王 洋，張四保

(1.四川交通職業(yè)技術學院公共教學部，四川 成都 611130；2.喀什大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，新疆 喀什 844008)

一個帶有復合Euler函數(shù)方程的正整數(shù)解

王 洋1，張四保2

(1.四川交通職業(yè)技術學院公共教學部，四川 成都 611130；2.喀什大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，新疆 喀什 844008)

設φ(n)為Euler函數(shù)，探討了帶有復合歐拉函數(shù)的方程φ(φ(n-φ(φ(n))))=2正整數(shù)解的問題，利用初等方法給出了其所有的正整數(shù)解.

Euler函數(shù)；正整數(shù)解；初等方法

1 預備知識

設n為正整數(shù)，φ(n)為Euler函數(shù)[1]，φ(n)在正整數(shù)n上的值為不超過n且與n互素的正整數(shù)個數(shù).Euler函數(shù)φ(n)是數(shù)論中的一個重要函數(shù)，它與著名的Smarandache函數(shù)有著莫大的關系，眾多學者對與之相關的方程進行了大量研究.[2-7]

對于帶有復合歐拉函數(shù)方程正整數(shù)解的研究可參見文獻[8-11].本文討論帶有復合歐拉函數(shù)的方程

φ(φ(n-φ(φ(n))))=2

(1)

的正整數(shù)解問題，并通過初等方法給出其所有的正整數(shù)解.

引理1[12]方程φ(x)=2P的正整數(shù)解x為：當P=1時，x=3，4，6；當P=2時，x=5，8，10，12；當P=3時，x=7，9，14，18.

引理2[13]若n為大于等于2的整數(shù)，則φ(n)

2 主要結論及證明

定理1 方程(1)的所有正整數(shù)解為n=6，7，9，10，11，12，13，14，16，17，22.

證明 由引理1可知φ(x)=2的所有正整數(shù)解為x=3，4，6，從而方程(1)為φ(n-φ(φ(n)))=3，4，6.再由引理2可知，φ(n-φ(φ(n)))=4，6.

由引理1可知：當φ(n-φ(φ(n)))=4時，n-φ(φ(n))=5，8，10，12；當φ(n-φ(φ(n)))=6時，n-φ(φ(n))=7，9，14，18.由此可將n-φ(φ(n))的值分為n-φ(φ(n))=5，7，9與n-φ(φ(n))=8，10，12，14，18這兩種情形.

情形1n-φ(φ(n))=5，7，9.

即

情形1.1β1≠0，βi=0，i=2，3，…，t.

情形1.1.1β1=1.

當αj=0(j=1，2，…，k)時，q1-1=2γ，從而 2γ-φ(2γ)=4，6，8.因而2γ-1=4，6，8，γ=3，4.此時，n=9，17是方程(1)的二個正整數(shù)解.

當αj(j=1，2，…，k)中至少有1個滿足αj≠0時，有

(2)

此時，α1=1，αj=0，j=2，3，…，k；p1=3；q1-1=6.從而n=7是方程(1)的正整數(shù)解.

有

由于2p1p2…pk-(p1-1)(p2-1)…(pk-1)>(p1-1)(p2-1)…(pk-1)≥2，因而方程(1)無正整數(shù)解.

情形1.1.2β1≥2.

情形1.2β1≠0，β2≠0，βi=0，i=3，4，…，t.

情形1.2.1β1=1，β2=1.

此時，q1q2-φ((q1-1)(q2-1))=5，7，9.注意到

q1q2-φ((q1-1)(q2-1))=(q1-1)(q2-1)-φ((q1-1)(q2-1))+q1+q2-1>8，

因而只討論q1q2-φ((q1-1)(q2-1))=9的情形.

事實上，當q1=3，q2=5時，q1q2-φ((q1-1)(q2-1))=9不成立；當q1=3，q2>5時，

q1q2-φ((q1-1)(q2-1))=(q1-1)(q2-1)-φ((q1-1)(q2-1))+q1+q2-1>9；

當q1≥5，q2≥7時，

q1q2-φ((q1-1)(q2-1))=(q1-1)(q2-1)-φ((q1-1)(q2-1))+q1+q2-1>9.

