(shù)一直在變大；按右邊的方法，余數(shù)是有規(guī)律的，你們發(fā)現(xiàn)了嗎？

生：是 0、1、2、3、4，接下去又是0、1、2、3、4。

師：按右邊的方法，余數(shù)有沒有可能是5或6呢？

生：不可能，因為超過 5了就可以再轉(zhuǎn)1圈，6的話就是再轉(zhuǎn)1圈又到1了。

師：數(shù)學(xué)上，我們采用右邊的方法記錄帶余除法。照上面這樣寫下去，被除數(shù)、商、余數(shù)是怎樣變化的呢？

生：被除數(shù)和商都慢慢變大，但余數(shù)變大了還會變小。

生：被除數(shù)和商都會一直大下去， 但余數(shù)是 0、1、2、3、4、0、1、2、3、4，再回到0。

師：對照0~40的數(shù)線，說一說數(shù)線上的數(shù)除以5余數(shù)是多少。

師：你們發(fā)現(xiàn)的這個規(guī)律，其實是數(shù)學(xué)上的一個規(guī)定：在帶余除法中，余數(shù)要比除數(shù)小。

“余數(shù)要比除數(shù)小”的數(shù)學(xué)規(guī)定，如果是硬生生地塞給學(xué)生，那么學(xué)生學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)就像是人體的X光片，既沒有血肉，也沒有靈魂。上面的教學(xué)，通過“找位子”和“搶位子”的游戲活動，把直觀操作提升為數(shù)學(xué)方法，通過觀察和比較兩組算式，結(jié)合問題情境與數(shù)線直觀，發(fā)現(xiàn)兩個規(guī)律：一是同余的數(shù)周期性地出現(xiàn)，二是余數(shù)總是循環(huán)反復(fù)。這兩個規(guī)律豐富了學(xué)生的認(rèn)識，使學(xué)生真正理解了“余數(shù)要比除數(shù)小”的規(guī)定。

（作者單位：浙江省新思維教育科學(xué)研究院）