故此時方程(1)無正整數(shù)解.

情形1.2.2β1，β2中至少有一個大于等于2.

類似于情形1.2.1的討論可知此時方程(1)無正整數(shù)解.

情形1.3βi中有三個或者三個以上不等于0.

類似于情形1.2.1的討論可知此時方程(1)無正整數(shù)解.

情形2n-φ(φ(n))=8，10，12，14，18.

當βi=0(i=1，2，…，t)時，2δ-φ(2δ-1)=8，10，12，14，18.顯然此時δ≥4，進而有2δ-2×3=8，10，12，14，18.此時只有2δ-2×3=12有正整數(shù)解δ=4，故n=24=16是方程(1)的正整數(shù)解.同時可知當δ≥5時，方程(1)無正整數(shù)解.因而，在討論至少存在某個βi≠0時δ的情形時，只需考慮1≤δ≤4.

情形2.1δ=1.

此時，

(3)

情形2.1.1β1≠0，βi=0，i=2，3，…，t.

此時，由(3)式有

(4)

當β1=1時，由(4)式可知 2q1-φ(q1-1)=8，10，12，14，18.當q1=5時，2q1-φ(q1-1)=8，即n=2×5=10是方程(1)的正整數(shù)解；當q1=7時，2q1-φ(q1-1)=12，即n=2×7=14是方程(1)的正整數(shù)解；當q1=11時，2q1-φ(q1-1)=18，即n=2×11=22是方程(1)的正整數(shù)解；當q1=13時，2q1-φ(q1-1)=8，10，12，14，18均不成立；當q1≥17時，2q1-φ(q1-1)=(q1-1)-φ(q1-1)+(q1+1)>18，因而此時方程(1)無正整數(shù)解.

情形2.1.2β1≠0，β2≠0，βi=0，i=3，4，…，t.

此時，

(5)

當β1=1，β2=1時，由(5)式有 2q1q2-φ((q1-1)(q2-1))=8，10，12，14，18.由于

2q1q2-φ((q1-1)(q2-1))=2(q1-1)(q2-1)-φ((q1-1)(q2-1))+2q1+2q2-2=

(q1-1)(q2-1)-φ((q1-1)(q2-1))+2q1+2q2-2+(q1-1)(q2-1)>18，

因而此時方程(1)無正整數(shù)解.并由該情形的討論可知，當βi(i=1，2，…，t)中有多于兩個不等于0時，方程(1)亦無正整數(shù)解.

故此時方程(1)無正整數(shù)解.并由該情形的討論可知，當β1，β2中至少有一個大于等于2時，方程(1)亦無正整數(shù)解.

仿照t=1情形的討論可得：當t=2時，n=22×3=12是方程(1)的正整數(shù)解；當t=3與t=4時，方程(1)無正整數(shù)解.

綜合以上討論，即得定理1結論.

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(責任編輯：李亞軍)

Positive integer solutions of an equation involving compound Euler function

WANG Yang1，ZHANG Si-bao2

(1.Department of Public Teaching，Sichuan Vocational and Technical College of Communications，Chengdu 611130，China；2.School of Mathematics and Statistics，Kashgar University，Kashgar 844008，China)

Letφ(n) be Euler function.The problem of positive integer solutions of an equation involving compound Euler functionφ(φ(n-φ(φ(n))))=2 is studied.All the positive integer solutions of it are given by using elementary method.

Euler function；positive integer solutions；elementary method

1000-1832(2017)02-0021-04

10.16163/j.cnki.22-1123/n.2017.02.005

2015-09-27

新疆維吾爾自治區(qū)自然科學基金資助項目(2016D01A014).

王洋(1985—)，男，博士，講師，主要從事高等數(shù)學教學及應用數(shù)學研究；通信作者：張四保(1978—)，男，碩士，副教授，主要從事數(shù)論研究.

O 156 [學科代碼] 110·17

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